Aula de Matemática

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Matemática
Projeto de Extensão: Nivelamento para o MAER/PRODEMA
Prof. Rogério César
Conteúdo
FUNÇÃO: definições, tipos, funções de duas ou mais variáveis independentes. 
DERIVADA: definições, regras de diferenciação envolvendo duas ou mais funções da mesma variável, regras de diferenciação envolvendo funções de diferentes variáveis, derivadas parciais, derivada segunda e de ordem superior. 
DIFERENCIAIS: diferenciais totais, derivadas totais, derivadas de funções implícitas. 
OTIMIZAÇÃO: maximização e minimização de funções de uma variável, múltiplas variáveis e condicionada. 
RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO: Noções de lógica; estruturas lógicas e diagramas lógicas; lógica de argumentação; álgebra; probabilidades; arranjos, permutações e combinações.
Referência
CHIANG, A.C. e WAINWRIGHT, K. Matemática para Economistas. 4ª Ed., Elsevier, 2005.
CHIANG, A.C. e WAINWRIGHT, K. Instructor’s Manual to accompany Fundamental Methods of Mathematical Economics. 4th Edition, McGraw Hill
FUNÇÃO
Definições 
Tipos de funções
Funções de duas ou mais variáveis independentes
Função
Para entender Funções, você precisa revisar os seguintes conteúdos:
Teoria de Conjuntos
Sistema de Coordenadas Cartesianas
Caso não esteja familiarizado com estes conteúdos, sugiro que faça uma revisão.
Definições
Definição - Uma função consiste do seguinte:
Um conjunto X, chamado de domínio da função;
Um conjunto Y, chamado o contradomínio (imagem) da função;
Uma regra (ou correspondência) f, que associa a cada elemento x de X um único elemento y de Y.
x é a variável independente
y é a variável dependente
Definições
Para ser uma função:
Cada elemento x corresponde a um único elemento y: 
y = f(x) é unicamente determinado por x;
Porém, diferentes elementos de X podem originar o mesmo valor da função em Y. 
Tipos de funções
Funções constantes:
Uma função cuja imagem consiste em um único elemento. 
7
y
x
Tipos de funções
Funções polinomiais: 
Polinomial significa “vários termos”;
Exemplo:
n é o grau da função polinomial (n é o maior valor) 
Subclasses de função polinomial:
n = 0:
n = 1:
n= 2:
n = 3: 
[Função constante]
[Função linear]
[Função quadrática]
[Função cúbica]
Tipos de funções
Função linear: 
y = a + bx
a é o coeficiente linear
b é o coeficiente angular
b = Δy / Δx
(0, a)
b
y
x
0
Tipos de funções
Funçao quadrática (parábola): 
Uma curva que contém uma única concavidade.
(0, a)
b < 0
y
x
0
Tipos de funções
Função cúbica:
Em geral, apresenta duas concavidades.
(0, a)
y
x
0
Tipos de funções
Função racional:
y é expresso como uma razão de dois polinômios de variável x.
Tipos de funções
Hipérbole retangular:
Caso especial de função racional;
(a > 0)
y
x
0
Tipos de funções
Funções não-algébricas:
São aquelas nas quais a variável independente aparece no expoente.
(b >1)
y
x
0
(b >1)
y
x
0
Exponencial
Logarítmica
Tipos de funções
Funções de duas ou mais variáveis independentes
Domínio: conjunto de pares ordenados (x, y)
Imagem: z
Associação entre três variáveis: 
Tripla ordenada (x, y, z)
Ponto no espaço tridimensional (superfície)
Regra dos expoentes
Regra dos expoentes
Regra dos expoentes
Regra dos expoentes
Regra dos expoentes
Exercícios:
Capítulo 2:
Relações e funções – Exercício 2.4
Tipos de funções – Exercício 2.5
Atenção: Entregar resolvido na próxima sexta-feira.
Exercício 2.4:
Se o domínio de uma função y = 5 + 3x for o conjunto de todos os números reais não negativos, qual será sua imagem?
Considerando a função y = -x2, se o domínio for o conjunto de todos os números reais não negativos, qual será sua imagem?
Na teoria da empresa, economistas consideram que o custo total C é uma função do nível de produção Q: C = f(Q).
Segundo a definição de uma função, cada número de custo deveria ser associado com um único nível de produção?
Cada nível de produção determina um único valor do custo?
Exercício 2.5:
Represente graficamente as funções abaixo (domínio são os números reais não negativos):
y = 16 + 2x
y = 8 – 2x
Qual é a principal diferença entre (a) e (b) no Problema 1? Como essa diferença se reflete nos gráficos?
Represente graficamente as funções abaixo:
y = -x2 + 5x – 2
y = x2 + 5x – 2
Encontre:
x3 / x -3= x3.x3 = x3+3 = x6
(x1/2 . x1/3) / x2/3 = x1/2+1/3-2/3 = x1/2-1/3 = x(3-2)/6=x1/6
DERIVADAS
Definições
Regras de diferenciação com duas ou mais funções da mesma variável
Regras de diferenciação envolvendo funções de diferentes variáveis,
Derivadas parciais
Derivada segunda e de ordem superior
Definições
Estática Comparativa:
Abordagem utilizada para comparar diferentes estados de equilíbrio: equilíbrio inicial (antes da variação) x equilíbrio final (após a variação).
Natureza da análise:
Qualitativa: verificar a direção da variação (sinal);
Quantitativa: verificar a magnitude da variação (grandeza).
 Taxa de variação:
Mede a taxa de variação de uma variável dependente (y) relativa à variação da variável independente (x).
O conceito de derivada está associado à noção de taxa de variação.
Definições
Taxa de variação e a derivada:
Considere que a variável y está relacionada à variável x pela função
y = f(x)
x: x0  x1 	 	(variação)
Δx = x1 – x0		(medida de variação)
Para x = xi  yi= f(xi)
Definições
Exemplo: f(x) = 5 + x2
Para x = 0 		 f(0) = 5 + (0)2 = 5
Para x = 2 		 f(2) = 5 + (2)2 = 9
Definições
Quociente de diferenças:
x: x0  (x0 + Δx)
y = f(x): 
f(x0)  f(x0 + Δx)
Mede a taxa média de variação de y que é função de x0 e Δx.
Definições
Exemplo: Dado y = f(x) = 3x2 – 4
Para x0 = 3 e Δx = 4 , teremos
Taxa de variação média de y = 6(3) + 3(4) =30
Definições
Derivada:
Exemplo:
ficará próximo do seu valor verdadeiro
Definições
Limite do quociente de diferenças:
Se, quando Δx0, o limite do quociente de diferenças existir, esse limite é denominado derivada da função y = f(x);
Dado y = f(x), a derivada de y é denotada por
f’(x) f’ dy/dx Dy Df(x)
Definições
A derivada de uma dada função y = f(x) é dada por:
A derivada é uma medida de variação de y como resultado de uma variação infinitesimal (Δx0) de x, portanto, é uma taxa de variação instantânea;
Definições
Exemplo: Considere a função y = 3x2 – 4, calcule dy/dx:
Para x = 3, temos f’(3) = 6(3) =18
Para x = 4, temos f’(4) = 6(4) = 24
Definições
Derivada e a inclinação de uma curva
Considere a função de custo total: C = f(Q)
onde:
C = custo total
Q = produção
Custo marginal (CMA):
CMA= ΔC / ΔQ
O custo marginal = inclinação da curva de custo total:
0
C0
C1
C2
Q0
Q1
Q2
C=f(Q)
ΔQ
C
Q
A
B
D
E
F
K
G
H
ΔC
quando Δx0  reta KG  inclinação de KG = f’(Q) 
Regras de Derivadas: 
função de uma variável
Regra da função constante:
y = f(x) = k
f’(x) = 0
Obs: f’(x) = 0 ≠ f’(x0)
f’(x) é verdadeiro para todo x
f’(x0) é verdadeiro somente quando x = x0
Regras de Derivadas:
 função de uma variável
Regra da função potência:
y = f(x) = xn
f’(x) = nxn-1
Exemplo:
y = x3, portanto f’(x) = 3x3-1 = 3x2
y = x0, portanto f’(x) = 0x0-1 = 0
Regras de Derivadas:
 função de uma variável
Regra da função potência generalizada:
y = f(x) = cxn
f’(x) = ncxn-1
Exemplo:
y = 2x, portanto f’(x) = 2x1-1 = 2x0=2
y = 4x3, portanto f’(x) = 3.4.x3-1 = 12x2
Regras de Derivadas: função com duas ou mais variáveis
Regra da Soma-Diferença
D[f(x) ± g(x)] = f’(x) ± g’(x)
Exemplo:
f(x)=5x3 	e 	g(x) = 9x3
y = 5x3 + 9x3 
D(5x3 + 9x3) = 42x2
Regras de Derivadas: função com duas ou mais variáveis
Regra do Produto (duas e três funções)
D[f(x).g(x)] = f(x).g’(x) + g(x).f’(x) 
D[f(x).g(x).h(x)] = f’(x).g(x).h(x) + f(x).g’(x).h(x)
+ f(x).g(x).h’(x)
 
Exemplo:
f(x) = 2x + 3 e g(x) = 3x2
y = f(x).g(x)
D [f(x).g(x)] = f(x) g’(x) + g(x) f’(x) 
 = (2x + 3)(6x) + 3x2(2) = 18x2 + 18x
Regras de Derivadas: função com duas ou mais variáveis
Regra do quociente
y = f(x) / g(x)
D[f(x)/g(x)] = [f’(x).g(x) – f(x).g’(x)] / g(x)2
Exemplo:
D[(2x – 3)/(x – 1) = [(2x-3)’(x -1) – (2x-3)(x-1)’]/(x-1)2
 = 1 /(x – 1)2
Regras de Derivadas: funções de variáveis diferentes
Regra da cadeia (duas funções):
z = f(y), onde y = g(x), então
Função composta:
Seja y = g(x) e z = f(y), então z = f(g(x))
Regras de Derivadas: funções de variáveis diferentes
Regra da cadeia (três funções):
z = f(y), y = g(x) e x = h(w), então
Função composta:
z = f(g(h(w)))
Regras de Derivadas: funções de variáveis diferentes
Exemplo:
Seja z = 3y2, onde y = 2x + 5, então
Seja z = y17, onde y = x2 + 3x – 2, então
Regras de Derivadas: funções de variáveis diferentes
Regra da função inversa:
Se y = f(x) for uma função monotônica (mapeamento de um para um), então existe x = f-1(y).
Tipos de funções monotônicas (FM):
FM crescente: quando x1 > x2  f(x1) > f(x2)
FM decrescente: quando x1 > x2  f(x1) < f(x2)
f(x1)
f(x2)
x1
x2
x
y
f(x2)
f(x1)
x1
x2
x
y
x2 > x1  f(x2) > f(x1)
x2 > x1  f(x1) > f(x2)
Se a derivada f’(x) possuir o mesmo sinal (não nulo) qualquer que seja x, então a função y = f(x) é monotônica.
Geometricamente, isto significa que sua declividade é sempre positiva ou negativa.
FM crescente
FM decrescente
Regras de Derivadas: funções de variáveis diferentes
Exemplo: 
y = 5x + 25, então f’(x) = 5 > 0 para qualquer x.
	(função monotônica)
	f-1(y) = x = y/5 – 5
	Verifique se sua função inversa é monotônica?
Regras de Derivadas: funções de variáveis diferentes
Regra da função inversa:
Seja a função monotônica y = f(x), então a derivada de sua função inversa será:
Regras de Derivadas: funções de variáveis diferentes
Exemplo:
Seja a função monotônica y = x5 + x, então a derivada de sua função inversa será:
(função monotônica crescente)
DERIVADAS (cont.)
Derivadas parciais
Derivada segunda e de ordem superior
OTIMIZAÇÃO
Maximização e minimização de funções de uma variável
Múltiplas variáveis e condicionada
RACIOCÍNIO LÓGICO
Noções de lógica
Estruturas lógicas e diagramas lógicas
Lógica de argumentação
Álgebra
Probabilidades
Arranjos, permutações e combinações