Flexão Assimétrica Simples

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE 
CENTRO DE TECNOLOGIA 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
CIV0418 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II 
 
Apostila de Resistência dos Materiais II 
 
Profa. Dra. Fernanda Rodrigues Mittelbach 
 
3. CAPÍTULO TERCEIRO – FLEXÃO ASSIMÉTRICA SIMPLES 
3.1. Introdução 
Até agora o estudo da flexão se resumiu ao caso de barras que possuíam um plano 
axial de simetria (plano xy), sendo os correspondentes carregamentos transversais atuavam 
neste mesmo plano e a barra flete também no plano xy. Nestas condições, tanto a linha 
neutra quanto o eixo vertical coincidem com os denominados eixos principais de inércia da 
área da seção. 
y
x
q
q
z
y
 
y → eixo de simetria da seção 
transversal; 
q → carregamento atuando no 
plano de simetria xy. 
Figura 4 -1 
Assim, as tensões normais de flexão se distribuem linearmente na seção, e seu 
valor pode ser obtido por: 
3. Capítulo 4: Flexão Assimétrica Simples 
 
 
2 
 
y
z
Mz
y
 
y
I
M
z
z
x 
 
Figura 4-2 
Será tratado, neste capítulo, o caso de flexão assimétrica, o qual ocorre se a seção 
transversal não apresentar um eixo de simetria ou a solicitação ocorrer fora do eixo de 
simetria da desta seção. 
3.2. Características da flexão normal ou reta versus flexão assimétrica 
3.2.1. Características gerais 
 A reta suporte do vetor de seta dupla, representativo do momento fletor sobre o 
plano da seção reta, é OBRIGATORIAMENTE perpendicular ao plano de 
carregamento. 
 A linha neutra da seção reta é OBRIGATORIAMENTE perpendicular ao plano de 
flexão ou plano de encurvamento longitudinal da peça. 
3.2.2. Características específicas da flexão reta 
 A reta suporte do vetor de seta dupla, representativo do momento fletor, é um eixo 
principal centroidal. 
 Em conseqüência, a reta de interseção do plano de cargas sobre a seção transversal 
reta coincide com o outro eixo principal. 
 O plano de cargas (plano longitudinal de cargas) coincide com o plano de flexão ou 
plano de encurvamento longitudinal da peça. 
 Como conseqüência, a reta suporte do vetor representativo do momento fletor sobre 
o plano da seção reta e a linha neutra (L.N.) dessa seção são coincidentes ou 
paralelas entre si. 
3.2.3. Características específicas da flexão oblíqua 
 A reta suporte do vetor de seta dupla não é um eixo principal central. 
3. Capítulo 4: Flexão Assimétrica Simples 
 
 
3 
 
 A interseção do plano de cargas com a seção transversal reta não coincide com o 
outro eixo principal. 
 O plano de cargas não coincide com o plano de flexão ou plano de encurvamento 
longitudinal da peça. 
 A reta suporte do vetor de seta dupla e a linha neutra (L.N.) da seção deixam de ser 
coincidentes ou paralelas entre si. 
 
3.3. Flexão assimétrica 
3.3.1. Comentários iniciais 
z
y
C
z
y
dA
 
Consideremos uma seção transversal 
assimétrica submetida a um momento fletor. 
Selecionemos dois eixos quaisquer z e y, 
ivestigando as condições para que o eixo z 
coincida com a L.N. dessa seção. 
Figura 4 - 3 
Para esta condição a tensão no elemento de área dA, ilustrado na figura, será dada 
por: σx = k∙E∙y, sendo k a curvatura do eixo deformado da viga. A força elementar no 
elemento de área é: dFx = k∙E∙y∙dA. Como não há força normal atuando na seção, a resultante 
das forças na direção x deve ser nula, logo:
 
A
ydAkE 0
ou 
 
A
ydA 0
. Com isso conclui-
se que a linha neutra deve passar pelo centróide da seção, o qual é tomado como origem dos 
eixos y e z. 
Os momentos fletores resultante em torno dos eixos y e z se escrevem: 
yz
AA
xy
z
AA
xz
kEIyzdAkEzdAM
kEIdAykEydAM




2
 
3. Capítulo 4: Flexão Assimétrica Simples 
 
 
4 
 
Das equações anteriores, pode-se concluir: 
a) Eixo z adotado coincidente com a linha neutra => Existem as componentes de 
momento My e Mz, pois MR não coincide com a L.N.. 
b) Se y e z forem os eixos principais da seção => Iyz = 0, logo My = 0. 
Isto indica que só atua na seção transversal o momento Mz, cujo vetor está 
orientado segundo o eixo z ( linha neutra ). 
c) Quando uma viga assimétrica está submetida à flexão pura, o vetor 
representativo desse momento só coincidirá com a linha neutra quando y e z forem os eixos 
principais centrais da seção transversal. Neste caso, depara-se com uma flexão reta. 
Com base nessas observações, pode-se dizer que a análise de uma viga com seção 
assimétrica, submetida ao momento fletor MR, pode ser dividida nas seguintes etapas: 
 Localização dos eixos principais centrais, y e z, da seção; 
 Decomposição do momento MR em My e Mz; 
 Aplicação da teoria da flexão reta ou normal para o cálculo das tensões e 
deslocamentos, vista anteriormente. 
3.3.2. Teoria geral da flexão pura 
. Com o intuito de se obter uma equação geral, considere a seção transversal 
assimétrica ilustrada na figura, supondo-se que os eixos y e z sejam centrais, porém não 
principais. 
Conseidere das componentes de momento My e Mz conforme indicado na figura a 
seguir. 
Estando o estudo no âmbito da elasticidade linear, a componente de deformação 
x
 
total pode ser obtida através da soma das componentes de deformação devidas a My e Mz: 
zkyk zyx 
 (levando-se em conta que uma deformação positiva está 
associada à uma curvatura negativa). 
3. Capítulo 4: Flexão Assimétrica Simples 
 
 
5 
 
z
y
C
My
Mz
A
Ky > 0
x
y
Kz > 0
x
z
 
Figura 4- 4 
 A tensão normal se escreve, então: 
zEkyEkE zyxx 
 
 A definição de momentos fletores, de acordo com a convenção de sinais 
adotada, é dada por: 
yzyzy
A
z
A
y
A
xy IEkIEkdAzEkyzdAEkzdAM  
2
 
yzzzy
A
z
A
y
A
xz IEkIEkyzdAEkdAyEkydAM  
2
 
O sistema de equações resultante em ky e kz 
yzyzyy IEkIEkM 
 
yzzzyz IEkIEkM 
, 
fornece: 
2
2
yzzy
yzzzy
z
yzzy
yzyyz
y
III
IMIM
Ek
III
IMIM
Ek






 
A tensão normal resulta em: 
z
III
IMIM
y
III
IMIM
yzzy
yzzzy
yzzy
yzyyz
x 22 





. 
3. Capítulo 4: Flexão Assimétrica Simples 
 
 
6 
 
 
3.4. Vigas simétricas 
O caso mais simples de flexão assimétrica ocorre quando o plano de carregamento 
não coincide com o plano de simetria de uma seção 
 0yzI
. No entanto, esse plano de 
carregamento contém o eixo que passa pelos planos de simetria (no caso em questão, o eixo 
x). 
y
z
M


z
x
y P
 
Carga P aplicada em um 
plano de carregamento que 
contém o eixo x. 
Figura 4-5 
y
z

M
Mz
My
 
Neste caso, pode-se tomar partido da 
superposição de efeitos para calcular as 
tensões e deformações. O momento M, que 
atua num plano oblíquo aos eixos de 
simetria, pode ser decomposto segundo os 
eixos y e z. 
Figura 4-6 
Considere, como exemplo, a viga em balanço submetida ao carregamento indicado. 
L
x
P
z
y
P

z
y
M

My
Mz
y 
Figura 4-7 
Nos planos xy e xy valem, as equações de equilíbrio: 
3. Capítulo 4: Flexão Assimétrica Simples 
 
 
7 
 
y
z Q
dx
dM

 
z
y
Q
dx
dM

 
 (1) 
 
Mz + dMz
Qy + dQyQy
Mz
dx
O x
y
n^
n^
 
z
dx
n^
My
Qz
O
Qz + dQz
My + dMy
n^
x
 
Figura 4 -8 
Tudo funciona como a superposição de duas flexões simples retas, ocorrendo em 
dois planos perpendiculares entre si (sendo estes planos,como se esclarecerá no item 
seguinte, os planos princípais de inércia da área da seção transversal da barra). Assim, a 
tensão normal 
x
é dada por: 
z
I
M
y
I
M
y
y
z
z
x 
 (2) 
A equação expressa uma variação linear da tensão normal com a distância à linha 
neutra da seção em questão. A linha neutra é, da mesma forma do que na flexão reta, o lugar 
geométrico dos pontos de tensão normal 
x
nula. Na flexão assimétrica a linha neutra não 
coincide com o eixo z. A equação da linha neutra se escreve: 
0 z
I
M
y
I
M
y
y
z
z
x
 (3) 
Para uma dada seção da barra, os valores de Mz, My, Iz e Iy são constantes e a 
intensidade da tensão 
x
 é tanto maior quanto maior for a distância do ponto considerado à 
linha neutra. 
3. Capítulo 4: Flexão Assimétrica Simples 
 
 
8 
 
y
C
z
L. N.
-
+
m
áx
m
ín

m
áx
 
Figura 4 - 9 
Como, na flexão oblíqua, a barra não se deforma no mesmo plano do momento 
fletor, a linha neutra não é obrigatoriamente normal ao plano de ação deste esforço. 
3.5. Flexão assimétrica em vigas de seção simétrica 
Com base no que foi tratado no item 4.4, analisa-se o exemplo da viga em balanço 
ilustrada a seguir, na qual atua uma força concentrada em sua extremidade livre, conforme 
indicado na figura: 
L
x
z
P
y
x
y
z

M
Mz
My

 
Figura 4 - 10 
3. Capítulo 4: Flexão Assimétrica Simples 
 
 
9 
 
Quando o plano de carregamento não coincide, na seção transversal, com um dos 
eixos de simetria, fica caracterizada a flexão assimétrica. Nas condições ilustradas na figura, 
a flexão gerada pela carga P pode ser decomposta em duas parcelas, uma segundo o eixo y e 
outra segundo o eixo z. 
Assim, ficam definidas as seguintes componentes de força: 
 Py = P cos θ e Pz = - P sen θ 
E essas componentes ocasionam as flexões em torno de y e z, cujas equações do 
momento, M(x), são dadas por: 
My(x) = -Pz( l – x ) => My(x) = (Psen θ)( l – x ) 
Mz(x) = - Py( l – x ) => Mz(x) = - (Pcos θ)( l – x ) 
Lembrando-se da convenção de sinais do momento fletor: o momento fletor Mz 
positivo traciona o semi-eixo positivo de y e o momento fletor My positivo traciona o semi-
eixo positivo dos z. 
Sendo My e Mz momentos atuantes nos planos de simetria da viga, as tensões 
podem ser calculadas pela equação de flexão reta. Assim, para um ponto A qualquer da seção 
transversal, com coordenadas yA e zA, a tensão normal será dada por: 
   
A
y
A
z
A
y
y
A
z
zM
x
M
xx z
I
xlPsen
y
I
xlcosP
z
I
M
y
I
M
y
A
z
AA




 (4) 
Esta equação pode ser interpretada como uma superposição de efeitos: 
y
z
M

=_
 
y
z
Mz
 
y
z
My
 
Figura 4 - 11 
Ao se somar os dois efeitos, a L.N. não será horizontal nem vertical, isto é, ficará 
definida por um ângulo. Pode-se, de acordo com (3), escrever que: 
+ 
3. Capítulo 4: Flexão Assimétrica Simples 
 
 
10 
 
   
0



z
I
xlPsen
y
I
xlcosP
yz
 
   
ztg
I
I
z
cos
sen
I
I
yz
I
xlPsen
y
I
xlcosP
y
z
y
z
yz























 
Esta equação pode ser 
escrita da seguinte 
forma: y = tg(ß)∙z, em 
que 
 tg
I
I
tg
y
z
. 
Sendo tg(ß) ≠ tg(θ), a 
L.N. não é 
perpendicular ao plano 
de carga. 
As únicas exceções ocorrem quando 
0
, 
2


 ou 
yz II 
. Os dois primeiros casos são 
de flexão reta e o terceiro é o caso no qual 
yz II 
, sendo ambos momentos de inércia de 
área principais. 
 
y
z
M
LN


 
Inclinação da linha neutra x inclinação do plano da carga 
 
Figura 4 - 12 
De modo análogo às tensões, as deflexões podem ser obtidas separadamente para 
Py e Pz, e em seguida superpostas. Assim, para a extremidade livre, tem-se: 
3. Capítulo 4: Flexão Assimétrica Simples 
 
 
11 
 
zz
y
y
EI
cosPl
EI
lP
33
33 

e 
yy
z
z
EI
senPl
EI
lP
33
33 

 
22
zy 
 







tgtg
I
I
cosPl
EI
EI
senPl
y
zz
yy
z
3
3 3
3
 

z
y
y
z
 
Inclinação da deflexão 
Figura 4 - 13 
O ângulo entre o vetor de deflexão resultante e o eixo y é o próprio , como já era 
de se esperar, já que a deflexão resultante deve estar em um plano normal à linha neutra. 
A expressão geral dos deslocamentos pode ser obtida por meio da equação 
diferencial da linha elástica, analisando-a segundo as flexões nas direções y e z. Dessa 
forma, as equações diferenciais referidas são: 
y
y
z
z
EI
M
dx
zd
EI
M
dx
yd


2
2
2
2
 (5) 
 
z
P
y
x
Py
Pz
 
Observe que o problema é o mesmo, 
modificando-se apenas a direção de 
aplicação da força na extremidade da barra. 
Resolvendo a equação diferencial associada 
aos deslocamentos na direção de z, tem-se: 
Figura 4 - 14 
 
   xlcosP
dx
yd
EIlxcosPxPlP)x(M zyyz  2
2 
   xlsenP
dx
zd
EIlxsenPxPlP)x(M yzzy  2
2 
(6) 
com 
yEI
 e 
zEI
 constantes. 
3. Capítulo 4: Flexão Assimétrica Simples 
 
 
12 
 
1
2
2
1
ClxxcosP
dx
dy
EIz 






 
2
2
2
1
ClxxsenP
dx
dz
EIy 






 
  31
23
26
1
CxCx
l
xcosPxyEIz 






 
  42
23
26
1
CxCx
l
xsenPxzEIz 






 
 
Condições de contorno geométricas: 







0
0
0
dx
dy
y
x
 e 







0
0
0
dx
dz
z
x
 
 
Assim: 
0000
2
1
0 11
2 





 CClcosP
dx
dy
0000
2
1
0 22
2 





 CClsenP
dx
dz
 
  00000
2
1
0
6
1
0 33
23 





 CCcosPxy
 
  00000
2
1
0
6
1
0 44
23 





 CCsenPxz
 
Com isso: 
   
z
y
z EI
Pl
lvxx
l
EI
P
xv
3
cos
6
1
2
cos 332 








 
   
y
z
y EI
senPl
lwx
l
x
EI
senP
xw
326
1 323 








 
3. Capítulo 4: Flexão Assimétrica Simples 
 
 
13 
 
Outro exemplo de flexão assimétrica em vigas de seção simétrica: 
x
P
d
P

 
O binário provocado pelas forças P aplica 
um momento M = P∙d na extremidade livre 
da barra, resultado num diagrama de 
momento fletor constante. 
Figura 4 - 15 
- Tensão normal máxima 
Para se determinar o valor da máxima tensão normal que atua na seção, é 
necessário obter a equação da linha neutra e fazer seu traçado na seção. 
Considere o mesmo exemplo da barra engastada com uma força P aplicada em sua 
extremidade livre numa direção θ com eixo y. 
P M(x)

z
x
y

 
y
z
M

B
A 
Figura 4 - 16 
A esta força P corresponderá um momento M, representado pelo vetor de seta 
dupla, que varia linearmente de zero, na extremidade livre até P∙l, no engaste. Para estas 
condições, foi demonstrado anteriormente que a equação da L.N. numa seção qualquer, para 
o presente exemplo, é dada por:    
ztg
I
I
yz
I
xlPsen
y
I
xlcosP
y
zyz











 , 
que representa uma reta na seção transversal. 
Obs: Note-se que, se houvesse diferença na variação do momento fletor entre cada uma das 
duas direções, o fator (l - x) não se cancelaria a equação da linha neutra dependeria da 
seção considerada. 
3. Capítulo 4: Flexão Assimétrica Simples 
 
 
14 
 
Suponhamos que esta equação da linha neutra corresponda, graficamente, à reta 
inclinada ilustrada na figura a seguir, de uma seção transversal qualquer da barra. Pelo 
sentido do vetor de seta dupla, verifica-se que a região à direita da L.N. está toda tracionada 
e a região à esquerda está toda comprimida. Os pontos mais distantes, B e A, correspondem 
àqueles de maior tensão normal de tração e compressão, respectivamente. Pode-se também 
avaliar a equação de 
x
 para determinar as regiões comprimidas ou tracionadas escolhendo-
se um ponto qualquer da seção não pertencente à linha neutra e avaliando se 
 0x
região 
tracionada ou 
 0x
 região comprimida. 
y
z
M
LN

B
A
 
y
z
LN
B
A
+
-
+
-

m
á
x

m
ín
 
Figura 4 - 17 
Isto também pode ser verificado pela superposição das componentes My e Mz. Para 
a componente My, a L.N. é coincidente com o eixo y, conforme discutido anteriormente, e 
coincidente com z para Mz. O lado AC da seção transversal corresponde à reta que contém os 
pontos com máxima tensão de compressão, considerando-se a ação da componente My. y
z
Mz
y
z
My
LN
A D
BC
A D
BC
LN
LN LN
Região comprimida
Região tracionada
 
Figura 4 - 18 
3. Capítulo 4: Flexão Assimétrica Simples 
 
 
15 
 
Pelas mesmas razões, ao lado BD corresponde a máxima tensão de tração. A partir 
do mesmo raciocínio, pode-se concluir que os lados AD e CB correspondem às máximas 
compressões e trações para a ação da componente Mz. Superpondo os dois efeitos, percebe-
se que ao ponto A, intercessão entre os lados AC e AD, corresponde a máxima tensão de 
compressão da seção, considerando-se a ação total M, e, analogamente, ao ponto B 
corresponde a máxima tensão de tração. 
 
3.6. Eixos principais de inércia 
3.6.1. Momento e produto de inércia de área de figuras planas 
A figura a seguir mostra uma seção transversal de uma barra, um par de eixos 
ortogonais, y e z, com origem C e um elemento de área dA, de coordenadas y e z. 
dA
C z
y
y
z
 
Figura 4 - 19 
Os momentos de inércia da área da seção em relação aos eixos z e y e o produto de 
inércia da área da seção em relação aos eixos y e z, são definidos, respectivamente, por: 

A
z dAyI
2
 

A
y dAzI
2
 

A
yz yzdAI
 
 (7) 
Dessas equações, pode-se concluir que os momentos de inércia de área sempre 
serão positivos, e que o produto de inércia de área pode ser positivo, negativo ou nulo, 
dependendo da posição da figura geométrica em relação aos eixos x e y. Considere a figura 
seguinte. 
3. Capítulo 4: Flexão Assimétrica Simples 
 
 
16 
 
y
zz
O
y
z
 
Para cada elemento de área dA de 
coordenada y positiva haverá um 
correspondente com coordenada negativa. 
Dessa forma, o produto de inércia de área 
Iyz da figura será nulo, pois todas as parcelas 
yz∙dA se anulam. Assim, pode-se dizer que 
Iyz será nulo toda vez que um dos eixos for 
de simetria. 
Figura 4 - 20 
Considere agora a figura seguinte, da qual se conhece o produto de inércia de área 
Ixy em relação a um par de eixos centroidais tais como os eixos xy mostrados. 
dA
z '
C z
y
d 2
d 1
y
z
z '
y '
O
y '
 
Figura 4 - 21 
Com base nas relações entre as coordenadas de um elemento de área dA segundo 
os eixos 
y
 e 
z
 e as coordenadas segundo os eixos y e z 
1dyy 
 
2dzz 
 
 
Pode-se determinar o produto de inércia da área da seção em relação aos eixos 
y
 e 
z
 
3. Capítulo 4: Flexão Assimétrica Simples 
 
 
17 
 
     
AAAAAA
z dAdydAddAydAdydydAdydAyI
2
11
22
11
22
1
2 22
 
     
AAAAAA
y dAdzdAddAzdAdzdzdAdzdAzI
2
22
22
22
22
2
2 22
 
      
AAAAAAA
zy dAddzdAdydAdyzdAdAddzdydyzdAdzdydAzyI 2112211221
 
na qual d1 e d2 são as coordenadas do centróide C em relação aos eixos 
zy 
. Sendo a origem 
dos eixos yz o centróide da área da seção, tem-se que: 
0
0




AzzdAS
AyydAS
A
y
A
z
 
onde 
y
 e 
z
 as coordenadas do centróide 
segundo os eixos yz. 
Com isso, as expressões se reduzem a: 
2
1AdII zz 
 
2
2AdII yy 
 
21dAdII yzzy 
 
(8) 
Estas equações correspondem ao Teorema dos Eixos Paralelos. 
Como exemplo, determinemos o produto de inércia de área da seção triangular a 
seguir em relação aos eixos 
zy 
 e yz. 
y '
z '
b
b/3
h z '
h
3
dz '
y
zc
 
Figura 4 -22 
O produto de inércia de área em relação aos eixos 
zy 
 é determinado através da 
consideração da área infinitesimal dA hachurada na figura anterior. 
3. Capítulo 4: Flexão Assimétrica Simples 
 
 
18 
 
 
A
zy dAzyI
 
zdhz
b
h
dA 






 e 






 hz
b
h
y
2
1
, tendo-se
bz 0
 
2423
2
42
1
2
1 22
0
2
2
3
2
2
4
2
2
0
hb
z
h
z
b
h
z
b
h
zdhz
b
h
zhz
b
h
I
bb
zy 



















 
 
Pelo teorema dos Eixos Paralelos: 
7233224
2222
21
hbbhbhhb
dAdII zyyz 











 
 
 
3.6.2. Rotação de eixos 
Considere-se a seção apresentada na figura a seguir. Representam-se os eixos 
y
 e 
z
 
com origem num ponto arbitrário O e os eixos 
y 
 e 
z 
 com origem também em O e 
girados de  em relação aos eixos 
y
 e 
z
 respectivamente. 
 Admite-se que, para a seção da figura, os momentos e o produto de inércia 
de área em relação aos eixos 
y
 e 
z
 são conhecidos. 
y '
dA
z '


z 's
en

y 's
en

y "
z "
z 'c
os
z "
y "
y 'c
os
O
z '
y '
 
 cosysenzy
 
 senycoszz
 
Figura 4 - 23 
3. Capítulo 4: Flexão Assimétrica Simples 
 
 
19 
 
Daí, o momento os momentos de inércia de área e o produto de inércia de área 
serão em relação aos eixos 
y 
 e 
z 
serão: 
     
AAA
z dAcossenzycosysenzdAcosysenzdAyI 2
222222
 
 
AAA
dAzycossendAycosdAzsen 22222
 
     
AAA
y dAcossenzysenycoszdAsenycoszdAzI 2
222222
 
 
AAA
dAzycossendAysendAzcos 22222
 
      
AAA
zy dAcos senycoszysenzycos senzdA senycoszcosy senzdAzyI
2222
 
  
AAA
dAzysencosdAycos sendAzcos sen 2222
 
Em virtude das definições estudadas: 
  cossenIcosIsenII zyzyz 2
22
 
  cossenIsenIcosII zyzyy 2
22
 
   22 sencosIcossenIcossenII zyzyzy
 
Substituindo-se as relações trigonométricas, 
  21
2
12 coscos
 
  21
2
12 cossen
 
3. Capítulo 4: Flexão Assimétrica Simples 
 
 
20 
 
 22 sencossen
, 
obtém-se: 





 





 
  2
2
21
2
21
senI
cosI
cos
II zyzyz
 





 





 
  2
2
21
2
21
senI
cos
I
cos
II zyzyy
 





 




 
2
2121
2
2
2
2 coscos
I
sen
I
sen
II zyzyzy
 
(9) 
Ou, ainda: 




 

 22
22
senIcos
IIII
I zy
yzyz
z
 




 

 22
22
senIcos
IIII
I zy
yzyz
y
 




 2
2
2 sen
II
cosII
yz
zyzy
 
(10) 
Estas equações exprimem os momentos e produto de inércia de área em relação aos 
eixos rotacionados, em função àqueles em relação aos eixos originais. 
Pode-se verificar que: 
zyzy IIII  
, isto é, esta soma é invariável para 
qualquer rotação do sistema de eixos. 
Analisando agora 
zyI 
: 
 - Para 
0
=>
zyzy II  
, como esperado. 
 - Para 
2


=> 
zyzy II  
, ocorre mudança de sinal. 
Assim, deve existir uma direção θ dos eixos para a qual o produto de inércia de 
área se anula. Tais eixos são denominados “eixos principais de inércia” e, caso sua origem 
coincida com o centróide da área, são denominados “eixos principais centroidais”. 
3. Capítulo 4: Flexão Assimétrica Simples 
 
 
21 
 
3.6.3. Posição dos eixos principais 
Como definido anteriormente, os eixos principais são aqueles cujo produto de 
inércia de área da seção vale zero. Assim: 
Eixos em relação aos quais o produto de inércia da área da seção é nulo são 
chamados eixos principais. 
 Chamando de p o valor de  para o qual 
zyI 
 vale zero e que define, 
portanto, os eixos principais, escreve-se 
02sen
2
II
2cosI p
yz
pzy 




 
ou 
pzyp
yz
2cosI2sen
2
II


 

 
ou, ainda, 















yz
zy
p
p
II
2
I
2cos
2sen 
ou, finalmente, 
yz
zy
p
II
I2
2tg




 (11) 
Há dois valores de 2p, diferindo um do outro por , que são solução da equação 
(11). Os dois valores de p correspondentes, diferindo entre si por 
2

, definem as direções 
ortogonais dos eixos principais. 
Esse resultado também pode ser obtido investigando os valores de θ que resultam 
num momento de inércia de área máximo ou mínimo. Para tanto é suficiente derivar a 
expressão de 
zI 
em relação a θ e igualar a zero: 
    02222
2




pzyp
yz
cosIsen
II
 
Dividindo-se ambos os membros da equação acima por 2, vem 
02
2
2 



 p
yz
pzy sen
II
cosI
 (12) 
Outra forma de obter os mesmos valores de θp é investigando a equação de 
yI 
, de 
modo a obter seu máximo ou mínimo. Pode-se, portanto, concluir que eixos principais são 
3. Capítulo 4: Flexão Assimétrica Simples 
 
 
22 
 
eixos tais que o momento de inércia da área da seção em relação a um deles é máximo e em 
relação ao outro é mínimo. 
Sendo nulo o produto de inércia da área de uma seção em relação a um par de eixos 
em que um deles é eixo de simetria, pode-se concluir que, caso uma seção tenha um eixo de 
simetria, este eixo e qualquer outro perpendicular a ele consistem em um par de eixos 
principais. 
Para obter as expressões dos momentos de inércia da área da seção em relação aos 
eixos principais, com orientação definida pelo ângulo p, fornecido pela equação (11), basta 
substituir nas equações (10) as expressões de sen2p e cos2p. 
Utilizando as relações trigonométricas: 


21
1
2
2tg
cos
 



21
2
2
2tg
tg
sen
 
 
 
 
 
 
yz
zyyz
yz
zyyz
yz
zy
yz
zy
p
II
III
II
III
II
I
II
I
tg


























22
2
22
2
22
2
444
1
2
121
, 
 
  222 421
1
zyyz
yz
p III
II
tg 





 
 
  22 4
2
zyyz
yz
p
III
II
cos





 (13) 
e, 
  22 4
2
2
zyyz
zy
p
III
I
sen




 (14) 
Substituindo as equações (13) e (14) nas equações (10), obtêm-se as expressões do 
momento de inércia máximo e do momento de inércia mínimo: 
    2 zy
2
yz
zy
zy
2
zy
2
yz
yzyzyz
mín
máx
I4II
I2
I
I4II
II
2
II
2
II
I














 
ou 
3. Capítulo 4: Flexão Assimétrica Simples 
 
 
23 
 
2
zy
2
yzyz
mín
máx I
2
II
2
II
I 






 



 (15) 
 
y
z
CG
 
No caso de uma seção retangular, os eixos y 
e z ilustrados na figura correspondem aos 
eixos principais, em que: 
Iz = Imáx e Iy = Imín. 
Figura 4 -24 
A equação da componente de tensão normal
z
III
IMIM
y
III
IMIM
yzzy
yzzzy
yzzy
yzyyz
x 22 





 pode 
ser usada quando se conhecem os momentos My e Mz associados a dois eixos centrais 
perpendiculares quaisquer. É importante saber que esta equação foi deduzida em 
correspondência às orientações dos eixos y e z, assim como dos momentos My e Mz, 
indicadas na figura anterior. 
Se os eixos em questão forem eixos principais de inércia I1 e I2, I12 = 0 e a equação 
se reduz a: 
1
2
2
2
1
1
1
21
12
2
21
21 x
I
M
x
I
M
x
II
IM
x
II
IM
x 
. 
 
 
- Exercícios 
1) Demonstrar que se a força P, da barra engastada e livre adotada no 
desenvolvimento teórico, tiver sua linha de ação ao longo da diagonal da seção transversal, o 
eixo neutro se encontrará sobre a outra diagonal. 
3. Capítulo 4: Flexão Assimétrica Simples 
 
 
24 
 
y
z
P
b
h


 
Py = P cos θ e Pz = - P sen θ 
Equação da linha neutra: 
ztg
I
I
y
y
z









, sendo 
h
b
tg 
 
Figura 4 -25 
Sendo 
12
3bh
Iz 
 e 
12
3hb
I y 
, tem-se que 
2
2
b
h
I
I
y
z 
. 
A equação da linha neutra resulta, então em: 
ztgz
b
h
z
h
b
b
h
y 






2
2 , que é a equação da outra diagonal da seção 
transversal. 
Com isso fica demonstrado que a L.N. passa pela outra diagonal. 
2) Uma viga de madeira de seção transversal retangular é simplesmente apoiada 
nas extremidades. O eixo é horizontal, porém a seção transversal é inclinada, conforme 
ilustrado pela figura. A carga é vertical e uniformemente distribuída, sendo q a taxa de 
carregamento. Calcular a tensão normal devido à flexão, e o deslocamento vertical no meio 
do vão, sendo: L = 3,0m; b = 15cm; h = 20cm; tg() = 1/3; E = 1.050 kN/cm² e 
q = 3 kN/m. 
b
h
z
yq

 
A máxima tensão normal ocorre na seção de 
Maximo momento fletor, cujo valor , neste 
caso, é: 
kNcm,
ql
Mmáx 5337
8
2

 
Figura 4-26 
3. Capítulo 4: Flexão Assimétrica Simples 
 
 
25 
 
Em qualquer seção transversal, a direção e o sentido do momento resultante e suas 
componentes são os representados na figura a seguir. 
y
z
Mmáx.
 =
y
z
Mz
y
z
My
b
h
A
+
A
 
Figura 4-27 
4
3
5625
12
1520
cmI y 


 
4
3
10000
12
2015
cmI y 


 
kNcm,
lq
Mm/kN,cosqq
y
zy 625320
8
852
10
3
3
2



 
kNcm,
lq
Mm/kN,senqq zyz875106
8
950
10
1
3
2



 
A equação da tensão normal se escreve: 
z,y,z
,
y
,
z
I
M
y
I
M
y
y
z
z
x
22 1090110203
5625
875106
10000
625320  
 
Os deslocamentos no meio do vão associados às componentes qy e qz são dados 
por: 
cm,
EI
lq
z
y
y 2860
384
5 4

 
cm,
EI
lq
y
z
z 1700
384
5 4

 
cm,zy 3330
22 
 



73305940
2860
1700
,tg,
,
,
y
z
 

z
y
y
z
 
Inclinação da deflexão 
Figura 4.28 
3. Capítulo 4: Flexão Assimétrica Simples 
 
 
26 
 
y
z
q



 






 4318
3
1
,arctg
 
A projeção δ na direção vertical é dada por: 
    cm,,cos,cosV 3220312330 
 
Figura 4-29 
3) Uma viga biapoiada de 6m de comprimento, cuja seção transversal em perfil L 
encontra-se ilustrada a seguir, suporta um carregamento qy = 2 kN/m. Calcular a tensões 
normais máximas de tração e compressão devidas à flexão. 
0,10 m
0,18 m
0,02 m
0,02 m z'
y'
 
Figura 4-30 
A seção transversal reta da viga desse exercício é “assimétrica” e está submetida a 
uma flexão oblíqua. 
Primeiramente devemos determinar as propriedades geométricas 
zI
, 
yI
 e 
yzI
, em 
relação aos eixos centrais yz. Para isso, consideramos a seção como a subtração de dois 
retângulos 1 e 2, conforme indicado na figura a seguir. 
3. Capítulo 4: Flexão Assimétrica Simples 
 
 
27 
 
0,10 m
0,18 m
1
z'
y'
 
0,08m
0,16 m
2
z'
y'
 
Figura 4-31 
o Determinação do centróide da seção: 
As coordenadas do centróide da seção em relação aos eixos 
zy 
 se escrevem como: 
A
S
y z 
 e 
A
S
z
y
 
21 AAA 
, 
21 zzz
SSS  
 e 
21 yyy
SSS  
 
2
1 0180180100 m,,,A 
 e 
2
2 01280160080 m,,,A 
2310205 m,A 
 
m,
,
,
ym,S
m,,
,
,AyS
m,,
,
AyS
z
z
z
06540
10205
10403
10403
1028101280
2
160
020
106210180
2
180
3
4
34
33
22
33
11
2
1




















 
mymS
mAzS
mAzS
y
y
y
0746,0
1020,5
1088,3
1088,3
1012,50128,0
2
08,0
1000,9018,0
2
10,0
3
4
34
34
22
34
11
2
1




















 
3. Capítulo 4: Flexão Assimétrica Simples 
 
 
28 
 
z'
y'
y
z
C
0,0654 m
0,0746 m
 
Figura 4-32 
Para o cálculo dos momentos e produto de inércia em relação a 
yz
 utiliza-se o 
teorema dos eixos paralelos: 
2
1AdII zz 
, 
2
2AdII yy 
 e 
21dAdII yzzy 
, lembrando que aqui os eixos 
zy 
 da 
fórmula se refere aos eixos 
yz
 da seção e os eixos 
yz
 da fórmula se referem aos eixos 
centrais de cada uma das partes 1 e 2. 
 As partes 1 e 2 são retangulares, tendo-se então: 
y
z
C
b
h
 
12
3hb
I z


 
12
3bh
I y


 
Figura 4-33 
  452
3
1095,50654,009,0018,0
12
18,010,0
1
mI z



 
  452
3
1026,40654,010,00128,0
12
16,008,0
2
mI z



 
451069,1
21
mIII zzz

 
  452
3
1059,20746,005,0018,0
12
10,018,0
1
mI y



 
  452
3
1021,20746,004,00128,0
12
08,016,0
2
mI y



 
461080,3
21
mIII yyy

 
4510091024600246001800
1
m,,,,I yz

 
3. Capítulo 4: Flexão Assimétrica Simples 
 
 
29 
 
45105310346003460012800
2
m,,,,I yz

 
4610424
21
m,III yzyzyz

 
- Resolução utilizando a equação geral de σx 
O máximo momento fletor ocorre na seção do meio do vão e é dado por: 
NmkNm
lq
M z 90009
8
62
8
22





 
Nesta seção: 
   
z
,,,
,,
y
,,,
,,
z
III
IMIM
y
III
IMIM
yzzy
yzzzy
yzzy
yzyyz
x
2656
65
2656
66
22
104241069110803
104249000106910
104241069110803
104240108039000

















 
z,y,x
88 101419107357 
 
Linha neutra: 
0101419107357 88  z,y,
 
y
z
L.N.40,2°
 
Ângulo que a linha neutra faz com o eixo y: 
 2408460
1419
7357
,,
,
,
tg
 
Figura 4-34 
Os pontos de tensão máxima são os mais distantes da linha neutra (pontos A e B 
indicados na figura a seguir): 
3. Capítulo 4: Flexão Assimétrica Simples 
 
 
30 
 
L.N.
B
A
tração
compressão
 
Figura 4-35 
As coordenadas dos pontos A e B são: 
m,,,yA 1146006540180 
 e 
m,,,zA 0054007460080 
 
m,yB 06540
 e 
m,,,zB 0254007460100 
 
Pa,,,,,A
688 10707830054010141911460107357 
 
  Pa,,,,,B
688 10805730254010141906540107357 
 
- Resolução utilizando a equação em relação aos eixos principais de inércia para σx 
 Primeiramente devemos determinar a direção dos eixos principais e o valor dos 
momentos de inércia principais. 








731462
17342
6740
8039016
42422
2
pp
pp
yz
yz
p ,
,,
,
II
I
tg
 
46
45
62
2
2
2
10392
10821
10424
2
8039016
2
8039016
22
m,
m,
,
,,,,
I
IIII
I yz
yzyz
mín
máx




















 







 



 Analisando a equação abaixo, tem-se que a direção correspondente ao valor máximo 
3. Capítulo 4: Flexão Assimétrica Simples 
 
 
31 
 
faz com o eixo y um ângulo cujo seno tem sinal oposto ao co-seno (fazendo o terceiro termo 
resultar positivo): 
 cossenIsenIcosII yzzyy 2
22
 
Conclui-se então que 
 731
 e 
 172
 
y
z
2, x2
1, x1
17°
 
Figura 4-36 
Calculando-se os momentos resultantes na seção do meio do vão nas direções 
principais 1 e 2, tem-se: 
y
z
2, x2
1, x1
Mz
M2
M1
 
  Nm,cosMM z 78606171 
 
  Nm,senMM z 32631172 
 
Figura 4-37 
A tensão normal é dada por: 
2
8
1
9
16251
2
2
2
1
1 1073410101
10392
32631
10821
78606
x,x,x
,
,
x
,
,
x
I
M
x
I
M
x 





 
Linha neutra: 
01073410101 2
8
1
9  x,x,
 
3. Capítulo 4: Flexão Assimétrica Simples 
 
 
32 
 
2, x2
1, x1
L.N.
66,8°
 
Ângulo que a linha neutra faz com o eixo 1: 


 8663342
734
011
,.
,
,
tg
 
Figura 4-38 
Os pontos de tensão máxima são os mesmos pontos A e B da figura 4-34. Sendo 
    7373cos1 senzyx
 e 
    1717cos2 senzyx
: 
    msenx
A
02834,0730054,073cos1146,01 
 
    msenx
A
11117,0170054,017cos1146,02 
 
    msenx
B
04341,0730254,073cos0654,01 
 
    msenx
B
05511,0170254,017cos0654,02 
 
PaA
698 10702,8302834,01010,111117,01073,4 
 
    PaB
698 10790,7304341,01010,105511,01073,4 
 
3.6.4. Flexão de vigas assimétricas submetidas a forças transversais 
Considere a viga em balanço, de seçãoo assimétrica, representada na figura 
seguinte. A força P, na extremidade livre, atua verticalmente paralela ao eixo y. 
3. Capítulo 4: Flexão Assimétrica Simples33 
 
x
y
P
S C
Mz
z
P
y
 
Figura 4-39 
Os eixos y e z são principais centrais, pois z é um eixo de simetria. Para estas 
condições haverá, em qualquer seção transversal intermediária da barra, um momento fletor 
Mz, em torno do eixo z, e uma força cortante Qy, na direção de y. em correspondência a 
esses esforços surgem tensões normais e de cisalhamento, cujas resultantes são associadas ao 
momento fletor Mz e à força cortante P, respectivamente. A linha de ação da força cortante 
passa por um ponto S, comumente denominado centro de torção, que, em geral, não coincide 
com o centróide c da seção. Se o plano de atuação da carga P não passar pelo “centro de 
torção”, haverá torção na viga. 
Neste instante é importante comentar que uma carga transversal atuante numa barra 
assimétrica produz, usualmente, flexão combinada com torção. A flexão sem torção só 
ocorre quando o plano de carga passa pelo centro de torção, daí a importância de sua 
determinação. 
Para o caso da viga anterior, é fácil determinar seu centro de torção. Consideremos 
a seção transversal como a composição das áreas 1, 2 e 3, conforme indicadas, todas 
flexionando juntas e tendo, portanto, a mesma curvatura no plano xy. 
3. Capítulo 4: Flexão Assimétrica Simples 
 
 
34 
 
S C
z
P y
1
2
3
b
e
h h
h
b
V V
1
e2
1
1
1
2
2
2
 
Figura 4-40 
Dessa forma, o momento fletor suportado em cada área é proporcional ao seu 
momento de inércia de área em relação ao eixo z: 
3
3
2
2
1
1
EI
M
EI
M
EI
M

 
Sendo I3 muito menor que I1 e I2, opde-se desprezar sua contribuição e admitir que 
a carga seja suportada pelas áreas 1 e 2. Então: 
2
2
1
1
I
M
I
M

 
Pode-se escrever também que: 
21
1
1
II
IM
M z


 e 
21
2
2
II
IM
M z


 
onde M1 + M2 = Mz é o momento fletor total. Os esforços cortantes Q1 e Q2 
estarão na mesma proporção que os momentos fletores. 
21
1
1
II
IQ
Q
y


 e 
21
2
2
II
IQ
Q
y


 
3. Capítulo 4: Flexão Assimétrica Simples 
 
 
35 
 
em que Qy = Q1 + Q2 é a força cortante total (igual à P ). A linha de ação da resultante 
dessas forças cortantes define a posição do centro de torção S da seção transversal analisada. 
Fazendo-se o equilíbrio à rotação em relação ao ponto S, obtém-se: 
1
2
2
1
2211 0
I
I
h
h
hVhV 
 
Substituindo 
12
3
11
1
bt
I 
, 
12
3
22
2
bt
I 
 e 
21 hhh 
, tem-se: 
3
22
3
11
3
22
1
btbt
hbt
h


 e 
3
22
3
11
3
11
2
btbt
hbt
h


 
Observação: em geral, os eixos de simetria de uma viga contêm o centro de torção 
da seção transversal. Mesmo que atue uma força inclinada, suas componentes produzem 
flexão sem torção, pois suas linhas de ação passam pelo centro de torção. Caso isso não 
ocorra, a análise pode ser feita considerando-se a ação simultânea de um conjugado e uma 
carga passando pelo centro de torção. O efeito da carta pode ser analisado pelo exposto 
anteriormente, e o do conjugado por uma análise adequada da torção. 
3.6.5. Tensão Cisalhante em seções abertas de parede fina 
Considere a seção da barra esquematizada a seguir, sendo y e z eixos centrais 
principais de inércia. Em se tratando de seções de paredes finas e na ausência de 
forças tangenciais aplicadas à superfície lateral da barra, pode-se admitir que a 
componente de tensão cisalhante 
xn
 é nula e que a componente 
xs
 é 
uniformemente distribuída na espessura t. 
3. Capítulo 4: Flexão Assimétrica Simples 
 
 
36 
 
y
z
x
n
s
t
xs
 
t xs
n
s
x = 0 dn
 
Do equilíbrio de forças na direção x do elemento a seguir, tem-se: 
xs
xdxx +
x
x
xs
s
dx
A*
x
bordo livre
 
0







 
** A
xs
*
x
A
*x
x dxtdAdAdx
x
 
 








*A
*x
xs dAdx
x
dxt
 
Sendo o fluxo de cisalhamento 
tf xs 
 e a tensão normal para a flexão assimétrica sendo 
y e z eixos centrais principais de inércia 
z
I
M
y
I
M
y
y
z
z
x 
, tem-se: 
y
z
z
y
y
y
z
zx
I
z
Q
I
y
Q
I
z
x
M
I
y
x
M
x









 
*
y
y
z*
z
z
y
A
*
y
z
A
*
z
y
S
I
Q
S
I
Q
zdA
I
Q
ydA
I
Q
f
**
 
, 
3. Capítulo 4: Flexão Assimétrica Simples 
 
 
37 
 
onde 
*
y
*
z SeS 
, são os momentos estáticos da área A* em relação aos eixos y e z, 
respectivamente, para uma dada coordenada s. 
 O módulo da componente cisalhante de tensão se escreve: 
*
y
y
z*
z
z
y
S
It
Q
S
It
Q




 
Exemplo: 
Determinar a variação da tensão cisalhante na seção da barra esquematizada a seguir: 
P
AB
 
F1
F2
A
b
b
s
dx
 
Tem-se, para o exemplo que Qy = P e Qz = 0. 
Pelo equilíbrio de uma parcela da mesa da seção, pode-se concluir o sentido da 
tensão cisalhante atuante. Sendo F1 e F2 as forças resultantes da tensão normal de flexão, 
sendo 
21 MM 
, pois a seção 1 está mais próxima ao engaste, tem-se que F1 > F2 e a força 
na direção x, resultante da componente cisalhante 
sx
, deve ter o mesmo sentido que F2, 
resultando na resultante da tensão 
xs
 na direção ilustrada na figura anterior. De forma 
análoga, pode-se determinar o sentido dessa componente para a parcela B da mesa. 
Para determinar o valor da componente de tensão cisalhante, tem-se: 
 
3. Capítulo 4: Flexão Assimétrica Simples 
 
 
38 
 
y
z
C h
tf
tw
b
b
s
r
d d
 
Corte b-b (mesa da seção): 
z
máx
zz
f
f
*
z
I
bh
P
I
sh
P
I
hst
Pf
h
tsS
4222

 
Corte d-d (alma da seção): 




































 







4242422
4222
2
22
2
2
2
2
2
2
h
t
bt
I
Ph
r
h
t
hbt
I
P
r
h
I
t
I
hbt
Pf
r
hthbtrh
tr
hh
tbS
w
f
z
máx
w
f
zz
w
z
f
wf
wf
*
z
Na junção alma-mesa 







2
h
r
: 
wz
f
tI
Phbt
2

. 
xs
xs
xs
 
A resultante das tensões de cisalhamento na seção transversal é uma força vertical, pois as 
resultantes nas mesas se cancelam: 
 












2
0
2
2
22
0
6242
22
h
w
f
z
w
w
f
z
w
h
w
A
h
t
bt
I
tPh
drr
h
t
hbt
I
P
tdrtdAR
alma
 
Substituindo-se o valor de Iz na equação, tem-se que R = P. 
3. Capítulo 4: Flexão Assimétrica Simples 
 
 
39 
 
 O fluxo de cisalhamento sempre seguirá um “caminho” na seção. Se a carga 
transversal está atuando de cima para baixo, o fluxo de tensão cisalhante terá esse sentido. 
Sabendo que tal fluxo deve “entrar” por um extremo da seção e “sair” por outro, determina-
se facilmente o sentido das tensões cisalhantes. 
3.6.6. Centro de Cisalhamento de Seções Abertas de Paredes Delgadas 
Tendo as deduções do item anterior, a determinação do centro de 
cisalhamento de uma seção se torna simples. 
Tomemos como exemplo a seção C esquematizada a seguir,submetida a um 
esforço cortante Qy: 
y
z
C h
b
tf
tw
 
y
z
C
 
Analogamente à seção I do item anterior: 
para a mesa: 
z
yf
*
z
I
sh
Q
h
tsS
22

 e 
z
f
y
A
b
f
z
ymesa
I
htb
Qdst
I
sh
QdAR
mesa
42
2
0
  
 
para a alma: 
yalma QR 
. 
Para que a barra esteja em equilíbrio, é necessário que as parcelas das forças 
internas em cada parte da seção reproduzam o efeito da força interna total Qy. Daí 
tem-se: 
Qy
0 Ralma
Rmesa
Rmesa
e
 
z
f
y
mesa
yalmamesa
I
thb
Q
hR
e
eQeRhRM
4
0
22
0



