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MAT 002 Prova 1 - Turma T6 26/09/2014
(Q1) (20 pontos) Calcule:
a) o limite da sequeˆncia (an)n cujo termo geral e´ dado por an =
n
p
7n + 8n.
b) o valor da soma
1X
k=1
cos(k⇡)
3k
p
⇡
.
(Q2) (30 pontos) Determine se as se´ries abaixo sa˜o convergentes ou divergentes. Justifique.
a)
1X
n=1
✓
1� cos
✓
1
n
◆◆
b)
1X
n=1
✓
� n
n+ 1
◆n
, com � 2 R c)
1X
k=1
(�1)k
p
k
k + 5
(Q3) (20 pontos) Seja f(x) =
1X
n=0
cn x
n. Encontre uma fo´rmula expl´ıcita para f(x) supondo os seguintes casos:
a) cn = n(n� 1) e |x| < 1,
b) cn =
1
(n+ 3)!
e x 2 R� {0}.
(Q4) (30 pontos) Verdadeiro ou Falso? Justifique.
a) Se an > 0 8 n 2 N e
P1
n=1 an diverge, enta˜o
P1
n=1 (an)
�1 converge.
b) Se an  bn 8 n 2 N e
P1
n=1 bn converge, enta˜o
P1
n=1 an converge.
c) Sejam
P1
n=0 an e
P1
n=0 bn se´ries de termos positivos tais que
an+1
an
 bn+1
bn
para n � n0.
Se
P1
n=0 bn converge, enta˜o
P1
n=0 an tambe´m converge.
Respostas sem justificativa na˜o sera˜o consideradas. Boa prova!