Exame 2009 - Jun - Resolvido

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ENG03003 - Mecânica dos Sólidos I - terceiro exame
Prof. Jun Fonseca
dezembro de 2009
Nome:
Instruções: responda individualmente e corretamente as questões propostas abaixo, sem con-
sulta a material didático, sem auxílio de calculadoras ou computadores, e no prazo de 40 minutos.
Após a entrega das duas primeiras questões, responda o restante da prova individualmente, com
consulta permitida a material didático.
1. (10%) Responda as seguintes questões:
(a) Qual a razão para a natureza tensorial da tensão?
(b) Por que utilizar a deformação infinitesimal ao invés da deformação de Green?
(c) O que é o princípio da superposição de efeitos?
(d) Por que o cisalhamento é nulo nas superfícies inferior e superior de uma viga?
2. (10%) Responda as questões conceituais abaixo relacionadas.
(a) Qual a relação entre o deslocamento transversal e longitudinal em uma viga?
(b) O que é o centro de cisalhamento?
(c) O que é fluxo de cisalhamento?
(d) Qual é a hipótese utilizada para a teoria de torção de seções fechadas de paredes finas?
1
3. (30%) Uma viga I feita de chapas de 10mm de espessura, com mesas de 150mm de largura
e altura de 300mm, tem comprimento l, módulo de elasticidade E, e está apoiada em ambos
os extremos, com uma carga vertical uniformemente distribuída de 10000N/m. Calcule:
(a) os deslocamentos transversais e
(b) a distribuição de tensões normais e cisalhantes em toda a seção, inclusive na aba.
4. (50%) Uma placa de trânsito de 50kg está suspensa sobre uma rua. Seu suporte é um L
invertido, com altura de 7m e balanço horizontal sobre a rua de 5m. O suporte é feito de dois
tubos, um vertical e um horizontal, feitos de aço com tensão de escoamento de 250MPa e
módulo de elasticidade de 200GPa. Considere como o carregamento o peso da placa, o peso
próprio do suporte e uma força aerodinâmica na placa de 1000N.
(a) as forças axiais e cortantes e o momento fletor e torçor ao longo da estrutura;
(b) considerando a seção transversal circular, as dimensões do tubo horizontal e do vertical
para que resistir ao esforço com coeficiente de segurança 4, tomando a espessura da
parede como 10% do diâmetro;
(c) as máximas tensões de tração, flexão e torção em cada barra,
(d) o deslocamento vertical da ponta da estrutura.
Respostas
1. a
(a) A tensão tem que ser tensorial porque contém dois campos vetoriais simultâneos: a
força de superfície e a normal do corte.
(b) O tensor infinitesimal de deformações é bem mais simples que o tensor de Green. A
maior vantagem é ser linear em relação aos deslocamentos, como pode se notar a partir
das definições:
ε =
1
2
(
∇d+(∇d)T
)
E=
1
2
(
∇d+(∇d)T +(∇d)T ∇d
)
(c) Em sistemas lineares a resposta a um conjunto de excitações pode ser calculado como
a soma dos efeitos de cada excitação. A elasticidade linear também obedece a este
princípio, isto é, o efeito (deslocamentos, deformações e tensões) causado por um con-
junto de cargas é igual à soma dos efeitos de cada carga. Os critérios de falha não são
lineares, e só podem ser calculados após a superposição.
(d) O cisalhamento em vigas tem que ser nulo na superfície superior e inferior da viga
porque não há forças tangenciais aplicadas nestas faces.
2.
(a) os deslocamentos transversal e longitudinal se relacionam através da hipótese cin-
emática que as seções originalmente planas permanecem planas e perpendiculares à
linha neutra. Para pequenos ângulos pode-se escrever
u=−ydv
dx
onde u é o deslocamento longitudinal e v é o deslocamento transversal.
(b) Centro de cisalhamento é a posição onde as cargas transversais podem ser aplicadas
em vigas sem causar tensões. Esta posição normalmente coincide com o centróide da
seção transversal, a não ser que a seção não seja simétrica em relação à vertical, como
no caso de vigas "C" e cantoneira.
(c) Fluxo de cisalhamento é a integral da força cisalhante na espessura de uma chapa. É
utilizada quando se considera que a tensão cisalhante é constante ao longo da espessura,
como nas hipóteses de torção e cisalhamento de seções transversais feitas de chapa.
(d) A hipótese para a torção de seções de paredes finas é a de que as tensões cisalhantes são
constantes ao longo da espessura, e que o fluxo de cisalhamento é constante ao longo
da seção transversal.
3. A seção transversal é uma viga I, cujo momento de inércia é
Izz =
BH3−bh³
12
=
150×3003−140∗2803
12
= 8,1393×10−5m4
A viga é bi-apoiada, com reações de apoio de 5000l N. A distribuição de forças aplicadas
pode ser escrita como
qy= 5000lδ (x)+5000lδ (x− l)−10000
o que leva o esforço cortante a ser
Vy=−5000l+10000x (1)
e o momento fletor
Mz= 5000lx−5000x2 (2)
(a) os deslocamentos transversais são calculados integrando o momento 2
dv
dx
= θz =
∫ Mz
EIzz
dx=
5000l
2EIzz
x2− 5000
3EIzz
x3 +C1
e
v=
∫
θzdx=
5000l
6EIzz
x3− 5000
12EIzz
x4 +C1x+C2
onde as condições de contorno determinam as constantes
v(x=0) = 0⇒C2 = 0
e
v(x=l) = 0⇒
5000l4
12EIzz
+C1l = 0
C1 = −5000l
3
12EIzz
de modo que o campo de deslocamentos é dado por
v =
5000
12EIzz
(
2lx3− x4− l3x)= 5,12∗106 1
E
(
2lx3− x4− l3x)
u = −ydv
dx
=
5000
12EIzz
y
(
6lx2−4x3− l3)
(b) separando-se os esforços:
i. as tensões normais são dadas por
σxx =−MyIzz =
(
5000lx−5000x2)y
Izz
= 61,43∗106 (lx− x2)y
onde a equação 2
ii. as tensões cisalhantes verticais são calculadas através do momento estático
Q=
{
150(150− y)(150+ y)/2 se y> 140mm
150×10×145+10(140− y)(140+ y)/2 se y< 140mm
e daí
σxy =
VQ
Izzb
=

(−5000l+10000x)(1,689×10−3−0,075y2)
8,1393×10−5×0,15 se y> 140mm
(−5000l+10000x)(2,175×10−4+1,96×10−4−0.01y2)
8,1393×10−5×0,01 se y< 140mm
onde a equação 1 foi usada.
iii. as tensões cisalhantes horizontais (nas mesas/abas) são calculadas por
Q = 10∗ (75− z)∗145
σxz =
VQ
Izzb
=
(−5000l+10000x)(10∗ (75− z)∗145)
8,1393×10−5×0,01
4. Chamando o engaste de ponto A, a junção de ponto B e a fixação da placa de ponto C,
define-se a barra vertical como AB e a horizontal como BC. Define-se o eixo y começando
em A e indo até B e o eixo x de B para C. A tensão admissível é de 250/4=62,5MPa
(a) Divide-se a estrutura em duas barras
i. os esforços na barra BC são
A. Força cortante causada pelo peso da placa e peso da viga horizontal
Vy= 50×9,8+qBC (5− x)
onde qBC = ρgABC = ρg
pi(1−0,82)d2BC
4 .
B. Momento fletor causado pelo peso da placa e o peso da viga horizontal
Mz =−50×9,8(5− x)−qBC (5− x) (5− x)2 =−490(5− x)−
qBC
2
(5− x)2
(3)
C. Força cortante causada pelo vento
Vz = 1000N
D. Momento fletor causado pelo vento
My = 1000(5− x)
ii. os esforços na barra AB são
A. Força axial causada pelo peso da barra BC e pelo peso próprio
Ny =−50×9,8−5qBC−qAB (7− y)
onde qAB = ρgAAB = ρg
pi(1−0,82)d2AB
4 .
B. Momento fletor dos pesos
Mz =−50×9,8×5−5qBC×5/2 (4)
C. Momento torçor do vento
My= 1000×5
D. Momento fletor do vento
Mx=−50×9,8(7− y)
E. força cortante do vento
Vz= 50×9,8
(b) Dimensiona-se por partes:
i. o esforço máximo na barra BC é dado pela dupla flexão em z e y. Um critério
possível de dimensionamento é considerar as tensões máximas agindo simultane-
amente. O momento de inércia é dado por
Izz = Iyy =
pi
(
1−0,84)d4BC
64
e as tensão máxima por
σxx =+
dBC
2 Mz
Izz
+
dBC
2 My
Iyy
.
Os momentos máximos estão no engaste:
Mzmax = 2450+
5
2
qBC Mymax = 5000
que levam a
σadm =
(
2450+2,5ρgpi(1−0,8
2)d2BC
4
)
+5000
pi (1−0,84)d3BC/32
ou seja, a equação cúbica
3,622×106d3BC = 7450+21613d2BC. (5)
Esta é a resposta esperada para o exercício.
ii. A barra AB pode ser dimensionada por flexo-torção. A torção dá uma tensão de
σθy =
Myr
Jp
=
5000dAB/2
pi (1−0,84)d4AB/32
=
41313
d3AB
(6)e a flexão combinada máxima ocorre no engaste, que considerando as duas di-
reções atuando simultaneamente dá
Izz = Ixx =
pi
(
1−0,84)d4AB
64
σyy =+
dAB
2 Mz
Izz
+
dAB
2 Mx
Ixx
.
Os momentos no engaste são
Mxmax = 50×9,8×7 Mzmax =−50×9,8×5−5qBC×5/2
Substituindo na tensão de flexão, obtém-se
σyy =
32(3430+490+2,5qBC)
pi (1−0,84)d3AB
=
67630+43.131qBC
d3AB
. (7)
Ignorando as tensões de compressão e cisalhamento, utilizam-se a expressão para
von Mises considerando a torção (6) e flexão (7):
σeq =
√
σ2yy+3σ2xy = σadm = 62,5MPa
que permite calcular o diâmetro dAB a partir do diâmetro dBC.
(c) As tensões máximas são obtidas pelo critério de falha usado no dimensionamento
i. barra BC: tensão de flexão é a tensão admissível σxx = 62,5MPa
ii. barra AB: utilizam-se as expressões individuais para a torção e flexão:
A. torção (eq 6)
σθy =
41313
d3AB
B. flexão (eq. 7)
σyy =
317526
d3AB
C. tração (pesos/área), com máximo no engaste
σyy =
Ny
AAB
=
−50×9,8−5qBC−7qAB
pi (1−0,82)d2AB/4
(d) deslocamento vertical da ponta. Pode ser calculado a partir do ângulo da barra vertical
e da flexão da barra horizontal
i. flexão da barra AB (somente em torno de z): o momento fletor (eq 3)
Mz =−50×9,8×5−5qBC×5/2
é constante, e a integral resulta em
du
dy
= θz =
Mzx
EIzzAB
de onde se conclui que
θzB =
Mzl
EIzzAB
(8)
ii. flexão da barra BC em torno de z: o momento fletor (eq 4)
Mz =−490(5− x)− qBC2 (5− x)
2 ,
o que leva a
dv
dx
= θz =
∫ Mz
EIzzBC
dx
θz =
1
EIzzBC
(
−2450x+ 490
2
x2− qBC
6
(5− x)3 +C3
)
onde a constante se resolve através da condição θz (x= 0) = θzB. Isto leva a
C3 = EIzzBCθzB+
53qBC
6
.
A segunda integração leva a
v=
1
EIzzBC
(
−2450
2
x2 +
490
6
x3− qBC
24
(5− x)4 + 5
3qBC
6
x
)
+θzBx+C4
onde C4 pode ser determinado com o deslocamento vertical do ponto B consider-
ado nulo (ignora-se o deslocamento de compressão da barra AB).
v(x= 0) = 0
− qBC
24EIzzBC
54 +C4 = 0
C4 =
qBC
24EIzzBC
54
Desta forma, o deslocamento vertical do ponto C (x= 5)é dado por
v =
1
EIzzBC
(
−2450
2
52 +
490
6
53 +
53qBC
6
5+
qBC
24
54
)
+θzB5. (9)
=
1
IzzBC
(
−0,1021×10−6 +3,125×10−9qBC
)
+5θzB
Valores numéricos
Na questão 4, opcionalmente, os resultados numéricos podem ser calculados. Para a determinação
do diâmetro da barra BC a equação 5 pode ser resolvida pelo método iterativo linear rapidamente:
d(i)bc =
3
√
7450
3,622×106 +
21613
3,622×106
(
d(i−1)BC
)2
onde partindo do chute inicial d(0)BC = 0,1, converge-se para o valor correto de dBC = 0.129m em 3
iterações. Um chute pouco razoável de 1m ainda assim converge em 4 iterações. Desta maneira,
podemos calcular a área ABC = 4,73×10−3m2, momento de inércia IzzBC = 1,314×10−5 e o peso
distribuído qBC = ρgABC = 360,7N/m.
Para a barra AB, substituindo o diâmetro calculado da barra AB da Mxmax = 3430Nm e
Mzmax = 6959Nm. Substituindo na tensão de flexão, obtém-se
σyy =
67630+43.131qBC
d3AB
=
179234
d3AB
Dimensiona-se o diâmetro utilizando-se a expressão para von Mises considerando a torção e
flexão:
σeq =
√
σ2yy+3σ2xy =
194180
d3AB
= σadm = 62,5MPa
que leva a resposta
dAB = 0.146m .
As demais grandezas da barra AB se determinam como AAB = 6,02× 10−3m2, IzzAB = 13,14×
10−6m4 e qBC = 360,7N/m.
No item c), as tensões ficam
• torção (eq 6)
σθy =
41313
d3AB
(= 13,9MPa)
• flexão (eq. 7)
σyy =
317526
d3AB
(57,7MPa)
• tração (pesos/área), com máximo no engaste
σyy =
Ny
AAB
=
−50×9,8−5qBC−7qAB
pi (1−0,82)d2AB/4
= 0,92MPa
Para os deslocamentos, item d), inicia-se com o ângulo da barra AB em B devido a flexão em torno
de z (8)
θzB =
Mzl
EIzz
=
(−490−2,5qBC)7
200×109IzzAB = 0.0185rad
e depois se completa com o deslocamento vertical (9)
vB =
1
IzzBC
(
−0,1021×10−6 +3,125×10−9qBC
)
+5θzB
= 0,22m