1_Bisseccao_Regula_Falsi

Prévia do material em texto

41 
2- SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES NÃO LINEARES 
 
INTRODUÇÃO 
 
 
Um dos problemas que ocorrem mais freqüentemente em trabalhos científicos é 
calcular as raízes de equações da forma: f(x) = 0. 
A função f(x) pode ser um polinômio em x ou uma função transcedente. 
Em raros casos é possível obter as raízes exatas de f(x) = 0, como ocorre, por 
exemplo, supondo-se f(x) um polinômio fatorável. Em geral, queremos obter somente 
soluções aproximadas, confiando a aproximação em alguma técnica computacional. Vamos 
então considerar vários métodos iterativos para a determinação de aproximações para raízes 
isoladas de f(x) = 0 . Será dada uma atenção especial às equações polinomiais em virtude 
da importância de que as mesmas gozam na análise. 
Assim, nem sempre ou quase que em geral não conseguimos obter o zero (ou 
raíz) de uma função de forma direta. 
Nestes casos, uma alternativa para se obter o zero (ou raiz) é de forma indireta 
através de métodos iterativos. 
O processo de determinar a raiz ou as raízes de f é feito em duas fases: 
1ª Fase: deve-se isolar ou confinar a raiz da f, ou seja, determinar um intervalo I 
= [a,b] que contenha a raiz x ; 
2ª Fase: a partir de uma solução inicial [ ]b,ax0 Î , definir e utilizar um processo 
iterativo que calcule a seqüência de pontos 1kk21 x,x,,x,x +K , tal que xx 1k ®+ para 
+¥®k . 
1kx + : raiz aproximada da f; 
x : raiz exata. 
 
2.1- Fase I: Confinamento ou isolamento de raízes. 
 
Uma forma de determinarmos um intervalo I = [ ]Ìb,a  que garantidamente 
contenha a raiz exata x é dada pelo teorema a seguir: 
 
Teorema de Rolle 2.1.1: 
 
Se f é uma função contínua em I = [ ]Ìb,a  e se f troca de sinal nos extremos 
deste intervalo, ou seja, ( ) ( ) [ ]b,ax0bfaf Î$Þá× tal que ( ) 0xf = . 
Forma prática de se investigar intervalos I = [ ]b,a que contém a raiz da f. 
Desde que, para toda lei ( )xfy = é possível particionar f da seguinte forma: 
 
( ) ( ) ( )xfxfxf 21 -= 
 
Nesse caso, ( ) 0xf = se e somente se ( ) ( ) 0xfxf 21 =- e assim a raiz da f deve 
satisfazer ( ) ( )xfxf 21 = . 
 42 
Então, x é a raiz da f se e somente se em x , ( )xf1 e ( )xf 2 se interceptam. 
Exemplos: 
a.) ( ) xe5xxf --= 
 
b.) ( ) xexf x += 
 
c.) ( ) ( ) xexlnxf -= 
 
d.) ( ) ( )
2
1
xsenxf -= 
 
Proposição: 
 
Se f é contínua e diferenciável em [ ]b,a e: 
- se ( ) ( )bfaf × < 0 em [ ]b,a ; 
- se f´ não troca de sinal em [ ]b,a , ou seja, ( )x´f > 0 em [ ]b,a ou ( )x´f < 0 em 
[ ]b,a , então f possui uma única raiz em [ ]b,a . 
 
Justificativa: 
- ( ) ( )bfaf × < 0 garante que f possui raiz em [ ]b,a (Teorema Rolle); 
- ( )x´f > 0 em [ ]b,a implica em f ser crescente em [ ]b,a ; 
- ( )x´f < 0 em [ ]b,a implica em f ser decrescente em [ ]b,a . 
 
Assim, f corta o eixo das abcissas uma única vez, 
 
\ f tem raiz única em [ ]b,a . 
 
2.2- Método da Bissecção 
 
O método consiste dos seguintes passos: 
 
Se [ ]b,ax Î e ( ) 0xf = então considere inicialmente 
aa 0 = , bb 0 = e calcule Î
+
=
2
ba
x 000 I 
Calcula-se ( )0af , ( )0bf e ( )0xf , investigue se 
( ) ( )00 xfaf × < 0 , se for verdade faça, 
01 aa = , 01 xb = e atualize 2
ba
x 111
+
= 
caso contrário, ( ) ( )00 xfbf × < 0 
 43 
faça 01 xa = , 01 bb = e 2
ba
x 111
+
= 
Analiso o erro cometido: (erro relativo) 
 
1
01
1 x
xx
e
-
= 
 
se 1e < Þx o processo para e xx1 » 
se 1e > x , calcula-se ( ) ( ) ( )111 xf,bf,af 
se ( ) ( )11 xfaf × < 0 12 aa =Þ , 12 xb = 
se ( ) ( )11 xfbf × < 0 1212 bb,xa ==Þ 
Atualiza-se 
2
ba
x 112
+
= 
Analisa-se 2e e se 2e < x 
Calcula-se ( ) ( ) ( )222 xf,bf,af 
M 
A iteração k é feita de maneira análoga à iteração zero e iteração 1. 
Definidos ka e 2
ba
xb kkkk
+
=Þ 
se ke < Þx pare o processo . 
Caso contrário, continue particionando o intervalo [ ]kk b,a . 
A partição é feita tal que: 
[ ] [ ] [ ] [ ]kk1100 b,ab,ab,ab,ax ÉÉÉÊÎ K 
 
O método consiste em ir particionando o intervalo [ ]b,a em 
[ ] [ ] [ ]kk1100 b,a,,b,a,b,a K de tal forma a ir “cercando” a raiz x . 
 
Exemplo 2.2.1: 
( ) xcosexf 2x -= - 
 
[ ] [ ]
[ ] [ ]5.1,375.1b,a
10
b,a5.1,375.1x
00
2
=
=x
=Î
- 
4375.1
2
5.1375.1
2
ba
x 000 =
+
=
+
=
 
0434783.0
4375.1
375.14375.1
e0 =
-
= > x 
 44 
 
( )
( ) 03466.0bf
0435703.0af
0
0
=
-=
 
( ) 006262.0xf 0 -= 
( ) ( )00 xfbf × < 0 
46875.1x
2
ba
x
5.1bb
4375.1xa
1
11
1
01
01
=
+
=
==
==Þ
 
021276.0e1 = > x 
( )
( )
( ) 0137761.0xf
034662.0bf
006262.0af
1
1
1
=
=
-=
 
( ) ( )11 xfaf × < 0 
4375.1a 2 =Þ e 46875.1b 2 = 
 
Aceleração do processo de bissecção: 
 
2.3- O Método Regula-Falsi (Posição Falsa ou Falsa Posição) 
 
No processo de bissecção podemos atualizar o ponto kx utilizando a geometria 
deste processo: 
 
Equação da reta r que passa pelos pontos ( )( )kk af,a e ( )( )kk bf,b é expressa 
por: 
Admitindo-se xx = e 0yy == 
 
( ) ( )
( ) ( ) ( )xf0y0
yx1yx
bfb1bfb
afa1afa
kkkk
kkkk
==Û= 
 
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )kk
kkkk
kkkkkk
afbf
afbbfa
x
afbbfabfafx0
-
-
=Þ
+-+-+=
 
Como não conhecemos x fazemos: 
 
Þ= kxx 
 
 45 
( ) ( )
( ) ( )kk
kkkk
k afbf
afbbfa
x
-
-
= L,2,1,0k = 
 
Considerando-se os seguintes valores já calculados pelo método da bissecção: 
( )
( ) 034662.0bf
006262.0af
5.1b
4375.1a
1
1
1
1
=
-=
=
=
 
 
O cálculo de 1x pelo método Regula-Falsi nos dá: 
 
( ) ( )
( ) ( )
44706346.1
afbf
afbbfa
x
11
1111
1 =-
-
= 
 
Erro cometido: 0066088.0
x
xx
e
1
01
1 =
-
= < 210 - 
 
Observação: O processo de escolha de ka e kb é o mesmo efetuado para o 
método da bissecção.