Eletrotécnica Básica - RL,RC,RLC – série e paralelo

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Universidade Federal de Rio Grande do Norte
Centro de Tecnologia
Departamento de Engenharia Elétrica
Circuitos CA: 
RL,RC,RLC – série e paralelo
Circuito RL - Série 
• Consiste de um circuito puramente ôhmico de
resistência “R” em série com um circuito
puramente indutivo de indutância “L”.
• A corrente “i” ao atravessar a indutância “L”, determina uma queda de
tensão indutiva Vx = XLi, adiantada de 90° em relação à corrente “i”.
A corrente “i” ao atravessar a resistência
“R”, provoca uma queda de tensão dada
por VR=Ri em fase com a corrente “i”.
Circuito RL - Série 
• A queda de tensão total atuante entre os terminais do circuito é dada pela 
soma vetorial de VR e VX:
Z é um número complexo da forma: Z= R+jXL= R+jωL. 
∴ Z = impedância do circuito.
)XR(i)iX()Ri(VVVVVV 2L222L22X2RXR +=+=+=∴+=
ZiVXRiV 2L
2
=⇒+=
Impedância
• Oposição total ao fluxo de corrente alternada
em um circuito (ckt) que contenha resistência
e reatância.
– Ckt ôhmico – R é a oposição total;
– Ckt indutivo – XL é a oposição total;
– Ckt RL ou RC ou RLC – R, XL,XC são a oposição total.
– Formas de representação comuns:
• Z = R ± jX = |Z| θ∠
Impedância - Circuito RL - Série 
• Considerando “Z” em uma representação 
gráfica, teremos:
• Na forma polar podemos escrever:
R
X
arctg
R
X
tg LL =θ∴=θ
θ∠= ZZ 2L
2 XRZ +=
R
X
arctg)L(RZ L22 ∠ω+=
Circuito RC - Série 
• Consiste de um circuito puramente ôhmico de
resistência “R” em série com um circuito puramente
capacitivo de capacitância “C”.
– A corrente “i” ao atravessar a capacitância “C”, determina
uma queda de tensão capacitiva Vx = XCi, defasada de 90°
em atraso sobre a corrente “i”.
– A corrente “i” ao atravessar a resistência “R”, provoca uma
queda de tensão dada por VR=Ri em fase com a corrente
“i”.
Circuito RC - Série 
• A queda de tensão total atuante entre os terminais do circuito é dada pela 
soma vetorial de VR e VX:
• Z = impedância do circuito.
ZiVXRiV C =⇒+=
22
)()()( 2222222 CCXRXR XRiiXRiVVVVVV +=+=+=∴+=
Impedância - Circuito RC - Série 
• Considerando-se “Z” numa representação 
gráfica, teremos:






ω
−=−=
C
1jRjXRZ C
C
1
X
R
X
arctg C
c
ω
=⇒




 −
=θ
Z
X
arcsen C
−
=θ
θ∠=−∠





ω
+= Z
R
X
arctg
C
1
RZ C
2
2
Outra forma da lei de Ohm
E = (R+jX)I = ZI
22 XRZ +=
R
X
arctg=θ
θ∠= ZZ
R
X
arctgXRZ 22 ∠+=
Circuito RLC - série
• Consiste de um circuito puramente ôhmico de
resistência “R” em série com um circuito puramente
capacitivo de capacitância “C” e outro puramente
indutivo de indutância “L”.
Circuito RLC - série
• Resistor: Corrente em fase com a tensão.
• Indutor: Corrente atrasada da tensão.
• Capacitor: Corrente adiantada da tensão.
• Tensão resultante:
Impedância – Circuito RLC - Série
• Quando XL = XC: Ressonância
Circuito RL - Paralelo
• Tensões iguais,
correntes diferentes.
Considerando o diagrama fasorial abaixo, tem-se:
A impedância total do circuito RL é obtida fazendo-se o paralelo 
entre R e X.
I
I Rarccos=φ
22|| LR III +=
Circuito RC - Paralelo
• Tensões iguais,
correntes diferentes.
• Considerando o diagrama fasorial abaixo, tem-se:
• A impedância total do circuito RC é obtida fazendo-se o 
paralelo entre R e X.
22|| CR III +=
I
I Rarccos=φ
Circuito RLC paralelo
• Circuito Diagrama Fasorial
• Considerando que IL > IC (arbitrariamente) então obtemos o diagrama 
fasorial final, onde representamos a soma vetorial das três correntes( 
IL, IC e IR).
• A impedância total do circuito RLC é obtida fazendo-se o paralelo entre R, 
XC e XL.
22 )(|| CLR IIII −+=
I
I Rarccos=φ
Generalização – Circuito Série
• V = V1 + V2 + V3 = Z1I + Z2I + Z3I
• V = I(Z1 + Z2 + Z3) = IZT
• ZT = Z1 + Z2 + Z3
ZT = Z1 + Z2 + Z3 + ...
Generalização – Circuito Paralelo
T
T Z
V
ZZZ
V
Z
V
Z
V
Z
VIIII 1111
321321
321 =





++=++=++=
321T Z
1
Z
1
Z
1
Z
1
++=
...
Z
1
Z
1
Z
1
Z
1
321T
+++=
Exercícios
• Um circuito série de R = 8Ω e L = 0,02H tem 
uma tensão aplicada de v = 
283.sen(300t+90°). Achar a corrente “i”.
• XL = ωωωωL = 300x0,02 = 6ΩΩΩΩ⇒⇒⇒⇒ Z = 8 +j6
• Vef = 0,707 x 283
• Vef = 200 θ = arctg 6/8 = 36,9°
• V = 200∠∠∠∠90° Z = 10∠∠∠∠36,9°
1010068 22 ==+
°∠=
°∠
°∠
== 1,5320
9,3610
90200
Z
V
I
)1,53t300sen(.220i °+=
Exercícios
• Dados v = 150.sen(5000t+45°) e i = 3sen(5000t-15°), 
construir os diagramas de fasores da tensão e da 
corrente, bem como o diagrama da impedância. 
Determinar as constantes do circuito (R e L).
• v = 0,707x150∠∠∠∠45° = 106,05∠∠∠∠45°
• I = 0,707x3∠∠∠∠-15° = 2,12∠∠∠∠-15°
• XL = 2pipipipifL = ωωωωL = 43,3 ∴∴∴∴L = 43,3/5000 ⇒⇒⇒⇒
• L = 8,66mH
• R = 25ΩΩΩΩ
3,43j25)866,0j5,0(50Z
)60senj60(cos506050
1512,2
4505,106
I
V
Z
+=+=
°+=°∠=
°−∠
°∠
==
Exercícios
• Calcular a impedância Z2 do circuito série da figura abaixo:
• Zeq = 20(cos60° + jsen60°) = 10 + j17,3
• Como Zeq = Z1 + Z2:
• 5 + j8 + Z2 = 10 + j17,3 ⇒ Z2 = 10 –5 + j17,3 – j8
• Z2 = 5 + j9,3
º6020
)15(5,2
4550
I
V
Zeq ∠=
°−∠
°∠
==
Exercícios
• As duas impedâncias Z1 e Z2 da figura abaixo estão em série com uma fonte de
tensão V = 100∠0°. Achar a tensão nos terminais de cada impedância e traçar o
diagrama dos fasores de tensão.
• Zeq = Z1 + Z2 = 10 + 4,47(cos63,4 + jsen63,4)
• Zeq = 10 + 2 + j4 = 12 + j4 
• Zeq = 
• V1 = IZ1 = 7,9∠(-18,45)x10 = 79∠(-18,45) = 75 - j25
• V2 = IZ2 = [7,9∠(-18,45)]x[4,47∠63,4] 
• = 35,3∠(45) = 25 + j25
• Verifica-se que:
• V1 + V2 = 75 - j25 + 25 + j25 = 100 +j0 = 100∠∠∠∠0°
45,1865,12
12
4
arctg412 22 ∠=∠+
)45,18(9,7
45,1865,12
0100
Z
V
I
eq
°−∠=
∠
°∠
==