APOSTILA_DE_ALGEBRA_I

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CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA
CELSO SUCKOW DA FONSECA
ÁLGEBRA I
ENGENHARIA
Profª Cristiane Pinho Guedes
www.cristianeguedes.pro.br
profcristianeguedes@terra.com.br
Profª Cristiane Pinho Guedes
CENTRO FEDERAL DE EDUCACAO TECNOLÓGICA CELSO SUCKOW DA FONSECA
Aula 1 – data:_________________
MATRIZES
Introdução:
Chamamos de matriz uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas. Por exemplo,
ao recolhermos os dados referentes a altura, peso e idade de um grupo de quatro pessoas,
podemos dispô-los na tabela:
Altura (m) Peso (kg) Idade (an0s)
Pessoa 1 1,70 70 23
Pessoa 2 1,75 60 45
Pessoa 3 1,60 52 25
Pessoa 4 1,81 72 30
Ao abstraírmos os significados das linhas e colunas, temos a matriz:
1 70 70 23
1 75 60 45
1 60 52 25
181 72 30
,
,
,
,












Representaremos uma matriz de m linhas e n colunas por:
A
a a a
a a a
a a a
m n
n
n
m m mn














11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
: : : :
...
Usaremos sempre letras maiúsculas para denotar matrizes, e quando quisermos especificar a
ordem de uma matriz A (isto é, o número de linhas e colunas) , escreveremos Am n . Também
podemos usar colchetes ou duas barras, além dos parênteses, para representar uma matriz.
Duas matrizes Am n  [ ]aij m n e B br s ij r s  [ ] são iguais se elas têm o mesmo número de
linhas (m = r ) e colunas ( n = s ), e todos os seus elementos correspondentes são iguais.
Tipos especiais de matrizes:
Matriz quadrada é aquela cujo número de linhas é igual ao número de colunas.
Matriz nula é aquela em que aij  0 , para todo i e j.
Matriz coluna é aquela que possui uma única coluna.
Matriz linha é aquela que possui uma única linha.
Matriz diagonal é uma matriz quadrada onde aij  0 , para i j .
Matriz identidade é aquela em que aii  1 e aij  0 para i j .
Matriz triangular superior é uma matriz quadrada onde todos os elementos abaixo da
diagonal são nulos.
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Matriz triangular inferior é uma matriz quadrada onde todos os elementos acima da diagonal
são nulos.
Matriz simétrica é aquela onde m = n e a aij ji .
Operações com matrizes:
Adição: A soma de duas matrizes A e B de mesma ordem é uma matriz, também de mesma ordem
cujos elementos são somas dos elementos correspondentes de A e B.
Propriedades: Dadas as matrizes A, B e C de mesma ordem m x n, temos:
a) A + B = B + A ( comutatividade)
b) A + ( B + C ) = ( A + B ) + C ( associatividade)
c) A + O = A onde O denota a matriz nula.
Multiplicação por um escalar: Seja Am n  [ ]aij m n e k um número, então definimos uma nova
matriz k Am n.   [ ]kaij m n .
Propriedades: Dadas matrizes A e B de mesma ordem m n e números k k, 1 e k2 , temos:
a) k A B kA kB( )  
b) ( )k k A k A k A1 2 1 2  
c) 0. A O isto é, se multiplicarmos qualquer matriz pelo número zero dará a matriz nula.
d) ( . ). .( . )k k A k k A1 2 1 2
Transposição: Dada a matriz Am n  [ ]aij m n , chamamos de matriz transposta de A, e
representamos por mnij
t bA

 ][ a matriz cujas linhas são as colunas da matriz A.
Ex:









 

53
01
32
A 








503
312tA
Propriedades:
1) Uma matriz é simétrica se e somente se ela é igual a sua transposta.
2) Uma matriz é anti-simétrica se e somente se ela é igual ao simétrico da sua transposta.
Exemplifique uma matriz Simétrica e uma matriz Anti-simétrica. Comente.
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3)   AA tt 
4)   ttt BABA 
Exercícios: Considere






















142
113
201
221
102
413
BeA e calcule:
2A
A + B
2A - 3B
Respostas: )ܽ ൭ 6 2 8−4 0 22 4 4൱ )ܾ൭ 4 1 6−5 1 23 6 3൱ )ܿ ൭ 3 2 25 −3 −1−4 −8 1 ൱
Multiplicação de matrizes: Sejam Am n  [ ]aij m n e   pnrspn bB   . Definimos   pmuvcBA . onde:
kv
n
k
ukuv bac 


1
Observações:
Só podemos efetuar o produto de duas matrizes se o número de colunas da primeira for igual ao
número de linhas da segunda.
O elemento da i-ésima linha e j-ésima coluna da matriz produto é obtido , multiplicando os elementos
da i-ésima linha da primeira matriz pelos elementos correspondentes da j-ésima coluna da segunda
matriz, e somando estes produtos.
Ex:































 










75
44
22
4.3)1.(50.31.5
4.2)1.(40.21.4
4.1)1.(20.11.2
40
11
.
35
24
12
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Propriedades: (desde que sejam possíveis as operações)
Em geral ABBA ..  . Quando A.B = B.A, as matrizes A e B são ditas comutáveis.
AIIA .. 
CABACBA ..).( 
   CBACBA .... 
  tt
t ABBA .. 
0. BA não implica necessariamente em A = 0 ou B = 0
Exercícios:
1) Quando possível, efetuar a multiplicação das matrizes:
a)



















14
31
12
202
153
b) 






















20
31
.
01
78
46
24
c)






















2
2
1
.
101
254
341
d) 














 614
513
.
221
164
e) 
















141
513
.
12
64
2) Se 

























36
24
42
26
,
23
35
CeBA . Encontre X que satisfaz a equação AX + B = C
3) Encontre matrizes não-nulas A, B e C tais que AB = AC, mas B C.
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4) Verdadeiro ou falso?
Se a primeira e a terceira colunas de B são iguais, a primeira e a terceira colunas de AB também
são.
Se a primeira e a terceira linhas de B são iguais, a primeira e a terceira linhas de AB também são.
Se a primeira e a terceira linhas de A são iguais, a primeira e a terceira linhas de AB também são.
Respostas:
1) a) ቀ15 196 0 ቁ b) ቌ4681
810383 ቍ c) ൭
323൱ d) ∄ d) ቀ18 28 −267 6 −15 ቁ
2) ቀ 20 −5
−34 7 ቁ 3) ܲ݋ݎ ݁݁ݔ ݉ ݌ ݋݈:ܣ = ቀ2 12 1ቁ,ܤ = ቀ4 40 0ቁ ݁ܥ = ቀ2 24 4ቁ4) )ܽ ܸ )ܾ ܨ )ܿ ܸ
Matriz Inversa
A matriz quadrada A, de ordem n, é dita inversível se e somente se existir uma matriz
quadrada A-1, também de ordem n, tal que A.A-1 = A-1.A = In.
OBS: ܣିଵ = ܣ௧ ⟺ ܣ é ݑ݉ܽ݉ܽݐ݅ݎݖࡻࡾࢀࡻࡳࡻࡺ࡭ࡸ
Exs: 1) Dada a matriz ܯ = ൭ ݋ܿݏߠ −݁ݏ ݊ߠ 0݁ݏ ݊ߠ ݋ܿݏߠ 00 0 1൱, calcular C = M.MT e classificar C.
2) Dada a matriz ܧ =
⎝
⎜
⎛
√ଷ
ଷ
√ଷ
ଷ
√ଷ
ଷ
−
√଺
ଷ
√଺
଺
√଺
଺0 − √ଶ
ଶ
√ଶ
ଶ⎠
⎟
⎞
, calcular E.ET e classificar.
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Propriedades:
(A.B)-1 = B-1.A-1
( A-1)-1 = A
( A-1)T = ( AT)-1
Operações Elementares:
São operações realizadas nas linhas (ou colunas) de uma matriz. São consideradas operações
elementares:
A troca da linha i pela linha j. Li ↔ Lj
A multiplicação da linha i por um escalar k não nulo. Li → k.Li
A substituição da linha i por ela mesma mais k vezes a linha j. Li → Li + k.Lj
Equivalência de matrizes:
Sejam A e B matrizes de mesma ordem. A matriz B é equivalente à matriz A quando for possível
transformar A em B através de um número finito de operações elementares.
Cálculo da matriz inversa utilizando operações elementares:
Problema: Calcular a inversa de uma matriz A quadrada.
Solução:
Construimos a matriz ( A ⁞ I )
Utilizando operações elementares “transformamos “ A em I. Consequentemente I se transformará
em A-1. No final temos ( I ⁞ A-1 )
OBS: Se não conseguirmos obter a identidade (uma linha zerada) a matriz não terá inversa
(detA=0).
Ex: Encontrar a matriz inversa de ܣ = ൭1 2 32 4 25 2 3൱
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Aula 2 – data:_________________
SISTEMAS LINEARES
Definição: Um sistema linear S com m equações e n incógnitas é um conjunto de equações do tipo:
൞
ଵܽଵݔଵ + ଵܽଶݔଶ + ଵܽଷݔଷ +⋯+ ଵܽ௡ݔ௡ = ଵܾ
ଶܽଵݔଵ + ଶܽଶݔଶ + ଶܽଷݔଷ +⋯+ ଶܽ௡ݔ௡ = ଶܾ
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
௠ܽ ଵݔଵ + ௠ܽ ଶݔଶ + ௠ܽ ଷݔଷ +⋯+ ௠ܽ ௡ݔ௡ = ௠ܾ �
com ௜ܽ௝ , ௜ܾ ∈ ℝ ,݅= 1, … ,݉ ݆݁= 1, … , .݊
௜ܽ௝→ são os coeficientes das variáveis.
ݔ௝ → são as incógnitas (ou variáveis)
௜ܾ→ termos independentes.
Matrizes de um sistema S
Formamatricial de S:
൮
ଵܽଵ ଵܽଶ
… ଵܽ௡
ଶܽଵ ଶܽଶ
… ଶܽ௡
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
௠ܽ ଵ ௠ܽ ଶ
… ௠ܽ ௡൲ .൮
ݔଵ
ݔଶ
⋮
ݔ௡
൲ = ൮ ଵܾଶܾ
⋮
௡ܾ
൲
ܣ.ܺ = ܤ
A → Matriz dos coeficientes
X → Matriz das variáveis
B → Matriz dos termos independentes.
OBS: Se B for a matriz nula, o sistema é chamado de homogêneo.
Matriz Ampliada de S:
൮
ଵܽଵ ଵܽଶ
… ଵܽ௡
ଶܽଵ ଶܽଶ
… ଶܽ௡
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
௠ܽ ଵ ௠ܽ ଶ
… ௠ܽ ௡
ଵܾ
ଶܾ
⋮
௡ܾ
൲
Soluções de um sistema S:
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Método de Redução de Gauss-Jordan:
Escalonamos a matriz ampliada de S, reescrevemos o sistema equivalente a S, encontramos o valor
de uma variável, e por substituição determinamos as demais variáveis.
OBS1: Se o sistema for possível e indeterminado (SPI), temos que dar a resposta em função da(s)
variável(variáveis) livre(s).
OBS2: Um sistema linear homogêneo é sempre possível, pois admite pelo menos a solução trivial → 
(0, 0,..., 0).
Ex1: ൞
2ݔ− ݕ+ 3ݖ= 114ݔ− 3ݕ+ 2ݖ= 0
ݔ+ ݕ+ ݖ= 63ݔ+ ݕ+ ݖ= 4 �
S
POSSÍVEL
DETERMINADO
→uma única 
solução
INDETERMINADO→ 
infinitas soluções
IMPOSSÍVEL→ 
nenhuma solução
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Ex2: ൝
ݔ− 2ݕ+ ݖ= 02ݔ− ݕ− 2ݖ= 13ݔ− 3ݕ− ݖ= 2�
Ex3: ൞
ݔଵ + 3ݔଶ + 5ݔଷ = 72ݔଵ− ݔଶ + 3ݔଷ = 0
ݔଵ− 4ݔଶ− 2ݔଷ = −75ݔଵ− 2ݔଶ + 8ݔଷ = 1�
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Ex4: ൝
ݔ+ ݕ− ݖ= 02ݔ− ݕ+ ݖ= 0
ݔ+ 2ݕ− ݖ= 0�
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Ex5: ൞
ݔ− 2ݕ+ 2ݖ= 02ݔ+ ݕ− 2ݖ= 03ݔ+ 4ݕ− 6ݖ= 03ݔ− 11ݕ+ 12ݖ= 0�
Exercícios:
1) Determine os valores de a, de modo que o sistema abaixo tenha:
I) nenhuma solução.
II) mais de uma solução.
III) uma única solução.
൝
ݔ+ ݕ− ݖ= 12ݔ+ 3ݕ+ ܽݖ= 3
ݔ+ ܽݕ+ 3ݖ= 2 �
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2) Estudar o sistema em função de k:
൝
ݔ+ ݕ+ ݇ݖ= 23ݔ+ 4ݕ+ 2ݖ= ݇2ݔ+ 3ݕ− ݖ= 1 �
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Aula 3 – data:__________________
VETORES
Dois segmentos orientados AB e CD são eqüipolentes quando têm a mesma direção, o
mesmo sentido e o mesmo comprimento.
Vetor determinado por um segmento orientado AB é o conjunto de todos os segmentos
orientados eqüipolentes a AB.
Vetor:
 módulo
 direção
 sentido
vyyxxABAB ABAB  ),(
22 )()( ABAB yyxxv 
vetor unitário → módulo = 1
Versor de um vetor não nulo v é o vetor unitário de mesma direção e mesmo sentido de v .
Operações:
1) Adição
ݑሬ⃗ ݑሬ⃗+ ⃗ݒ
⃗ݒ
),(
),(
22
11
yxv
yxu


),( 2121 yyxxvu 
2) Diferença
ݑሬ⃗ ݑሬ⃗− ⃗ݒ
⃗ݒ
3) Multiplicação por um escalar
vk 
direção: mesma de v
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módulo: vkvk 
sentido: mesmo de v , se k > 0 e contrário ao de v , se k < 0.
OBS1: versor de v 
v
v*
v
OBS2: ݑሬ⃗− ⃗ݒ = ݑሬ⃗+ (−1). ⃗ݒ
Decomposição de um vetor no plano:
Dados dois vetores 21 vev , não colineares, qualquer vetor v , co-planar com 21 vev , pode ser
decomposto segundo as direções de 21 vev .
 2211 vavav v escrito como combinação linear de 21 vev .
Um par de vetores 21 vev não colineares é chamado base do plano.
ଶܽݒଶሬሬሬሬ⃗ ⃗ݒ ݒଶሬሬሬሬ⃗
ଵܽݒଵሬሬሬሬ⃗ ݒଵሬሬሬሬ⃗
21 aea são as componentes ou coordenadas de v em relação à base { 21 , vv }
11va = projeção de v sobre 1v segundo a direção de 2v .
22 va = projeção de v sobre 2v segundo a direção de 1v .
Na prática, as bases mais utilizadas são as ortonormais.
Uma base é ortonormal quando os seus vetores são ortogonais (perpendiculares) e unitários.
Bases Canônicas : do R2 : ଓ⃗= (1, 0)݁ଔ⃗= (0, 1)
do R3 : ଓ⃗= (1,0,0) , ଔ⃗= (0, 1, 0)݁ ሬ⃗݇= (0, 0, 1)
jiv 53)5,3( 
kzjyixzyxu  ),,(
Condição de paralelismo de dois vetores: ),,( 111 zyxu  e ),,( 222 zyxv 
vu // ( ou colinear ) se vku . ou seja, k
z
z
y
y
x
x

2
1
2
1
2
1
componentes proporcionais

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Produto de vetores:
1) Produto Escalar.
212121
222
111
zzyyxxvu
kzjyixv
kzjyixu



Ex: )1,2,3()2,1,4()3,2,()1,,4(  BAvu  . Calcular  tal que 5)(  BAvu .
Resp: ∝= 7/3
Módulo
2
1
2
1
2
1 zyxvvv 
Propriedades do Produto Escalar:
I) 000  uuueuu
II) uvvu 
III) wuvuwvu  )(
IV)
2
uuu 
V) )()( vumvum 
Ângulo de dois vetores:
cos vuvu
⃗ݒ
θ
ݑሬ⃗
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Pela Lei dos cossenos, temos:
cos2
222
 vuvuvu
Pela (IV) propriedade, temos :
    cos2  vuvvuuvuvu
Pela (III) propriedade, temos:
cos2  vuvvuuvvuvvuuu
Pela (II) propriedade e fazendo os devidos cancelamentos, temos:
cos22  vuvu cos vuvu
Logo:
vu
vu


cos
Daí, conclui-se que:
Se agudoévu  0
Se obtusoévu  0
Se laresperpendicusãoveuretoévu  0
Condição de ortogonalidade de dois vetores: ݑሬ⃗ ⊥ ⃗ݒ ⇔ ݑሬ⃗ . ⃗ݒ= 0
Exercícios:
1) Sabendo que a distância entre os pontos A( -1, 2, 3) e B( 1, -1, m) é 7, calcular m.
2) Determinar α para que o vetor ⃗ݒ= ቀ∝,− ଵ
ଶ
, ଵ
ସ
ቁseja unitário.
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3) Sabendo que o vetor ⃗ݒ= (2,1,−1) forma um ângulo de 60º com o vetor ܣܤሬሬሬሬሬ⃗ determinado pelos
pontos A( 3, 1, -2) e B( 4, 0, m), calcular m.
4) Determinar os ângulos internos do triângulo ABC, sendo A(3, -3, 3), B(2, -1, 2) e C( 1, 0, 2).
5) Determinar um vetor unitário ortogonal aos vetores (1, -1, 0) e (1, 0, 1).
6) Dados os pontos P(1, 2, 4), Q(2, 3, 2) e R(2, 1, -1), determinar as coordenadas de um ponto S tal
que P, Q, R e S sejam os vértices de um paralelogramo.
7) Determinar os valores de m e n para que os vetores ݑሬ⃗= (݉ + 1, 3, 1)݁⃗ݒ= (4, 2, 2݊− 1) sejam
paralelos.
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Aula 4 – data:__________________
Uma Aplicação na Física:
O produto escalar é uma importante ferramenta matemática para a Física, uma vez que inúmeras grandezas
físicas são definidas com o seu emprego, como por exemplo, o
O Trabalho realizado por uma força constante
definido como o produto escalar desta força pelo deslocamento efetuado pelo corpo no qual a força está
aplicada.
Pode-se observar que a componente da f
trabalho é ܨ௫ሬሬሬ⃗ , paralela ao deslocamento
mostra a figura. Então หܨ௫ሬሬሬ⃗ห= ห⃗ܨห. ݋ܿݏߠ, onde θ 
força e o deslocamento.
A grandeza física Trabalho , notada por W, é uma grandeza escalar e tem como unidade no Sistema
Internacional o joule, notado por J. A expressão para o cálculo do trabalho W é
ܹ = ⃗ܨ. ሬ݀ሬሬ⃗ ݋ݑ ܹ = ห⃗ܨห. ห݀⃗ ห. ݋ܿݏߠ e 1 J = 1 N . 1 m
Exemplo: Calcular o trabalho realizado pelas fo
deslocar o bloco de A até B, sabendo que
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O produto escalar é uma importante ferramenta matemática para a Física, uma vez que inúmeras grandezas
físicas são definidas com o seu emprego, como por exemplo, o Trabalho.
O Trabalho realizado por uma força constante ⃗ܨ ao longo de um determinado deslocamento
definido como o produto escalar desta força pelo deslocamento efetuado pelo corpo no qual a força está
se observar que a componente da força ⃗ܨ que realiza o
, paralela ao deslocamento ܣܤሬሬሬሬሬ⃗= ݀⃗, conforme
, onde θ é o ângulo entre a
, notada por W, é uma grandeza escalar e tem como unidade no Sistema
Internacional o joule, notado por J. A expressão para o cálculo do trabalho W é
e 1 J = 1 N . 1 m
Exemplo: Calcular o trabalho realizado pelas forças constantes, ⃗ܨ ,ܨ௔ሬሬሬ⃗,ܨேሬሬሬሬሬ⃗݁ ሬ⃗ܲ e pela força resultante para
deslocar o bloco de A até B, sabendo que ห⃗ܨห= 10ܰ ,หܨ௔ሬሬሬ⃗ห= 8ܰ , หܲሬ⃗ห= 3ܰ ,หܨேሬሬሬሬ⃗ห= 3ܰ
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O produto escalar é uma importante ferramenta matemática para a Física, uma vez que inúmeras grandezas
ao longo de um determinado deslocamento ݀⃗ é
definido como o produto escalar desta força pelo deslocamento efetuado pelo corpo no qual a força está
, notada por W, é uma grandeza escalar e tem como unidade no Sistema
e pela força resultante para
ܰ , ሬ݀ሬሬሬ⃗= ܣܤሬሬሬሬሬ⃗݁ห݀⃗ ห= 10݉
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Ângulos Diretores e Cossenos Diretores de um vetor ( R3 )
Seja o vetor ⃗ݒ= ݔଓ⃗+ ݕଔ⃗+ ݇ݖሬ⃗= (ݔ,ݕ,ݖ). Ângulos diretores de ⃗ݒ são os ângulos α, β e γ que ⃗ݒ
forma com os vetores ଓ⃗, ଔ⃗݁ ሬ⃗݇da base canônica.
z
⃗ݒ
ሬ⃗݇ α
γ ଔ⃗ yx ଓ⃗
cos α =
௩ሬ⃗.ప⃗|௩ሬ⃗|.|ప⃗| = (௫,௬,௭).(ଵ,଴,଴)|௩ሬ⃗|.ଵ = ௫|௩ሬ⃗|
cos β =
௩ሬ⃗.ఫ⃗|௩ሬ⃗|.|ఫ⃗| = (௫,௬,௭).(଴,ଵ,଴)|௩ሬ⃗|.ଵ = ௬|௩ሬ⃗|
cos γ =
௩ሬ⃗.௞ሬ⃗|௩ሬ⃗|.ห௞ሬ⃗ห= (௫,௬,௭).(଴,଴,ଵ)|௩ሬ⃗|.ଵ = ௭|௩ሬ⃗|
Notemos que ( cos α, cos β, cos γ) = ቀ
௫|௩ሬ⃗| , ௬|௩ሬ⃗| , ௭|௩ሬ⃗|ቁ= (௫,௬,௭)|௩ሬ⃗| = ௩ሬ⃗|௩ሬ⃗| = ݒ∗ሬሬሬሬ⃗ (versor de ⃗ݒ )
Portanto: ඥ ݋ܿݏଶ ∝ + ݋ܿݏଶߚ+ ݋ܿݏଶߛ= 1 ⟹ ݋ܿݏଶ ∝ + ݋ܿݏଶߚ+ ݋ܿݏଶߛ= 1
“ A soma dos quadrados dos cossenos diretores de um vetor é igual a 1.”
Exercícios:
1) Os ângulos diretores de um vetor são α, 45º e 60º. Determinar α.
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2) Dados os pontos A( 2, 2, -3) e B( 3, 1, -3), calcular os ângulos diretores do vetor ܣܤሬሬሬሬሬ⃗.
3) Um vetor ⃗ݒ forma com os vetores ଓ⃗݁ ଔ⃗ ângulos de 60º e 120º, respectivamente. Determinar o vetor ⃗ݒ,
sabendo que |⃗ݒ|= 2.
Projeção de um vetor
Sejam os vetores ݑሬ⃗ e ⃗ݒ, com ݑሬ⃗≠ 0ሬሬሬ⃗݁⃗ݒ≠ 0ሬሬሬ⃗ , e θ o ângulo por eles formado. O vetor ݓሬሬ⃗ que representa a
projeção de ݑሬሬሬ⃗ sobre ݒሬሬሬ⃗ é calculado por:
݌ݎ݋ଔሬሬሬሬሬሬሬሬ⃗௩ሬ⃗ݑሬ⃗= ቆ ݑሬ⃗. ⃗ݒ|⃗ݒ|. |⃗ݒ|ቇ . ⃗ݒ= (ݑሬ⃗. ⃗ݒ∗). ⃗ݒ∗
ݑሬ⃗ ݑሬ⃗
θ 
Θ
ݓሬሬ⃗ ⃗ݒ ݓሬሬ⃗ ⃗ݒ
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Exemplo1: Determinar o vetor projeção de ݑሬ⃗= (2,3,4) sobre ⃗ݒ= (1,−1,0).
Exemplo2: Sejam os pontos A(1, 2, -1), B(-1, 0, -1) e C(2, 1, 2). Pede-se:
a) Mostrar que o triângulo ABC é retângulo em A.
b) Calcular a medida da projeção do cateto AB sobre a hipotenusa BC.
c) Determinar o pé da altura relativa à hipotenusa.
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Aula 5 – data:__________________
2) Produto Vetorial
Dados os vetores ݑሬ⃗= ݔଵଓ⃗+ ݕଵଔ⃗+ ݖଵሬ⃗݇ e ⃗ݒ= ݔଶଓ⃗+ ݕଶଔ⃗+ ݖଶሬ⃗݇, tomados nesta ordem, chama-se
produto vetorial dos vetores ݑሬሬሬ⃗ e ⃗ݒ, e se representa por ݑሬሬሬ⃗× ⃗ݒ ou ݑሬ⃗∧ ⃗ݒ o vetor:
ݑሬሬሬ⃗× ⃗ݒ= (yଵzଶ− zଵyଶ)ı⃗ − (xଵzଶ− zଵxଶ)ଌ⃗+ (xଵyଶ− yଵxଶ)kሬ⃗
Podemos também calcular o produto vetorial através de um determinante “fictício”, mostrado
abaixo:
ݑሬ⃗× ⃗ݒ= ቮଓ⃗ ଔ⃗ ሬ⃗݇ݔଵ ݕଵ ݖଵ
ݔଶ ݕଶ ݖଶ
ቮ
Exemplo: Calcule o produto vetorial dos vetores ݑሬ⃗= 5ଓ⃗+ 4ଔ⃗+ 3ሬ⃗݇e ⃗ݒ= ଓ⃗+ ሬ⃗݇.
Propriedades:
I) ݑሬ⃗× ݑሬ⃗= 0ሬ⃗
II) ݑሬ⃗× ⃗ݒ= −⃗ݒ× ݑሬ⃗ (o P.V. não é comutativo)
III) ݑሬ⃗× (⃗ݒ+ ݓሬሬ⃗) = ݑሬ⃗× ⃗ݒ+ ݑሬ⃗× ݓሬሬ⃗
IV) (݉ .ݑሬ⃗) × ⃗ݒ= ݉ . (ݑሬ⃗× ⃗ݒ) = ݑሬ⃗× (݉ . ⃗ݒ)
V) ݑሬ⃗× ⃗ݒ= 0ሬ⃗ se, e somente se, um dos vetores é nulo ou se ݑሬ⃗ e ⃗ݒ são colineares.
VI) ݑሬ⃗× ⃗ݒ é ortogonal simultaneamente aos vetores ݑሬ⃗e ⃗ݒ.
VII) Os vetores u , v e u x v tem as direções das arestas de um triedro Oxyz direto (se um
saca-rolhas, girando de um ângulo menor do que  , de Ox para Oy, avançar no sentido positivo
de Oz, o triedro é direto).
ݑሬ⃗× ⃗ݒ ⃗ݒ
ݑሬ⃗
⃗ݒ× ݑሬ⃗
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VIII) |ݑሬ⃗× ⃗ݒ| = |ݑሬ⃗|. |⃗ݒ|. ݁ݏ ݊ߠ
Interpretação Geométrica do Módulo do Produto Vetorial de Dois Vetores
Geometricamente, o módulo do produto vetorial dos vetores u e v mede a área do
paralelogramo ABCD determinado pelos vetores ݑሬ⃗= ܣܤሬሬሬሬሬ⃗ e ⃗ݒ= ܣܥሬሬሬሬሬ⃗.
B
ݑሬ⃗ h
θ
A ⃗ݒ C|ݑሬ⃗× ⃗ݒ| = ௣ܵ௔௥௔௟௘௟௢௚௥௔௠ ௢
3) Produto Misto
Dados os vetores ݑሬ⃗= ݔଵଓ⃗+ ݕଵଔ⃗+ ݖଵሬ⃗݇ , ⃗ݒ= ݔଶଓ⃗+ ݕଶଔ⃗+ ݖଶሬ⃗݇ e ݓሬሬ⃗= ݔଷଓ⃗+ ݕଷଔ⃗+ ݖଷሬ⃗݇, tomados
nesta ordem, chama-se produto misto dos vetores ݑሬሬሬ⃗ , ⃗ݒ e ݓሬሬ⃗, e se representa por (ݑሬሬሬ⃗, ⃗ݒ,ݓሬሬ⃗ ) o número
real :
(ݑሬሬሬ⃗, ⃗ݒ,ݓሬሬ⃗) = ݑሬ⃗. (⃗ݒ× ݓሬሬ⃗) ou (ݑሬሬሬ⃗, ⃗ݒ,ݓሬሬ⃗) = อxଵ yଵ zଵxଶ yଶ zଶxଷ yଷ zଷอ
Exemplo: Calcular o produto misto dos vetores ݑሬ⃗= 2ଓ⃗+ 3ଔ⃗+ 5ሬ⃗݇, ⃗ݒ= −ଓ⃗+ 3ଔ⃗+ 3ሬ⃗݇ e ݓሬሬ⃗= 4ଓ⃗− 3ଔ⃗+2ሬ⃗݇.
Propriedades:
I) (ݑሬሬሬ⃗, ⃗ݒ,ݓሬሬ⃗) = 0 se um dos vetores é nulo, se dois deles são colineares, ou se os três são
coplanares.
Repetindo: se ݑሬሬሬ⃗, ⃗ݒe ݓሬሬ⃗ são coplanares, (ݑሬሬሬ⃗, ⃗ݒ,ݓሬሬ⃗) = 0 . Esta propriedade é de fundamental
importância em vários tópicos a serem estudados.
De forma análoga, dizemos que quatro pontos A, B, C e D pertencem a um mesmo plano
se os vetores ܣܤሬሬሬሬሬ⃗, ܣܥሬሬሬሬሬ⃗ e ܣܦሬሬሬሬሬ⃗ forem coplanares, isto é, se ൫ܣܤሬሬሬሬሬ⃗,ܣܥሬሬሬሬሬ⃗,ܣܦሬሬሬሬሬ⃗൯= 0.
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3 vetores coplanares 3 vetores não coplanares
Observação: O produto vetorial e o produto misto não são definidos em 2 .
Interpretação Geométrica do Módulo do Produto Misto
Geometricamente, o produto misto ).( wvu   é igual, em módulo, ao volume do
paralelepípedo de arestas determinadas pelos
vetores ݑሬ⃗= ܣܦሬሬሬሬሬ⃗, ⃗ݒ= ܣܤሬሬሬሬሬ⃗݁ݓሬሬ⃗= ܣܥሬሬሬሬሬ⃗.
ܸ = |ݑሬ⃗. (⃗ݒ× ݓሬሬ⃗)| = |(ݑሬሬሬ⃗, ⃗ݒ,ݓሬሬ⃗)|
Volume do Tetraedro
Todo paralelepípedo é equivalente a dois prismas triangulares iguais. Como todo prisma
triangular equivale a três pirâmides (que no caso são tetraedros) de base e altura equivalentes à
base e à altura do prisma, o volume de cada uma destas pirâmides é 1/6 do volume do paralelepípedo.
Sendo A, B, C e D quatro pontos do espaço, não situados num mesmo plano, e três a três não
colineares, as arestas do paralelepípedo são determinadas pelos vetores ܣܤሬሬሬሬሬ⃗, ܣܥሬሬሬሬሬ⃗ e ܣܦሬሬሬሬሬ⃗ e, portanto,
o volume do tetraedro ABCD é: ܸ = ଵ
଺
൫ܣܤሬሬሬሬሬ⃗,ܣܥ,ሬሬሬሬሬሬ⃗ ܣܦሬሬሬሬሬ⃗൯
D
C
A
B
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Exercícios:
1) Determinar um vetor unitário simultaneamente ortogonal aos vetores ݑሬ⃗= (2,−6,3) e ⃗ݒ= (4,3,1).
2) Dados os vetores ݑሬ⃗= (1,2,−1) e ⃗ݒ= (0,−1,3), calcular a área do paralelogramo determinado
pelos vetores 3.ݑሬ⃗ e ⃗ݒ− ݑሬ⃗.
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3) Calcular a área do triângulo de vértices A(1, -2, 1), B(2, -1, 4) e C( -1, -3, 3).
4) Qual deve ser o valor de m para que os vetores ܽ⃗= (݉ , 2,−1), ሬܾ⃗= (1,−1,3) ݁ܿ⃗= (0,−2,4) sejam
coplanares?
5) Dados os vetores ݑሬ⃗= (ݔ, 5,0), ⃗ݒ= (3,−2, 1) ݁ݓሬሬ⃗= (1, 1,−1), calcular o valor de x para que o
volume do paralelepípedo determinado por ݑሬሬሬ⃗, ⃗ݒ,ݓሬሬ⃗ seja 24 u. v.
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Aula 6 – data:__________________
ESTUDO DA RETA
1) Equação vetorial da reta
Uma reta r está perfeitamente determinada quando conhecemos um ponto por onde ela passa
e um vetor que dá a direção dela (chamado vetor diretor da reta).
Consideremos o ponto ܣ(ݔଵ,ݕଵ,ݖଵ) pertencente à reta r e o vetor diretor ⃗ݒ. Seja P(x,y,z) um
ponto qualquer de r. Os vetores ܣܲሬሬሬሬሬ⃗݁⃗ݒ são colineares. Logo, ܣܲሬሬሬሬሬ⃗= ݐ. ⃗ݒ, com t ÆR.
ܣܲሬሬሬሬሬ⃗= ݐ. ⃗ݒ ⟹ ܲ− ܣ = ݐ. ⃗ݒ ⇒ ܲ = ܣ+ ݐ. ⃗ݒ ⟹ (ݔ,ݕ,ݖ) = (ݔଵ,ݕଵ,ݖଵ) + ݐ. ( ,ܽ ,ܾ )ܿ, ݋݊ ݀݁⃗ݒ= ( ,ܽ ,ܾ )ܿ
(1)
De (1) , tiramos as equações paramétricas de r.
2) Equações Paramétricas da reta.
൝
ݔ= ݔଵ + ܽݐ
ݕ= ݕଵ + ܾݐ
ݖ= ݖଵ + ܿݐ�,ݐ ∈ ܴ , onde ܣ(ݔଵ,ݕଵ,ݖଵ) é um ponto pertencente à reta e ⃗ݒ= ( ,ܽ ,ܾ )ܿ é o vetor
diretor ⃗ݒ.
A reta r é o conjunto de todos os pontos (x, y, z) determinados pelas equações paramétricas
quando t varia de -∞ a +∞.
Exemplo 1: Encontre as equações paramétricas da reta r, que passa pelo ponto A(3, -1, 2) e é
paralela ao vetor ⃗ݒ= (−3,−2, 1).
Exemplo 2: Encontre as equações paramétricas da reta r, que passa pelos pontos A(1, -2, -3)
e B( 3, 1, -4).
3) Equações Simétricas da reta.
Das equações paramétricas, supondo a.b.c ≠ 0, temos:
ݐ= ݔ− ݔଵ
ܽ
, ݐ= ݕ− ݕଵ
ܾ
, ݐ= ݖ− ݖଵ
ܿ
Logo:
ݔ− ݔଵ
ܽ
= ݕ− ݕଵ
ܾ
= ݖ− ݖଵ
ܿ
Que são as equações simétricas da reta que passa pelo ponto ܣ(ݔଵ,ݕଵ,ݖଵ) e tem vetor diretor
⃗ݒ= ( ,ܽ ,ܾ )ܿ
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Exemplo 1: Encontre as equações simétricas da reta r, que passa pelos pontos A(2, 1, -3) e
B(4, 0, -2).
Exemplo 2: Verifique se os pontos A(5, 2, -6), B(-1, -4, -3) e C(7, 4, -7) estão alinhados.
Retas paralelas aos Planos e aos Eixos Coordenados
1) Duas das componentes do vetor diretor são nulas:
1.1) Seja ⃗ݒ= ( ,ܽ 0,0). Então ⃗ݒ= ( ,ܽ 0,0) = .ܽ (1,0,0) = .ܽ ଓ⃗. Logo ⃗ݒ//ଓሬ⃗⇒ ⃗ݒ//݁݅ ݔ݋ݔ .
z
⃗ݒ= ( ,ܽ 0,0)
Reta paralela ao eixo x
r
ଓ⃗=(1,0,0) y
x
1.2) Seja ⃗ݒ= (0, ,ܾ 0). Então ⃗ݒ= (0, ,ܾ 0) = .ܾ (0,1,0) = .ܾ ଔ⃗. Logo ⃗ݒ//ଔ⃗⇒ ⃗ݒ//݁݅ ݔ݋ݕ .
z ⃗ݒ= (0, ,ܾ 0)
r
Reta paralela ao eixo y
ଔ⃗= (0,1,0) y
x
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1.3) Seja ⃗ݒ= (0,0, )ܿ. Então ⃗ݒ= (0,0, )ܿ = .ܿ (0,0,1) = .ܿ ሬ⃗݇. Logo ⃗ݒ//ሬ⃗݇⇒ ⃗ݒ//݁݅ ݔ݋ݖ.
z ⃗ݒ= (0,0, )ܿ
r
Reta paralela ao eixo z
ሬ⃗݇= (0,0,1) y
x
2) Uma componente do vetor diretor é nula:
2.1) Seja ⃗ݒ= (0, ,ܾ )ܿ. Então ⃗ݒ. ଓ⃗= (0, ,ܾ )ܿ. (1,0,0) = 0. Logo ⃗ݒ⊥ ଓ⃗⇒ ݎ//݌݈ܽ ݊݋ݕݖ.
Equações simétricas:
ቊ
ݔ= ݔଵ
ݕ− ݕଵ
ܾ
= ݖ− ݖଵ
ܿ
�2.2) Seja ⃗ݒ= ( ,ܽ 0, )ܿ. Então ⃗ݒ. ଔ⃗= ( ,ܽ 0, )ܿ. (0,1,0) = 0. Logo ⃗ݒ⊥ ଔ⃗⇒ ݎ//݌݈ܽ ݊݋ݔݖ.
ቊ
ݕ= ݕଵ
ݔ− ݔଵ
ܽ
= ݖ− ݖଵ
ܿ
�
2.3) Seja ⃗ݒ= ( ,ܽ ,ܾ 0). Então ⃗ݒ. ሬ⃗݇= ( ,ܽ ,ܾ 0). (0,0,1) = 0. Logo ⃗ݒ⊥ ሬ⃗݇⇒ ݎ//݌݈ܽ ݊݋ݔݕ .
ቊ
ݖ= ݖଵ
ݔ− ݔଵ
ܽ
= ݕ− ݕଵ
ܾ
�
Exercícios:
1) Determinar as equações da reta que passa pelo ponto A(-2, 3, -2) e tem a direção do vetor
⃗ݒ= 3ଓ⃗+ 2ሬ⃗݇.
2) Estabelecer as equações da reta que passa pelos pontos A(1, 0, 9) e B(4, 8, 9).
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3) Determinar as equações da reta que passa pelo ponto A(0, 3, -2) e tem a direção do vetor ⃗ݒ= 2ଓ⃗.
Ângulo de duas retas
O ângulo entre duas retas r1 e r2 é o menor ângulo entre o vetor diretor de r1 e o vetor diretor de r2.
݋ܿݏߠ= |ݒଵ.ሬሬሬሬሬ⃗ݒଶሬሬሬሬ⃗||ݒଵሬሬሬሬ⃗|. |ݒଶሬሬሬሬ⃗| , ݋ܿ݉ 0 ≤ ߠ≤ ߨ2
Exercício: Calcular o ângulo entre as retas ݎଵ:൝ ݔ= 3 + ݐݕ= ݐ
ݖ= −1 − 2ݐ�e ݎଶ: ௫ାଶିଶ = ௬ିଷଵ = ݖ.
OBS1: Duas retas são paralelas quando seus vetores diretores são paralelos (vetores diretores têm
componentes proporcionais).
OBS2: Duas retas são ortogonais quando seus vetores diretores são ortogonais ( ݒଵ.ሬሬሬሬሬ⃗ݒଶሬሬሬሬ⃗= 0)
Exercício: Calcular o valor de m para que as retas abaixo sejam ortogonais.
ݎଵ:ቄݕ= ݉ݔ− 3
ݖ= −2ݔ �݁ ݎଶ:൝ݔ= −1 + 2ݐݕ= 3 − ݐ
ݖ= 5ݐ �
OBS3: Sejam as retas: r1 que passa pelo ponto A1 e tem a direção do vetor ݒଵሬሬሬሬ⃗
r2 que passa pelo ponto A2 e tem a direção do vetor ݒଶሬሬሬሬ⃗
As retas r1 e r2 são coplanares se os vetores ݒଵሬሬሬሬ⃗, ݒଶሬሬሬሬ⃗ e ܣଵܣଶሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬ⃗ forem coplanares, isto é ൫ݒଵሬሬሬሬ⃗,ݒଶሬሬሬሬ⃗,ܣଵܣଶሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬ⃗൯= 0
r1
r2
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Aula 7 – data:__________________
POSIÇÃO RELATIVA DE DUAS RETAS
1) Coplanares: concorrentes ou paralelas
r1 r1
r2 r2
2) Reversas:
r1 r2
Exemplos:
1) Estudar a posição relativa das retas:
)ܽ ݎଵ: ቄݕ= 2ݔ− 3
ݖ= −ݔ �݁ ݎଶ: ൝ݔ= 1 − 3ݐݕ= 4 − 6ݐ
ݖ= 3ݐ �
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)ܾ ݎଵ: ݔ2 = 1 − ݕ= ݖ݁ݎଶ: ൝ݔ= 2 − 4ݐݕ= 2ݐ
ݖ= −2ݐ+ 1�
)ܿ ݎଵ: ݔ− 22 = ݕ3 = ݖ− 54 ݁ݎଶ: ൝ݔ= 5 + ݐݕ= 2 − ݐ
ݖ= 7 − 2ݐ�
݀) ݎଵ: ቄݕ= 3
ݖ= 2ݔ ݁ ݎଶ�:ݔ= ݕ= ݖ
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Aula 8 – data:__________________
ESTUDO DO PLANO
1) Equação geral do plano
Um plano π está perfeitamente determinado quando conhecemos um ponto pertencente ao
plano ܣ(ݔଵ,ݕଵ,ݖଵ) e um vetor normal ሬ⃗݊= ܽଓ⃗+ ܾଔ⃗+ ܿ݇ሬ⃗ .
Consideremos o ponto ܣ(ݔଵ,ݕଵ,ݖଵ) pertencente ao plano π e o vetor normal ሬ⃗݊. Seja P(x, y, z)
um ponto qualquer de π. Os vetores ܣܲሬሬሬሬሬ⃗݁ ሬ⃗݊ são perpendiculares. Logo, ܣܲሬሬሬሬሬ⃗. ሬ⃗݊= 0.
ሬ⃗݊ A(ݔଵ,ݕଵ,ݖଵ)
P(x, y, z)
ܣܲሬሬሬሬሬሬ⃗. ሬ݊ሬሬ⃗= 0 ⟹ ( ,ܽ ,ܾ )ܿ. (ݔ− ݔଵ,ݕ− ݕଵ,ݖ− ݖଵ) = 0 ݋݊ ݀݁ ሬ⃗݊= ( ,ܽ ,ܾ )ܿ . Logo,(ܽݔ− ݔଵ) + (ܾݕ− ݕଵ) + (ܿݖ− ݖଵ) = 0 ⟹ ܽݔ+ ܾݕ+ ܿݖ− ܽݔଵ− ܾݕଵ− ܿݖଵ = 0
Fazendo: −ܽݔଵ− ܾݕଵ− ܿݖଵ = ݀ , temos ܽݔ+ ܾݕ+ ܿݖ+ ݀ = 0.
Portanto, a equação geral do plano é :
ߨ ∶ ܽݔ+ ܾݕ+ ܿݖ+ ݀ = 0
com ሬ⃗݊= ( ,ܽ ,ܾ )ܿ.
Obs: Se ሬ⃗݊é um vetor normal ao plano, então ݇ሬ⃗݊ também é normal ao plano.
Exemplos: 1) Determinar a equação geral do plano π que passa pelo ponto (2, -1, 3), sendo
ሬ⃗݊= (3, 2,−4) um vetor normal a π.
2) Escrever a equação cartesiana do plano que passa pelo ponto (3, 1, -4) e é paralelo ao plano2ݔ− 3ݕ+ ݖ− 6 = 0
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3) Estabelecer a equação geral do plano mediador do segmento AB, dados A(2, -1, 4) e B(4, -3, -2).
(plano mediador de um segmento é o plano perpendicular ao segmento, passando pelo ponto
médio)
4) Determinar a equação geral do plano que passa pelo ponto (2, 1, -2) e é perpendicular à reta
ݎଵ:൝ݔ= −4 + 3ݐݕ= 1 + 2ݐ
ݖ= ݐ �
5) Determinar a equação geral do plano que passa pelo ponto (1, -3, 4) e é paralelo aos vetores
ݒଵሬሬሬሬ⃗= (3, 1,−2)݁ݒଶሬሬሬሬ⃗= (1,−1, 1)
6) Estabelecer a equação geral do plano determinado pelos pontos (2, 1, -1), (0, -1, 1) e (1, 2, 1).
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7) Calcular os valores de m e n para que o plano ߨଵ: (2݉ − 1)ݔ− 2ݕ+ ݊ݖ− 3 = 0 seja paralelo ao
plano ߨଶ: 4ݔ+ 4ݕ− ݖ= 0
8) Verificar se a reta ݎ: ௫ିଶ
ଷ
= ௬ାଵ
ିଶ
= ௭
ିଵ
é perpendicular ao plano ߨ: 9ݔ− 6ݕ− 3ݖ+ 5 = 0
9) Determine os valores de m e n para que a reta ݎ:൝ ݔ= 2 + ݐݕ= 1 + ݐ
ݖ= −3 − 2ݐ�esteja contida no plano
ߨ:݉ݔ+ ݊ݕ+ 2ݖ− 1 = 0
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LISTAS
DE
EXERCÍCIOS
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Professora: Cristiane Pinho Guedes
Lista nº 1 - Matrizes
1) Um construtor tem contratos para construir 3 estilos de casa: moderno, mediterrâneo e colonial. A
quantidade de material empregada em cada tipo de casa é dada pela matriz:
Moderno
Mediterraneo
Colonial
Ferro Madeira Vidro T a Tijoloint
5 20 16 7 17
7 18 12 9 21
6 25 8 5 13
a) Se ele construir 5, 7 e 12 casas do tipo moderno, mediterrâneo e colonial, respectivamente,
quantas unidades de cada material serão empregadas?
b) Suponha agora que os preços por unidade de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo sejam
respectivamente 15, 8, 5, 1 e 10 reais. Qual é o preço unitário de cada tipo de casa?
c) Qual o custo total do material empregado?
2) Uma rede de comunicação tem cinco locais com transmissões de potências distintas.
Estabelecemos que aij  1 na matriz abaixo significa que a estação i pode transmitir diretamente à
estação j, aij  0 significa que a transmissão da estação i não alcança a estação j. Observe que a
diagonal principal é nula significando que uma estação não transmite diretamente para si mesma.
A 
















0 1 1 1 1
1 0 1 1 0
0 1 0 1 0
0 0 1 0 1
0 0 0 1 0
Qual seria o significado da matriz A2 ?
a) Calcule A2 .
b) Qual o significado de c13 2 ?
c) Discuta o significado dos termos nulos, iguais a 1 e maiores que 1 de modo a justificar a
afirmação: “ A matriz A2 representa o número de caminhos disponíveis para se ir de uma estação a
outra com uma única retransmissão”.
d) Qual o significado das matrizes A A A 2 3, ?
e) Se A fosse simétrica o que significaria?
3) Existem 3 tipos de marcas de automóveis disponíveis no mercado: o Jacaré, o Piranha e o Urubu.
O termo aij da matriz A abaixo é a probabilidade de que um dono de carro da linha i mude para o
carro da coluna j, quando comprar um carro novo.
Para
De
0 7 0 2 0 1
0 3 0 5 0 2
0 4 0 4 0 2
, , ,
, , ,
, , ,










Os termos da diagonal dão a probabilidade a ii de se comprar um carro da
mesma marca. Calcule A2 e interprete.
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Professora: Cristiane Pinho Guedes
Lista nº 2 – Matriz Inversa
Nos problemas 1 a 17, calcular a matriz inversa de cada uma das matrizes dadas.
1) ܣ = ቀ3 51 2ቁ 2) ܤ = ൭−3 4 −50 1 23 −5 4൱ 3) ܥ = ቌ
1 0 0 02 1 0 034 23 12 01ቍ
4)ܦ = ൭ 1 0 −22 −2 −2
−3 0 2൱ 5)ܧ = ൭−4 0 −10−2 −4 −42 −2 6൱ 6)ܨ = ൭−3 −6 −120 3 −3−6 −9 −24൱
7) ܩ = ൭−1 10 −7−1 −4 31 −2 1൱ 8) ܪ = ൭2 2 23 4 71 2 5൱ 9) ܬ= ൭−1 −2 −3−2 −4 −5−3 −5 −6൱
10) ܮ= ൭−3 −1 −32 −4 −11 −2 −2൱ 11) ܯ = ൭−1 0 0−1 −1 0−1 −1 −1൱ 12) ܰ = ൭ 1 −2 −4−2 −1 23 0 −5൱
13) ܲ = ൭ 0 2 −11 4 −2
−1 −7 3൱ 14) ܳ = ൭−1 −1 −1−3 −3 −4−3 −4 −3൱ 15) ܴ = ൭2 0 00 3 00 0 7൱
16) ܵ= ൭0 0 50 6 09 0 0൱ 17) ܶ = ቌ
−1 2 0 −80 −1 2 100 00 −10 1−1ቍ
Nos problemas 18 a 23, supondo as matrizes quadradas e inversíveis, resolver as equações
matriciais na variável X.18) ܣ.ܦ .ܺ = ܣ.ܤ.ܥ 19) ܦ.்ܺ = ܦ .ܥ 20) ܣ.ܤ.ܥ.ܺଶ.ܦଶ = ܣ.ܤ.ܥ.ܺ21) ܦିଵ.ܺ.ܦ = ܣ.ܥ 22) ܥ.ܺ + 2.ܤ = 3.ܤ
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RESPOSTAS:
1) ܣିଵ = ቀ 2 −5
−1 3ቁ 2) ܤିଵ = ቌ− ଵସଷ − ଽଷ − ଵଷଷ−2 −1 −21 1 1ቍ 3) ܥିଵ = ቌ
1 0 0 0
−2 1 0 010 −21 1−2 01ቍ
4) ܦିଵ =
⎝
⎛
−1 2ൗ 0 −1 2ൗ1 4ൗ −1 2ൗ −1 4ൗ
−3 4ൗ 0 −1 4ൗ ⎠⎞ 5) ܧିଵ = ⎝⎛
−4 5 2ൗ −51 2ൗ − 1 2ൗ 1 2ൗ3 2ൗ −1 2 ⎠⎞ 6) ܨିଵ = ⎝⎛
11 3ൗ 4 3ൗ −2
−2 3ൗ 0 1 3ൗ
−2 3ൗ −1 3ൗ 1 3ൗ ⎠⎞
7) ܩିଵ =
⎝
⎛
−1 2ൗ −1 −1 2ൗ
−1 −3 2ൗ −5 2ൗ3 2ൗ −2 −7 2ൗ ⎠⎞ 8) ∄ܪିଵ 9) ܬିଵ = ൭
−1 3 −23 −3 1
−2 1 0൱
10) ܮିଵ = ൭ 6 4 −115 3 −9
−8 −5 14 ൱ 11) ܯ ିଵ = ൭−1 0 01 −1 00 1 −1൱ 12) ܰିଵ = ൭ 5 −10 −8−4 7 63 −6 −5൱
13) ܲିଵ = ൭−2 1 0−1 −1 −1
−3 −2 −2൱ 14) ܳିଵ = ൭−7 1 13 0 −13 −1 0൱ 15) ܴିଵ =
⎝
⎛
1 2ൗ 0 00 1 3ൗ 00 0 1 7ൗ ⎠⎞ 16)
ܵିଵ =
⎝
⎛
0 01 9ൗ0 1 6ൗ 01 5ൗ 0 0 ⎠⎞ 17) ܶିଵ = ቌ
−1 −2 −4 20 −1 −2 −300 00 −10 −1−1ቍ
18) ܺ = ܦିଵ.ܤ.ܥ 19) ܺ = ܥ் 20) ܺ = ܦିଵ 21) ܺ = ܦ .ܣ.ܥ.ܦିଵ
22) ܺ = ܥିଵ.ܤ
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Lista nº 3
Sistemas Lineares
1) Classificar e resolver os sistemas:
a
x y z
x y z
x y z
b
x y z
y z
c
x y z
x y z
x y z
d
x y z
x y z
x y z
e
x y z
x
)
)
)
)
)
2 3 2 2
3 5 4 5
2 7 24
4 6 0
3
2
6 9 0
2 3 10
3 4 6 23
3 2 3 10
5 3 7 5
4 2
2 4 8 10
3 9 12 24
4 16
  
  
   





  
   





  
  
  





   
  
   





  
 y z
x y z
f
x y z
x y z
g
x y z
x y z
x y z
h
x y
y z
x y z
 
  





  
   



  
  
  





 
 
  





26 46
7 14 20
6 2 4 0
9 3 6 0
4 6 11
2 3 4 9
3 2 2 7
0
2 4 6
4 6
)
)
)
2) Resolva o sistema:
   
   
    
   







2 2 5
3 2 2 3
4 2 3 12
3 2 10
a b d
a b c d
a b c d
a b c d
Resp: 1) a) SPD S={( 1, 2, 3)} b) SPI S={( 1,
4
61 z , z)} c) SI S= 
d) SPD S={( 1, 1, 1)} e) SI S=  f) SPI S= {( x, -3x - 2z, z)}
g) SPI S= {( ( 3 + 2z)/5, (13 - 8z)/5, z)} h) SPI S={( y, y,
2
3 y )}
2) S={( 22, 25, 7, 37)}
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Lista nº 4
Sistemas Lineares – Discussão
1) Resolva e classifique os sistemas abaixo:
)ܽ ൝3ݔ+ 2ݕ− 5ݖ= 82ݔ− 4ݕ− 2ݖ= −4
ݔ− 2ݕ− 3ݖ= −4 �
b) ൝
2ݔ+ 4ݕ+ 6ݖ= −63ݔ− 2ݕ− 4ݖ= −38
ݔ+ 2ݕ+ 3ݖ= −3 �
c) ൝
ݔ+ ݕ− ݖ= 02ݔ− 3ݕ+ ݖ= 04ݔ− 4ݕ− 2ݖ= 0�
d) ൝
ݔ+ 3ݖ= −82ݔ− 4ݕ= −43ݔ− 2ݕ− 5ݖ= 26�
2) Estabelecer a condição que deve ser satisfeita pelos termos independentes x, y e z para que os
sistemas abaixo sejam compatíveis (possíveis).
a) ൝
ଵܽ + 2 ଶܽ = ݔ
−3 ଵܽ + 4 ଶܽ = ݕ2 ଵܽ− ଶܽ = ݖ �
b) ൝
ܽ+ 2ܾ= ݔ
−2ܽ+ ܾ= ݕ
−ܽ+ ܾ= ݖ�
3) Resolver, em função de x e y, o sistema:
൜
3ܽ+ 5ܾ= ݔ
ܽ+ 2ܾ= ݕ�
4) Determinar o valor de k para que o sistema abaixo admita solução não trivial:
൝
ݔ− ݕ− ݖ= 0
ݔ− 2ݕ− 2ݖ= 02ݔ+ ݇ݕ+ ݖ= 0�
GABARITO:
1) a) S = {( 3, 2, 1)}
b) S = ቄቀିସଵା௭
ସ
, ଶଽି ଵଷ௭
଼
,ݖቁቅ
c) S = {( 0, 0, 0)}
d) S = {( 4, 3, -4)}
2) a) x = y + 2z
b) x = 5z – 3y
3) a = 2x – 5y e b = 3y – x
4) k = 1
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Lista de exercícios nº 5 - Vetores
1) Determinar a extremidade do segmento que representa o vetor ⃗ݒ = (2, -5), sabendo que sua origem é o
ponto A (-1, 3).
2) Dados os vetores ݑሬ⃗= (3, -1) e ⃗ݒ = (-1, 2), determinar o vetor ݓሬሬ⃗ tal que
a) 4 (ݑሬ⃗ - ⃗ݒ) +
ଵ
ଷ
ݓሬሬ⃗ = 2 ݑሬ⃗ - ݓሬሬ⃗
b) 3 ݓሬሬ⃗ - (2 ⃗ݒ - ݑሬ⃗) = 2(4 ݓሬሬ⃗ - 3 ݑሬ⃗)
3) Dados os pontos A (-1, 3), B (2, 5) e C (3, -1), calcular ܱܣሬሬሬሬሬ⃗ - ܣܤሬሬሬሬሬ⃗, ܱܥሬሬሬሬሬ⃗− ܤܥሬሬሬሬሬ⃗ e 3 .ܤܣሬሬሬሬሬ⃗− 4 .ܥܤሬሬሬሬሬ⃗.
4) Dados os vetores ݑሬ⃗= (3,-4) e ⃗ݒ = (-9/4 , 3), verificar se existem números a e b tais que
ݑሬ⃗= a ⃗ݒ e ⃗ݒ = b ݑሬ⃗.
5) Dados os vetores ݑሬ⃗= (2,- 4), ⃗ݒ = (-5, 1) e ݓሬሬ⃗ = (-12,6), determinar 1k e 2k tal que ݓሬሬ⃗= 1k ݑሬ⃗+ + 2k ⃗ݒ.
6) Dados os pontos A (-1, 3), B (1, 0), C (2, -1), determinar D tal que ܦܥሬሬሬሬሬ⃗ = ܤܣሬሬሬሬሬ⃗.
7) Dados os pontos A (2, -3, 1) e B (4, 5, -2), determinar o ponto P tal que ܣܲሬሬሬሬሬ⃗= ܲܤሬሬሬሬሬ⃗.
8) Dados os pontos A (-1, 2, 3) e B (4, -2, 0), determinar o ponto P tal que ܣܲሬሬሬሬሬ⃗= 3.ܣܤሬሬሬሬሬ⃗.
9) Determinar o vetor v sabendo que (3, 7, 1) + 2 ⃗ݒ = (6, 10, 4) - ⃗ݒ.
10) Encontrar os números 1a e tais que ݓሬሬ⃗ = 2211 vava  , sendo 1v = (1, -2, 1), 2v = (2, 0,-4) e ݓሬሬ⃗ = (-4, -4,
14).
11) Determinar a e b de modo que os vetores ݑሬ⃗= (4, 1, -3) e ⃗ݒ = (6, a, b) sejam paralelos.
12) Verificar se são colineares os pontos:
a) A (-1, -5, 0), B (2, 1, 3) e C (-2, -7, -1)
b) A (2, 1, -1), B (3, -1, 0) e C (1, 0, 4)
13) Calcular a e b de modo que sejam colineares os pontos A (3, 1, -2), B (1, 5, 1) e C (a, b, 7).
14) Mostrar que os pontos A (4, 0, 1), B (5, 1, 3), C (3, 2, 5) e D (2, 1, 3) são vértices de um paralelogramo.
15) Determinar o simétrico do ponto P (3, 1, -2) em relação ao ponto A (-1, 0, -3).
GABARITO:
1) (1,-2) 2) a) ݓሬሬ⃗= (− ଵହ
ଶ
, ଵହ
ଶ
) b) ݓሬሬ⃗= (ଶଷ
ହ
,− ଵଵ
ହ
)
3) (-4, 1), (2, 5), (-5, -30) 4) a = - 4/3 , b = - ¾
5) k1 = -1 e k2 = 2 6) D(4, -4)
7) P(3, 1, -1/2 ) 8) (14, -10, -6)
9) ⃗ݒ= (1,1,1) 10) a1= 2 , a2 = -3
11) a = 3/2 e b = - 9/2 12) a) sim b) não
13) a = -3 e b = 13 15) (-5, -1, -4)
2a
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Lista de exercícios nº 6 - Vetores II
1) Dados ݑሬ⃗= (4,2) ݁ ⃗ݒ= (−3,5) o produto escalar ݑሬ⃗ . ⃗ݒ é igual a
a) -2 b)-1 c) 0 d) 1 e) 2
2) Se A = (7, -1), B = ( 0, 4) e C = (-2, 3), então, o produto escalar dos vetores ܣܤሬሬሬሬሬ⃗݁ܣܥሬሬሬሬሬ⃗ é
a) – 8 b) 15 c) 0 d) – 13 e) 9
3) O módulo do vetor (4, -2) é igual a
a) 5 b) 2 c) 4 d) 2√3 e) 2√5
4) Dados ݑሬ⃗= (3,−1) ݁⃗ݒ= (1,4), o módulo do vetor soma ݑሬ⃗+ ⃗ݒ é igual a
a) √27 b) 4 c) 5 d) 3√5 e) √10 + √17
5) O vetor ሬ݉ሬ⃗= ቀܽ , ଵ
ଷ
ቁé um vetor unitário se a =
a) ± ଶ
ଷ
b) ±2√2/3 c) ± ଵ
ଷ
d) ±√3 e) n r a
6) Um vetor unitário na direção da bissetriz do 1º e 3º quadrante é
a) ½ (1, 1) b) (1, 1) c) √2)(1, 1) d) √ଶ
ଶ
(1,1) e) n r a
7) A distância do ponto P( 8, -6) à origem do sistema cartesiano é
a) 6 b) 8 c) 10 d) 15 e) n r a
8) Os pontos A(1, 1), B(-2, 3) e C(3, -2) são os vértices de um triângulo cujo perímetro é
a) 2√13 + 5√2 b) √2 + √3 + √17 c) 2(√13 + √5) d) √102
9) Os pontos A(1, 0), B(0, 1) e C(2, 2) são os vértices de um triângulo
a) eqüilátero b) retângulo c) isósceles, mas não retângulo
d) escaleno e) n r a
10) Dado o triângulo de vértices A(0, 0(, B(5, -3) e C(3, -3), a medida da mediana relativa ao vértice A é
a) 5 b) 4 c) √17 d) √20
11) Na figura temos A = (2, 3), A’= (6, 9), AB ∥ A’B’. Se หܣܤሬሬሬሬሬ⃗ห= 3,5 , então ቚܣ'ܤ'ሬሬሬሬሬሬሬሬ⃗ቚ=
a) 7 b) 9 c) 10,5 d) 12
e) n r a
12) O ponto (x, 2x) é eqüidistante dos pontos (3, 0) e (-7, 0) para x =
a) -2 b) – 5/2 c) -3 d) 0 e) 7/2
13) Um vetor paralelo ao vetor (4, -2) é
a) (6, -4) b) (-2, 1) c) -2, 4) d) (1, ½)
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14) Um vetor ortogonal ao vetor (3, 6) é
a) (1, 2) b) (12, 6) c) (1, -2)
15) Os vetores (4, 7) e (2, y) são paralelos se y =
a) 3 b) 3,5 c) 4,5
16) Dados A(1, 0), B(2, 3) e C(5, y), os vetores
a) -4/3 b) 4/3 c) ¾
17) Dados ݑሬ⃗= (3,0) ݁ ⃗ݒ= (2,2), os vetores
a) 0 b) -1 c) ¾
18) Os pontos A(1, 1), B(4, 6) e C(6, -2) são os vértices de um triângulo
a) retângulo em A b) retângulo em B
d) isósceles, mas não retângulo
19) Se ݑሬ⃗= (ଵ
ଶ
, ଵ
ଷ
) ݁ ⃗ݒ= (ଵ
ଶ
, ଶ
ଷ
), então a ângulo formado pelos vetores
a) 30º b) 45º c) 60º d) 120º
20) O seno do ângulo formado pelos vetores
a) ½ b) 0 c) √3/2
21) Se dois vetores são unitários, então o seu produto escalar é
a) necessariamente 1b) necessariamente 0
d) a tangente do ângulo formado por eles
22) Se dois vetores são unitários e formam um ângulo de 30º, então o módulo da soma é
a) superior a 2 b) ඥ2 + √
23) Num triângulo equilátero ABC, de lado igual a 3, os produtos escalares
respectivamente
a) 9/2 e -9/2 b) 9/2 e 9/2
24) Os pontos (1, 1), (a, b) e (a2, b2) são colineares se e somente se
a) a = 1 b) a = b
e) a ≠ b ≠ 1 ≠a
25) Os pontos (1, 2), (0, a) e (a, 0) são vértices de um triângulo se e somente se
a) a = 0 b) a ≠ 1 e a ≠ -1
26) A( -1, -5), B(1, 3) e C(7, -5) são os
a) 16 b) 64
27) Dado o triângulo de vértices A(0, 0), B(a, a) e C(a,
pontos médios dos lados do triângulo ABC é
a) a/2 b) 2a²
28) O ponto P(x, 1) pertence a um dos lados do triângulo de vértices A(0, 2), B(5,
a) x = 5/3 ou x = 11/2 b) x = 2 ou x = 11/2
ou x = 17/3 d) x = 5/3 ou x = 13/3
29) Se o ponto P(x, y) pertence à reta que passa
e B(2, 3), então temos necessariamente
a) 2x – y = 1 b) x + y = 3
d ) x – y = 5 e) x + y = 5
14) Um vetor ortogonal ao vetor (3, 6) é
d) (-12, 6)
15) Os vetores (4, 7) e (2, y) são paralelos se y =
d) -8/7), B(2, 3) e C(5, y), os vetores ܣܥሬሬሬሬሬሬ⃗݁ܣܤሬሬሬሬሬ⃗ são ortogonais se y =
d) -3/4
, os vetores ⃗ݒ e ݑሬ⃗+ ݇⃗ݒ (k real) são ortogonais se k =
d) -3/4
2) são os vértices de um triângulo
b) retângulo em B c) retângulo em C
e) eqüilátero
, então a ângulo formado pelos vetores ݑሬ⃗+ ⃗ݒ e 2ݑሬ⃗−
5º c) 60º d) 120º
20) O seno do ângulo formado pelos vetores ܤܥሬሬሬሬሬሬ⃗݁ܣܤሬሬሬሬሬ⃗, sendo A = (0, 1), B = (2, 2) e C = (3, 0), é igual a
d) 1
21) Se dois vetores são unitários, então o seu produto escalar é
b) necessariamente 0c) o cosseno do ângulo formado por eles
d) a tangente do ângulo formado por eles
22) Se dois vetores são unitários e formam um ângulo de 30º, então o módulo da soma é
√3 c) √2 d) √3
ilátero ABC, de lado igual a 3, os produtos escalares ܣܥሬሬሬሬሬሬ⃗.ܣܤሬሬሬሬሬ⃗
c) ଽ√ଷ
ଶ
݁
ଽ√ଷ
ଶ
d) -9/2 e 9/2
) são colineares se e somente se
c) a = 1, b = 1 e a = bd) a = 1 ou b = 1 ou a = b
25) Os pontos (1, 2), (0, a) e (a, 0) são vértices de um triângulo se e somente se
c) a ≠ 0 e a ≠ 3 d) a = 2 ou a = 4
5) são os vértices de um triângulo cuja área é
c) 56 d) 32
27) Dado o triângulo de vértices A(0, 0), B(a, a) e C(a, -a), o valor da área do triângulo cujos vértices são os
pontos médios dos lados do triângulo ABC é
c) a² d) a²/2 e) a²/4
28) O ponto P(x, 1) pertence a um dos lados do triângulo de vértices A(0, 2), B(5, -
b) x = 2 ou x = 11/2 c) x = 2
d) x = 5/3 ou x = 13/3
29) Se o ponto P(x, y) pertence à reta que passa por A(1, 4)
e B(2, 3), então temos necessariamente
c) x – y = -3
e) x + y = 5
(k real) são ortogonais se k =
⃗ݒ é
, sendo A = (0, 1), B = (2, 2) e C = (3, 0), é igual a
c) o cosseno do ângulo formado por eles
22) Se dois vetores são unitários e formam um ângulo de 30º, então o módulo da soma é
ܣ⃗ܤ e ܤܥሬሬሬሬሬሬ⃗.ܣܤሬሬሬሬሬ⃗ valem
d) a = 1 ou b = 1 ou a = b
d) a = 2 ou a = 4
a), o valor da área do triângulo cujos vértices são os
-1) e C(6, 3) se
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30) Se a área hachurada na figura é igual a 16, então a vale
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) n r a
31) Dados os vetores ݑሬ⃗= (2, 4,−1) ݁ ⃗ݒ= (0, 1, 3)݀݋ℝଷ, o vetor ݓሬሬ⃗ que satisfaz a equação 3ݓሬሬ⃗+ ݑሬ⃗== ݓሬሬ⃗+ 2⃗ݒ
é
a) (2, 5, 2) b) (1, -1, 7/2 ) c) (1, 3, 5/2) d) (2, 3, -4) e) (6, 14, 0)
32) Dados A(1, 0, 1), B(2, 3, -1) e C(x, y, z), se ܣܥሬሬሬሬሬ⃗ = 3ܣܤሬሬሬሬሬ⃗, então, podemos concluir que x + y + z =
a) 18 b) 6 c) 12 d) 8 e) 10
33) Dados ݑሬ⃗= (1, 2,−1), ⃗ݒ= (3, 2,1) ݁ݓሬሬ⃗= (4, 0, 5), o produto escalar dos vetores 2ݑሬ⃗+ 3⃗ݒ ݁ ݑሬ⃗−−⃗ݒ+ 2ݓሬሬ⃗ é
a) 118 b) 128 c) 108 d) 8 e) n r a
34) Dados ݑሬ⃗= (1, 0, 0), ⃗ݒ= (1,1,0) ݁ݓሬሬ⃗= (1, 1, 1),o vetor (ݑሬ⃗. ⃗ݒ)ݓሬሬ⃗− (⃗ݒ.ݓሬሬ⃗)ݑሬ⃗é igual a
a) (1, 1, -1) b) (1, -1, 1) c) (-1, 1, 1) d) (-1, -1, 1) e) (1, -1, -1)
35) Qual dos vetores seguintes é um vetor unitário?
a) (1, 1, 1) b) (1/3, 1/3, 1/3) c) (1/2, -1/2, 0) d) (0, 1, -1) e) (8/9, 1/9, 4/9)
36) Se o vetor (4, 12, k) tem módulo 13, k pode ser
a) -3 b) 1 c) -10 d) 5
37) A medida do ângulo interno A do triângulo ABC, A = (1, 1, 1), B = (2, 0, 2) e C = (1, 3, 3) é
a) 45º b) 60º c) 30º d) 90º e) 120º
38) Se for verdadeira a igualdade |ݑሬ⃗. ⃗ݒ| = |ݑሬ⃗|. |⃗ݒ| podemos concluir que os vetores
a) são ortogonais b) são paralelos e de mesmo sentido c) são paralelos e de sentidos opostos
d) são paralelos, podendo ter o mesmo sentido ou sentidos opostos
e) não são paralelos, nem ortogonais
39) Um vetor paralelo ao vetor (8, 0, 2) é
a) (16, 0, 8) b) (4, 0, 4) c) (-16, 0, 4) d) (2, 0, ½)
40) Se os vetores (2, -1, 5) e (8, a, b) são paralelos, podemos concluir que a + b vale
a) 16 b) 20 c) 24 d) 4
41) Os vetores (1, 1, k) e (k, -1, 1) são ortogonais se k =
a) ±1 b) 2 c) ½ d) -1/2
42) Os pontos A(0, 1, 0), B(k, 1, 1) e C(k, k, -1) são os vértices de um triângulo retângulo em A se k=
a) ±1 b) 2 c) ½ d) -1/2
43) Os pontos A(1, -1, 3), B(2, 1, 7) e C(4, 2, 6) são
a) os vértices de um triângulo retângulo b) os vértices de um triângulo eqüilátero
c) os vértices de um triângulo isósceles e não retângulo
d) são colineares
44) Se o ponto P(x, y, z) pertence ao plano yz e eqüidista dos pontos A(1, 1, 0) e B(-1, 0, 1), podemos
concluir que
a) x = y = z b) x = 0 e y = z c) y = 0 e x = z d) x = 0 e y + z = 0
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GABARITO:
1) A 32) D
2) E 33) E
3) E 34) C
4) C 35) E
5) B 36) A
6) D 37) D
7) C 38) D
8) A 39) D
9) C 40) A
10) A 41) C
11) C 42) A
12) A 43) A
13) B 44) B
14) D
15) B
16) A
17) D
18) A
19) B
20) D
21) C
22) B
23) A
24) D
25) B
26) D
27) E
28) A
29) E
30) B
31) B
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Lista de exercícios nº 7 – Vetores – Produto Escalar.
1) Dados os vetores ݑሬ⃗ = (1, a, -2a - 1), ⃗ݒ = (a, a -1,1) e ݓሬሬ⃗ = (a, -1, 1), determinar a de modo que ݑሬ⃗. ⃗ݒ = (ݑሬ⃗ +
⃗ݒ) . ݓሬሬ⃗.
2) Dados os pontos A(-1, 0, 2), B(-4, 1, 1) e C(0, 1, 3), determinar ⃗ݔ o vetor tal que 2⃗ݔ - ܣܤሬሬሬሬሬ⃗ = ⃗ݔ + +(ܤܥሬሬሬሬሬ⃗ . ܣܤሬሬሬሬሬ⃗ )
ܣܥሬሬሬሬሬ⃗.
3) Determinar o vetor ⃗ݒ , sabendo que (3, 7, 1) + 2⃗ݒ = (6, 10, 4) - ⃗ݒ .
4) Dados os pontos A(1, 2, 3), B(-6, -2, 3) e C(1, 2, 1), determinar o versor do vetor 3ܤܣሬሬሬሬሬ⃗ -2ܤܥሬሬሬሬሬ⃗.
5) Verificar se são unitários os seguintes vetores: ݑሬ⃗=(1, 1, 1) e
1 2 1, ,
6 6 6
v    
 

6) Determinar o valor de n para que o vetor ⃗ݒ = (n, -4/5 , 2/5) seja unitário.
7) Seja o vetor ⃗ݒ = (m + 7) ଓ⃗+ (m + 2) ଔ⃗+ 5ሬ⃗݇. Calcular m para que I ⃗ݒ I = 38 .
8) Dados os pontos A(1, 0, -1), B(4, 2, 1) e C(1, 2, 0), determinar o valor de m para que 7v 

, sendo ⃗ݒ=
mܣܥሬሬሬሬሬ⃗ + ܤܥሬሬሬሬሬ⃗ .
9) Dados os pontos A(3, m - 1, -4) e B(8, 2m - 1, m), determinar m de modo que Iܣܤሬሬሬሬሬ⃗I= 35 .
10) Calcular o perímetro do triângulo de vértices A(0, 1, 2), B(-1, 0, -1) e C(2, -1, 0).
11) Obter um ponto P do eixo das abscissas eqüidistante dos pontos A(2, -3, 1) e B(-2, 1, -1).
12) Seja o triângulo de vértices A(-1, -2, 4), B(-4, -2, 0) e C(3, -2, 1). Determinar o ângulo interno ao vértice B.
13) Os pontos A, B e C são vértices de um triângulo eqüilátero cujo lado mede 10 cm. Calcular o produto
escalar dos vetores ܣܤሬሬሬሬሬ⃗ e ܣܥሬሬሬሬሬ⃗.
14) Os lados de um triângulo retângulo ABC (reto em A) medem 5, 12 e 13. Calcular ܣܤሬሬሬሬሬ⃗. ܣܥሬሬሬሬሬ⃗+ +ܤܣሬሬሬሬሬ⃗. ܤܥሬሬሬሬሬ⃗ +
ܥܣሬሬሬሬሬ⃗.ܥܤሬሬሬሬሬ⃗.
15) Determinar os ângulos do triângulo de vértices A(2, 1, 3), B(1, 0, -1) e C(-1, 2, 1).
16) Sabendo que o ângulo entre os vetores ݑሬ⃗ = (2,1, -1) e ⃗ݒ =(1, -1, m + 2) é
3

determinar m.
17) Calcular n para que seja de 30° o ângulo entre os vetores ݑሬ⃗=(1, n, 2) e ଔ⃗.
18) Dados os vetores ܽ⃗ = (2, 1,  ), ሬܾ⃗= ( + 2, -5, 2) e ܿ⃗= (2  , 8,  ), determinar o valor de  para que o
vetor ܽ⃗ + ሬܾ⃗ seja ortogonal ao vetor ܿ⃗ - ܽ⃗ .
19) Determinar o vetor ⃗ݒ, paralelo ao vetor ݑሬ⃗= (1, -1, 2), tal que ⃗ݒ . ݑሬ⃗ =-18.
20) Determinar o vetor ⃗ݒ ortogonal ao vetor ݑሬ⃗ = (2, -3, -12) e colinear ao vetor ݓሬሬ⃗ = (-6,4,-2).
21) Determinar o vetor ⃗ݒ , colinear ao vetor ݑሬ⃗ = (-4, 2, 6), tal que ⃗ݒ. ݓሬሬ⃗ = -12, sendo ݓሬሬ⃗ = (-1, 4, 2).
22) Provar que os pontos A(5, 1, 5), B(4, 3, 2) e C(-3, -2, 1) são vértices de um triângulo retângulo.
23) Qual o valor de a para que os vetores a = ଓ⃗+ 5ଔ⃗- 4ሬ⃗݇e b = ( + 1) ଓ⃗+ 2ଔ⃗+ 4ሬ⃗݇sejam ortogonais?
24) Verificar se existe ângulo reto no triângulo ABC, sendo A(2, 1, 3), B(3, 3, 5) e C(0, 4, 1).
25) Os ângulos diretores de um vetor podem ser de 45°, 60° e 90°? Justificar.
26) Os ângulos diretores de um vetor são 45°, 60° e y. Determinar y.
27) Determinar o vetor v, sabendo que I ⃗ݒ I = 5, v é ortogonal ao eixo Oz, ⃗ݒ . ݓሬሬ⃗ = 6 e ݓሬሬ⃗=2ଔ⃗+3ሬ⃗݇.
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28) Sabe-se que I ⃗ݒ I = 2, cos  = 1/2 e cos  = - 1/4 . Determinar ⃗ݒ .
29) Determinar um vetor unitário ortogonal ao vetor ⃗ݒ = (2, -1, 1).
30) Determinar um vetor de módulo 5 paralelo ao vetor ⃗ݒ = (1, -1, 2).
31) 0 vetor ⃗ݒ é ortogonal aos vetores ݑሬ⃗ =(2, -1, 3) e ݓሬሬ⃗ = (1, 0, -2) e forma ângulo agudo com o vetor ଔ⃗
. Calcular ⃗ݒ , sabendo que I ⃗ݒ I = 3 6
32) Determinar o vetor ⃗ݒ , ortogonal ao eixo Oz, que satisfaz as condições ⃗ݒ . ⃗ݒ1 =10 2.v v
 
=-5, sendo
⃗ݒ1 =(2,3,-1) e 2v

=(1,-1,2).
33) Determinar o vetor projeção do vetor ݑሬ⃗ = (1, 2, -3) na direção de ⃗ݒ =(2, 1, -2).
34) Qual o comprimento do vetor projeção de ݑሬ⃗ = (3, 5, 2) sobre o eixo dos x?
35) Se o vetor ܣܤሬሬሬሬሬ⃗ tem co-senos diretores p, q e r e ângulos diretores  e, , quais são os co-senos e
os ângulos diretores de ܤܣሬሬሬሬሬ⃗?
36) Mostrar que se u e ⃗ݒ são vetores, tal que ݑሬ⃗ + ⃗ݒ é ortogonal a ݑሬ⃗ - ⃗ݒ, então l ݑሬ⃗ I = l ⃗ݒ I
37) Mostrar que, se u é ortogonal a ⃗ݒ e ݓሬሬ⃗, ݑሬ⃗ é também ortogonal a ⃗ݒ + ݓሬሬ⃗.
38) Calcular o módulo dos vetores ݑሬ⃗ + ⃗ݒ e ݑሬ⃗ - ⃗ݒ, sabendo que I ݑሬ⃗ I = 4, I ⃗ݒ I= 3 e o ângulo entre ݑሬ⃗ e ⃗ݒ é de
60°.
39) Sabendo que I ݑሬ⃗ I = 2, I ⃗ݒ I =3 e que ݑሬ⃗ e ⃗ݒ formam um angulo de
4
3
, determinar I (2ݑሬ⃗ - ⃗ݒ) . (ݑሬ⃗ - 2⃗ݒ)I .
40) Determinar ݑሬ⃗. ⃗ݒ+ ݑሬ⃗. ݓሬሬ⃗+ ⃗ݒ. ݓሬሬ⃗, sabendo que ݑሬ⃗+ ⃗ݒ+ ݓሬሬ⃗= 0, I ݑሬ⃗ I= 2, I ⃗ݒ I= 3 , 5w 

41) 0 vetor ⃗ݒ é ortogonal aos vetores ܽ⃗ = (1, 2, 0) e ሬܾ⃗ = (1, 4, 3) e forma ângulo um agudo com o eixo dos x.
Determinar ⃗ݒ , sabendo que I ⃗ݒ I = 14.
Respostas dos Problemas Propostos:
1. a = 2
2. (-17, -13, -15)
3. (1, 1, 1)
4. (7/9, 4/9, 4/9)
5. ⃗ݒé unitário
6. ± √ହ
ହ
7. −4 ݋ݑ− 5
8. 3 ݋ݑ−13/5
9. −3 ou -1
10. 2(√11 + √3)
11. (1, 0, 0)
12. 45º
13. 50
14. 169
15. ܣመ= ܽܿݎ cos ଵ଴
ଷ√ଶ଼
ܤ෠= ܽܿݎ cos ଶ√଺
ଽ
ܥመ= ܽܿݎ cos ଶ
√ସଶ
16. m = - 4
17. ±√15
18. 3 ݋ݑ− 6
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19. (-3, 3, -6)
20. t . (3, -2, 1)
21. (2, -1, -3)
22. ܤܣሬሬሬሬሬ⃗.ܤܥሬሬሬሬሬ⃗ = 0
23. – 3 ou 2
24. ܣመ
25. não
26. 60º ou 120º
27. (4, 3, 0) ou (-4, 3, 0)
28. ⃗ݒ= ቀ1,− ଵ
ଶ
, ± √ଵଵ
ଶ
ቁ
29. Um deles é ቀ0, ଵ
√ଶ
, ଵ
√ଶ
ቁ
30. ቀ± ହ
√଺
,∓ ହ
√଺
, ±10/√6ቁ
31. (2, 7,1)
32. (−1,4,0)
33. ଵ଴
ଽ
(2,1,−1)
34. 3
35. –p, -q e –r ou π – α , π – β e π – γ
38. √37 ݁√13
39. 26 + 15√2
40. – 9
41. (12, -6, 4)
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Lista de exercícios nº 8 – Vetores – Produto Vetorial e Produto Misto .
1) Dados os vetores ݑሬ⃗ = (2, -1, 1), ⃗ݒ = (1, -1, 0) e ݓሬሬ⃗ = (-1, 2, 2), calcular:)ܽ ݓሬሬ⃗× ⃗ݒ )ܾ ⃗ݒ× (ݓሬሬ⃗− ݑሬ⃗) )ܿ(ݑሬ⃗+ ݒ)ሬሬሬሬ⃗× (ݑሬ⃗− ⃗ݒ) ݀)(2 ݑሬ⃗) × (3⃗ݒ) )݁(ݑሬ⃗× ݒ)ሬሬሬሬ⃗. (ݑሬ⃗× ⃗ݒ) )݂ (ݑሬ⃗×
ݒ)ሬሬሬሬ⃗.ݓሬሬ⃗݁ݑሬ⃗. (⃗ݒ× ݓሬሬ⃗) ݃) (ݑሬ⃗× ݒ)ሬሬሬሬ⃗× ݓሬሬ⃗݁ݑሬ⃗× (⃗ݒ× ݓሬሬ⃗) ℎ) (ݑሬ⃗+ ⃗ݒ). (ݑሬ⃗× ݓሬሬ⃗)
2 ) Dados os vetores ܽ⃗ = (1, 2, 1) e ሬܾ⃗= (2, 1, 0), calcular:)ܽ 2ܽ⃗× (ܽ⃗+ ሬܾ⃗) )ܾ (ܽ⃗+ 2 ሬܾ⃗) × (ܽ⃗− 2 ሬܾ⃗)
3) Dados os pontos A(2, -1, 2), B(1, 2, -1) e C(3, 2, 1), determinar o vetor ܥܤሬሬሬሬሬ⃗ x (ܤܥሬሬሬሬሬ⃗ - 2 ܥܣሬሬሬሬሬ⃗).
4) Determinar um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores 2ܽ⃗ + ሬܾ⃗ e ሬܾ⃗ - ܽ⃗, sendo ܽ⃗ = (3, -1, -2)
e ሬܾ⃗= (1, 0, -3).
5) Dados os vetores ܽ⃗ = (1, -1, 2), ሬܾ⃗ = (3, 4, -2) e ܿ⃗= (-5, 1, -4), mostrar que ܽ⃗ . ( ሬܾ⃗ x ܿ⃗) =
( ܽ⃗x ሬܾ⃗) . ܿ⃗.
6) Determinar o valor de m para que o vetor ݓሬሬ⃗ = (1, 2, m) seja simultaneamente ortogonal aos vetores ⃗ݒ1 =(2,-
1,0) e ⃗ݒ2 =(1,-3,-1).
7) Dados os vetores ⃗ݒ = 






2
,5, cba e ݓሬሬ⃗ = (-3a, x, y), determinar x e y para que ⃗ݒ x ݓሬሬ⃗=0.
8) Determinar um vetor unitário simultaneamente ortogonal aos vetores ⃗ݒi = (1, 1, 0) e ⃗ݒ2 = (2, -1, 3).
Nas mesmas condições, determinar um vetor de módulo 5.
9) Mostrar num gráfico um representante de cada um dos seguintes vetores:)ܽଔ⃗× 2ଓ⃗ )ܾ 3ଓ⃗× 2ሬ⃗݇
10) Sabendo que I ܽ⃗ I= 3, I ሬܾ⃗ I= 2 e 45° é o ângulo entre ܽ⃗ e ሬܾ⃗, calcular I ܽ⃗ x ሬܾ⃗ I.
11) Se lݑሬ⃗ x ⃗ݒI= 3 3 , Iݑሬ⃗ I = 3 e 60° é o ângulo entre ݑሬ⃗ e ⃗ݒ, determinar I ⃗ݒ I.
12) Dados os vetores ܽ⃗ = (3, 4, 2) e ሬܾ⃗ =(2, 1, 1), obter um vetor de módulo 3 que seja ao mesmo tempo
ortogonal aos vetores 2ܽ⃗ - ሬܾ⃗e ܽ⃗ + ሬܾ⃗.
13) Calcular a área do paralelogramo definido pelos vetores ݑሬ⃗ = (3; 1, 2) e ⃗ݒ = (4, -1, 0).
14) Mostrar que o quadrilátero cujos vértices são os pontos A(1, -2, 3), B(4, 3,-1), C(5, 7, -3) e D(2, 2, 1) é um
paralelogramo e calcular sua área.
15) Calcular a área do paralelogramo cujos lados são determinados pelos vetores 2ݑሬ⃗ e - ⃗ݒ , sendo ݑሬ⃗ = (2, -1,
0) e ⃗ݒ = (1, -3, 2).
16) Calcular a área do triângulo de vértices
a) A(-1, 0, 2), B(-4, 1, 1) e C(0, 1, 3) b) A(1, 0, 1), B(4, 2, 1) e C(1, 2, 0)
c) A(2, 3, -1), B(3, 1, -2) e C(-1, 0, 2) d) A(-1, 2, -2), B(2, 3, -1) e C(0, 1, 1)
17) Calcular a área do paralelogramo que tem um vértice no ponto A(3, 2, 1) e uma diagonal de extremidades
B(1, 1, -1) e C(0, 1, 2).
18) Calcular x, sabendo que A(x, 1, 1,), B(1, -1, 0) e C(2, 1, -1) são vértices de um triângulo de área
2
29
.
19) Dado o triângulo de vértices A(0, 1, -1), B(-2, 0, 1) e C(1, -2, 0), calcular a medida da altura relativa ao
lado BC.
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20) Determinar ⃗ݒ tal que ⃗ݒ seja ortogonal ao eixo dos y e ⃗ݒ = ⃗ݒ x ݓሬሬ⃗, sendo ݑሬ⃗= (1, 1, -1) e ݓሬሬ⃗ = (2,-1, 1).
21) Dados os vetores ݑሬ⃗ =(0, 1, -1), ⃗ݒ =(2, -2, -2) e ݓሬሬ⃗ =(1, -1, 2), determinar o vetor ⃗ݔ, paralelo a ݓሬሬ⃗, que
satisfaz à condição: x u v 
  
.
22) Dados os vetores ݑሬ⃗ = (2, 1, 0) e ⃗ݒ = (3, -6, 9), determinar o vetor ⃗ݔ que satisfaz a relação ⃗ݒ= ݑሬ⃗× ⃗ݔe que
seja ortogonal ao vetor ݓሬሬ⃗ = (1, -2, 3).
23) Demonstrar que ܽ⃗ x ሬܾ⃗= ሬܾ⃗x ܿ⃗= ܿ⃗x ܽ⃗, sabendo que ܽ⃗+ ሬܾ⃗+ ܿ⃗= 0.
24) Sendo ݑሬ⃗ e ⃗ݒ vetores do espaço, com 0v 
 
:
a) determinar o número real r tal que ݑሬ⃗ - r⃗ݒ seja ortogonal a ⃗ݒ;
b) mostrar que (ݑሬ⃗ + ⃗ݒ) x (ݑሬ⃗ - ⃗ݒ) = 2⃗ݒ x ݑሬ⃗ .
25) Demonstrar que o segmento cujos extremos são os pontos médios de dois lados de um triângulo é
paralelo ao terceiro lado e igual à sua metade.
26) Verificar se são coplanares os seguintes vetores:
a) ݑሬ⃗ =(3, -1, 2), ⃗ݒ =(1, 2, 1) e ݓሬሬ⃗=(-2,3,4) b) ݑሬ⃗ =(2, -1, 0), ⃗ݒ =(3, 1, 2) e ݓሬሬ⃗=(7, -1, 2)
27) Verificar se são coplanares os pontos:
a) A(1, 1, 1), B(-2,-1,-3), C(0, 2,-2) e D(-1, 0, -2) b) A(1,0,2), B(-1, 0, 3), C(2,4,1) e D(-1, -2, 2)
c) A(2, 1, 3), B(3, 2, 4), C(-1, -1, -1) e D(0, 1, -1)
28) Para que valor de m os pontos A(m, 1, 2), B(2, -2, -3), C(5, -1, 1) e D(3, -2 -2) são coplanares?
29) Determinar o valor de k para que os seguintes vetores sejam coplanares:
a) ܽ⃗ =(2,-1,k), ሬܾ⃗=(1,0,2) e ܿ⃗=(k,3,k)b) ܽ⃗ =(2, 1, 0), ሬܾ⃗=(1, 1,-3) e ܿ⃗=(k, 1,-k)
c) ܽ⃗ =(2, k, 1), ሬܾ⃗=(1, 2, k) e ܿ⃗=(3, 0, -3)
30) Sejam os vetores ݑሬ⃗ =(1,1,0), ⃗ݒ = (2, 0,1), ݓሬሬ⃗1 =3ݑሬ⃗ -2⃗ݒ, ݓሬሬ⃗2 = ݑሬ⃗ +3⃗ݒ e ݓሬሬ⃗3 =ଓ⃗+ଔ⃗-2ሬ⃗݇. Determinar o volume do
paralelepípedo definido por ݓሬሬ⃗1, ݓሬሬ⃗2 e ݓሬሬ⃗3.
31) Calcular o valor de m para que o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores ⃗ݒ1 = 2ଓ⃗-ଔ⃗, ⃗ݒ2 =
6ଓ⃗+mଔ⃗-2ሬ⃗݇e ⃗ݒ3 = - 4ଓ⃗+ሬ⃗݇seja igual a 10.
32) Os vetores ܽ⃗ =(2, -1, -3), ሬܾ⃗ =(-1, 1, -4) e ܿ⃗ =(m+ 1, m, -1) determinam um paralelepípedo de volume 42.
Calcular m.
33) Dados os pontos A(1, -2, 3), B(2, -1, -4), C(0, 2, 0) e D(-1, m, 1), determinar o valor de m para que seja de
20 unidades de volume o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores ܣܤሬሬሬሬሬ⃗, ܣܥሬሬሬሬሬ⃗ e ܣܦሬሬሬሬሬ⃗.
34) Calcular o volume do tetraedro ABCD, sendo dados:
a) A(1,0,0), B(0, 1,0), C(0,0, 1) e D(4,2,7)
b) A(-1, 3, 2), B(0, 1, -1), C(-2, 0, 1) e D(1, -2, 0). Para este, calcular também a medida da altura traçada do
vértice A.
GABARITO:
1) a) (2, 2, -1) b) (-1, -1, 0) c) (-2, -2, 2) d) (6, 6, -6) e) 3 f) -1 e -1 g) (4, -1, 3) e (1, -4, -6)
h) 1
2) a) (-2, 4, -6) b) (4, -8, 12)
3) (12, -8, -12)
4) x (3, 7, 1)
5) ܽ⃗ . ( ሬܾ⃗ x ܿ⃗) = ( ܽ⃗x ሬܾ⃗) . ܿ⃗= 10
6) – 5
7) x = -15 b , y = 3/2 c
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8) Duas soluções para cada caso: ቀଵ
√ଷ
,− ଵ
√ଷ
,−1/√3ቁou ቀ− ଵ
√ଷ
, ଵ
√ଷ
, ଵ
√ଷ
ቁ5ቀଵ
√ଷ
,− ଵ
√ଷ
,− ଵ
√ଷ
ቁ ݋ݑ5ቀ− ଵ
√ଷ
, ଵ
√ଷ
, ଵ
√ଷ
ቁ
10) 3
11) 2
12) ቀ ଺
√ଷ଴
, ଷ
√ଷ଴
,−15/√30ቁ
13) √117
14) √89
15) 6√5
16) a) √6 b) 7/2 c) 9√2/2 d) 2√6
17) √74
18) 3 ou 1/5
19) 3√35/7
20) (1, 0, 1)
21) (-2, 2, -4)
22) (2y – 9, y, 3)
24) a) ݎ= (ݑሬ⃗. ⃗ݒ)/|⃗ݒ|ଶ
26) a) não b) sim
27) a) sim b) não c) sim
28) m = 4
29) a) 6 b) 3/2 c) 2 ou -3
30) 44 uv
31) 6 ou -4
32) 2 ou -8/3
33) 6 ou 2
34) a) 2 b) 4 e 8/√10
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Listade exercícios nº 9.
1) Verificar se os pontos P1(5, -5, 6) e P2(4, -1, 12) pertencem à reta
ݎ:ݔ− 3
−1 = ݕ+ 12 = 2 − ݖ2
2) Determinar o ponto da reta ݎ:൝ݔ= 2 − ݐݕ= 3 + ݐ
ݖ= 1 − 2ݐ�que tem abscissa 4.
3) Determinar m e n para que o ponto P(3, m, n) pertença à reta ݎ:൝ݔ= 1 − 2ݐݕ= −3 − ݐ
ݖ= −4 + ݐ�
4) Determinar os pontos da retaݎ: ௫ିଷ
ଶ
= ௬ାଵ
ିଵ
= ௭
ିଶ
que têm: (a) abscissa 5; (b) ordenada 4; (c) cota 1
5) 0 ponto P(2, y, z) pertence à reta determinada por A(3, -1, 4) e B(4, -3, -1). Calcular P.
6) Determinar as equações reduzidas, com variável independente x, da reta que passa pelo ponto A(4,0, -3) e
tem a direção do vetor kjiv
 542  .
7) Estabelecer as equações reduzidas (variável independente x) da reta determinada pelos pares de
pontos: a) A(1, -2, 3) e B(3, -1, -1) b) A(-1, 2, 3) e B(2, -1, 3)
8) Determinar as equações reduzidas, tendo z como variável independente, da reta que passa pelos
pontos P1(-1, 0, 3) e P2(1, 2, 7).
9) Mostrar que os pontos A (-1, 4, -3), B (2, 1, 3) e C (4, -1, 7) são colineares.
10) Qual deve ser o valor de m para que os pontos A(3, m, 1), B(l, 1, -1) e C(-2, 10, -4) pertençam à
mesma reta?
11) Citar um ponto e um vetor diretor de cada uma das seguintes retas:)ܽ ቊ௫ାଵଷ = ௭ି ଷସ
ݕ= 1 � ݀) ቄݕ= 3ݖ= −1�)ܾ ቄݔ= 2ݕ
ݖ= 3 � )݁ ቄ ݕ= −ݔݖ= 3 + ݔ�)ܿ ൝ ݔ= 2ݐݕ= −1
ݖ= 2 − ݐ� )݂ ݔ= ݕ= ݖ
12) Determinar as equações das seguintes retas:
a) reta que passa por A(1, -2, 4) e é paralela ao eixo dos x;
b) reta que passa por B(3, 2, 1) e é perpendicular ao plano x0z;
c) reta que passa por A(2, 3, 4) e é ortogonal ao mesmo tempo aos eixos dos x e dos y;
d) reta que passa por A(4, -1, 2) e tem a direção do vetor i - j ;
e) reta que passa pelos pontos M(2, -.3, 4) e N(2, -1, 3).
Respostas:
1) Apenas P1 2) (4, 1, 5) 3) m = -2, n = -5 4) (5, -2, -2), (-7, 4, 10), (2, -1/2, 1)
5) P(2, 1, 9) 6) y = 2x – 8 e z = 5/2 x – 13 7) a) ቊݕ= ௫ଶ− ହଶ
ݖ= −2ݔ+ 5� b) ቄݕ= −ݔ+ 1ݖ= 3 �
8) x = ½ z – 5/2 e y = ½ z – 3/2 10) m = -5
12) )ܽ ቄݕ= −2
ݖ= 4 � )ܾ ቄݔ= 3ݖ= 1� )ܿ ൜ݔ= 2ݕ= 3� ݀) ൜ݖ= 2ݔ= −ݕ+ 3� )݁ ቊ ݔ= 2௬ାଵ
ଶ
= ௭ି ଷ
ିଵ
�
Profª Cristiane Pinho Guedes
CENTRO FEDERAL DE EDUCACAO TECNOLÓGICA CELSO SUCKOW DA FONSECA
Profa Cristiane Pinho Guedes - ÁLGEBRA I
Lista de exercícios nº 10 .
1) Determinar o ângulo entre as seguintes retas:)ܽ ݎ: ൝ݔ= −2 − 2ݐݕ= 2ݐ
ݖ= 3 − 4ݐ �݁ ݏ: ௫ସ = ௬ା଺ଶ = ௭ି ଵଶ )ܾ ݎ: ቄݕ= −2ݔ− 1ݖ= ݔ+ 2 ݁ ݏ: ௬ଷ = ௭ାଵିଷ ,ݔ= 2 �)ܿ ݎ: ൝ݔ= 1 + √2 ݐݕ= ݐ
ݖ= 5 − 3ݐ ݁ ݏ: ൜ݔ= 0ݕ= 0�� ݀) ݎ: ௫ିସଶ = −ݕ= ି௭ି ଵଶ ݁ ݏ: ቊ ݔ= 1௬ାଵସ = ௭ି ଶଷ �
2) Determinar o valor de n para que seja de 30° o ângulo entre as retas
ݎ: ݔ− 24 = ݕ+ 45 = ݖ3 ݁ ݏ: ቄݕ= ݊ݔ+ 5ݖ= 2ݔ− 2�
3) Calcular o valor de n para que seja de 30° o ângulo que a reta ݎ: ቄݕ= ݊ݔ+ 5
ݖ= 2ݔ− 3� forma com o eixo dos y.
4) A reta ݎ: ൝ݔ= 1 + 2ݐݕ= ݐ
ݖ= 3 − ݐ� forma um ângulo de 60° com a reta determinada pelos pontos A(3, 1, -2)
e B(4, 0, m). Calcular o valor de m.
5) Calcular o valor de m para que os seguintes pares de retas sejam paralelas:)ܽ ݎ: ൝ݔ= −3ݐݕ= 3 + ݐ
ݖ= 4 �݁ ݏ: ௫ାହ଺ = ௬ିଵ௠ ;ݖ= 6 )ܾ ݎ: ൝ݔ= 2 − 3ݐݕ= 3ݖ= ݉ݐ �݁ ݏ: ௫ିସ଺ = ௭ି ଵହ ;ݕ= 7
6) A reta r passa pelo ponto A(1, -2, 1) e é paralela à reta ݏ: ൝ݔ= 2 + ݐݕ= −3ݐ
ݖ= −ݐ � .Se P(-3, m, n)  r, determinar m
e n.
7) Quais as equações da reta que passa pelo ponto A(-2, 1, 0) e é paralela à reta
ݎ:ݔ+ 11 = ݕ4 = −ݖ?
8) A reta que passa pelos pontos A(-2, 5, 1) e B(1, 3, 0) é paralela à reta determinada por C(3,-
1,1) e D(0, y, z). Determinar o ponto D.
9) A reta ݎ: ቄݕ= ݉ݔ+ 3
ݖ= ݔ− 1 � é ortogonal à reta determinada pelos pontos A(1, 0, m) e B(-2, 2m,
2m). Calcular o valor de m.
RESPOSTAS:
1) a) 60º b) 30º c) 30º d) ߠ= ܽܿݎ cosቀଶ
ଷ
ቁ≅ 48଴11'
2) 7 ou 1
3) ± √15
4) – 4
5) a) -2 b) -5/2
6) m = 10 e n = 5
7) y = 4x + 9 e z = -x – 2
8) D(0, 1, 0) 9) 1 ou -3/2
Profª Cristiane Pinho Guedes
CENTRO FEDERAL DE EDUCACAO TECNOLÓGICA CELSO SUCKOW DA FONSECA
Profa Cristiane Pinho Guedes - ÁLGEBRA I
Lista de exercícios nº 11 .
1) Seja o plano  : 2 x - y+ 3 z+ 1=0 . Calcular:
a) 0 ponto de  que tem abscissa 4 e ordenada 3;
b) 0 ponto de  que tem abscissa 1 e cota 2;
c) 0 valor de k para que o ponto P(2, k + 1, k) pertença a  ;
d) 0 ponto de abscissa zero e cuja ordenada é o dobro da cota.
Nos problemas 2 a 10, determinar a equação geral do plano
2) paralelo ao plano  : 2x - 3y - z + 5 = 0 e que contém o ponto A(4, -1, 2);
3) perpendicular à reta





1
32
:
yz
yx
r e que contém o ponto A(1, 2, 3);
4) mediador do segmento de extremos A(1, -2, 6) e B(3, 0, 0);
5) mediador do segmento de extremos A(5, -1, 4) e B(-1, -7, 1);
6) paralelo ao eixo dos z e que contém os pontos A(0, 3, 1) e B(2, 0, -1);
7) paralelo ao eixo dos x e que contém os pontos A(-2, 0, 2) e B(0, -2, 1);
8) paralelo ao eixo dos y e que contém os pontos A(2, 1, 0) e B(0, 2, 1);
9) paralelo ao plano xOy e que contém o ponto A(5, -2, 3);
10) perpendicular ao eixo dos y e que contém o ponto A(3, 4, -1).
Nos problemas 11 a 14, escrever a equação geral do plano determinado pelos pontos:
11) A(-1, 2, 0), B(2, -1, 1) e C(1, 1, -1).
12) A(2, 1, 0), B(-4, -2, -1) e C(0, 0, 1).
13) A(0, 0, 0), B(0, 3, 0) e C(0, 2, 5).
14) A(2, 1, 3), B(-3, -1, 3) e C(4, 2, 3).
15) Determinar o valor de a para que os pontos A(a,-1,5), B(7,2,1), C(-1,-3,-1) e D(1,0, 3) sejam
coplanares.
Nos problemas de 16 a 19, determinar a equação geral do plano nos seguintes casos:
16) 0 plano passa pelo ponto A(6, 0, -2) e é paralelo aos vetores kjei

 2
17) 0 plano passa pelos pontos A(-3, 1,-2) e B(-1, 2, 1) e é paralelo ao vetor kiv
 32 
18) 0 plano contém os pontos A(1,-2,2) e B(-3, 1, -2) e é perpendicular ao plano  : 2x+y -z+ 8=0.
19) 0 plano contém o ponto A(4,1,0) e é perpendicular aos planos  1 : 2x - y - 4z - 6 = 0 e  2 :x + y+ 2z -
3 =0.
RESPOSTAS:
1) a) (4, 3, -2) c) k = -2
b) (1, 9, 2) d) (0, -2, -1)
2) 2x - 3y - z - 9 = 0
3) 2 x + y - z - 1= 0
4) x + y - 3z + 8 = 0
5) 4x + 4y + 2z + 3 = 0
6) 3x+2y- 6=0
Profª Cristiane Pinho Guedes
7) y - 2z + 4 = 0
8) x + 2z - 2 = 0
9) 9) z = 3
10) y = 4
11) 4x + 5y + 3z – 6 = 0
12) x – 2y = 0
13) x = 0
14) z = 3
15) a = -3
16) y + 2z + 4 = 0
17) 3x - 12y + 2z + 25 = 0
18) x – 12y – 10z – 5 = 0
19) 2x – 8y + 3z = 0
Profª Cristiane Pinho Guedes