Estatística Descritiva

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Universidade Estadual do Oeste do Paraná 
Campus de Foz do Iguaçu 
Centro de Engenharias e Ciências Exatas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EESSTTAATTÍÍSSTTIICCAA 
DDEESSCCRRIITTIIVVAA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Carlos dos Santos 
 
 
 
 
 
Foz do Iguaçu 
Fevereiro/2015 
 
 
1 
 
Sumário 
 
1 Introdução.....................................................................................................................2 
2 Tipos de variáveis Estatísticas ................................................................................... 3 
2.1 Sequência de exercícios nº 1 .................................................................................................... 4 
3 Representação tabular ............................................................................................... 5 
3.1 Tabelas de frequências de dados não agrupados em classes ........................................................ 6 
3.2 Tabelas de frequências de variáveis qualitativas ........................................................................ 8 
3.3 Tabelas de frequências de dados agrupados em classes .............................................................. 9 
3.4 Sequência de exercícios nº 2 ................................................................................................... 12 
4 Representação Gráfica ............................................................................................ 14 
4.1 Gráfico de pontos ................................................................................................................... 14 
4.2 Gráfico de frequências acumuladas ........................................................................................ 15 
4.3 Histograma ............................................................................................................................ 16 
4.4 Polígono de frequências .......................................................................................................... 17 
4.5 Polígono de frequências acumuladas ....................................................................................... 18 
4.6 Gráfico de Barras .................................................................................................................... 19 
4.7 Gráfico de setores ................................................................................................................... 20 
4.8 Gráfico de linhas..................................................................................................................... 22 
4.9 Sequência de exercícios nº 3 ................................................................................................... 24 
5 Medidas de tendência central .................................................................................. 26 
5.1 Média Aritmética .................................................................................................................... 26 
5.2 Mediana ................................................................................................................................. 29 
5.2.1 Determinação da mediana de dados brutos ...................................................................... 29 
5.2.2 Determinação da mediana de dados tabulados não-agrupados em classes ......................... 31 
5.2.3 Determinação da mediana de dados tabulados e agrupados em classes ............................. 34 
5.3 Moda (Mo) ............................................................................................................................. 36 
5.3.1 Determinação da moda de valores não tabulados ............................................................ 36 
5.3.2 Determinação da moda de valores tabulados e não agrupados em classes ......................... 36 
5.3.3 Determinação da moda de valores tabulados e agrupados em classes.................................37 
5.3.4 Sequência de exercícios nº 4 ........................................................................................... 38 
6 Medidas Separatrizes............................................................................................... 39 
6.1 Quartis(Q) .............................................................................................................................. 39 
6.1.1 Determinação de quartis de dados brutos ......................................................................... 40 
6.1.2 Determinação de quartis de dados tabulados .................................................................... 42 
7 Medidas de dispersão .............................................................................................. 45 
7.1 Variância e desvio padrão ....................................................................................................... 46 
7.2 Desvio médio (Dm) ................................................................................................................ 50 
7.3 Amplitude total ou Intervalo total ............................................................................................ 52 
7.4 Intervalo Interquartil ............................................................................................................... 52 
7.5. Coeficiente de variação .......................................................................................................... 53 
8. Medidas de Assimetria e Curtose............................................................................ 55 
8.1 Medidas de Assimetria ............................................................................................................ 55 
8.2 Curtose ................................................................................................................................... 57 
8.3 Sequência de exercícios nº 5 ................................................................................................... 60 
 
 
2 
 
Introdução 
 
A estatística é uma ciência formada por vários métodos aplicados a vários ramos do 
conhecimento humano para a obtenção e utilização de informações que possibilitam a tomada 
de decisão em determinada situação prática. 
A estatística descritiva é uma função (média, moda, mediana, desvio padrão, coeficiente 
de variação, etc.), cujo valor numérico descreve, por si só, determinada característica de um 
conjunto de dados, reduzindo-o a proporções mais facilmente interpretáveis. Em um sentido 
mais amplo, a estatística descritiva pode ser interpretada como a observação de fenômenos de 
mesma natureza, coleta de dados numéricos referentes a esses fenômenos, organização, 
classificação e apresentação desses dados por meio de gráficos e tabelas. 
Pode-se dizer que toda a ciência que manipula dados experimentais necessita da 
estatística como método de análise, para que o pesquisador possa tirar conclusões que 
tenham validade científica. 
Geralmente surge a seguinte pergunta: Porque utilizar os métodos estatísticos? A 
questão colocada não se refere à falta de informação, mas sim como utilizar a informação 
disponível para tomar melhores decisões. É a partir dessa perspectiva que se deve avaliar 
porque um profissional deve conhecer a estatística. Dentre as razões para aprender estatística, 
o profissional precisa: 
 
 Aprender como apresentar e descrever informações de forma adequada. 
 Saber como tirar conclusões a partir de grandes populações com base somente na 
informação obtida de amostras. 
 Saber como melhorar os processos de produção ou prestação de serviços. 
 Saber como obter previsões confiáveis a partir de variáveis de interesse. 
 
Na área de engenharia, a aplicação da estatísticaé muito vasta, estando presente 
principalmente, na análise de propriedades de materiais e no estudo do controle estatístico de 
qualidade industrial, onde as técnicas de controle têm evoluído e proporcionado resultados 
importantes. 
Os profissionais da área de informática avaliam dados de desempenho de novos 
sistemas, por meio de métodos estatísticos. Os programadores executam uma bateria 
completa de testes e fazem os ajustes necessários em quaisquer programas criados antes de 
apresentá-los para o cliente. Vários testes são realizados pelo programador em diferentes 
fases de desenvolvimento para verificar problemas de desempenho e de outros problemas. O 
teste ajuda a eliminar falhas e impede que programas de deixar de funcionar no futuro. 
 
A evolução das técnicas de gestão, nos campos da economia e administração é uma 
realidade devido a também, à utilização de métodos estatísticos, os quais auxiliam na tomada 
3 
 
de decisão. Enfim, todas as áreas do conhecimento humano podem e devem utilizar a 
estatística como ferramenta auxiliadora na descrição e tomada de decisão. 
Neste curso serão desenvolvidos os seguintes tópicos de estatística; Estatística 
descritiva, probabilidade, amostragem e inferência estatística. 
O estudo de amostragem possibilitará o conhecimento das principais técnicas de 
obtenção de amostras bem como suas aplicações. 
O estudo de probabilidades será necessário para que possam ser desenvolvidos os 
principais métodos de inferência estatística. 
A inferência estatística vai possibilitar a tomada de decisão acerca de populações 
(conjunto de elementos que têm pelo menos uma característica de interesse em comum) 
partindo de amostras (subconjuntos representativos da população). 
Por exemplo, suponha um processo produtivo onde um conjunto de 36 peças foi 
inspecionado. Nesse caso, as 36 peças retiradas da produção representam uma amostra da 
população de todas as peças produzidas, de maneira que somente com a aplicação dos 
métodos de inferência estatística será possível responder a determinadas perguntas como: o 
comprimento médio das peças produzidas é menor do que 5 cm? O número de peças 
observadas é suficiente para obter conclusões acerca da população? 
Inicialmente não nos preocuparemos em diferenciar se um conjunto de observações 
corresponde a uma amostra ou população, já que essa distinção será necessária a partir do 
estudo de amostragem. 
 
2 Tipos de variáveis Estatísticas 
 
As características que descrevem a população são chamadas variáveis, e um valor 
observado com relação a uma variável é chamado dado ou observação. 
 
Variável Característica pela qual se deseja que a população seja descrita, ou por meio da qual, 
decisões acerca da população são tomadas. Por exemplo: altura de alunos, comprimento 
peças, preferência do eleitor, etc. 
 
Dado Observação ou realização referente a uma variável. Por exemplo, retirou-se uma peça da 
linha de produção e o comprimento anotado foi de 5cm . Isto é um dado. 
 
Na descrição ou análise de um conjunto de dados estatísticos, é possível associar certos 
tipos de variáveis, pois o tratamento matemático exigido e o método estatístico empregado 
dependerão do tipo de variável em estudo. Podem ser considerados dois tipos de variáveis, as 
qualitativas e as quantitativas. As qualitativas podem ser nominais ou ordinais, enquanto que 
as quantitativas podem ser discretas ou contínuas, como mostra o esquema a seguir: 
 
4 
 














contínuas
discretas
vasquantitati
ordinais
nominais
asqualitativ
variáveisdeTipos
 
 
As variáveis qualitativas estão associadas a uma característica que denota qualidade ou 
atributo, sendo que as qualitativas nominais não seguem uma ordem pré-definida. Alguns 
exemplos de variáveis qualitativas nominais são: cor dos olhos dos operários de certa indústria 
(azuis, castanhos, verdes, etc), desempenho dos operários (ótimo, bom, regular, péssimo, etc), 
qualidade de produtos (defeituosos, perfeitos, recuperáveis, etc). Já, as qualitativas ordinais 
seguem uma determinada ordem. Um exemplo clássico desse tipo de variável é o grau de 
escolaridade (1
o
 grau, 2
o
 grau, 3
o
 grau, etc). 
As variáveis quantitativas estão associadas a valores numéricos, podendo ser discretas ou 
contínuas. Uma variável é dita discreta quando o número de valores for finito ou infinito 
enumerável. São exemplos de variáveis discretas: número de peças produzidas por certa 
indústria, número de defeitos encontrados em seus produtos, número de dias que choveu em 
certa localidade durante o mês de março, etc. A variável contínua é aquela que pode, ao 
menos teoricamente, assumir qualquer valor entre dois valores possíveis dessa variável. 
Alguns exemplos de variáveis contínuas são: comprimentos de parafusos fabricados por certa 
máquina, tempos gastos pelos operários para realizar certa tarefa, resistência à ruptura dos 
cabos produzidos por certa companhia, etc. Costuma-se dizer, de uma maneira geral, que as 
variáveis discretas estão associadas às contagens e as variáveis contínuas às medições 
(metros, kg, minutos, etc). 
 
2.1 Sequência de exercícios nº 1 
 
01 Dê a definição de estatística 
 
02 Dê a definição de Estatística descritiva 
 
03. Como a estatística é usada na sua área de formação? 
 
04 Classificar cada uma das seguintes variáveis (qualitativa nominal, qualitativa ordinal, 
quantitativa discreta ou contínua): 
 
a) População: Válvulas fabricadas por certa indústria 
Variável: número de válvulas defeituosas em cada lote de 100 válvulas. 
b) População: cabos fabricados por certa companhia; 
5 
 
Variável: número de cabos defeituosos am cada lote de 100 cabos 
c) População: Cursos de matemática de nível superior 
Variável: colocação no último provão do MEC. 
d) População: Televisão de certa marca 
Variável: opinião dos compradores acerca da qualidade 
e) População: Cultivar de Milho A 
Variável: número de espigas produzidas por planta 
Variável: altura da planta 
f) População: Bois da raça Nelore 
Variável: Peso de abate 
 
 
3 Representação tabular 
 
Quando um conjunto de observações de certo fenômeno não está devidamente 
organizado, são chamados de dados brutos, fornecendo poucas informações de interesse ao 
pesquisador. 
 
Dados brutos É uma listagem dos dados originais, apresentada de forma desordenada. 
 
 A primeira forma de organiza-los é a de ordena-los, construindo o chamado Rol. 
 
Rol É uma listagem na qual os valores observados estão dispostos em ordem crescente, ou 
decrescente 
 
 Apesar de o rol propiciar ao analista, mais informações, com menos esforço de 
visualização que os dados originais, não se sabe de imediato, quantos elementos ocorrem em 
cada categoria, exigindo para isso uma contagem. Esse problema se agrava com o aumento do 
número de observações, pois a consulta teria que ser feita diretamente à lista. Portanto, foi 
idealizada a distribuição de frequências, as quais associam os valores da variável estudada, 
com as respectivas frequências. 
 
Frequência Medida que quantifica a ocorrência de valores de uma variável 
 
Distribuição de frequência Consiste em uma função que associa os valores que uma variável 
assume com suas respectivas frequências de ocorrência. 
 
Assim, a representação tabular consiste em dispor a distribuição de frequências das 
categorias ou valores da variável em tabelas. 
Uma tabela pode apresentar e caracterizar os seguintes tipos de frequências: 
 
6 
 
Frequência 














)(
)(
)(
)(
farrelativafaabsoluta
acumulada
frrelativa
fabsoluta
simples
 
 
Geralmente uma tabela é formada pelos seguinte componentes: Título, Cabeçalho, 
coluna indicadora, Corpo, Linha de totais e Rodapé. Conforme a Figura 1.1 
O título deve conter as informações relativas ao conteúdo da tabela, a(s) variáve(is) 
dispostas, podendo ainda conter o local de coleta dos dados, e quando foi realizado o estudo. 
O cabeçalho especifica as variáveis e a frequência (ou outra característica) correspondente aos 
seus valores. 
O corpo é representado por uma série de colunas e subcolunas, dentro das quais são 
colocados os dados agrupados. No rodapé são colocadas a legenda e todas as observações 
que venham a esclarecer a interpretação da tabela. De um modo geral aí também é disposta a 
fonte dos dados (entidade que fornece), embora em alguns casos ela seja colocada no título. 
Segundo as regras da ABNT, as laterais da tabela não devem ser fechadas e não deve haver 
traços horizontais separando as linhas interiores da tabela. 
 
 
Figura 1.1 - Componentes de uma tabela 
 
Mais detalhes sobre normas tabelas deverão norma NBR 14724:2011 subitem 5.9, que por 
sua vez, remete as Normas de Apresentação Tabular do Instituto Brasileiro de Geografia e 
Estatística – IBGE (1993), as quais podem ser encontrado no seguinte site: 
http://biblioteca.ibge.gov.br/visualizacao/livros/liv23907.pdf 
 
3.1 Tabelas de frequências de dados não agrupados em classes 
 
Classes são intervalos numéricos que representam os valores de uma variável 
 
7 
 
Nas tabelas com dados não-agrupados em classes, os valores são individuais da 
primeira coluna são individuais. Esse tipo de tabela é utilizado quando a variável em estudo é 
quantitativa discreta e possui no máximo dez valores individuais. 
 
Exemplo 
 
Considere a variável discreta X, representando o número de componentes eletrônicos 
defeituosos em cada lote 500 componentes produzidos. Foram inspecionados 50 lotes, 
fornecendo os seguintes valores para X: 
 
Dados brutos 
 
5 3 2 1 4 5 5 6 7 4 
6 5 4 5 3 6 7 7 5 5 
4 6 6 4 2 3 0 5 6 3 
8 4 4 4 3 0 1 3 2 4 
1 4 5 4 6 2 5 6 4 3 
 
 
 Rol 
0 2 3 3 4 4 5 5 6 6 
0 2 3 4 4 4 5 5 6 7 
1 2 3 4 4 4 5 5 6 7 
1 2 3 4 4 5 5 6 6 7 
1 3 3 4 4 5 5 6 6 8 
 
 
Tabela 1.1 Número de componentes eletrônicos defeituosos em cada lote de 500 componentes 
Número de 
Componentes defeituosos 
Número 
de lotes (f) 
Porcentagem 
fr(%) 
Número 
de lotes (fa) 
Porcentagem 
Acumulada far(%) 
0 2 (2/50)*100 = 4 2 4 
1 3 (3/50)*100 = 6 5 10 
2 4 (4/50)*100 = 8 9 18 
3 7 (7/50)*100 = 14 16 32 
4 12 (12/50)*100 = 24 28 56 
5 10 (10/50)*100 = 20 38 76 
6 8 (8/50)*100 = 16 46 92 
7 3 (3/50)*100 = 6 49 98 
8 1 (1/50)*100 = 2 50 100 
Total 50 100 
Fonte: dados fictícios 
 
Observa-se que apenas 2 lotes não apresentaram componentes defeituosos, 
representando, 4% do total de lotes inspecionados; o número de componentes eletrônicos 
defeituosos mais frequente foi o de 4 componentes, ocorrendo em 12 lotes, o equivalente a 
24% dos lotes; ocorreu o número de 5 componentes defeituosos em 10 lotes, o equivalente a 
20% dos 50 lotes, sendo o segundo predominante. 
8 
 
Ocorreram 28 lotes, o equivalente a 56% do total de lotes inspecionados, com 4 
componentes defeituosos ou menos. 
 
3.2 Tabelas de frequências de variáveis qualitativas 
 
 As tabelas de variáveis qualitativas podem ser de entrada simples, de dupla entrada, e 
de múltipla entrada. A cada entrada corresponde uma linha (ou coluna) de totais. Nesse tipo de 
tabela, as categorias devem ser organizadas, de forma que haja uma ordem decrescente de 
frequências. 
 
Exemplo 
 
 Suponha que a empresa A, a fim de realizar torneios internos, resolveu realizar uma 
pesquisa sobre a preferência esportiva de seus funcionários, resultando a Tabela 1.1 
 
Tabela 1.2 - Preferência esportiva dos Funcionários da empresa A 
Preferência Número de 
Funcionários (f) 
Porcentagem 
fr(%) 
Número de 
funcionários 
fa 
Porcentagem 
far(%) 
Futebol 40 (40/104)*100 = 38,46 0 + 40 = 40 0 + 38,46 = 38,46 
Vôlei 32 (32/104)*100 = 30,77 40+ 32 = 72 38.46 + 30,77 = 69,23 
Basquete 24 (24/104)*100 = 23,08 72 + 24 =96 60,23 + 23,08 = 92,31 
Handebol 8 (8/104)*100 = 7,69 96 + 8 = 104 92,31 + 7,69 = 100,00 
TOTAL 104 100 
Fonte: dados fictícios 
 
Percebe-se que a preferência esportiva de maior frequência foi o futebol com 40 de 104 
funcionários, o equivalente a 38,46. Nota-se que o vôlei foi o segundo esporte preferido, com 
32 funcionários, o equivalente a 30,77%. Observa-se, ainda, que, o futebol e o vôlei somaram 
juntas 72 funcionários, o equivalente a 69,23% do total, ou seja, a maioria. O basquete vem em 
terceiro, com 96% da preferência. 
É comum, no entanto, a necessidade de apresentar, numa só tabela, mais do que uma 
característica em estudo. Assim, torna-se necessário o uso de tabelas de dupla entrada. A 
Tabela 1.2, por exemplo, mostra a preferência esportiva dos funcionários da empresa A, 
levando em conta variável sexo. 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
 
Tabela 1.3 - Preferência esportiva dos funcionários da empresa A, segundo o sexo. 
Preferência 
esportiva 
Masculino Feminino 
Total Nº de 
funcionários 
Porcentagem 
Nº de 
funcionários 
Porcentagem 
Futebol 30 75,0 10 25,0 40 
Vôlei 12 37,5 20 62,5 32 
Basquete 14 58,3 10 41,7 24 
Handebol 2 25,0 6 75,0 8 
Total 58 46 104 
Fonte: Dados Fictícios 
 
 Percebe-se que o número total de homens é diferente do número de mulheres, 
portanto não é possível fazer uma comparação entre homens e mulheres diretamente pela 
frequência Absoluta. Por outro lado, esta comparação pode ser feita por meio das 
porcentagens. Percebe-se, portanto, que dos funcionários que preferem futebol, 75% são 
homens e 25% são mulheres. Daqueles funcionários que preferem o vôlei, 37,5% são do sexo 
masculino e 62,5% são do sexo feminino. No basquete, 58,3% são homens e 41,7% são 
mulheres. No handebol, o número de funcionários é insuficiente. Portanto, é possível organizar 
um torneio de futebol masculino ou misto, um torneio de vôlei feminino ou misto e um torneio 
de basquete misto. 
 
3.3 Tabelas de frequências de dados agrupados em classes 
 
Os dados tabulados e agrupados em classes são utilizados quando a variável em estudo 
é quantitativa contínua ou, quando é discreta, mas o número de valores individuais é maior do 
que 10. Neste último caso, o procedimento de agrupar dados individuais, em classes, visa 
evitar certos inconvenientes, tais como: 
- Grande extensão da tabela, dificultando tanto quanto os dados brutos, a leitura e a 
interpretação dos resultados; 
- Aparecimento de diversos valores da variável com frequência nula. 
 
Exemplo 
 
Suponha que um fabricante de autopeças, a fim de realizar o controle de qualidade, 
mediu o comprimento em milímetros de um determinado tipo peça, cujos dados são 
apresentados a seguir: 
 
 
 
 
 
10 
 
 
130,00 105,00 120,00 111,50 99,00 116,00 82,50 
107,50 125,00 100,00 107,50 120,00 143,00 115,00 
135,00 130,00 135,00 127,50 90,50 104,50 136,50 
100,00 145,00 125,00 104,50 101,50 102,50 101,50 
134,50 158,50 110,00 102,50 90,50 107,50 124,00 
121,50 135,00 102,00 119,50 115,50 125,50 117,50 
107,50 140,00 121,00 107,50 113,00 93,00 103,50 
a) O primeiro passo é o de ordenar a lista de dados brutos (Rol) 
 
 
82,50 101,50 104,50 110,00 119,50 125,00 135,00 
90,50 101,50 105,00 111,50 120,00 125,50 135,00 
90,50 102,00 107,50 113,00 120,00 127,50 136,50 
93,00 102,50 107,50 115,00 121,00 130,00 140,00 
99,00102,50 107,50 115,50 121,50 130,00 143,00 
100,00 103,50 107,50 116,00 124,00 134,50 145,00 
100,00 104,50 107,50 117,50 125,00 135,00 158,50 
 
b) Encontrar a amplitude total do conjunto de valores observados, a qual é dada por: 
 
At = Maior valor observado – Menor valor observado 
 
 At = 158,50 – 82,50 = 76 
 
c) Escolher o número de classes (k). Alguns autores propõem que se utilize a fórmula de 
Sturges, expressada por: 
 
K = 1 + 3,3*log n 
 
em que n é o número total de observações. O número k de classes geralmente terá casas 
decimais, portanto, convém arredondá-lo para um número inteiro, usando as regras de 
arredondamento, de forma que a última classe inclua o maior valor observado. Apesar de 
realizar este procedimento, podem ocorrer alguns casos em que o maior valor observado não 
venha a ser incluído na última classe. Então, faz-se necessário arredondar também a amplitude 
C do intervalo de classe. Assim, para o exemplo dado tem-se 
 
K = 1 + 3,3 x log 49  k = 6,577...  k = 7 
 
Portanto, a tabela deverá ter sete classes ou intervalos. 
11 
 
 
d) Determinar a amplitude do intervalo de classe, dada pela fórmula a seguir: 
 
C = 
k
A t
 
 
No exemplo dado tem-se C = 
7
76
 = 10,85714285714  C = 10,86 
Nesse exemplo não foi preciso aumentar a amplitude do intervalo de classe. Geralmente 
surge a seguinte pergunta: Quando se sabe que é preciso aumentar a amplitude C? É preciso 
fazer seguinte cálculo: 
 
Limite superior da última classe = menor valor +C.K 
 
Limite superior da última classe = 82,5 +10,86 * 7 = 158,52 > 158,5 (máximo valor 
observado). Ok, então as classes da tabela já podem ser construídas. 
 
No exemplo dado, se fossem construídas as k =7 classes e a última dessas não 
incluísse o maior valor observado (158,5), o leitor deveria retornar à amplitude C e arredondá-la 
para mais. Nesse caso teríamos C = 10,87. Caso o problema persistisse, o processo deveria 
ser repetido. Logo, a nova amplitude de classe seria C = 10,86. 
 
e) Determinar os limites de classes. Muitos autores adotam os seguintes símbolos: 
 
I : indica inclusão na classe do valor situado à sua esquerda e exclusão do valor situado à 
sua direita. 
I : indica exclusão na classe do valor situado à sua esquerda e inclusão do valor situado à 
sua direita. 
II : indica inclusão na classe dos valores situados a sua esquerda e à direita. 
 
Adotaremos aqui, o procedimento de somar o menor valor observado à amplitude C. O 
resultado desta soma será somado novamente à amplitude C, e assim sucessivamente, até 
que sejam criadas todas as classes necessárias. Neste exemplo, C = 10,86, e o menor valor o 
é 82,50, então, 
Para 82,50 + 10,86 = 93,36 Tem-se 82,50 I 93,36 
Para 93,36 + 10,86 =104,22 tem-se 93,36 I 104,22 
Para 104,22 + 10,86 =115,08 tem-se 104,22 I 115,08 
Para 115,08 + 10,86 =125,94 tem-se 115,08 I 125,94 
Para 125,94 + 10,86 =136,80 tem-se 125,94 I 136,80 
12 
 
Para 136,80 + 10,86 =147,66 tem-se 136,80 I 147,66 
Para 147,66 + 10,86 =158,52 tem-se 147,66 I 158,52 
 
 Nota-se que a última classe 147,66 I 158,52 já inclui o maior valor observado (158,50), 
então não é preciso construir mais classes. O passo seguinte é o de retornar aos dados 
ordenados (ROL) e fazer a contagem dos valores incluídos em cada classe. Nesses dados 
percebe-se que os quatro primeiros valores (82.50; 90,50; 90,50 e 93) estão dentro da classe 
82,50 I 93,36. Portanto, a frequência desta categoria é 4. As frequências de todas as classes 
estão na tabela 1.4. 
 
TABELA 1.4 - Comprimento em milímetros de auto-peças do tipo A 
Classes 
Comprimento (mm) 
n
o
 de peças Frequência 
acumulada 
Porcentagem 
 
Porcentagem 
acumulada 
 
 82,50 I 93,36 4 4 8,2 8,2 
 93,36 I 104,22 9 13 18,4 26,5 
104,22 I 115,08 12 25 24,5 51,0 
115,08 I 125,94 12 37 24,5 75,5 
125,94 I 136,80 8 45 16,3 91,8 
136,80 I 147,66 3 48 6,1 98,0 
147,66 I 158,52 1 49 2,0 100,0 
TOTAL 49 
Fonte: Dados fictícios 
 
 Nota-se que, das 49 peças observadas, 12 o equivalente 24,5% apresentaram 
comprimento maior ou igual a 104,22 e menor do que 115,08mm. Outras 12 apresentaram 
comprimento maior ou igual a 115,08 e menor do que 125,94mm. Então, estas foram as duas 
classes com maior frequência. Se forem somadas as frequências dessas duas categorias 
haverá 24 peças, ou seja, quase metade das 49 peças observadas. No cruzamento da terceira 
coluna da tabela com a linha da classe 115,08 I 125,94 ocorreu o número 37, isto significa 
que 37 peças, o equivalente 75,5% das 49 inspecionadas apresentaram comprimento igual ou 
superior a 85, 5 e inferior a 125,94 mm. A partir dessas informações o fabricante poderá saber 
se os resultados estão dentro das especificações, ou não. 
 
3.4 Sequência de exercícios nº 2 
 
01 Foi feita uma pesquisa com uma amostra de 80 alunos de instituições de ensino superior. 
Uma das variáveis em estudo foi o número de pessoas na família. O resultado foi o seguinte: 
 
 
 
 
 
13 
 
2 3 5 4 2 3 1 5 3 2 
2 2 1 3 2 2 3 3 4 1 
1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 
5 5 5 6 4 2 3 5 2 2 
5 4 3 2 2 2 3 2 2 3 
2 5 3 5 2 3 2 2 4 5 
2 2 2 3 4 4 5 5 3 3 
2 2 2 1 5 5 1 2 2 3 
 
a) Qual é a variável em estudo e de que tipo ela é? 
b) Qual é o tipo de tabela mais adequado para os dados? Justifique a sua reposta. 
c) Construa a tabela com todos os tipos de frequências. 
d) Interprete os principais resultados da tabela. 
 
02 Foram inspecionadas 50 peças produzidas por uma máquina. A e a classificação foi a 
seguinte: P = perfeita, R = recuperável e D = defeituosa. O resultado foi o seguinte: 
 
P 
 
D 
 
P 
 
P 
 
D 
 
D 
 
P 
 
D 
 
R 
 
R 
 
P 
 
P 
 
P 
 
R 
 
R 
 
P 
 
P 
 
P 
 
R 
 
R 
 
R 
 
P 
 
D 
 
P 
 
D 
 
P 
 
R 
 
R 
 
R 
 
P 
 
P 
 
R 
 
R 
 
R 
 
P 
 
P 
 
P 
 
P 
 
R 
 
D 
 
D 
 
P 
 
P 
 
P 
 
P 
 
D 
 
D 
 
R 
 
D 
 
D 
 
 
a) Qual é a variável em estudo e de que tipo ela é? 
b) Qual é o tipo de tabela mais adequado para os dados? Justifique a sua reposta. 
c) Construa a tabela com todos os tipos de frequências. 
d) Interprete os principais resultados da tabela. 
 
03. O tempo necessário para realizar certa operação industrial foi cronometrado (em 
segundos), sendo feitas 40 determinações 
 
45 37 39 48 51 40 53 49 
39 41 45 43 45 34 45 35 
41 57 38 46 46 58 57 36 
58 35 31 59 44 57 45 44 
38 43 33 56 47 48 44 49 
14 
 
 
a) Qual é a variável em estudo e de que tipo ela é? 
b) Qual é o tipo de tabela mais adequado para os dados? Justifique a sua reposta. 
c) Construa a tabela com todos os tipos de frequências. 
d) Interprete os principais resultados da tabela. 
 
4 Representação gráfica 
 
A apresentação de dados também pode ser feita mediante gráficos. 
 
Gráfico: Diagrama ou figura para ilustração de fenômenos ou tendências, no qual existem 
escalas definidas 
 
As tabelas de frequência têm utilidade como instrumento de análise e de apresentação 
de dados estatísticos. A apresentação gráfica é um complemento das tabelas e possui uma 
vantagem adicional de propiciar a visualização mais rápida do comportamento da característica 
que está sendo estudada, bem como sua variação. 
Neste curso serão apresentados os principais tipos de gráficos, são eles: Gráficos de 
pontos,de frequências acumuladas, histograma, polígono de frequências, polígono de 
frequências acumuladas, gráficos em barras simples, gráfico em barras compostas (horizontais 
e verticais), gráfico em setores e gráficos em linhas (simples e compostas). 
 
 
4.1 Gráfico de pontos 
 
Esse tipo de gráfico pode ser utilizado quando a variável em estudo é discreta e possui 
no máximo dez valores individuais. Retornando ao exemplo dos componentes eletrônicos 
defeituosos tem-se: 
 
Número de 
Componentes defeituosos 
Número 
de lotes (f) 
0 2 
1 3 
2 4 
3 7 
4 12 
5 10 
6 8 
7 3 
8 1 
Total 50 
 
A variável “número de componentes defeituosos” é quantitativa discreta e possui apenas 
9 valores individuais, portanto o gráfico de pontos é o mais adequado pra apresentar os dados. 
15 
 
 
Componentes eletrônicos defefeituosos
0
2
4
6
8
10
12
14
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Nº de componentes defeituosos
Nº
 d
e 
lo
te
s
 
Fonte: Dados fictícios 
Figura 1.2 - Número de componentes eletrônicos defeituosos 
em cada lote de 500 unidades. 
 
Percebe-se de imediato na Figura 1.2, sem verificar números, que as frequências 
crescem até o valor 4 e depois decrescem e, que o número de componentes eletrônicos 
defeituosos mais frequente foi 4, e o segundo predominante foi o de 5 unidades, por lote de 
500 peças. 
 
4.2 Gráfico de frequências acumuladas 
 
Esse tipo de gráfico também é utilizado para apresentar o comportamento de variáveis 
quantitativas discretas com no máximo dez valores individuais, porém, o mesmo representa as 
frequências acumuladas absolutas (fa) ou acumuladas relativas (far). No exemplo dos 
componentes eletrônicos tem-se: 
 
Número de 
Componentes defeituosos 
Número 
de lotes (fa) 
0 2 
1 5 
2 9 
3 16 
4 28 
5 38 
6 46 
7 49 
8 50 
 
16 
 
 
 
Figura 1.3 – Frequência acumulada de componentes 
eletrônicos defeituosos. 
 
4.3 Histograma 
 
O histograma de frequências é uma representação gráfica formada por retângulos 
justapostos, de base igual à amplitude do intervalo de classe (C) e altura igual à frequência 
simples absoluta(f) ou frequência relativa fr (%). Esse tipo de gráfico pode ser utilizado no caso 
de variáveis quantitativas contínuas. Na tabela 1.5 tem-se um exemplo de variável quantitativa 
contínua. 
 
Tabela 1.4 – Vida útil, em horas, de ferramentas de corte em um processo industrial 
Classes 
(Horas) 
N
o
 de Ferram. Porcentagem Frequência 
acumulada 
Porcentagem 
acumulada 
 0,0I 24,9 2 0,0286 

 100 = 2,86 0 + 2 = 2 0 + 2,86 = 2,86 
24,9I 49,8 4 0,0571 

 100 = 5,71 2 + 4 = 6 2,86 + 5,71 = 8,57 
49,8I 74,7 12 0,1714 

 100 =17,14 6 + 12 =18 8,57 + 17,14 = 5,71 
 74,7I 99,6 30 0,4286 

 100 = 42,86 18 + 30 = 48 25,71 + 42,86 = 68,57 
 99,6I 124,5 18 0,2571 

 100 = 0,2571 48 + 18 = 66 68,57 + 25,71 = 94,28 
124,5I 149,4 4 0,0571 

 100 = 0,0571 66 + 4 = 70 94,28 + 5,71 = 100 
TOTAL 70 100 
 Fonte: Dados fictícios 
 
Os dados das duas primeiras colunas da tabela acima estão representados na Figura 1.4 
 
Fonte: Dados fictícios 
Figura 1.4 – Histograma de frequências 
17 
 
 
Percebe-se que a faixa de tempo duração de maior frequência foi superior ou igual a 
74,7 e inferior a 99,6 horas, com 30 ferramentas de um total de 70. Ocorreram 18 ferramentas, 
sendo esta a segunda maior frequência, com tempo maior ou igual a 99,6 e menor que 124,5 
horas de duração. Ocorreram apenas duas ferramentas, sendo esta a menor frequência, com 
tempo de duração menor a 24,9 horas. O pesquisador deverá verificar qual é o tempo mínimo 
exigido para esse tipo de ferramenta para concluir se o resultado está bom, ou não. 
 
4.4 Polígono de frequências 
 
O polígono de frequências é obtido pelo ligamento dos pontos médios dos retângulos 
formados no histograma, por meio de uma linha. A área entre o eixo das abscissas e esta linha 
formará um polígono. 
Esse tipo de gráfico auxiliará na avaliação de uma importante distribuição de 
probabilidade, a chamada distribuição normal, a qual será mostrada em seções posteriores. 
 O polígono de frequências construído com o auxílio do histograma apresentado 
anteriormente está apresentado na Figura 1.5. 
 
 
Fonte: Dados fictícios 
Figura 1.5 – Polígono de frequências 
 
O Polígono de frequências serve para estudar se a formada distribuição de frequências se 
aproxima da distribuição normal, mostrada na figura 1.6. 
18 
 
3210-1-2-3
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
X
Gráfico da distribução normal
 
Figura 1.6 – Distribuição normal 
 
Olhando para o polígono de frequências (figura 1.5), nota-se que ele tem 
aproximadamente a forma da distribuição normal (figura 1.6). Essa informação pode servir, por 
exemplo, para o pesquisador decidir em aplicar o intervalo de confiança da média ou realizar o 
teste de hipótese da média, utilizando a distribuição normal ou a distribuição aproximadamente 
normal (distribuição t de student), as quais serão estudadas no decorrer do curso. 
 
4.5 Polígono de frequências acumuladas 
 
Assim como o gráfico anterior, o polígono de frequências cumuladas também é utilizado 
para a representação e descrição de variáveis quantitativas contínuas. Porém, agora os 
retângulos representam frequências acumuladas ao invés de frequências simples. 
 
 
 Fonte: Dados fictícios 
Figura 1.7 - Polígono de frequências acumuladas 
 
 
 
 
19 
 
4.6 Gráfico de Barras 
 
Os gráficos de Barras simples têm por finalidade comparar categorias de uma variável, 
por meio de retângulos de larguras iguais e alturas proporcionais às frequências de cada 
categoria. Cada barra representa uma categoria. 
 
 Na construção de um gráfico de Barras devem ser seguidas algumas normas: 
 
 As barras devem ter as mesmas larguras.; 
 As barras devem ser separadas pelo mesmo espaço; 
 O gráfico deverá ter uma linha zero claramente definida e uma escala de valores 
ininterrupta, caso contrário, a leitura e a interpretação do gráfico poderão ficar 
distorcidas. 
 
O gráfico em barras verticais simples é o mais adequado para comparar categorias de 
uma variável qualitativa, como mostra a Figura 1.8. 
 
 Preferência Porcentagem 
 
Futebol 38,5 
Vôlei 30,8 
Basquete 23,1 
Handebol 7,7 
TOTAL 100 
 
 
Fonte: Dados fictícios 
Figura 1.8 – Preferência esportiva de funcionários da empresa A. 
 
 
 É possível comparar duas categorias ou mais de uma variável qualitativa, dentro de 
uma categoria de outra variável qualitativa, por meio de um gráfico de barras compostas. 
Retornemos ao exemplo da preferência esportiva, segundo o sexo. 
 
20 
 
 
 
 
Preferência 
esportiva 
Masculino Feminino 
Total Nº de 
funcionários 
Porcentagem 
Nº de 
funcionários 
Porcentagem 
Futebol 30 75,0% 10 25,0% 40 
Vôlei 12 37,5% 20 62,5% 32 
Basquete 14 58,3% 10 41,7% 24 
Handebol 2 25,0% 6 75,0% 8 
 
 
 Fonte: Dados fictícios 
Figura 1.9 – Preferência esportiva, segundo o sexo, de funcionários da empresa A. 
 
A interpretação do gráfico é a mesma da tabela. 
 
 
4.7 Gráfico de setores 
 
O gráficos de setores ou setograma, é usado para representar valores absolutos ou 
porcentagens de variáveis qualitativas. 
A construção desse tipo de gráfico, manualmente, pode ser feita com o auxílio de um 
transferidor. Faz-se a marcação dos ângulos correspondentes às quantidades, partindo de um 
ponto qualquer da circunferência e seguindo o sentido dos ponteiros do relógio. No transferidor, 
360
oequivale à frequência total absoluta. O grau equivalente a quantidade de cada categoria 
será calculado por regra de três simples, como mostra o exemplo a seguir: 
 
 
 
 
 
21 
 
Tabela 1.6 – Produção Agrícola do estado em 
toneladas (t) no ano X. 
Produtos Quantidade ( t ) Porcentagem 
Café 400 000 55,56 
Açúcar 200 000 27,78 
Milho 100 000 13,89 
Feijão 20 000 2,78 
Total 720 000 100 
 
 Fonte: Dados fictícios 
 
Cálculo do setor Correspondente ao café 
 
720 000  360
0
 
400 000  x
o
 
 
o200
000720
360000400
x 


 
 
Cálculo do setor Correspondente ao açúcar 
 
720 000  360
0
 
200 000  x
o
 
 
o100
000720
360000200


x
 
 
Cálculo do setor Correspondente ao milho 
 
720 000  360
0
 
100 000  x
o
 
 
o50
000720
360000100


x
 
 
Cálculo do setor Correspondente ao feijão 
 
720 000  360
0
 
 20 000  x
o
 
 
o10
000720
36000020


x
 
 
Resta agora, a construção do gráfico. Com o auxílio do transferidor, faz-se a marcação 
dos ângulos correspondentes às quantidades, partindo de um ponto qualquer da circunferência 
e seguindo o sentido dos ponteiros do relógio. 
 
 
22 
 
 
 Fonte: Dados fictícios 
Figura 1.10 - Produção Agrícola do estado em toneladas (t) no ano X. 
 
 Na figura 1.10 percebe-se de imediato que, a produção maior do estado no ano X foi a 
do café com 55,8% da produção total. A segunda maior produção foi a do açúcar com 27,8%, a 
terceira foi a do milho com 13,9% e a quarta foi a do feijão com 2,8%. 
 
4.8 Gráfico de linhas 
 
 O gráficos de linhas têm sido utilizados para a representação de características 
cronológicas (quando um dos fatores for o tempo), isto porque quando for medida a mesma 
característica durante um grande número de períodos de tempo, a representação dos valores 
através de barras pode conduzir a uma excessiva concentração de dados. Como as 
quantidades são indicadas pelas alturas das barras, estas podem ser substituídas por uma 
linha que siga os movimentos de suas partes superiores. 
Para construir o gráfico de linhas, basta marcar os pontos correspondentes aos valores 
observados em cada período e uni-los por meio de um traço contínuo. A título de ilustração, 
suponha que se queira representar o número de vendas de tratores de esteira produzidos pela 
empresa Z, no de período de 1994 a 2001, como mostra a Tabela 1.7. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
23 
 
Tabela 1.7 – Vendas de tratores de 
esteira – empresa Z 
1994-2001 
Ano Número de tratores 
1994 200 
1995 350 
1996 400 
1997 500 
1998 550 
1999 600 
2000 600 
2001 700 
Fonte: Dados fictícios 
 
Os dados da tabela 1.7 podem ser expostos num gráfico em linha, como mostra a figura 1.10. 
 
 
 Fonte: Dados fictícios 
Figura 1.11 - Vendas de tratores de esteira – empresa Z 1994-2001 
 
No gráfico apresentado nota-se que o número de vendas de tratores de esteira pela 
empresa Z, aumentou em quase todos os anos, em relação ao ano anterior, sendo que o maior 
aumento registrado foi do ano de 1994 para 1995, com aumento de 150 unidades. Apenas de 
1999 a 2000, o número de vendas manteve-se estável, com 600 vendas em cada ano. Levando 
em conta o primeiro e o último ano (1994 e 2001), o número de vendas aumentou de 200 para 
700 vendas anuais. Isso mostra que houve um desenvolvimento da empresa, no período, no 
que se refere à produção. 
As linhas são particularmente mais eficientes que as colunas quando existem intensas 
flutuações das quantidades da característica que está sendo estudada, ou quando há 
necessidade de se representar a mesma característica advinda de origens diferentes Por 
exemplo, suponha que se queira comparar o número de vendas de carros novos de passeio, 
realizadas por 3 funcionários da concessionária A, durante o primeiro trimestre. 
 
 
24 
 
Tabela 1.8 - Número de vendas de carros novos de 
passeio, realizadas por 3 funcionários do 
da concessionária A. 
 
Janeiro Fevereiro Março 
João 1 2 2 
Atônio 4 5 8 
Fernando 10 12 11 
Total 15 18 21 
Fonte: Dados fictícios 
 
. 
 Fonte: Dados fictícios 
Figura 1.12 - Número de vendas de carros novos de passeio, realizadas 
por 3 funcionários do da concessionária A. 
 
 No gráfico apresentado, observa-se que o Fernando teve 10 vendas em janeiro, 12 em 
fevereiro e 11 em Março, tendo um bom desempenho. O número de vendas do Atônio sempre 
cresceu de um mês para o outro, iniciando com 4 unidades em janeiro, 5 em fevereiro e 8 em 
março. Já, as vendas do João foram de 1 carro em janeiro, 2 em fevereiro e 2 em março, tendo 
um desempenho ruim e merece atenção. 
 
4.9 Sequência de exercícios nº 3 
 
01 Considere a estatística de utilização de browser para acesso à internet em determinado 
mês. 
 
 
 
 
 
25 
 
Tabela 1.8 - Estatística web browser de determinado mês. 
Browser Porcentagem 
 
45,9 
 
25,9 
 
15,1 
 
10,6 
 
2,1 
 
0,2 
 
0,2 
 
0,1 
 
0,1 
Fonte: http://www.forumcommunity.net/?act=browser&l=5, acessado em 11/02/2015 
 
a) Qual é a variável em estudo e de que tipo ela é? 
b) Qual é o tipo de gráfico mais adequado para apresentar os dados? Justifique a sua reposta. 
c) Construa o gráfico. 
d) Interprete os principais resultados do gráfico. 
 
02 Os dados da tabela a seguir são referentes ao número de estabelecimentos em Foz do 
Iguaçu, por ano. 
 
Ano 2008 2009 2010 2011 2012 2013 
Nº de hotéis 111 112 110 112 115 109 
Nº de Pousadas 16 19 23 37 47 38 
Fonte: Secretaria municipal de Turismo 
 
a) Qual é o tipo de gráfico mais adequado para apresentar os dados? Justifique a sua reposta. 
b) Construa o gráfico. 
c) Interprete os principais resultados do gráfico. 
 
 
 
 
26 
 
03 A tabela a seguir é referente à distribuição de frequências de comprimentos, em milímetros, 
de auto peças fabricadas por uma indústria. 
 
TABELA 1.4 - Comprimento em milímetros de auto-peças do tipo A 
 
Classes 
Comprimento (mm) 
n
o
 de peças 
(f) 
Frequência 
acumulada (fa) 
Porcentagem 
fr(%) 
Porcentagem 
acumulada (far (%)) 
 82,50 I 93,36 4 4 8,2 8,2 
 93,36 I 104,22 9 13 18,4 26,5 
104,22 I 115,08 12 25 24,5 51,0 
115,08 I 125,94 12 37 24,5 75,5 
125,94 I 136,80 8 45 16,3 91,8 
136,80 I 147,66 3 48 6,1 98,0 
147,66 I 158,52 1 49 2,0 100,0 
TOTAL 49 
Fonte: Dados fictícios 
 
a) Qual é a variável em estudo e de que tipo ela é? 
b) Qual é o tipo de gráfico mais adequado para apresentar os dados? Justifique a sua reposta. 
c) Construa o gráfico. 
d) Interprete os principais resultados do gráfico. 
 
5 Medidas de tendência central 
 
 Foi visto em seções anteriores que, por meio de uma distribuição de frequências, se 
estabelece um sistema de classificação que descreve o padrão da variação de um determinado 
fenômeno. Todavia, somente com a distribuição de frequências não é possível resumir certas 
características importantes em estudo. Devido a isto são utilizadas as medidas de tendência 
central (média, moda, mediana, etc) que resumem o comportamento da variável em estudo, 
através do ponto em torno do qual os dados se distribuem. 
 
5.1 Média Aritmética 
 
A medida de tendência central mais utilizada para descrever resumidamente uma 
distribuição de frequências é a média, ou mais propriamente, a média aritmética 
x
. A média 
aritmética pode ser simples ou ponderada como veremos a seguir. Obtém-se a média 
aritmética simples de um conjunto de valores x1, x2,. . ., xn, pelo quociente entre a soma 
desses valores e o número total de valores observados (
n
), ou seja: 
 
n
x
n
xxx
x
n
i
i
n



 121
 
27 
 
 
em que: xi é o i-ésimo valor observado da variável em estudo; 
 Por exemplo, suponha que em um escritório de consultoria ha cinco contínuos, cujos 
salários são os seguintes, em reais, 
800, 780, 820, 810 e 790, 
 
logo, a média será dada por, 
 
800
5
790810820780800
5
5
1 



i
ix
x 
 
Portanto, a média aritmética dos salários ou o salário médio dos contínuos desse escritório, é 
de 800 reais, sendo considerado um valor baixo. 
A média aritmética será considerada ponderada quando os valores do conjunto tiverem 
pesos diferentes. Obtêm-se a média aritmética ponderada de um conjunto de valores x1, x2, . . 
., xn, dividindo o produto entre esses valores e seus respectivos pesos, pela soma total dos 
pesos, isto é, 
 







n
i
i
n
i
ii
n
nn
p
px
ppp
pxpxpx
x
1
1
21
2211


 
 
Assim, por exemplo, um professor pode realizar uma prova e um trabalho bimestralmente, 
atribuindo a cada um, os pesos 3 e 7. Se um aluno tiver recebido as notas 8 e 6, nesta ordem, 
sua média ponderada será 
 
6,6
10
66
73
7.63.8
p
px
x
2
1i
i
2
1i
ii








 
 
 Portanto, a média ou nota bimestral do aluno, foi 6,6 pontos. Se este aluno for da 
UNIOESTE, o mesmo terá que se recuperar no próximo bimestre. 
 Genericamente, se os valores x1, x2, . . ., xk, ocorrem f1, f2, . . ., fk, vezes, 
respectivamente, a média aritmética será calculada por: 
28 
 
n
fx
f
fx
fff
fxfxfx
x
k
i
ii
k
i
i
k
i
ii
k
kk





 


 1
1
1
21
2211


 
 
em que n é o número total de observações ou a soma total das frequências, e k é o número 
total de classes ou valores individuais. 
 
 A título de ilustração, considere os dados da Tabela 1.8 
 
Tabela 1.8 – Distribuição de frequências do número de defeitos por peça de certa indústria 
 
i Número de 
defeitos 
Número de peças (f) 
 
1 0 12 
2 1 8 
3 2 7 
4 3 1 
5 4 2 
 
Logo, a média será, 
 
defeitos
f
fx
f
fx
x
i
i
i
ii
k
i
i
k
i
ii
1
30
33
217812
2.41.37.28.112.0
5
1
5
1
1
1 










 
 
 Portanto, o número médio de defeitos por peça produzida, foi 1. O ideal seria que essa 
média fosse zero ou bem próxima de zero. Se os dados da tabela forem observados mais 
atentamente, notar-se-á que, 12 peças não apresentaram defeito o equivalente a 40% do total, 
consequentemente, 60% apresentaram pelo menos um defeito. As causas dessa porcentagem 
alta de peças defeituosas deverão ser investigadas, afim de que esse quadro venha a 
melhorar. Será que a máquina está com defeito? Será que o operador está sonolento ou mal 
treinado? Será que a matéria prima é de baixa qualidade? Enfim, devem ser apuradas as 
possíveis causas, e eliminá-las, afim de que o problema seja solucionado. 
Quando os dados são agrupados em classes e não se dispõe dos valores originais, é 
possível calcular a média aritmética por meio dos valores centrais das classes, utilizando a 
expressão anterior. 
n
fx
f
fx
x
k
i
ii
k
i
i
k
i
ii 




  1
1
1 
29 
 
 
em que: xi = (Li + Ls)/2, sendo Ls o limite superior da classe e Li o limite inferior. 
 
Retorne aos dados da tabela 1.4. Suponha que o comprimento médio das peças não pode ser 
menor que 82,5mm, nem maior que 148mm. 
 
 
Classes 
Comprimento (mm) 
n
o
 de peças 
(f) 
xi 
 82,50 I 93,36 4 (82,50 + 93,36)/2 = 87,93 
 93,36 I 104,22 9 (93,36 + 104,22) /2 = 98,79 
104,22 I 115,08 12 (104,22 + 115,08) /2 = 109,65 
115,08 I 125,94 12 (115,08 + 125,94) /2 = 120,51 
125,94 I 136,80 8 (125,94 + 136,80) /2 = 131,37 
136,80 I 147,66 3 (136,80 + 147,66) /2 = 142,23 
147,66 I 158,52 1 (147,66 + 158,52) /2 = 153,09 
TOTAL 49 
 




7
1
7
1
i
i
i
ii
f
fx
x 
 
97,114
138121294
)1x09,15312x65,1099x79,984x93,87(
x 




mm 
 
Portanto, o comprimento médio das pecas produzidas pela indústria é de 114,97 mm. 
Portanto, a produção está sob controle, uma vez eu este valor está entre o intervalo 
especificado. 
 
5.2 Mediana 
 
A mediana (Md) é outra medida de tendência central, e pode ser definida como o valor 
que divide um conjunto de dados numéricos, de tal forma que metade, ou 50% dos itens sejam 
maiores ou iguais a este valor, e a outra metade ou os outros 50% dos valores sejam menores 
ou iguais ao mesmo. 
 
5.2.1 Determinação da mediana de dados brutos 
 
 A determinação da mediana de valores não-tabulados é feita a partir de dados 
ordenados. Existem dois casos a considerar: O primeiro, quando o número de observações é 
impar e o segundo quando o número de observações é par. 
 
 
 
 
30 
 
5.2.1.1 O número de observações é impar 
 
Neste caso, é preciso achar o elemento mediano, o qual indica em que posição está a 
mediana, pela seguinte fórmula: 
 
2
1n
Emd


 
 
em que n é o número total de observações. 
 
 
Exemplo: Calcular a mediana do conjunto X = {12, 3, 6, 30, 2, 15, 23,} 
 
Solução: 
 
O primeiro passo é ordenar os dados. Desta forma temos: 
 
X = {2, 3, 6, 12, 15, 23, 30}. 
 
 O segundo passo é calcular o elemento mediano. 
 
2
1n
Emd


 
2
17
Emd


 
4Emd 
 
 
 Isto significa que a mediana está na quarta posição. Observa-se no conjunto ordenado 
X = {2, 3, 6, 12, 15, 23, 30} que, na quarta posição encontra- se o valor 12. Portanto, a Medina 
é Md = 12. 
 Percebe-se, portanto, que metade ou 50% dos valores deste conjunto de dados são 
menores do que 12 e a outra metade, ou 50% dos valores, são maiores do que o mesmo. 
 
5.2.1.2 O número de observações é par 
 
Quando o número de observações de dados brutos é par, o procedimento para calcular a 
mediana é diferente do caso anterior, isto é, a mediana é igual à média aritmética entre os dois 
valores centrais do conjunto ordenado. 
 
 
Exemplo: Seja o conjunto X = {6, 9, 20,12, 3, 14, 15, 17}. 
 
Solução: 
31 
 
 Ordenando os dados tem-se X = {3, 6, 9, 12 ,14, 15, 17, 20}. A média aritmética entre os 
dois elementos centrais deste conjunto é a mediana. Logo, 
 
13Md
2
1412
Md 


 
 
Portanto, metade ou 50% dos valores restantes observados neste conjunto são 
menores do que 13 e a outra metade é maior. 
 
A média pode não ser a medida de tendência central mais adequada para representar 
um conjunto de valores quando houver valores discrepantes (valores muito maiores ou muito 
menores dos demais), pois a mesma é afetada por valores extremos. Para ilustrar este fato, 
suponha o seguinte conjunto de dados: 
 
5 7 8 10 12 15 
 
do quais obtém-se 
 
5,9
6
1575




x
 e Md = 


2
108
9,0 
 Suponha agora, que o valor 15 seja trocado por 150. 
 
5 7 8 10 12 150 
 
 A média é alterada para 
32x 
, enquanto que a mediana não se altera, ou seja, Md = 9,0. 
Considere por exemplo, em que pretende-se verificar o número médio diário de 
freqüentadores da cantina da UNIOESTE-FOZ, afim de dimensionar a quantidade de estoque 
de produtos duranteo período de um mês. Suponha que numa data verificou-se um número 
muito acima do normal, pois nesta houve o Encontro Paranaense dos Estudantes de 
Matemática (EPREM). Seguramente o número de frequentadores nesse dia elevará muito o 
valor da média, o qual não estará representando o número médio de freqüentadores em dias 
normais. Conseqüentemente, o administrador da cantina teria que gastar muito mais do que 
gastaria normalmente, cometendo um erro operacional. 
 
5.2.2 Determinação da mediana de dados tabulados não-agrupados em 
classes 
 
 Quando os dados já estiverem tabulados e não-agrupados em classes, também deve ser 
verificado se o número total de valores observados é par ou é impar e calcular o elemento 
32 
 
mediano, da mesma forma que o caso de dados não tabulados. Porém, deve ser levado em 
conta a coluna de frequência absoluta acumulada (fa) . 
 
5.2.2.1 O número de observações é ímpar 
 
Tabela 1.9 Número de defeitos por peça. 
Nº de defeitos 
por peça (x) 
 N
o
 de Peças 
(f) 
Frequência 
acumulada 
0 2 2 
1 4 6 
2 7 13 
3 2 15 
TOTAL 15 
 
Observa-se que o número total de observações é impar (n = 15), então, calcula-se o 
elemento mediano da seguinte forma: 
 
2
1n
Emd


 
2
115
Emd


 
8Emd 
 
 
Deve-se, portanto, percorrer a coluna de frequências acumuladas até achar um valor 
maior ou igual a 8. 
Na coluna de frequências acumuladas verifica-se que, para o número de defeitos igual 
a zero existem duas peças. Portanto, a mediana não poder ser zero, uma vez que a mediana 
equivale à oitava observação. A frequência acumulada seguinte até o valor 1, é 6, que por ser 
inferior a 
8Emd 
 indica que o número 1 não pode ser a mediana. Já, a frequência acumulada 
até o número de defeitos igual a 2, é 13, ou seja, superior a 8. Portanto, a mediana será: 
 
Md = 2 defeitos 
 
Isto significa que metade, ou 50% das peças, teve o número de defeitos menor ou igual 
a 2, e a outra metade, ou 50
o
%, teve número de defeitos maior ou igual a 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
33 
 
5.2.2.2 O número de observações é par 
 
Exemplo 
 
TABALEA 1.10. Distribuição das idades em anos completos 
dos jogadores da escola de Futebol 
Paulistinha. 
Idades 
Frequência (fi) 
 (n
o
 de Jogadores) 
Frequência 
acumulada 
14 5 5 
15 13 18 
16 10 28 
TOTAL 28 
Fonte: Fogo (2000) 
 
 Observa-se que o número total de observações é par, ou seja, n = 28. Portanto, a 
mediana é a média aritmética entre os dois valores centrais, como visto no caso de dados não 
tabulados. O elemento mediano é o que dá a posição do primeiro valor central. Este é 
calculado da seguinte forma: 
 
14E
2
28
E
2
n
E mdmdmd 
 
 
Deve-se, portanto, percorrer a coluna de frequências acumuladas até achar um valor 
maior ou igual a Emd = 14. 
Na coluna de frequências acumuladas verifica-se que para a idade igual a 14, existem 
5 jogadores. Portanto, o primeiro valor central não pode ser 14, uma vez que o primeiro valor 
central equivale ao 14
o
 valor observado e não ao 5
o
 
Já a frequência acumulada até a idade igual a 15 anos, inclusive, é 18, ou seja, maior 
que Emd = 14. Portanto, o primeiro valor central é 15. 
O segundo valor central equivale àquele que estiver na posição logo após à do 
primeiro. O primeiro valor central está na 14
a
 posição, portanto o segundo está na 15
a
. 
Observando a coluna de frequências acumuladas percebe-se que o 15
o
 valor observado 
também é 15. Portanto, a mediana é dada por 
 
15
2
1515
Md 


 
 
Portanto, isto significa que metade ou 50% dos alunos têm idade menor ou igual a 15 e 
a outra metade, ou 50%, têm idade maior ou igual a 15. 
 
 
34 
 
5.2.3 Determinação da mediana de dados tabulados e agrupados em 
classes 
 
Quando os dados da tabela estiverem agrupados em classes utiliza-se a seguinte 
expressão para calcular a mediana: 
 







 

md
tanmd
f
faE
CLiMd
 
 
Em que: 
Li é o limite inferior da classe que contém a mediana; 
C é a amplitude do intervalo de classe, ou seja, a diferença entre os limites superior (Ls) e 
inferior (Li) de qualquer classe ( C = Ls -Li); 
Emd é o elemento mediano. Tratando-se de dados tabulados e agrupados em classes, o 
elemento mediano, independentemente de o número de observações ser par ou ímpar, será 
sempre: 
 
2
n
Emd 
; 
 
faant é a frequência acumulada absoluta até a classe anterior à classe da mediana; 
fmd é a frequência simples absoluta da classe da mediana. 
 
 
Exemplo: 
A Lógica Transistor-Transistor (Transistor-Transistor Logic ou simplesmente TTL) é 
uma classe de circuitos digitais construídos de transistores de junção bipolar (BJT), e 
resistores. É chamada lógica transistor-transistor porque ocorrem as funções porta lógica e de 
amplificação pelos transistores (em contraste com a RTL e a DTL). Isso é notável por ser uma 
família difundida de circuitos integrados (CI), usada por muitas aplicações como computadores, 
controle industrial, eletrônica de consumo, sintetizadores etc. Por causa do grande uso desta 
família lógica, sinais de entrada e saída de equipamentos eletrônicos pode ser chamada 
entrada ou saída "TTL", significantemente compatível com os níveis de tensão usados. Estes 
circuitos têm como principal característica a utilização de sinais de 5 volts para níveis lógicos 
altos. Seus circuitos integrados são constituídos basicamente de transístores, o que os torna 
pouco sensíveis à eletricidade estática. Objetivando realizar o controle da tensão de entrada de 
94 exemplares desse tipo de circuito, foi construída a seguinte tabela: 
 
 
 
35 
 
 
Tabela 1.11 – Distribuição de frequências da tensão 
de entrada de circuitos TTL. 
Tensão 
 (em volts) 
Frequência Frequência 
acumulada 
 
1,5 I 2,0 2 2 
2,0 I 2,5 15 17 
2,5 I 3,0 30 47 
3,0 I 3,5 33 80 
3,5 I 4,0 10 90 
4,0 I 4,5 3 93 
4,5 I 5,0 1 94 
TOTAL 94 
Fonte: Dados fictícios 
 
47E
2
94
E
2
n
E mdmdmd 
 
Deve-se, portanto, percorrer a coluna de frequências acumuladas até achar um valor 
maior ou igual a 47. 
Percebe-se que a frequência acumulada até a classe 2,5 I 3,0 é 47, então esta é a 
classe da mediana. 
 A amplitude do intervalo de classe é: C = Ls -Li = 3,0 – 2,5 = 0,5. Poderíamos calcular a 
amplitude de qualquer classe, uma vez que o valor de “C” sempre será o mesmo 
A frequência acumulada até a classe anterior (2,0 I 2,5) à classe da mediana é: 
 
faant = 17 
 
A frequência simples da classe (2,5 I 3,0) da mediana é: 
 
fmd = 30 
 
 Logo, a mediana é: 
 
v3Md
30
1747
.0,52,5M
f
fE
cLMd d
md
antmd 




 





 

a
i
 
 
Portanto, dos 94 circuitos, metade, ou 47, apresentaram tensão maior ou igual a 1,5 e 
inferior a 3 volts, ou os outros 47, tiveram tensão maior ou igual a 3 e inferior a 5 volts. 
Portanto, todos os circuitos apresentaram sinais de tensão abaixo de 5 volts. Isso não é bom, 
pois estes circuitos têm como principal característica a utilização de sinais de 5 volts para 
níveis lógicos altos. 
 
36 
 
 
5.3 Moda (Mo) 
 
 A moda (Mo) é outra medida de tendência central. Genericamente, a moda pode ser 
definida como o valor de maior frequência (predominante) de um conjunto de dados. Quando 
os valores de um conjunto de dados ocorrem com a mesma frequência, o mesmo é chamado 
de amodal. Por outro lado, podem ocorrer conjuntos commais de uma moda. 
 
5.3.1 Determinação da moda de valores não tabulados 
 
Exemplo: considere o seguinte conjunto numérico 
 
X = {4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8} 
 
O valor 6 é o mais frequente (3 ocorrências). Portanto, a moda é Mo = 6. 
 
Y = {4, 4, 5, 5, 6, 6,} 
 
O conjunto Y é amodal, ou seja, todos os valores ocorrem duas vezes. 
 
Z = {1,2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 6} 
 
As modas do conjunto Z são Mo1 = 2 e Mo2 = 3. Trata-se de um conjunto Bimodal, ou 
seja, os valores 2 e 3 ocorrem com maior frequência (3 vezes) 
 
5.3.2 Determinação da moda de valores tabulados e não agrupados em 
classes 
 
 Quando os valores de dados tabulados são individuais, a determinação da moda é 
imediata, bastando verificar na tabela o valor de maior frequência. 
 
 
 
Exemplo: Considere o exemplo do número de lesões em atletas após uma maratona 
 
Nº de defeitos 
por peça (x) 
Nº de peças (f) 
0 2 
1 4 
2 7 
3 2 
 
37 
 
Portanto, a moda é Mo = 2 lesões, ou seja, houve maior frequência de peças com dois 
defeitos. 
 
5.3.3 Determinação da moda de valores tabulados e agrupados em 
classes 
 
 Tratando-se de uma tabela de frequências com valores tabulados e agrupados em 
classes, o procedimento não é imediato, sendo disponíveis alguns métodos de cálculo. Aqui 
mostraremos o método de Czuber que leva em consideração as frequências das classes 
adjacentes e da classe modal, ou seja: 
 











)f(f2f
ff
.CLiMo
posttanmo
tanmo
 
 
em que: 
Li é o limite inferior da classe modal; 
C é a amplitude do intervalo de classe, ou seja, a diferença entre os limites superior (Ls) e 
inferior (Li) de qualquer classe ( C = Ls -Li); 
fmo é a frequência absoluta simples da classe modal; 
fant é a frequência absoluta simples da classe anterior à classe modal; 
fpost é a frequência absoluta simples da classe posterior à classe modal. 
 
Exemplo 
 
Retornando ao exemplo da tensão de entrada de circuitos TTL, em volts, tem-se: 
 
Tensão 
 (em volts) 
Frequência 
1,5 I 2,0 2 
2,0 I 2,5 15 
2,5 I 3,0 30 
3,0 I 3,5 33 
3,5 I 4,0 10 
4,0 I 4,5 3 
4,5 I 5,0 1 
 
A classe de maior frequência é 3,0 I 3,5 e C = Ls – Li = 3,5 – 3,0 = 0,5 logo: 
 











)ff(f2
ff
.cLiMo
posttanmo
tanmo
 
 









)1030(33.2
3033
.5,03Mo 






26
3
.5,03Mo

26
5,1
3Mo 
06,3 oM
v 
38 
 
 
 Isto significa que as tensões de entrada dos circuitos analisados, estão se concentrando 
em torno de 3,06 volts, uma vez que este valor pertence à classe de maior frequência. 
 
1.5.4 Sequência de exercícios nº 4 
 
01. Na empresa de pré moldados S/A foi realizada a inspeção diária das alturas, em milímetros, 
de pavers (blocos de concreto para pavimentação). Para que não haja grandes variações, 
resultando no maior consumo de concreto e menor. Foi realizada no dia 19 de abril de 2005 
essa inspeção, tendo o seguinte resultado: 
 
60,0 61,5 61,3 61,3 60,4 59,4 59,7 60,7 60,2 59,2 
 
a) Calcular média e interpretar o resultado. Resposta: 60,37 
b) Calcular mediana e interpretar o resultado. Resposta: 60,3 
c) Calcular moda e interpretar o resultado. Resposta: 61,3 
 
02. A faculdade de engenharia e ciência aplicada da Universidade do Arizona tem um sistema 
VAX de computadores. Os tempos, em segundos, para quinze tarefas consecutivas foram 
registradas, sendo mostrados abaixo: 
 
5,3 5,0 9,5 10,1 5,8 6,2 5,9 7,2 10 12,2 8,5 4,7 11,2 7,3 6,4 
 
a) Calcular média e interpretar o resultado. Resposta: 7,6867 
b) Calcular mediana e interpretar o resultado. Resposta: 7,2 
c) Calcular moda e interpretar o resultado. Resposta: conjunto amodal 
 
03. O número de acidentes de trabalho, por mês, foi anotado durante 24 meses, num canteiro de obras, 
composto por 50 operários. Os resultados estão na tabela a seguir: 
 
Tabela 1.5.1 – Distribuição de frequências do 
número de acidentes por mês num 
canteiro de obras 
Número de acidentes (x) Número de meses (f) 
0 5 
1 10 
2 4 
3 3 
4 2 
Total 24 
Fonte: Dados fictícios 
39 
 
a) Calcular média e interpretar o resultado. Resposta: 1,4583 
b) Calcular mediana e interpretar o resultado. Resposta: 2 
c) Calcular moda e interpretar o resultado. Resposta: 1 
 
04. A força de remoção para um conector é medida em um teste de laboratório. Dados de 40 
corpos de prova são mostrados a seguir: 
 
Tabela 1.5.1 – Distribuição de frequências do 
número de acidentes por mês 
num canteiro de obras 
Força de remoção Nº de corpos de prova 
170 I190 6 
190 I210 12 
210 I230 8 
230 I250 11 
250 I270 3 
Total 40 
 Fonte: Montgomery, Runger e Rubely (2001) 
 
a) Calcular média e interpretar o resultado. Resposta: 216,5 
b) Calcular mediana e interpretar o resultado. Resposta: 215 
c) Calcular moda e interpretar o resultado. Resposta: 202 
 
 
6 Medidas Separatrizes 
 
Existem três tipos de medidas separatrizes, são elas: Os quartis, que dividem um 
conjunto de dados em quatro partes iguais, os decis que dividem em dez e os percentis que 
dividem em cem partes. Neste curso vamos nos ater apenas aos quartis 
 
6.1 Quartis(Q) 
 
Os quartis são medidas separatrizes que, simultaneamente, dividem um grupo de 
dados em quatro partes iguais. 
Individualmente, cada quartil ou junta Q, assim como a mediana, divide o conjunto de 
dados em duas partes. O primeiro quartil ou junta (Q1) é o valor que deixa um quarto (25%) dos 
valores abaixo ou igual a ele e três quartos (75%), igual ou acima. 
O segundo quartil (Q2) é um valor que deixa metade (50%) dos dados abaixo ou igual 
e a outra metade acima ou igual ao mesmo. Assim, o segundo quartil (Q2) é uma media de 
tendência central, pois coincide com a mediana (Q2 = Md). 
O terceiro quartil ou junta (Q3) é um valor que deixa três quartos (75%) dos valores 
observados restantes abaixo ou igual ao mesmo e um quarto ou 25% igual ou superior. 
40 
 
 
6.1.1 Determinação de quartis de dados brutos 
 
As seguir serão mostradas algumas regras úteis para o cálculo dos quartis de dados 
brutos: 
 
1. Os dados devem estar dispostos em ordem crescente. 
2. Calcula-se a ordem posição do quartil por meio da expressão 
 
4
)1n(i
EQi


, com i = 1, 2, 3 
em que: i indica o número do quartil a ser calculado, e n é o número de observações do 
conjunto de dados. 
 
3. Se o a valor de EQi for um número inteiro, o quartil Qi será igual ao valor do conjunto de 
dados que estiver exatamente nesta posição 
4. Se o valor de EQi não for um número inteiro e estiver na metade das posições anterior e 
posterior, o quartil será a média dos valores do conjunto de dados que estiverem nas 
posições anterior e posterior a EQi. 
5. Se o valor de EQi não for um número inteiro e nem estiver na metade de duas outras 
posições, o resultado desta deverá seguir as regras de arredondamento para um número 
inteiro mais próximo, o qual dará a posição anterior ou posterior ao EQi. Selecione o valor 
numérico que estiver nesta nova posição. 
 
Exemplo 
 
Suponha que foram medidos os diâmetros, em milímetros, de determinado tipo peça. O 
analista dispôs de uma amostra de 6 peças com os seguintes resultados: 
 
10,3 4,9 8,9 11,7 6,3 7,7 
 
Dados ordenados 
 
4,9 6,3 7,7 8,9 10,3 11,7 
 
Cálculo dos quartis: 
 
Posição do primeiro quartil 
 
posição2,751
4
)16(1
E a1Q 


 ordenada 
 
41 
 
Após ordenar os dados, o elementoque ficou na segunda posição foi 6,3. Logo, o primeiro 
quartil é 
 
Q1 = 6,3 mm 
 
Portanto, 25% das peças apresentaram diâmetro menor que 6,3mm, e 75% 
apresentaram diâmetro maior que este valor. 
Suponha que se queira achar a porcentagem correta de valores abaixo de 6,3. Verifica-
se no conjunto de dados que, há apenas um valor inferior a este de um total de seis valores. 
Portanto a porcentagem correta de valores abaixo de 6,3 será 
17%100(1/6) 
(arredondado). 
Portanto ocorre um erro, pois 
%25
dos valores deveriam estar abaixo de 6,3 e não 17%.. O 
leitor deverá levar em conta que, nesse exemplo, o tamanho da amostra é de apenas seis 
elementos. Ã medida em que é aumentado o tamanho da amostra, o erro diminui. 
 
Posição do segundo quartil 
 
a
2Q 5,3
4
)16(2
E 


 posição ordenada 
 
Já que este valor está na mesma distância das posições 3 e 4, o valor segundo quartil será 
dado pela média aritmética valores que estão nessa duas últimas posições, no conjunto de 
dados ordenados. Assim, o segundo quartil é 
 
mm3,8Q
2
9,87,7
2 

 
 
Portanto, 50% das peças apresentaram diâmetro menor que 8,3mm, e 50% 
apresentaram diâmetro maior que este valor. 
 
Posição do terceiro quartil 
 
posição525,5
4
)16(3
E a3Q 


 ordenada 
 
 Na quinta posição ordenada encontra-se o valor 10,3. O Logo, o terceiro quartil é 
 
Q3 = 10,3 mm 
 
Portanto, 75% das peças apresentaram diâmetro menor que 10,3mm, e 25% 
apresentaram diâmetro maior que este valor. 
42 
 
6.1.2 Determinação de quartis de dados tabulados 
 
Se ao analista não dispor dos dados brutos, é possível calcular os quartis por meio de 
tabelas com uma aproximação razoável. Neste caso, a posição do quartil será dada por: 
 
4
ni
QiE 
, i = 1, 2, 3 
 
em que: 
i indica o número do quartil a ser calculado. 
n é o número de observações do conjunto de dados ou frequência total. 
 
O valor do quartil a ser calculado pode ser dado por: 
 







 

Qi
tanQi
f
faE
.cLiQi
 
 
em que: 
Li é o limite inferior da classe em que contem o quartil que está sendo calculado; 
C é a amplitude do intervalo de classe, ou seja, a diferença entre os limites superior (Ls) e 
inferior (Li) de qualquer classe ( C = Ls -Li); 
faant é a frequência acumulada até a classe anterior à classe do quartil em questão; 
fQi é a frequência da classe do quartil que está sendo calculado.. 
 
A título de ilustração, suponha a distribuição de frequências das estaturas de 100 
funcionários de certa empresa, como mostra a tabela 1.12. 
 
Tabela 1.12 Distribuição de frequências das 
estaturas de 100 funcionários de certa 
empresa 
Estaturas 
(em metros) 
Número de 
Funcionários (f) 
Fa 
 
1,40 I 1,50 5 5 
1,50 I 1,60 10 15 
1,60 I 1,70 30 45 
1,70 I 1,80 40 85 
1,80 I 1,90 10 95 
1,90 I 2,00 5 100 
TOTAL 100 
 
O elemento que indica a posição do primeiro quartil é 
 
4
ni
QiE 

25
4
100x1
1QE 
.
 
43 
 
 
Deve-se, portanto, percorrer a coluna de frequências acumuladas (fa) até achar um 
valor maior ou igual a 25 para obter a classe do primeiro quartil. 
Percebe-se que a frequência acumulada até a classe 1,60 I 1,70 é 45 > 25, então 
esta é a classe do primeiro quartil 
 
A amplitude do intervalo de classe é: 
 
C = Ls - Li = 1,60 - 1,70 = 0,10 
 
A frequência acumulada até a classe anterior (1,50 I 1,60) à classe do primeiro 
quartil é 
 
faant = 15 
 
A frequência simples da classe do primeiro quartil (1,60 I 1,70) é. 
 
fQ1 = 30 
 
Logo, o valor do primeiro quartil é: 
 
m6311Q
30
1525
1006011Q
1Qf
antfa1QEcLi1Q ,,, 




 








 

 
 
Portanto, 25% dos funcionários dessa empresa apresentaram estatura menor ou igual a 
1,63m, e 75% apresentaram estaturas maiores ou iguais a este valor. 
 
Cálculo do segundo quartil ou mediana 
 
50mdE
2
100
mdE
2
n
mdE 
 
 
71,1Q
40
4550
.1,070,1Q
f
faE
.cLiMdQ 22
md
antmd
2 




 







 

m 
Portanto, 50% dos funcionários dessa empresa apresentaram estatura menor ou igual a 
1,71m, e 50% apresentaram estaturas maiores ou iguais a este valor. 
 
Cálculo do terceiro quartil 
4
ni
EQi 

75
4
1003
3 
x
EQ
 
44 
 
 
78,1
40
4575
.10,070,1. 33
1
3
3 




 








 
 QQ
f
fE
clQ
Q
antQ
m 
 
Portanto, 75% dos funcionários dessa empresa apresentaram estatura igual ou inferior a 
1,78m, e 25% apresentaram estatura igual ou superior a esse valor. 
 
6.2 Sequência de exercícios nº5 
 
01. Na empresa de pré moldados S/A foi realizada a inspeção diária das alturas, em milímetros, 
de pavers (blocos de concreto para pavimentação). Para que não haja grandes variações, 
resultando no maior consumo de concreto e menor. Foi realizada no dia 19 de abril de 2005 
essa inspeção, tendo o seguinte resultado: 
 
60,0 61,5 61,3 61,3 60,4 59,4 59,7 60,7 60,2 59,2 
 
a) Calcular primeiro quartil e interpretar o resultado. Resposta: 59,7 
b) Calcular segundo quartil e interpretar o resultado. Resposta: 60,3 
c) Calcular terceiro quartil e interpretar o resultado. Resposta: 61,3 
 
02. A faculdade de engenharia e ciência aplicada da Universidade do Arizona tem um sistema 
VAX de computadores. Os tempos, em segundos, para quinze tarefas consecutivas foram 
registradas, sendo mostrados abaixo: 
 
5,3 5,0 9,5 10,1 5,8 6,2 5,9 7,2 10 12,2 8,5 4,7 11,2 7,3 6,4 
 
a) Calcular primeiro quartil e interpretar o resultado. Resposta: 5,8 
b) Calcular segundo quartil e interpretar o resultado. Resposta: 7,2 
c) Calcular terceiro quartil e interpretar o resultado. Resposta: 10 
 
04. A força de remoção para um conector é medida em um teste de laboratório. Dados de 40 
corpos de prova são mostrados a seguir: 
 
Tabela 1.5.1 – Distribuição de frequências do 
número de acidentes por mês 
num canteiro de obras 
Força de remoção Nº de corpos de prova 
170 I190 6 
190 I210 12 
210 I230 8 
230 I250 11 
250 I270 3 
Total 40 
 Fonte: Montgomery, Runger e Rubely (2001) 
 
45 
 
a) Calcular primeiro quartil e interpretar o resultado. Resposta: 196,6667 
b) Calcular segundo quartil e interpretar o resultado. Resposta: 215 
c) Calcular terceiro quartil e interpretar o resultado. Resposta: 237,2727 
 
 
7 Medidas de dispersão 
 
As medidas de posição, como visto, dão uma idéia de todo o conjunto, através de um 
valor único. Porém, elas são insuficientes para descrever mais detalhadamente o 
comportamento da variação de todo o conjunto, como será visto a seguir. 
Considere os tempos, de três máquinas semelhantes, para executar certa operação 
industrial. Foram tomados os tempos (em segundos) de 5 operações para cada máquina, 
fornecendo os seguintes resultados: 
 
 
Máquina A: 10, 10, 10, 10, 10 
Máquina B: 11, 10, 9, 11, 9 
Máquina C: 3, 4, 5, 20, 18 
 
Calculando a média aritmética para cada máquina, obtém-se 
 
,10 sxxx CBA 
 
 
Ou seja, o tempo para executar a operação é o mesmo para as três máquinas. Mas, 
observando mais detalhadamente os três grupos obtidos, pode-se notar que se distribuem 
diferentemente em relação à média (10 s), como mostra o esquema a seguir: 
 
 
Figura 1.14 – Variação dos tempos medidos nas máquinas A, B e C. 
 
 
Para uma análise quantitativa