Eletrotécnica Básica - Números complexos

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Universidade Federal de Rio Grande do Norte
Centro de Tecnologia
Departamento de Engenharia Elétrica
ELETROTÉCNICA BÁSICA
Aula 3 – Números complexos
Números Complexos
Definições
Sabe-se que na resolução de uma equação do 2º grau não se admite raízes reais de um número negativo. Por
exemplo,
x2 + 9 = 0
Esta equação não admite raízes reais.
Se usarmos os métodos que conhecemos para resolvê-la, obtemos
x2 = -9
x = ± √-9
Resultado inaceitável para x, pois os números negativos não têm raiz quadrada.Resultado inaceitável para x, pois os números negativos não têm raiz quadrada.
Para superar tal impossibilidade e poder, então, resolver todas equações do 2º grau, os matemáticos ampliaram o
sistema de números, inventando os números complexos.
Primeiro, eles definiram um novo número:
i = √-1
Isso conduz a i2 = -1. Para a equação acima fazemos:
x = ± √-9
x = ± √(9 x (-1)
x = ± 3 i
As raízes da equação x2 + 9 = 0 são 3i e - 3i.
Números Complexos
� Formas de representação
� Forma retangular:
� O número complexo é formado por uma parte real somado a uma parte imaginária, 
da seguinte forma:
� Z1 = 6 + j0
� Z2 = 2 – j3
� Z3 = 0 + j4
� Z4 = -3 + j2
� Z5 = -4 – j4
� Z6 = 3 + j3
Números Complexos
� Forma trigonométrica
θ=∴=θ cosZx
Z
x
cos
� Z = x + jy = |Z|cosθ + j|Z|senθ = |Z|(cosθ +jsenθ)
θ=∴=θ senZy
Z
y
sen
Números Complexos
� Forma Polar
� A forma polar para um número complexo Z é bastante usada 
em análise de circuitos.
� Z = x + jy
� tgθ = y/x
� Logo, escreve-se:
|Z|∠±θ onde “θ” aparece em graus.
x
y
arctg=θ
22 yxZ +=
Números Complexos
� Forma Exponencial
Um número complexo quando representado como Z = |Z|.e±jθ diz-se 
estar na forma exponencial.
Sabendo-se que a fórmula de Euler é dada por:
e±jθ = (cosθ ± jsenθ) 
tem-se:
Z = x ± jy = |Z|(cosθθθθ ± jsenθθθθ) = |Z|e±jθθθθ
Números Complexos
� Exemplos
Números Complexos
� Operações matemáticas
� Soma
� Para somar ou subtrair dois números complexos, somam-se ou subtrai-se 
separadamente as partes reais e imaginárias dos números na forma separadamente as partes reais e imaginárias dos números na forma 
retangular.
� Z = A + jB; 
� G = C + jD;
� Z + G = (A+C) + j (B + D); 
Números Complexos
� Multiplicação
Z1=|Z1|ejθ1=|Z1|∠θ1 Z1.Z2 = (|Z1|.|Z2|).ej(θ1+θ2)
Z2=|Z2|ejθ2=|Z2|∠θ2 Z1.Z2 = (|Z1|.|Z2|)∠θ1+θ2
� Divisão
⇒ forma exponencial
⇒ forma polar
)21(j
2
1
2j
2
1j
1
2
1
e
Z
Z
eZ
eZ
Z
Z θ−θ
θ
θ
==
)(
Z
Z
Z
Z
Z
Z
21
2
1
22
11
2
1 θ−θ∠=
θ∠
θ∠
=
Números Complexos
� Exemplos:
1)Soma/Subtração
Z1= 5 - j2 Z1+Z2=(5-3)+j(-2–8)=2–j10
Z2= -3 – j8 Z1–Z2=[5–(-3)]+j[(-2)–(-8)]=8+j6
2) Multiplicação2) Multiplicação
Z1 = 2∠30° Z1Z2 = (5.2)∠[30+(-45)] 
Z2 = 5∠-45° Z1Z2 = 10∠∠∠∠-15°
3) Divisão
Z1=8∠-30°, Z2=2∠-60°⇒ °∠=
−∠
−∠
= 304
602
308
Z
Z
2
1
Números Complexos
Transformação Polar – retangular
Na conversão polar → retangular tem-se:
A ∠±θ = A(cosθ ± jsenθ) = x + jyA ∠±θ = A(cosθ ± jsenθ) = x + jy
Exemplo:
50∠∠∠∠53,1° = 50(cos53,1° + jsen53,1°)
= 50x0,6 + j50x0,7997
= 30 + j40