Flexão Composta

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE 
CENTRO DE TECNOLOGIA 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
CIV0418 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II 
 
Apostila de Resistência dos Materiais II 
 
Profa. Dra. Fernanda Rodrigues Mittelbach 
 
4. CAPÍTULO CINCO – FLEXÃO COMPOSTA COM SOLICITAÇÃO AXIAL 
4.1. Introdução 
Até agora o estudo da flexão se resumiu ao caso de barras que possuíam apenas 
carregamentos transversais. Nestas condições, a linha neutra sempre passava pelo centróide 
da seção transversal reta. 
Será tratado, neste capítulo, o caso de flexão composta, o qual ocorre se além 
do carregamento transversal atuar um carregamento axial na barra. 
Um aspecto de especial importância é o estudo do fenômeno da flambagem. 
Estando o elemento estrutural submetido a uma carga axial de compressão, 
dependendo de suas características geométricas, pode haver um colapso mesmo que 
as tensões existentes estejam dentro dos limites de resistência do material. 
4.2. Teoria geral da flexão composta 
Conseidere das componentes de momento My, Mz e do esforço normal N em uma 
dada seção da barra. 
Estando o estudo no âmbito da elasticidade linear, a componente de deformação 
x
 
total pode ser obtida através da soma das componentes de deformação devidas a My e Mz: 
zkykC yyx 
 (sendo C a parcela de deformação associada ao esforço 
normal, constante na seção analisada). 
1. CAPÍTULO 4: FLEXÃO COMPOSTA 
 
 
2 
 
 A tensão normal se escreve, então: 
zEkyEkECE zyxx 
 
 A definição de momentos fletores e do esforço normal, de acordo com a 
convenção de sinais adotada, é dada por: 
CEAzdAEkydAEkdAECdAN
A
z
A
y
AA
x  
 (lembrando que, sendo y e z 
eixos centrais, o momento estático resulta nulo em torno desses eixos). 
yzyzy
A
z
A
y
AA
xy IEkIEkdAzEkyzdAEkzdACzdAM  
2
 
yzzzy
A
z
A
y
AA
xz IEkIEkyzdAEkdAyEkydACydAM  
2
 
O sistema de equações resultante em ky, kz e C. 
CEAN 
 
yzyzyy IEkIEkM 
 
yzzzyz IEkIEkM 
, 
fornece: 
EA
N
C 
 
2
2
yzzy
yzzzy
z
yzzy
yzyyz
y
III
IMIM
Ek
III
IMIM
Ek






 
A tensão normal resulta em: 
z
III
IMIM
y
III
IMIM
A
N
yzzy
yzzzy
yzzy
yzyyz
x 22 





 
Esta equação generalizada de tensões normais devido à flexão e ao carregamento 
axial pode ser usada quando se conhecem os momentos My e Mz associados a dois eixos 
centrais perpendiculares quaisquer. É importante saber que esta equação foi deduzida em 
1. CAPÍTULO 4: FLEXÃO COMPOSTA 
 
 
3 
 
correspondência às orientações dos eixos y e z, assim como dos momentos My e Mz, 
indicadas na figura anterior. 
Se os eixos em questão forem eixos principais de inércia I1 e I2, I12 = 0 e a equação 
se reduz a: 
1
2
2
2
1
1
1
21
12
2
21
21 x
I
M
x
I
M
A
N
x
II
IM
x
II
IM
A
N
x 
. 
A seguir apresentam-se alguns dos casos mais comuns de flexão composta. 
4.2.1. Flexão Composta pela atuação de carga transversal inclinada passando pelo 
centróide 
 A figura a seguir ilustra o caso de uma barra submetida a uma carga P inclinada. A 
carga pode ser decomposta nas componentes Px, Py e Pz. 
Px
y
x
P
Py
Pyz
Pz
z
y
z
zy
A
h
x
 
xPM
xPM
PN
zy
yz
x



 
Sendo os eixos y e z principais a tensão normal se escreve: 
z
I
xP
y
I
xP
A
P
z
I
M
y
I
M
A
N
y
z
z
yx
y
y
z
z
x 
 
E a equação da linha neutra é dada por: 
0 z
I
xP
y
I
xP
A
P
y
z
z
yx
 
1. CAPÍTULO 4: FLEXÃO COMPOSTA 
 
 
4 
 
Note-se que a equação da linha neutra 
0x
 é diferente para cada seção da barra. 
As expressões foram obtidas para o caso da carga esquematizada e suas 
componentes, sendo necessário analisar cada caso em particular para determinar o sinal dos 
esforços solicitantes associados. 
A tensão normal resultante é obtida pela superposição da parcela referente à carga 
axial e à flexão. Desta forma, tem-se que as possíveis distribuições de tensões normais na 
seção transversal. 
=+ ou ou
=+ ou ou
Parcela devido
à força normal
Parcela devido
à flexão
Possíveis distribuições das
tensões normais finais na seção
 
Distribuição das 
tensões normais, sendo 
o eixo horizontal da 
figura paralelo à linha 
neutra da seção 
transversal. 
As tensões de tração e compressão máximas são obtidas de forma análoga à da 
flexão assimétrica, lembrando somente que a tensão no centróide não será mais nula, mas 
terá o valor de 
A
N
. 
4.2.2. Carga axial excêntrica 
Neste caso a carga aplicada é axial, mas não passa pelo centróide da seção 
transversal. 
1. CAPÍTULO 4: FLEXÃO COMPOSTA 
 
 
5 
 
y
x
z
z
yA
P
P
My
Mz
y
ez
 
zy
yz
ePM
ePM
PN



 
Sendo os eixos y e z principais a tensão normal se escreve: 
z
I
eP
y
I
eP
A
P
z
I
M
y
I
M
A
N
y
z
z
y
y
y
z
z
x




 
E a equação da linha neutra é dada por: 
0



 z
I
eP
y
I
eP
A
P
y
z
z
y
 
Para o caso de carga excêntrica isolada, a equação da linha neutra 
0x
 é igual 
em todas as seções da barra. 
Novamente as fórmulas foram deduzidas para o caso de carga axial de tração com 
excentricidades positivas, sendo necessária a análise de cada caso particular. 
As observações do item anterior sobre a superposição dos efeitos de carga axial e 
flexão assimétrica e sobre a determinação das componentes de tração e compressão máximas 
são igualmente válidas. 
4.2.3. Viga de Concreto Protendido 
O concreto é um material frágil e com a resistência à tração de 
aproximadamente um décimo de sua resistência à compressão. 
1. CAPÍTULO 4: FLEXÃO COMPOSTA 
 
 
6 
 
O concreto protendido é utilizado quando se torna necessário vencer grandes 
vãos, pois nesse caso ocorrem momentos fletores altos, gerando uma tensão de tração 
também alta no concreto. 
São colocadas cordoalhas (vários fios de aço juntos, entrelaçados e formando 
uma hélice) na peça. As cordoalhas atravessam a peça e são tracionadas e presas na 
suas extremidades, gerando uma compressão na peça de concreto. Podem ou não ser 
utilizadas as chamadas bainhas, que são como dutos pelos quais as cordoalhas são 
inseridas. 
As estruturas em concreto protendido apresentam também a armadura 
tradicional do concreto armado (designado por aço doce, enquanto o aço das 
cordoalhas e também conhecido como aço duro). 
 
Por hora, como um exemplo de carga axial excêntrica, tomemos o caso mais simples em que 
o cabo não apresenta curvatura e a excentricidade é constante em todas as seções da viga. 
e
P
P
posição do centróide
y
x
 
0


y
z
M
ePM
PN
 
Sendo os eixos y e z principais a tensão normal se escreve: 
T
1. CAPÍTULO 4: FLEXÃO COMPOSTA 
 
 
7 
 
y
I
eP
A
P
z
I
M
y
I
M
A
N
zy
y
z
z
x


 
E a equação da linha neutra é dada por: 
0

 y
I
eP
A
P
z
x
 
Note-se que está é somente a parcela proveniente da protensão. A análise de um 
elemento protendido deve ser realizada na fase de construção (protensão + peso próprio) e na 
fase de serviço (protensão + peso próprio + carregamentos provenientes da utilização da 
estrutura). 
Exemplode viga protendida: 
 Considere uma viga protendida bi apoiada com 7m de vão, com uma carga de 
protensão P = 600 kN e excentricidade e = 0,325 m. A seção transversal é retangular com 
base b = 20 cm e altura h = 75 cm. Sabendo que o peso específico do concreto é 
325 m/kNconc 
 e que a parcela de utilização é uma carga uniformemente distribuída 
m/kNpa 35
, determinar as tensões máximas no meio do vão, esboçando a distribuição 
da componente de tensão normal nesta mesma seção. 
y
x
y
z
posição do centróide
e
 
P = 600 kN 
e = 0,325 m 
b = 20 cm 
h = 75 cm. 
325 m/kNconc 
 
m/kNpa 35
 
Primeiramente, calculamos as características geométricas da seção transversal reta: 
4
3
2
703125
12
7520
15007520
cmI
cmA
z 



 
1. CAPÍTULO 4: FLEXÃO COMPOSTA 
 
 
8 
 
O peso próprio da viga é dado por: 
m/kN,,App conc 753105125
1  
 
- Fase de construção: 
kNm,
,lpp
M
ppmáx
9722
8
7753
8
22





 
kNm,ePM protensão 1953250600 
 
 A componente de tensão normal resulta: 
y,y,,
yyy
I
M
y
I
eP
A
P
y
I
M
A
N
z
máx
zz
z
x
pp
0032700277040
703125
2297
703125
19500
1500
600



 
Tensão máxima de tração: 
cm,y 537
2
75

 
    25175012250041405370032705370277040 cm/kN,,,,,,,,,
máxT

Tensão máxima de compressão : 
cmy 5,37
2
75

 
    23175112250041405370032705370277040 cm/kN,,,,,,,,,
máxC

Graficamente, tem-se: 
=+ ou ou
=+
Protensão Peso próprio Total
(kN/cm²)
-0,12250,64 0,5175
-1,31750,1225-1,44
 
- Fase de utilização: 
   
kNm
lpapp
M
pappmáx
34,237
8
73575,3
8
22






 
kNm,ePM protensão 1953250600 
 
1. CAPÍTULO 4: FLEXÃO COMPOSTA 
 
 
9 
 
 A componente de tensão normal resulta: 
yy
yyy
I
M
y
I
eP
A
P
y
I
M
A
N
z
máx
zz
z
x
papp
033755,00277,04,0
703125
23734
703125
19500
1500
600



  
Tensão máxima de compressão: 
cm,y 537
2
75

 
    2/626,02658,104,14,05,37033755,05,370277,04,0 cmkN
máxC

Tensão mínima de compressão (não há tração na seção): 
cmy 5,37
2
75

 
    2/174,02658,104,14,05,37033755,05,370277,04,0 cmkN
mínC

Graficamente, tem-se: 
Protensão Peso Próprio + utilização
1,266
Total
(kN/cm²)
-1,44
0,64 -1,266 -0,626
-0,174 
 Notar que as tensões máximas de tração e compressão total ocorrem na fase de 
construção, enfatizando a importância da verificação de tal fase. 
 De uma forma geral o traçado dos cabos ao longo da direção longitudinal da viga 
(cablagem) não é uma reta horizontal. O traçado dos cabos tende a acompanhar o diagrama 
de momentos do elemento estrutural (o cabo passa onde existe a tração pela flexão). 
4.2.4. Núcleo Cnetral de Inércia 
Se numa dada seção ocorrem somente tensões de tração ou somente tensões 
de compressão, isso implica no caso em que a linha netra não corta a seção. 
Há uma região, próxima ao centróide da seção, na qual ao se aplicar uma 
carga axial garante-se que a seção estará submetida ou só a tração (carga axial de 
tração) ou só a compressão (carga axial de compressão). Essa região é denominada 
núcleo central de inércia. 
1. CAPÍTULO 4: FLEXÃO COMPOSTA 
 
 
10 
 
O conceito de núcleo central de inércia é importante devido ao caso em que o 
material resista de forma muito desigual à tração e à compressão (como o concreto, 
por exemplo). 
Para a detreminação deste núcleo central, tomamos a situação limite, na qual 
a linha neutra tangencia a extremidade da peça. 
 Exemplo 1 – Seção Circular: 
 A seção circular é chamada uma seção axisimétrica (tem simetria em relação 
a qualquer eixo diametral). Desta forma, uma seção circular estaré sempre submetida 
a uma flexão composta reta (todos os eixos centroidais são eixos principais de 
inércia). 
 Suponha uma carga P de tração aplicada com uma excentricidade e em 
relação ao centróide. O ponto mais desfavorável (maior tendência a ocorrer 
compressão) é o mais afastado diametralmente do ponto de aplicação da carga. 
CG
LN
1
e
 
Tendo a tensão nula na extremidade da 
seção: 
0
0




R
I
eP
A
P
Rr x 
Sendo 
4
0
4
 
4 42
2
4 R
eR
R
eP
R
P
RAe
R
I 

 
 
 Exemplo 2 – Seção Retangular 
Para a seção retangular, começamos a análise determinando os pontos mais 
desfavoráveis em cada um dos quatro casos a seguir: 
- Primeiro caso - 
0 ye
 e 
0 ze
 
 
Tendo a tensão nula na 
extremidade da seção: 
0
2
0
2




h
I
eP
A
P
h
y
z
y
x
 
1. CAPÍTULO 4: FLEXÃO COMPOSTA 
 
 
11 
 
lugar geométrico dos pontos mais desfavoráveis
y
zey
b
h
 
6
0
2
12
 
12 3
3 h
e
h
bh
eP
bh
P
bhAe
bh
I y
y 


 
- Segundo caso - 
0 ze
 e 
0 ye
 
 
lugar geométrico dos pontos mais desfavoráveis
y
zez
b
h
 
Tendo a tensão nula na 
extremidade da seção: 
0
2
0
2




b
I
eP
A
P
b
z
z
z
x
 
6
0
2
12
 
12 3
3 b
e
b
hb
eP
bh
P
bhAe
hb
I z
z 


 
- Terceiro caso - 
0 ye
 e 
0 ze
 
 
Tendo a tensão nula na extremidade 
da seção: 
0
2
0
2




h
I
eP
A
P
h
y
z
y
x
 
1. CAPÍTULO 4: FLEXÃO COMPOSTA 
 
 
12 
 
lugar geométrico dos pontos mais desfavoráveis
y
z
ey
b
h
 
6
0
2
12
 
12 3
3 h
e
h
bh
eP
bh
P
bhAe
bh
I y
y 


 
- Quarto caso - 
0 ze
 e 
0 ye
 
 
lugar geométrico dos pontos mais desfavoráveis
y
zez
b
h
 
Tendo a tensão nula na extremidade 
da seção: 
0
2
0
2




b
I
eP
A
P
b
z
z
z
x
 
6
0
2
12
 
12 3
3 b
e
b
hb
eP
bh
P
bhAe
hb
I z
z 


 
 
Agora devemos superpor os casos dois a dois para encontrar uma lei de 
variação que atenda aos casos intermediários, em que se tem 
0 ye
 e 
0 ze
. 
m
b
h
h/6
b/6
q
p
z
y
 
Equação da linha neutra para pontos que sejam 
extremos para 
0 ye
 e 
0 ze
: 
zy
z
y
y
z hebebh
h
I
ePb
I
eP
A
P
660
22





 
A reta é a representada em linha vermelha. Para 
as demais combinações chegam-se às outras 3 
retas que delimitam o losango da figura. 
 
1. CAPÍTULO 4: FLEXÃO COMPOSTA 
 
 
13 
 
4.3. Cargas críticas em pilares 
4.3.1. Introdução 
Pilares são elementos estruturais unidimensionais nos quais a solicitação 
preponderante é um esforço normal de compressão. Tais elementos são responsáveis 
por transmitir as ações do sistema estrutural para as fundações. 
O estudo tanto da resistência como também da chamada estabilidade desses 
elementos estruturais é de suma inportância na engenharia, uma vez que a 
redistribuição de cargas ocorrida em sistemas de lajes e vigas quado tais elementos 
apresentam problemas estruturais não é passível de ocorrer no caso de pilares. Se um 
pilar apresenta um problema todo o sistema estrutural acaba comprometido. 
Dependendo das dimensões do elemento estrutural e da intesidadedos 
carregamentos aplicados, pode ocorrer o denominado fenômeno da flambagem. O 
que, em outras palavras significa que dependendo desses parâmetros o 
comportamento não linear geométrico do elemento estrutural se torna relevante e 
deve ser analisado. 
Até o momento estudou-se apenas o caso linear físico e geométrico. A 
linearidade física se revela em uma relação linear entre as tensões e deformações do 
corpo. A linearidade geométrica está intimamente ligada às relações entre 
deformações e deslocamentos (geometria deformada da estrutura). Sendo o 
comportamento da estrutura não linear geometricamente, as equações de equilíbrio 
devem ser formuladas na configuração deformada. 
4.3.2. Classificação dos Pilares 
 Quanto a sua “esbeltez”: 
 pilares curtos ou robustos - pilares que apresentam pequeno conprimento 
quando comparado às dimensões de sua seção transversal. Nesses elementos 
o comportamento não linear geométrico não é relevante; 
 pilares esbeltos - pilares que apresentam grande comprimento em relação 
às dimensões de sua seção transversal. Nesses elementos o comportamento 
não linear geométrico é relevante. 
 Quanto às condições de vinculação 
1. CAPÍTULO 4: FLEXÃO COMPOSTA 
 
 
14 
 
 pilares bi-rotulados; 
 pilares engastados numa extremidade e livres na outra; 
 pilares engastados numa extremidade e rotulados na outra; 
 pilares bi-engastados. 
Bi-rotulado
 
Engastado 
e livre
 
Engastado
e rotulado
 
Bi-engastado
 
 
 Quando à natureza da solicitação: 
 pilares solicitados à compressão simples - são, em casos práticos, os pilares 
internos de uma edificação. Existe continuidade nas vigas que neles se apoiam 
em ambos os sentidos e considera-se o efeito da flexão como despresível; 
 pilares solicitados à flexão composta reta - são os pilares de extremidade de 
uma edificação. Existe continuidade nas vigas que neles se apoiam somente em 
uma das direções, sendo considerado uma flexão na direção onde não existe a 
continuidade; 
 pilares solicitados à flexão composta assimétrica - são os pilares de canto, nos 
quais não existe continuidade das vigas que neles se apoiam em nenhuma das 
direções. 
Pilar 
interno
 
Pilar de 
extremidade
 
Pilar de 
canto
 
1. CAPÍTULO 4: FLEXÃO COMPOSTA 
 
 
15 
 
V1
V2
V3
V
4 V
5
V
6
P1
P2
P3
P4
P8
P5
P7
P9
P6
P10
 
Na realidade, como será tratado mais adiante no estudo de estruturas de 
concreto armado, sempre deve-se considerar um momento mínimo em pelo menos 
uma das direções, pois não existe carga perfeitamente centrada na prática. 
4.3.3. Equilíbrio de um sistema 
O equilíbrio de um sistema pode ser estável, instável ou indiferente, 
dependendo de seu comportamento quando se impõe uma pequena mudança em sua 
configuração. 
 
 
U
 
equilíbrio estável - o sistema volta à 
posição inicial de equilíbrio após a 
perturbação - ponto de mínimo da 
energia potencial do sistema. 
0
d
dU
 e 
0
2
2

d
Ud
 
 
U
 
equilíbrio estável - o sistema se afasta da 
posição inicial de equilíbrio após a 
perturbação - ponto de máximo da 
energia potencial do sistema. 
0
d
dU
 e 
0
2
2

d
Ud
 
1. CAPÍTULO 4: FLEXÃO COMPOSTA 
 
 
16 
 
 U
 
equilíbrio indiferente - o sistema 
continua em equilíbrio na posição 
perturbada – trecho no qual a energia 
potencial do sistema é constante. 
0
d
dU
 e 
0
2
2

d
Ud
 
 
4.3.4. Estabilidade de sistemas rígidos 
Considere uma haste rígida rotulada em uma extremidade, presa a uma mola 
na outra e submetida a uma carga axial de compressão. 
Perturbando-se o sistema, através da imposição de um deslocamento inicial 

 na mola, a carga P tende a desestabilizar o sistema e a força restauradora da mola 
  kR
 tende a estabilizar o sistema, trazendo-o de volta à configuração inicial de 
equilíbrio. 
k
l
P
 
EA
 
EI
 
Mest – momento gerado força da mola; 
Minst – momento gerado por P; 
Mest > Minst – estabilidade; 
Mest<Minst – instabilidade; 
Mes t= Minst – situação limite. 
k
l
P


 
EA
 
EI
 
 Considerando os momentos gerados por P e R em relação ao apoio. Se o 
momento gerado por P for maior do que o gerado por R o sistema resultará instável; 
se o momento gerado por R for maior do que o gerado por P o sistema resultará 
estável. Na situação limite (igualdade entre os momentos), define-se a carga crítica 
Pcrit, valor máximo de P para garantir a estabilidade do sistema. 
1. CAPÍTULO 4: FLEXÃO COMPOSTA 
 
 
17 
 
 lsen
 
        senklklRlMest coscoscos 2 
 PlsenPM inst 
 
      senkllsenPcrit cos2
 
 cosklPcrit 
, sendo 
1
: 
klPcrit 
 
4.3.5. Estabilidade de sistemas elásticos – coluna ideal de Euler 
Considere a análise de uma coluna, tendo-se as seguintes hipóteses básicas: 
• a carga axial P é aplicada no extremo da coluna sem excentricidade; 
• a coluna está completamente reta antes da aplicação da carga; 
• a coluna é bi rotulada; 
• o material da coluna é homogêneo e isotrópico; 
• o peso próprio da coluna é desprezado; 
• a coluna é prismática; 
• a coluna é livre para fletir em torno de qualquer eixo de sua seção 
transversal. 
 Considere a coluna ideal representada a seguir. Ao aplicar uma pequena 
perturbação transversal à coluna a carga P agirá desestabilizando o sistema e a 
rigidez à flexão (resistência à flexão da coluna) atuará de forma a restaurar a posição 
indeformada. 
Para perceber o fenômeno é necessário considerar o equilíbrio da coluna em 
sua posição deformada, o que caracteriza uma análise não linear geométrica. A não 
linearidade aqui considerada é uma não linearidade fraca, chamada por vezes de não 
linearidade no âmbito das rotações moderadas. Nesta teoria as rotações, 
deslocamentos e deformações são muito pequenos, porém as rotações são de ordem 
de grandeza maior do que os deslocamentos. A utilização de uma análise não linear 
fraca resulta em uma fórmula para a curvatura idêntica à da teoria linear 









2
2
int
dx
yd
EIM z
, o que torna a equação diferencial linear. É importante ressaltar 
que somente utilizando uma análise não linear é possível perceber o fenômeno de 
instabilidade (flambagem). 
1. CAPÍTULO 4: FLEXÃO COMPOSTA 
 
 
18 
 
Na situação limite o momento interno Mint é igual ao momento gerado pela 
carga P e dado por 
 xyPcrit 
, sendo y(x) a deflexão da coluna. 
y
P
y(x)
x
P P
y(x)
P
M = Py(x)
l
 
2
2
dx
yd
EIM zint 
 
 xPyM P 
 
 
2
2
dx
yd
EIxyP zcrit 
 
  0
2
2
 xyP
dx
yd
EI critz
 
O equilíbrio resulta em uma equação diferencial homogênea de segunda 
ordem. Definindo 
z
crit
EI
P
k 2
, tem-se: 
   02
2
2
xyk
dx
yd      kxBsenkxcosAxy 
 
Aplicando as condições de contorno geométricas, tem-se: 
  000  Ay
 
    Zn ,nklklsenly  00
, para que a solução não seja a trivial. 
Esta condição fornece 
l
n
EI
P
z
crit
22

. O valor de n está associado ao modo de 
deformação da coluna, conforme figura a seguir. 
n = 1 n = 2 n = 3
 
1. CAPÍTULO 4: FLEXÃO COMPOSTA 
 
 
19 
 
A menos que existam apoios na posição correspondentes aos nós, a estrutura 
irá sempre fletir no primeiro modo e assim 
2
2
l
EI
P zcrit


 (fórmula de Euler). 
A expressão da deflexão resultaem 
 








 x
EI
P
Bsenxy
z
crit
. A indeterminação 
do valor da amplitude é conseqüência da utilização de uma teoria não linear fraca. 

P
critP
 

 - deflexão máxima da coluna 
4.3.6. Fómula de Euler para diferentes condições de contorno 
A mesma dedução anterior poderia ser realizada para colunas com diferentes 
condições de contorno geométricas. Esta análise resultou na determinação de 
comprimentos efetivos (em relação ao comprimento da coluna), de modo que a 
fórmula de Euler não se alteraria, bastando substituir o comprimento l pelo 
comprimento efetivo de flambagem lef. Analisando a geometria deformada da coluna, 
conclui-se que o comprimento efetivo é a distâncoa entre dois pontos de inflexão na 
linha elástica. 
1. CAPÍTULO 4: FLEXÃO COMPOSTA 
 
 
20 
 
P
lef = l
 
P
lef = 0,5 l
 
P
lef = 2 l
 
P
lef = 0,7 l
 
A fórmula de Euler é então reescrita como 
2
2
ef
z
crit
l
EI
P


. Defini-se a tensão 
crítica como 
Al
EI
A
P zcrit
crit 2
2 
, sendo A a área da seção transversal reta da coluna. 
O denominado raio de giração em relação ao eixo z é dado por 
A
I
r zz 
. 
Assim pode-se escrever que 
2
2








z
ef
crit
r
l
E . 
A grandeza 
z
ef
r
l

 é o índice de esbeltez em relação ao eixo z. Quanto maior 
o índice de esbeltez, maior a influência da não linearidade goemétrica no elemento 
estrutural. 
Finalmente, a tensão crítica se escreve: 
2
2



E
crit
. 
4.3.7. Coluna real 
A determinação de 
critP
 do item anterior baseia-se no caso de uma coluna 
ideal. Numa coluna real a carga nunca será perfeitamente excêntica ou a coluna 
perfeitamente reta. 
1. CAPÍTULO 4: FLEXÃO COMPOSTA 
 
 
21 
 
No caso de uma coluna real a definição de carga crítica se modifica, pois este 
caso não trata mais da análise do equilíbrio estável ou instável. No presente caso o 
valor de 
critP
 é defunido como o valor de P para o qual a flecha máxima da coluna 
tenda a um valor infinito 
 
. como será visto a seguir, numericamente, o valor 
de 
critP
 continua exatamente o mesmo da coluna ideal. 
 Coluna com carga excêntrica: 
Considere a coluna a seguir, submetida a uma carga axial excêntrica. 
Analogamente ao que foi desenvolvido no caso da coluna ideal, escreve-se a equação 
de equilíbrio e obtém-se uma equação diferencial para determinar a flecha. Na 
situação limite o momento interno Mint é igual ao momento gerado pela carga P e 
dado por 
  exyPcrit 
, sendo y(x) a deflexão da coluna e e a excentricidade da 
carga P. 
y
P
y(x)
x
P
e
 
P
M = P[y(x)+e]
P
 
2
2
int
dx
vd
EIM z
 
  exyPMext 
 
  0
2
2
 PexPy
dx
yd
EIz
 
zEI
P
k 2
 
     kxBsenkxcosAxyh 
 
  exyp 
 
      ekxBsenkxcosAxy 
 
 
 Aplicando as condições de contorno geométricas: 
  eAy  00
 
        
 klsen
klcos
eBeklBsenklcosely


1
0
 
1. CAPÍTULO 4: FLEXÃO COMPOSTA 
 
 
22 
 
 





























































 1
1
x
EI
P
sen
l
EI
P
sen
l
EI
P
cos
x
EI
P
cosexy
z
z
z
z
 
 A flecha máxima ocorre em 
2
l
x 
 e é dada por: 

















 1
2
sec
l
EI
P
e
z

 
 Para determinar 
critP
, toma-se 
222
sec
 









l
EI
Pl
EI
P
z
crit
z
, e 
assim, 
2
2
l
EI
P zcrit


. 
 O gráfico a seguir ilustra o comportamento da flecha máxima da coluna com 
carga excêntrica, a medida que P se aproxima de 
critP
. Quanto menor a 
excentricidade mais o comportamento se aproxima do da coluna ideal. 
P
critP

1
e2 > e1
e = e1
e = e2
e = 0
 
 
 Viga coluna 
Trataremos de um exemplo no qual atua um carregamento transversal na 
coluna (caso designado normalmente por viga coluna). 
 
1. CAPÍTULO 4: FLEXÃO COMPOSTA 
 
 
23 
 
y
P
y(x)
x
A
B
 
       
2
2
0
2
2 dx
yd
EIxyPxMxyP
qx
xRxM zAz 
 
zEI
P
k 2
 
 
zz
A
EI
qx
EI
R
xyk
dx
yd
2
2
2
2
2

 
     xyPxMxMz  0
 
   
dx
dy
PxMxM z 



0
 
   
z
z
z
EI
M
Pq
dx
yd
PxMxM 



2
2
0
 
  qMkxM zz 
 2 
     
2k
q
kxBsenkxcosAxM z 
 
Aplicando as condições de contorno mecânicas: 
 
2
00
k
q
AM z 
 
    
 klsen
klcos
k
q
BlM z


1
0
2
 
      
 
 
222
1
k
q
kxsen
klsen
klcos
k
q
kxcos
k
q
xM z 


 
      xMxMxyP z 0
      
 
 
2
1 2
222
qx
P
xR
Pk
q
kxsen
klsen
klcos
Pk
q
kxcos
Pk
q
xy A 


 
  
  4222
1
22
2
222
lql
P
R
Pk
ql
ksen
klsen
klcos
Pk
ql
kcos
Pk
ql
y A 




















 
 Para determinar 
critP
, toma-se 
   nl
EI
P
klklsen
z
crit0
, e 
assim, 
2
2
2
22
l
EI
P
l
EIn
P zcrit
z
crit




. 
 Apesar de estarmos utilizando uma teoria não linear fraca, na qual os 
deslocamentos e rotações devem ser pequenos, a carga crítica (que é encontrada num 
1. CAPÍTULO 4: FLEXÃO COMPOSTA 
 
 
24 
 
limite para o qual nossas hipóteses deixam de ser válidas) é uma grandeza de grande 
utilidade e expressa um limite real de carregamento axial que não deve ser 
ultrapassado. 
 Cabe salientar que a carga crítica independe da excentricidade, amplitude de 
flecha inicial ou do carregamento aplicado na viga coluna. 
 Vale lembrar que a direção y será a direção na qual ocorrerá a deflexão. 
Sendo assim Iz será o momento de inércia principal mínimo da área da seção 
transversal reta (maior facilidade de ocorrer deflexão). 
4.3.8. Limite de validade da fórmula de Euler 
Todas as deduções feitas até aqui levaram em conta a linearidade física do 
material (validade da Lei de Hooke). Assim é necessário que a tensão seja inferior ao 
limite de proporcionalidade para que a tensão crítica seja válida. 
p
pcrit
EE

 
2
2
 
p
E

 lim
. 
Pela equação anterior, nota-se que existe um valor de índice de esbeltez 
limite, acima do qual a tensão crítica de Euler é válida. 
O gráfico a seguir ilustra esse comportamento. Se o pilar é robusto, a flexão 
será desprezível e o dimensionamento será feito através da tensão última do material 
(resistência do material). Acima do valor limite do índice de esbeltez o efeito da 
flambagem se torna o fator de dimensionamento preponderante (“estabilidade” da 
estrutura). 
curva de Euler
limite de resistênciamáx
p
0 lim 
crit
A B
C
(limite de estabilidade)
 
A – peças curtas 
B – peças intermediárias 
C – peças esbeltas 
Outra observação importante é a comparação entre uma análise com forte não 
linearidade geométrica.1. CAPÍTULO 4: FLEXÃO COMPOSTA 
 
 
25 
 

P
critP
A
B
 
A – não linearidade geométrica forte 
B – não linearidade geométrica fraca 
Para a curva A valores próximos a Pcrit correspondem a uma variação muito 
grande na flecha para uma pequena variação na carga, situação muito 
desaconselhável para uma estrutura. Tal fato nos indica a grande importância da 
determinação do valor de Pcrit. Este valor, determinado através do estudo da coluna 
ideal, é um excelente parâmetro para o tratamento de estruturas reais quanto à sua 
estabilidade. 
4.3.9. Exemplo de aplicação 
Calcular o valor máximo de P para a treliça a seguir, para que a segurança à 
flambagem será garantida. 
P
1 2
3
0,5m
= 20mm
= 15mm


0,5m 1,0m
 
62
200
,.s.c
GPaE


 
Como a seção reta das barras é circular, qualquer direção diametral é uma 
direção principal de inércia. O momento de inércia de área é dado por 
64
4
I
. 
Para cada uma das barras, tem-se: 
4
4
31 24850
64
51
cm,
,
II 


 
4
4
2 78540
64
02
cm,
,
I 


 
Sendo as barras da treliça bi rotuladas, os comprimentos efetivos de 
flambagem serão os próprios comprimentos das barras, dados por: 
1. CAPÍTULO 4: FLEXÃO COMPOSTA 
 
 
26 
 
m,,,lef 70705050
22
1

 
m,,,lef 1215001
22
2

 
m,lef 513 
 
Através do equilíbrio do nó no qual se aplica a carga P, tem-se: 
P


N2N1
y
x
 7070
7070
1
50
50
9840
4470
2
50
1
,sen
,cos
,
,
tg
,sen
,cos
,
tg






 
21
2121
261
00
N,N
senNsenNsenNsenNFx




 
P,NP,N
PcosNcosNPcosNcosNFy
94307460
00
12
2121




 
A barra 3 está submetida à tração e não por isso não a necessidade de 
verificá-la à flambagem. 
kN,
,
,
Pcrit 819
770
2485020000
2
2
1



 
kN,
,
Pcrit 3612
112
7854020000
2
2
2



 
kN,PkN,P,,PN.s.c crit 0481994306211 
 
kN,PkN,P,,PN.s.c crit 376361274606222 
 
Assim, para que a segurança de ambas as barras seja atendida 
kN,P 04
.