P2 DENISE UFF 2B
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P2 DENISE UFF 2B


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- Departamento de Matema´tica Aplicada (GMA) 2018-1
Nome 21/junho/2018 Nota:
2a VE - C A´ L C U L O 2B
Turma C1 - Profa Denise
Atenc¸a\u2dco: As respostas devem ser BEM CLARAS e TUDO deve ser justificado. TODOS os ca´lculos necessa´rios a` resoluc¸a\u2dco dos
exerc´\u131cios devem estar na prova. Quando um TEOREMA estiver sendo utilizado, ele, bem como suas HIPO´TESES, devem ser
EXPLICITAMENTE referenciados. Caso estas recomendac¸o\u2dces na\u2dco sejam observadas, a soluc¸a\u2dco da questa\u2dco pode NA\u2dcO ser aceita.
- As questo\u2dces podem ser resolvidas em qualquer ordem, mas cada soluc¸a\u2dco deve ser devidamente numerada.
- As resoluc¸o\u2dces podem ser feitas a la´pis, mas as respostas devem ser escritas a` caneta. Esboc¸os que sa\u2dco respostas finais tambe´m
devem ser a` caneta, deixando bem claro pontos abertos, intersec¸o\u2dces, tracejados, ass´\u131ntotas, etc.
- Na\u2dco e´ permitido sair da sala durante a` prova.
- Os celulares devem ser desligados e colocados dentro da mochila, que devera´ ser colocada embaixo do quadro.
- Na\u2dco e´ permitido o uso de calculadora.
- A prova soma 12 pontos, mas a nota ma´xima na\u2dco podera´ exceder 10 pontos. BOA PROVA!
1. ( ) Considere a func¸a\u2dco F : Dom(F ) \u2286 R2 \u2192 R2 definida por
F (x, y) =
(
e
\u221a
9\u2212(x2\u2212y2) , ln(xy)
)
a) Determine analiticamente e esboce Dom(F ), sabendo que Dom(F ) e´ o maior subconjunto poss´\u131vel.
Tambe´m descreva em palavras se achar necessa´rio para facilitar a visualizac¸a\u2dco do esboc¸o.
b) Determine um ponto do conjunto de n´\u131vel K = (e
\u221a
7, 0) da func¸a\u2dco F .
c) Utilize o Teorema da Func¸a\u2dco inversa para verificar que F possui uma inversa de classe C1 numa
vizinhanc¸a do ponto (2, 1). Justifique muito bem.
d) Denote por F\u22121 a inversa de F numa vizinhanc¸a do ponto F (2, 1). Determine a func¸a\u2dco afim que
melhor aproxima F\u22121 numa vizinhanc¸a do ponto F (2, 1).
e) Seja g : R2 \u2192 R uma func¸a\u2dco de classe C1 e seja H a func¸a\u2dco definida por H = g \u25e6 F . Sabe-se que
g(e2, ln 2) = e e que \u2207g(e2, ln 2) = (2e\u22122 , 3). Encontre a equac¸a\u2dco do plano tangente ao gra´fico de
H no ponto (2, 1, e).
f) Considerando a func¸a\u2dco H definida no item (e), encontre a taxa de variac¸a\u2dco de H, no ponto (2, 1), na
direc¸a\u2dco e sentido do vetor ~u, onde ~u e´ o versor do vetor ~v = (3, 4).
g) Considerando a func¸a\u2dco H definida no item (e), encontre o vetor unita´rio ~u, tal que a taxa de variac¸a\u2dco
de H, no ponto (2, 1), na direc¸a\u2dco e sentido do vetor ~u e´ nula.
2. ( ) Utilizando o me´todo dos multiplicadores de Lagrange, determine e classifique os extremos da
func¸a\u2dco f definida por f(x, y, z) = x\u2212 2y+ 2z restrita ao conjunto D = {(x, y, z) \u2208 R3 | x2 + y2 + z2 = 1}.
3. ( ) Seja f : R2 \u2192 R uma func¸a\u2dco de classe C\u221e. Sabe-se que o polino\u2c6mio de Taylor de ordem 2 de f
em torno do ponto (1, 2) e´ igual a
P2(x, y) = 5\u2212 2(x\u2212 1)2 \u2212 3(y \u2212 2)2 + 4(x\u2212 1)(y \u2212 2).
a) Fornec¸a um ponto pertencente ao gra´fico de f .
b) Pode-se afirmar que (1, 2) e´ ponto cr´\u131tico de f? Por que\u2c6?
c) Classifique o ponto (1, 2).
4. ( ) Considere a curva C parametrizada pela func¸a\u2dco diferencia´vel \u3b3 : [0, 10]\u2192 R2. Sabe-se que:
\u3b3(7) = (2, 5) ; \u3b3\u2032(7) 6= ~0 ; f(\u3b3(t)) = 9
2
, \u2200 t \u2208 [0, 10], onde f(x, y) = x
2
4
+
y2
9
.
a) Determine a reta tangente a C no ponto (2, 5).
b) Seja g : R2 \u2192 R2 a func¸a\u2dco definida por g(u, v) =
(
1\u221a
u2 + v2 + 7
, eu
2v2
)
. Defina a func¸a\u2dco h, como
h(u, v) = f(g(u, v)). Determine a equac¸a\u2dco do plano tangente ao gra´fico de h no ponto (2, 5, h(2, 5)).
5. ( ) Considere as equac¸o\u2dces a seguir.
senx+ y5 + z = 0
xy + xz + yz + sen y = 0
a) Mostre que numa vizinhanc¸a N do ponto x0 = 0, as equac¸o\u2dces acima definem implicitamente uma
curva C, parametrizada por uma func¸a\u2dco de classe C1, \u3b3(x) = (y(x), z(x)), x \u2208 N , que satisfaz a
\u3b3(0) = (0, 0).
b) Determine a equac¸a\u2dco da reta tangente a C em x0 = 0.
6. ( ) Considere a func¸a\u2dco de classe C1
F (t, x, y) = (f1(t, x, y), f2(t, x, y)).
Suponha que F (1, 2, 5) = (0, 0) e defina X = t e Y = (x, y). Sabe-se que
F \u2032(1, 2, 5) =
\uf8eb\uf8ed 2 1 4
\u22121 2 2
\uf8f6\uf8f8 .
Seja S =
{
(X,Y ) \u2208 R3 | F (X,Y ) = (0, 0)}.
a) Mostre que S define uma curva C, parametrizada por uma func¸a\u2dco de classe C1, Y = f(X), numa
vizinhanc¸a do ponto (1, 2, 5) \u2208 S.
b) Encontre a equac¸a\u2dco da reta tangente a C no ponto f(1).