Filtro_Passa-altas-

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Universidade Federal de Lavras 
Departamento de Ciências da Computação – DCC 
 
 
 
 
 
 
 
Filtro Passa-altas de Butterworth 
 
 
Engenharia de Controle e Automação – 22A 
Bruno Henrique de Bastos Silva – 201221150 
Jéssica Junqueira Benetolo – 201221160 
Rafael Rosa Êgea – 201110021 
Rodrigo Andrade Lima – 201220659 
 
 
 
 
 
 
 
Lavras – MG 
Junho – 2015 
1 Resumo 
 O presente projeto consta de materiais e procedimentos adotados na 
construção do primeiro estágio de um filtro ativo de quarta ordem do tipo passa-
altas de Butterworth. Ainda serão apresentados os diagramas de ganho x 
frequência para cada um dos dois estágios do filtro assim como o diagrama 
referente ao filtro completo. 
 
2 Referencial Teórico 
Um filtro é um circuito que processa sinais no domínio da frequência, isto é, 
modifica amplitude e fase das diferentes componentes de frequência de um sinal 
elétrico. 
Basicamente, existem dois tipos de filtros: os ativos, contituídos por elementos 
ativos, como transitores e amplificadores e os passivos, constituídos por elementos 
passivos, como resistores e capacitores. 
Os filtros ativos podem ser compreendidos e estudados de quatro formas 
distintas: 
 • Passa Alta ⇒ Permite a passagem de sinais cujas frequências estejam acima 
da frequência de corte. 
 • Passa Baixa ⇒ Permite a passagem de sinais cujas frequências estejam abaixo 
da frequência de corte. 
 • Passa faixa ⇒ Permite a passagem de sinais cujas frequências estejam entre 
dois valores de frequências distintos . 
 • Rejeita faixa ⇒ Bloqueia a passagem de sinais cujas frequências estejam entre 
dois valores de frequência distintos . 
Existem algumas propostas de equações para os modelos de filtros ativos 
bastante conhecidas e utilizadas. Cada uma tem características próprias em relação à 
sua aproximação da janela retangular do filtro ideal e em relação à resposta ao degrau 
unitário ou ao pulso retangular na entrada. As formas padronizadas mais conhecidas e 
suas respectivas características são: 
 • Bessel ⇒ possui faixa de passagem e de rejeição planas e região de transição 
suave; 
 • Butterworth ⇒ possui faixa de passagem e de rejeição planas e região de 
transição moderada; 
 • Chebyshev 1 ⇒ faixa de passagem com oscilação, região de transição 
moderada e faixa de rejeição plana; 
 • Chebyshev 2 ⇒ faixa de passagem plana, região de transição moderada e faixa 
de rejeição com oscilação; 
 • Eliptico ⇒ faixa de passagem e rejeição com oscilações região de transição 
abrupta. 
O filtro utilizado para este trabalho e a sua forma padronizada, é o filtro passa-
altas de Butterworth. 
 
O comportamento de um filtro passa alta de 2ª ordem de Butterworth em relação 
ao seu módulo e sua fase pode ser visto na imagem abaixo: 
 
 O modo como seu comportamento varia com a frequência é chamado “resposta em 
frequência” e é expresso na forma de “função de transferência” H(jω), onde ω = 2.π.f é 
a 
frequência angular, em radianos por segundo (rad/s), e j é a parte imaginária (j² = – 1). 
 
➔A função de transferência no domínio da frequência de um filtro passa-alta é: 
 
Onde, 
 
 
•A frequência angular ω do filtro é dada por: 
 
 
•O fator de qualidade Q do filtro é igual a : 
 
 
•O FSF e o fator de qualidade Q podem ser consultados analisando-se a tabela abaixo, 
de acordo com a orden do filtro que se deseja obter: 
 
 
3 Objetivos 
 O presente trabalho tem como objetivo a construção do primeiro estágio 
de um filtro ativo de quarta ordem do tipo passa-altas modelo de Butterworth. 
 
4 Materiais Utilizados 
 2 Capacitores eletrolíticos de 10nF; 
 1 Resistor de 1kΩ; 
 1 Resistor de 1,2kΩ; 
 1 Circuito integrado TL07; 
 1 Placa de Fenolite; 
 Alimentação simétrica +12V e -12V; 
 Pinos de saída. 
 
5 Procedimentos 
 O primeiro passo para a construção do filtro é projetá-lo escolhendo os 
valores de resistores e capacitores a serem utilizados. Tomando como referência 
o seguinte modelo de filtro iniciam-se os cálculos para a escolha de resistores e 
capacitores que atendam aos requisitos de ganho e frequência de corte 
desejados. 
 
Figura 01 – Representação esquemática de um filtro passa-altas de segunda ordem 
modelo de Butterworth 
 Como é desejado que o filtro tenha um ganho K = 1 e frequência de corte 
fc = 15kHz consulta-se a seguinte tabela para retirar os valores de Q e FSF para 
cada um dos estágios do filtro de quarta ordem a ser construído. 
Tabela I – Tabela do Filtro de Butterworth 
 
 A partir da tabela apresentada anteriormente obteve-se os seguintes 
valores: 
 Primeiro estágio: FSF = 1,000 e Q = 0,5412 
 Segundo estágio: FSF = 1,000 e Q = 1,3065 
Três equações básicas são utilizadas para determinar os valores de R1, 
R2, R3, R4, C1 e C2. Estas equações são apresentas a seguir. 
𝜔0 = 𝜔𝑐 = 2𝜋 ∗ 𝑓𝑐 = 
1
√𝑅1𝐶1𝑅2𝐶2
 
Equação 01 – Cálculo de ω0 para o filtro de Butterworth 
𝐾 = 1 + 
𝑅4
𝑅3
 
Equação 02 – Cálculo do ganho do filtro de Butterworth 
𝑄 = 
√𝑅1𝐶1𝑅2𝐶2
(1 − 𝐾)𝑅2𝐶2 + 𝑅1𝐶2 + 𝑅1𝐶1
 
Equação 03 – Cálculo parâmetro Q da função de transferência do filtro de Butterworth 
 A partir da equação 02 é possível calcular os valores de R3 e R4. Como o 
ganho deseja é de 1 a parcela R4/R3 deve valer zero o que significa que na prática 
estes resistores não serão utilizados na construção do filtro. 
 Utilizando a frequência de corte é possível calcular o valor de ω0 que será 
utilizado posteriormente para obter os valores dos demais resistores e dos 
capacitores que serão utilizados na construção do filtro. 
𝜔0 = 2𝜋 ∗ 15000 = 94248 𝑟𝑎𝑑/𝑠 
Para os cálculos fez-se as seguintes suposições: 
1. C1 = C2 = 10,0 nF 
2. R1 = mR e R2 = R 
Tomando as suposições feitas anteriormente, as equações 01 e 03 e 
lembrando que K = 1 fez-se as manipulações algébricas necessárias para chegar 
às seguintes relações: 
𝑄 = 
√𝑚
(1 − 𝐾) + 2𝑚
 → 𝑚 = 
1
4𝑄2
 
𝜔0 = 
1
𝑅𝐶√𝑚
 → 𝑅 = 
1
𝜔0𝐶√𝑚
 
Com as suposições 1 e 2 e as relações para m e ω0 são feitos os seguintes 
cálculos para o primeiro estágio do filtro: 
𝑚 = 
1
4 ∗ 0,54122
= 0,8535 
𝑅 = 
1
94248 ∗ 10 ∙ 10−9 ∗ √0,8535
= 1148,46 
𝑅2 = 118,46 𝛺 𝑅1 = 0,8535 ∗ 1148,46 = 980,21 𝛺 
Com as suposições 1 e 2 e as relações para m e ω0 são feitos os seguintes 
cálculos para o segundo estágio do filtro: 
𝑚 = 
1
4 ∗ 1,30652
= 0,1465 
𝑅 = 
1
94248 ∗ 10 ∙ 10−9 ∗ √0,1465
= 2772 
𝑅2 = 2772 𝛺 𝑅1 = 0,1465 ∗ 2772 = 406,11 𝛺 
Feitos os cálculos teóricos deve-se escolher valores comerciais para os 
resistores, de forma que tem-se os seguintes valores de capacitores e resistores 
para cada um dos estágios do filtro: 
 Primeiro estágio: C1 = C2 = 10,0 nF; R1 = 1kΩ; R2 = 1,2kΩ; 
 Segundo estágio: C1 = C2 = 10,0 nF; R1 = 390Ω; R2 = 2,7kΩ; 
Tendo os valores comerciais para todos os componentes foi construído 
então o diagrama esquemático para o filtro completo, como mostrado a seguir: 
 
Figura 02 – Filtro completo Passa-alta Butterworth 
 
Para a simulação da veracidade da função de transferência foi usado 
bloco Function Transfer do Multisim, para isso precisou-se fazer os cálculos dos 
coeficientes da função de transferência seguindo a equação 3: 
𝐻(𝑠) =
𝐻0. (
𝑠
𝑤0
)
2
(
𝑠
𝑤0
)
2
+
𝑠
𝑄. 𝑤0
+ 1
 
Equação 03 – Função de transferência do modelo Sallen-Key passa-alta de 2ª 
ordem 
Tendo os valores de Q, H0 e 𝜔0 calculados anteriormente pode-se 
calcular a função de transferência do primeiro estágio, do segundo estágioe do 
filtro completo tendo. 
1º estágio: 
𝐻(𝑠) =
1. (
𝑠
94248)
2
(
𝑠
94248)
2
+
𝑠
0,5412 . 94248 + 1
 
𝐻(𝑠) =
1,126𝑥10−10𝑠2
1,126𝑥10−10𝑠2 + 1,96𝑥10−5𝑠 + 1
 
2º estágio: 
 
𝐻(𝑠) =
1. (
𝑠
94248)
2
(
𝑠
94248)
2
+
𝑠
1,3065 . 94248 + 1
 
 
𝐻(𝑠) =
1,126𝑥10−10𝑠2
1,126𝑥10−10𝑠2 + 8,12𝑥10−6𝑠 + 1
 
Filtro completo: 
𝐻(𝑠) =
1,126𝑥10−10𝑠2
1,126𝑥10−10𝑠2 + 1,96𝑥10−5𝑠 + 1
 𝑥
1,126𝑥10−10𝑠2
1,126𝑥10−10𝑠2 + 8,12𝑥10−6𝑠 + 1
 
𝐻(𝑠) =
𝑠4
𝑠4 + 246181,17𝑠3 + 30314636447,1𝑠2 + 2,9𝑥1015𝑠 + 7,89𝑥1019
 
 
 
 
Figura 03 – Esquema de montagem com o bloco “Function Transfer” 
 
Figura 04 – Esquema para entrada dos valores dos coeficientes da função no 
Multisim 
Os coeficientes indicados em A0, A1... são os coeficientes em ordem 
crescente do numerador, e B0, B1... são os coeficientes em ordem crescente do 
denominador da função na seguinte ordem. 
Para o primeiro estágio: 
A2 = 1,126x10-10 
A0 = A1 = A3 = A4 = 0 
B0 = 1 
B1 = 1,96 x10-5 
B2 = 1,126 x10-10 
B3 = B4 = B5 = 0 
 
Para o segundo estágio: 
A2 = 1,126 x10-10 
A0 = A1 = A3 = A4 = 0 
B0 = 1 
B1 = 8,12 x10-6 
B2 = 1,126 x10-10 
B3 = B4 = B5 = 0 
 
Para o filtro completo: 
A0 = 0 
A1 = 0 
A2 = 0 
A3 = 0 
A4 =1 
B0 = 7,89 x1019 
B1 = 2,9 x1015 
B2 = 30314636447,1 
B3 = 246181,17 
B4 = 1 
B5 = 0 
Obs: Após os testes práticos terem sido realizados, constatou-se que seria 
necessário acrescentar um capacitor de 10 nF em paralelo com o C2 totalizando 
uma capacitância de 20 nF. 
 
6 Resultados Esperados 
 Ao plotar os gráficos de ganho da função de transferência do estágio 1, 2 
e filtro completo obtêm-se: 
 
Figura 05 – Gráfico do ganho da função de transferência do estágio 1 (ganho = -5,33dB) 
 
Figura 06 – Gráfico do ganho da função de transferência do estágio 2 (2.321dB) 
 
 
Figura 7– Gráfico do ganho da função de transferência do filtro completo (ganho = 
-4,35 dB) 
 
Por fim, ao plotar os gráficos de ganho e fase do projeto de filtros do 
estágio 1, 2 e filtro completo obteve-se: 
 
 
Figura 07- Diagrama de Ganho do estágio 1 (f = 15kHz → -4.958 dB) 
 
 
Figura 08- Diagrama de Ganho do estágio 2 (f = 15kHz → 2.059 dB) 
 
 
 
Figura 09- Diagrama de Ganho do filtro completo (f = 15kHz → - 2.898 dB) 
 
 
Figura 11 – Gráfico do desvio de fase do estágio 1 (fase = 88.16º) 
 
Figura 12 – Gráfico do desvio de fase do estágio 2 (fase = 94.599º) 
 
Figura 13 – Gráfico do desvio de fase do filtro completo (fase =-177.557º) 
 
 
 
7 Resultados Obtidos 
 Na frequência de corte foi obtido o seguinte padrão de ondas, sendo a 
onda amarela a onda de entrada, rosa a saída e azul a forma de onda após o 
primeiro estágio. 
 
Figura 14 – Formas de onda para uma entrada de 15kHz e 1 V de pico 
 
 
Figura 15 – Formas de onda para uma entrada de 10 fc 
 
 
Figura 16 – Formas de onda correspondente a uma entrada de 12kHz 
 
Figura 17 – Formas de onda correspondente a uma entrada de 0,1fc 
 
8 Conclusões 
 Ao analisar-se o resultados de ganho da função de transferência percebe-
se um erro no ganho da função de transferência do filtro completo, visto que o 
ganho deveria ser -3dB, porém como o filtro é de quarta ordem, podem ter 
ocorridos arredondamentos durante os cálculos, o que pode ter influenciado no 
erro final do ganho. 
 Os gráficos de ganho e de fase do projeto do filtro estão dentro do erro 
esperado, já que o ganho na frequência de corte do filtro completo é - 2.898 dB, 
visto que os componentes utilizados como resistores e capacitores foram 
arredondados para valores que pudessem ser encontrados no mercado.