Exerccios propostos teoria tcnica de barras

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EM 406 Resistência dos Materiais I – Notas de aula Prof. Euclides Nov. 2007 
EM 421 Resistência dos Materiais I 
 
Lista de exercícios sobre tensões e deslocamentos axiais em barras. 
 
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Exercício ubarra_01 
 
Para a barra mostrada na figura ubarra_01.1, abaixo, determine: 
 
1) As expressões analíticas para o esforço axial resultante ( )xN x e também para o 
deslocamento axial ( )u x 
2) A expressão para a constante XAk de mola existente no ponto A, qual seja: 
( )0A AXA A
F Fk
u u x
= = = 
3) Para o caso em que os dados da barra são: 
comprimento 1,2mL = , módulo de elasticidade 
longitudinal (Young) 210 GPaE = , força aplicada 
15000 NAF = , determine a área mínima de seção 
transversal A para que o deslocamento da 
extremidade seja igual a ( 0) 0.025mmAu x u= = = 
 
 
 Figura: ubarra_01.1 
 
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Exercício ubarra_02 
 
Para a barra mostrada na figura ubarra_02 determine: 
 
1) As expressões analíticas para as forças normais ( )XN x , bem como as expressões dos 
deslocamentos axiais ( )u x . 
 
2) Considerando-se que o módulo de elasticidade longitudinal (Young) da barra é 
constante e com valor E=210GPa, e ainda que a área da seção transversal A é constante, 
pede-se qual o valor da área A (mm2) para que o deslocamento da extremidade onde está 
aplicada da força F1 seja igual ou inferior a ( 0) 1 mmAu x u= = = . 
 
 
3) Para a área da seção transversal determinada o item anterior, calcule as tensões normais 
( )xx xσ que atuam na barra. Esboce as tensões normais. 
 
 
 
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Dados: 
 
F1 = 10.000 N 
F2 = 35.000 N 
F3 = 20.000 N 
 
L1 = 2 m 
L2 = 4 m 
L3 = 2 m 
 
Roteiro 
 
1a) Sistema de 
coordenadas e 
Convenção da 
Estática 
 
 
 
 
1b) Convenção da 
Resistência dos 
Materiais 
 
 
Figura: ubarra_02.1 
 
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Exercício ubarra_03 
 
Para a barra mostrada na figura ubarra_03 determine: 
 
1) As expressões e os gráficos dos deslocamentos axiais ( )u x , 
 
2) As expressões e os diagramas de esforços normais resultantes na seção transversal 
( )xN x , bem como as tensões normais ( )xx xσ 
 
Dados: FB=10.000N, p0=20.000N/m, L=14m, A=400mm2, E=210 GPa 
 
 
 
 
Figura ubarra_03: barra com carregamento distribuído e força concentrada na extremidade 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício ubarra_04 
 
Para a barra mostrada na figura ubarra_04.1 determine: 
 
 
 
1) As expressões e os gráficos dos deslocamentos 
axiais ( )u x , 
 
2) As expressões e os diagramas de esforços 
normais resultantes na seção transversal ( )xN x , 
bem como as tensões normais ( )xx xσ 
 
Dados: FA=1000N, pT=2000N/m, L=2m, 
A=150mm2, E=210 GPa 
 
 
 
 
 Figura ubarra_04.1 
 
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Exercício ubarra_05 
 
Para a barra mostrada na figura ubarra_05 determine: 
 
1) As expressões e os gráficos dos deslocamentos axiais ( )u x , 
 
2) As expressões e os diagramas de esforços normais resultantes na seção transversal 
( )xN x , bem como as tensões normais ( )xx xσ 
 
Dados: p0=10.000 N/m, FC=12.000 N, L1=1.5m, L2=1m. 
 A=180mm2, E=210 GPa 
 
 
 
 
Figura ubarra_05: barra com carregamento parcialmente distribuído e força concentrada na 
extremidade 
 
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Exercício ubarra_06 
 
Para a barra mostrada na figura ubarra_06.1 determine: 
 
1) As expressões e os gráficos dos deslocamentos axiais ( )u x , 
 
2) As expressões e os diagramas de esforços normais resultantes na seção transversal 
( )xN x , bem como as tensões normais ( )xx xσ 
 
Dados: L1=2m, L2=2m, p0=1000 N/m, FB=1000 N, FC=2000 N, A=180mm2, E=210 GPa 
 
3) Considerando-se todos os demais valores como iguais àqueles do item anterior, 
pergunta-se qual deverá ser o valor de FC para que o deslocamento no ponto C seja nulo, 
1 2( ) 0Cu x L L u= + = = . 
 
 
Figura ubarra_06.1: barra com carregamento distribuído e força concentrada na 
extremidade 
 
 
4) Resolva o exercício hiperestático mostrado na figura ubarra_06.2, abaixo, e compare os 
resultados com aqueles do item 3). Em particular, analise as reações de apoio 
( 0)XA XN N x= = e 1 2( )XC XN N x L L= = + e também o deslocamento no ponto B, 
1( )Bu u x L= = . 
 
 
Figura ubarra_06.2: barra hiperestática com carregamento distribuído 
 
 
 
 
 
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Exercício ubarra_07 
 
Para a barra mostrada na figura ubarra_07.1 determine: 
 
1) As expressões e os gráficos dos deslocamentos 
axiais ( )u x , 
 
2) As expressões e os diagramas de esforços 
normais resultantes na seção transversal ( )xN x , 
bem como as tensões normais ( )xx xσ 
 
Dados: F=1000N, L=6m, A=150mm2, E=210 GPa 
 
3) Determine agora a área a seção transversal A, de 
forma que o deslocamento no topo seja 
( 0) /10000u x L= = . 
 
 
 
 
 
 Figura ubarra_07.1 
 
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Exercício ubarra_08 
 
Para a barra mostrada na figura ubarra_08.1 determine: 
 
1) As expressões e os gráficos dos deslocamentos axiais ( )u x .Calcule os deslocamento 
numericamente nos pontos das descontinuidades de carregamento. 
 
2) As expressões e os diagramas de esforços normais resultantes na seção transversal 
( )xN x , bem como as tensões normais ( )xx xσ 
Dados: 
A=550mm2, E=210 GPa 
 
 F1 = 10.000 N 
 F2 = 35.000 N 
 F3 = 20.000 N 
 
 L1 = 2 m 
 L2 = 4 m 
 L3 = 2 m 
 
 ∆L1 = 10 cm = 0,1 m 
 ∆L2 = 10 cm = 0,1 m 
 ∆L3 = 10 cm = 0,1 m 
 
 
 
 
 Figura ubarra_08.1 
 
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Exercício ubarra_09 
 
Para a barra mostrada na figura ubarra_09.1 determine: 
 
1) As expressões e os gráficos dos deslocamentos 
axiais ( )u x , 
 
2) As expressões e os diagramas de esforços 
normais resultantes na seção transversal ( )xN x , 
bem como as tensões normais ( )xx xσ 
 
Em particular analise a distribuição de forças nos 
trechos AB e BC em função dos comprimentos a e 
b das partes da barra. 
 
3) Determine a constante de mola do ponto B: 
( )
B B
B
B
F Fk
u u x a
= = = . 
Analise como a constante de mola varia 
quadraticamente em função do comprimento a , 
que mede a distância entre o início da barra ( 0)x = 
e o ponto de aplicação da forca ( )x a= . 
 
 
 
 Figura ubarra_09.1 
 
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Exercício ubarra_10 
 
Uma barra hiperestática está submetida a uma força 
concentrada FB, tal como mostrado na figura 
ubarra_10.1. Para este elemento estrutural pede-se 
o diagrama de força normal ( )xN x ao longo da 
barra, bem como a área mínima de sua seção 
transversal de forma que as tensões normais 
máximas não ultrapassem 2max 16N/mmxxσ ≤ . 
 
Determine também o valor a constante de mola do 
ponto B: 
( 2 / 3)
B B
B
B
F Fk
u u x L
= = = . 
 
Dados: 
FB=100 kN, L=500mm, E=210 GPa. 
 
 
 
 
 
 
 Figura ubarra_10.1 
 
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Exercício ubarra_11 
 
Uma barra hiperestática está submetida a um carregamento tal como mostrado na figura 
ubarra_11.1 abaixo. Determine o valor e a posição da tensão normal máxima maxxxσ bem 
como o valor e a posição do deslocamento axial máximo maxu que ocorrem na peça. 
 
Dados: E=50GPa, L=1000mm, A=2500mm2, FB=15.000 N, FC=30.000N 
 
 
Figura ubarra_11.1 
 
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Exercício ubarra_12 
 
Uma barra hiperestática está submetida a um carregamento axial uniformemente 
distribuído p0 e a uma força axial concentrada FB aplicada a uma distância LB da origem do 
sistema de coordenadas, tal como mostrado na figura ubarra_12.1 abaixo. Deseja-se saber 
qual deve ser a distância LB para que as reações de apoio RXA e RXC possuam uma relação 
RXA=2RXC. Resolva a questão literalmente e somente ao final faça a substituição dos 
valores numéricos. 
 
Dados: E=210GPa, L=1300mm, p0=12.000 kN/m, A=400mm2, FB=19.000 N 
 
 
Figura ubarra_12.1 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício ubarra_13 
 
Dada a barra hiperestática mostrada na figura ubarra_13.1 abaixo, determine através da 
integração da equação diferencial de equilíbrio as equações e os diagramas de esforço 
normal ( )xN x bem como as equações e os diagramas do deslocamento axial ( )u x . 
Determine em particular os deslocamentos nos pontos B e C, respectivamente, 
( /10) Bu x L u= = e ( / 2) Cu x L u= = . 
 
Dados: E=200GPa, L=3.000mm, A=1963,49mm2, FB=130.000 N, FC=10.000 N 
 
 
Figura ubarra_13.1 
 
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Exercício ubarra_14 
 
A figura ubarra_14.1 mostra uma barra AB de comprimento L que está encaixada entre 
duas paredes rígidas. A barra está submetida a um carregamento uniformemente 
distribuído p0. Na extremidade direita, ponto B, a barra está completamente fixada na 
parede rígida. Na extremidade esquerda, ponto A, existe uma folga entre a ponta da barra e 
a parede rígida, cujo valor é L∆ . 
 
No processo de montagem da estrutura, a barra será alongada do valor L∆ , de forma que 
ela fique perfeitamente ajustada às paredes rígidas. Para a viga alongada e encaixada nas 
paredes, pede-se: 
 
1) O valor e diagrama de esforço normal ( )xN x bem como 0 valor e o diagrama da tensão 
normal xxσ que ocorrem na seção transversal da barra, 
 
2) o valor das reações de apoio nas paredes rígidas 
 
3) para os dados da barra abaixo, determine qual o valor da folga L∆ de forma que a 
reação de apoio na extremidade B da barra seja nula. 
 
Dados: L=2m, /1000 2mmL L∆ = = , E=210 GPa, A=250 mm2, p0=18 kN/m 
 
 
 
 
 
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Figura ubarra_14.1 
 
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Exercício ubarra_15 
 
A figura ubarra_15.1 mostra uma barra AB de comprimento L que está encaixada entre 
duas paredes rígidas. Na extremidade direita, ponto B, a barra está completamente fixada 
na parede rígida. Na extremidade esquerda, ponto A, existe uma folga entre a ponta da 
barra e a parede rígida, cujo valor é L∆ . 
 
No processo de montagem da estrutura, a barra deverá ser alongada de um valor L∆ , de 
forma que, ao final, ela fique perfeitamente ajustada às paredes rígidas. Considerando-se 
que a tensão normal máxima que o material da barra pode suportar antes de falhar é 
2
max 130N/mmxxσ = , pergunta-se: 
 
1) qual o comprimento máximo L∆ que a barra pode ser alongada antes de falhar. 
 
2) Se a área de seção transversal for dobrada para o valor 2A=800mm2,, qual será o novo 
alongamento L∆ que poderá agora ser aplicado à barra. 
 
Dados: L=1800mm, , E=210 GPa, A=400 mm2 
 
 
Figura ubarra_15.1 
 
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Exercício ubarra_16 
 
A figura ubarra_16.1 mostra uma barra de comprimento L, bi-engastada nas extremidades 
A e C em paredes que podem ser consideradas rígidas. Em um segundo momento uma 
força de intensidade FB é aplicada em um ponto B, situado a uma distância LB da origem. 
A força FB provoca um deslocamento uB na seção originalmente indicada por B. A nova 
posição da seção é indicada pela letra B’ na segunda figura abaixo. 
 
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Para esta barra: 
 
1) Dado o deslocamento uB, calcule a força FB que foi necessária para causar este 
deslocamento. Determine também uma expressão analítica e os valores numéricos para as 
reações nos apoios RXA e RXC. 
 
2) Se a tensão normal máxima que o material da barra pode suportar antes de falhar é 
2
max 150N/mmxxσ = , calcule qual o máximo deslocamento uB ao qual a barra pode ser 
submetida. 
 
Dados: uB=0,25mm, L=1800mm, , E=210 GPa, A=290 mm2 
 
 
Figura ubarra_16.1 
 
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Exercício ubarra_17: 
 
A figura ubarra_17.1 mostra uma barra de comprimento L encaixada entre duas pareder 
rígidas (P1 e P2). Na extremidade esquerda (A) a barra está encostada e fixada à parede 
através de um parafuso (PR1). Na extremidade direita, a barra também está fixada à parede 
através de um parafuso (PR2). Entretanto existe uma folga L∆ entre a extremidade direita 
da barra (B) e a parede (P2). 
 
Os parafusos PR1 e PR2 são iguais, possuem um diâmetro dp. O material dos parafusos 
posui um módulo de elasticidade longitudinal (Young) Ep.A barra possui seção transversal 
com área Ab e material com módulo de elasticidade longitudinal Eb. 
 
Sabendo-se que as tensões normais máximas suportadas nas barras e nos parafusos são, 
respectivamente, 2max 14N/mmxxbσ = e 2max 110N/mmxxpσ = pergunta-se qual a folga 
máxima L∆ que pode ser retirada apertando-se os parafusos e causando um alongamento 
da barra. Nestas condições indique as forças nos parafusos e a distribuição de forças na 
barra. 
 
Dados: 
Eb=25GPa, Ep=210GPa, Ab=500mm2, dp=12mm, L=230mm, 
 
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Figura ubarra_17.1 
 
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