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Probabilidade Fidel Ernesto Castro Morales Universidade Federal do Rio Grande do Norte Departamento de Estatística Sumário Probabilidade Definição (Experimento aleatório) Um experimento que pode fornecer diferentes resultados, muito embora seja repetido toda vez da mesma maneira, é chamado experimento aleatório. Exemplo 1 I Jogar um dado equilibrado e observar o número da face superior. I Selecionar ao acaso um habitante de Natal e medir sua altura em metros. I Escolher, ao acaso, um ponto do círculo de raio 1 centrado na origem. I Lançar duas moedas e observar a face superior. Definição (Espaço amostral) O conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório é chamado espaço amostral do experimento. O espaço amostral é denotado por Ω. Exemplo 2 Determine o espaço amostral dos seguintes experimentos aleatórios: I Jogar um dado equilibrado e observar o número da face superior. I Selecionar ao acaso um habitante de Natal e medir sua altura em metros. I Escolher, ao acaso, um ponto do círculo de raio 1 centrado na origem. I Lançar duas moedas e observar a face superior. Definição (Evento) Um evento é um subconjunto do espaço amostral de um experimento aleatório. Os subconjuntos de Ω são representados pelas letras latinas maiúsculas A,B, . . .. O evento é denominado simples se consistir um único resultado e composto se consistir em mais de um resultado. O conjunto vazio será denotado por ∅. Determine eventos simples e compostos dos Ω's dos exemplos anteriores: I Jogar um dado equilibrado e observar o número da face superior. I Selecionar ao acaso um habitante de Natal e medir sua altura em metros. I Escolher, ao acaso, um ponto do círculo de raio 1 centrado na origem. I Lançar duas moedas e observar a face superior. Exemplo 3 Considere um experimento em lançar três moedas e observar a face superior delas. Determine o espaço amostral e os eventos simples. Dê um exemplo de evento composto. Solução: Definição (Eventos mutuamente excludentes ou disjuntos) Uma coleção de eventos, E 1 ,E 2 , . . . é denominada mutuamente excludente se para todos os pares Ei ⋂ Ej = ∅. Definição (União) A união de dois eventos A e B , representada por A ⋃ B e lida "A união B", é o evento que consiste em todos os resultados que estão no evento A ou no evento B ou em ambos, isto é, todos os resultados em ao menos um dos eventos. Definição (Interseção) A interseção de dois eventos A e B , representada por A ⋂ B e lida "A interseção B", é o evento que consiste de todos os resultados que estão em ambos A e B . Definição (Complemento) O complemento de um evento A, representado por A′, é o conjunto de todos os resultados em Ω que não estão contidos em A. Exemplo 4 Assuma que Ω = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, A = {0, 1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6} e C = {1, 3, 5}. Determinar I A ⋃ B , I A ⋂ B , I A ⋃ C , I A ⋂ C , I C ⋂ B , I C ⋃ B , I A′, I B ′, I C ′. Definição Clássica de probabilidade Se um experimento aleatório tiver N(Ω) = N resultados mutuamente exclusivos e igualmente prováveis e se um evento A tiver N(A) desses resultados. A probabilidade do evento A representado por P(A), e dado por: P(A) = N(A) N . Exemplo: Considere o lançamento de 2 dados balanceados. Calcular a probabilidade de: a) Obter soma 7; b) Obter soma maior que 10; c) Que resultado do primeiro dado seja superior ao resultado do segundo. Definição frequentista de probabilidade Suponhamos que realizamos um experimento n vezes (n grande) e destas o evento A ocorre exatamente r < n vezes, então a frequência relativa de vezes que ocorreu o evento A, r/n, é a estimação da probabilidade que ocorra o evento A, ou seja, P(A) = r n . Essa estimação da probabilidade por frequência relativa de um evento A, é próxima da verdadeira probabilidade do evento A, quando n tende ao infinito. Exemplo: Considere o lançamento de uma moeda. Calcular a probabilidade de A = {resultado obtido é cara}. Axiomas de probabilidade Uma função P(·) é denominada probabilidade se satisfaz as condições: 1. P(Ω) = 1. 2. P(A) ≥ 0, sendo A qualquer evento em um experimento aleatório. 3. P( ⋃ j Ej) = ∑ j P(Ej), com os Ejs disjuntos. Propriedades I P(E ′) = 1− P(E ). I Se E 1 ⊆ E 2 , então P(E 1 ) ≤ P(E 2 ). I P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B). I P(∅) = 0. prova: Exemplo 5 Cada item de uma amostra de quatro hipotecas está classificado como taxa fixa (F) ou taxa variável (V). 1. Qual é o espaço amostral? 2. Que resultados do evento possuem exatamente tres hipotecas de taxa fixa? 3. Que resultados do evento possuem quatro hipotecas de taxa fixa? 4. Que resultados pertecem ao evento em que as quatro hipotecas são de taxa variável? 5. Qual é a união dos eventos das partes (3) e (4) e qual a interseção desses dois eventos? 6. Quais são a união e a interseção dos dois eventos (2) e (3)? Exemplo 6 Selecione aleatóriamente um estudante em uma determinada universidade e represente por A o evento dele possuir um cartão de crédito Visa e por B o evento análogo para um Mastercard. Suponha que, P(A) = 0.5,P(B) = 0.4 e P (A ⋂ B) = 0.25. (a) calcule a probabilidade de que um indivíduo selecionado tenha pelo menos um dos dois tipos de cartão (ou seja, a probabilidade do evento (A ⋃ B)). (b)Qual a probabilidade de o indivíduo selecionado não ter nenhum dos tipos de cartão? (c) Descreva, em termos de A e B, o evento em que o estudante selecionado possui um cartão Visa mas não um MasterCard. Calcule a probabilidade desse evento. Técnicas de contagem Definição (Evento simples com a mesma probabilidade) Quando os diversos resultados de um experimento são igualmente prováveis (a mesma probabilidade é atribuida a cada evento simples), a tarefa de calcular probabilidades se reduz a uma contagem. Em particular, se N for a quantidade de resultados de um espaço amostral e N(A) for a quantidade de resultados contidos em um evento A, então P(A) = N(A) N . Regra do produto para pares ordenados Definição Entendemos por par ordenado que, se O 1 e O 2 forem objetos, o par (O 1 ,O 2 ) sera diferente do par (O 2 ,O 1 ). Exemplo par ordenado 1: Se um indivíduo seleciona uma linha aérea para uma viagem de Los Angeles a Chicago e (após fazer negócios em Chicago) uma segunda linha para seguir até Nova York, uma possibilidade é (American, United), outra é (United, American) e outra, (United, United). Exemplo 7 Um marceneiro tem 20 modelos de cadeiras e 5 modelos de mesa. De quantas maneiras podemos formar um conjunto de 1 mesa com 4 cadeiras iguais? Solução: Proposição Se o primeiro elemento ou objeto de um par ordenado puder ser selecionado de n 1 formas e para cada uma dessas n 1 formas, o segundo elemento do par pode ser selecionado de n 2 formas, o que faz com que o número de pares seja n 1 n 2 . Exemplo 8 De quantas maneiras 2 pessoas podem estacionar seus carros numa garagem com 6 vagas? Solução: Regra do produto para k−tuplas Suponha que um conjunto consista em conjuntos ordenados de k elementos (k−tuplas) e que haja n 1 escolhas possíveis para o primeiro elemento. Para cada escolha do primeiro elemento, há n 2 escolhas possíveis do segundo elemento . . .; para cada escolha pissível dos primeiros k − 1 elemento, há nk escolhas do ko elemento. Então há n 1 n 2 . . . nk resultados possíveis k−tuplas. Exemplo 9 I Quantos subconjuntos possui o conjunto A = {a, b, c}? I Quantos subconjuntos possui um conjunto A com n elementos? Solução:Arranjos e permutações Definição (Arranjo) Qualquer sequência ordenada de k objetos selecionados de um conjunto de n objetos distintos é denominada arranjo de tamanho k dos objetos. O número de arranjos de tamanho k que pode ser criado a partir dos n objetos é representado por Ak,n. Exemplo 10 Considerando os dígitos 1, 2, 3, 4 e 5, quantos números de 2 algarismos distintos podem ser formados? Solução: Definição (Fatorial) Para qualquer inteiro positivo m, m! é lido fatorial de m e definido por m! = m(m − 1) · . . . · (2)(1). Além disso, 0! = 1. Temos que, Ak,n = Pk,n = n! (n − k)! e n! = Pn,n. Exemplo 11 Dado o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5}, quantos subconjuntos de 2 elementos A possui? Solução: Combinações Definição Dado um conjunto de n objetos diferentes, qualquer subconjunto não-ordenado de tamanho k é denominado combinação. O número de combinações de tamanho k que podem ser formadas a partir de n objetos distintos é representado por Ck,n. Assim, Ck,n = Pk,n k! = n! k!(n − k)! . Exemplo 12 Uma professora de matemáticas deseja marcar uma reunião com cada um de seus oito assistentes, quatro homens e quatro mulheres, para discutir o curso de cálculo. Suponha que todas as sequências de reuniões sejam igualmente provaveis de serem escolhidas. 1. Qual é a probabilidade de que pelo menos uma assistente mulher esteja entre as primeiras três pessoas com quem a professora se reunirá? 2. Qual é a probabilidade de que após as primeiras cinco reuniões ela tenha se reunido com todas as assistentes mulheres? Exemplo 13 Um dia de produção de 850 peças fabricadas contém 50 peças que não encontram os requerimentos dos consumidores. Duas peças são selecionadas ao acaso, sem reposição, de uma batelada. Qual é a probabilidade de uma segunda peça seja defeituosa, dado que a primeira peça é defeituosa? Probabilidade condicional Definição A probabilidade condicional de um evento B , dado um evento A, denotada como P(B | A), é P(B | A) = P(A ∩ B) P(A) para P(A) > 0. Exemplo 14 Discos de policarbonato plástico, provenientes de um fornecedor, são analisados com relação à resistencia a arranhões e choque. Os resultados de 100 discos estão resumidos a seguir: Resistência a choque Alta Baixa Resistência a arranhão Alta 80 9 Baixa 6 5 Faça A denotar o evento em que o disco tenha alta resistência a choque e faça B denotar o evento em que um disco tenha alta resistência a arranhão. Determine as seguintes probabilidades: 1. P(A) 2. P(B) 3. P(A | B) 4. P(B | A) Regra de multiplicação P(A ∩ B) = P(A | B)P(B) = P(B | A)P(A). Prova: Regra da Probabilidade total (dois eventos) Para quasquer eventos A e B , P(B) = P(B ∩A) + P(B ∩A′) = P(B | A)P(A) + P(B | A′)P(A′). Prova: Exemplo 15 Uma cadeia de lojas de vídeo vende três marcas diferentes de videocassetes. Dessas vendas, 50% são da marca 1 (a mais barata), 30% são da marca 2 e 20% são da marca 3. Cada fabricante oferece um ano de garantia para peças e mão-de-obra. É sabido que 25% dos videocassetes da marca 1 necessitam de reparos de garantia, enquanto os percentuais correspondentes para as marcas 2 e 3 são 20% e 10%, respectivamente. 1. Qual é a probabilidade de que um comprador seleccionado aleatoriamente compre um videocassete da marca 1 que precise de reparo durante a garantia? 2. Qual é a probabilidade de que um comprador selecionado aleatoriamente possua um aparelho que necessite de reparos durante a garantia? 3. Se um cliente voltar à loja com um videocassete que precise de reparos em garantia, qual é a probabilidade dele ser da marca 1? E da marca 2? E da marca 3? Definição (Partição do espaço amostral) Uma coleção de eventos B 1 ,B 2 , ...,Bk formam uma partição do espaço amostral se eles não têm intersecção entre si e sua união é igual ao espaço amostral. Bi ⋂ Bj = ∅para i 6= j e ⋃k i=1 Bi = Ω. fidel.pdf Teorema da probabilidade total Se B 1 ,B 2 , ...,Bk , formam uma partição do espaço amostral Ω, entao qualquer evento A em Ω, satifaz: P(A) = P(B 1 )P (A | B 1 )+...+P (Bk)P (A | Bk) = k∑ i=1 P (Bi )P (A | Bi ) . Teorema de Bayes Teorema de Bayes Se B 1 ,B 2 , ...,Bk formam uma partição do espaço amostral Ω, e A e qualquer evento em Ω, então: P(Bi | A) = P (Bi )P (A | Bi )∑k i=1 P (Bi )P (A | Bi ) . Exemplo 16 Uma montadora trabalha com 2 fornecedores (A e B) de uma determinada peça. As chances de que uma peça esteja fora das especificações dado que é proveniente dos fornecedores A e B são 10% e 5% respectivamente. A montadora recebe 30% das peças do fornecedor A e 70% de B. Se uma peça do estoque inteiro é escolhido ao acaso: 1. Calcule a probabilidade de que ela esteja fora das especificações. 2. Se uma peça escolhida ao acaso está fora das especificações, qual é a probabilidade que venha do fornecedor A? Exemplo 17 (Incidência de doença rara) Apenas 1 em 1000 adultos é acometido por uma doença rara para a qual foi desenvolvido um teste de diagnóstico. O teste funciona de tal forma que, se o individuo tiver a doença, o resultado do teste será positivo em 99% das vezes e, se não a tiver, será positivo em apenas 2% das vezes. Se um indivíduo seleccionado aleatoriamente for testado e o resultado for positivo, qual é a probabilidade dele ter a doença? Exemplo 18 Volte ao cenário dos cartões de crédito do Exercício 12, onde A = {Visa}, A = {Mastercard}, P(A) = 0.5, P(B) = 0.4 e P(A ∩ B) = 0.25. Calcule e interprete cada uma das probabilidades a seguir 1. P(B | A) 2. P(B ′ | A) 3. P(A | B) 4. P(A′ | B) 5. Dado que o indivíduo selecionado tem ao menos um cartão de crédito, qual é a probabilidade dele ter um cartão Visa? Exemplo 19 Em determinado posto de gasolina, 40% dos clientes usam gasolina comum (A 1 ), 35% usam gasolina aditiva (A 2 ) e 25% usam gasolina premium (A 3 ). Dos clientes que usam gasolina comum, apenas 30% enchem o tanque (evento B). Dos clientes que usam gasolina aditiva, 60% enchem o tanque, enquanto dentre os que usam premium, 50% enchem o tanque. 1. Qual é a probabilidade de o próximo cliente pedir gasolina aditiva e encher o tanque? 2. Qual é a probabilidade de o proximo cliente encher o tanque? 3. Se o próximo cliente encher o tanque, qual é a probabilidade de pedir gasolina comum? E gasolina aditiva? E gasolina premium? Independência de eventos Definição Dois eventos A e B são independentes se a informação da ocorrência ou não de B não altera a probabilidade da ocorrência de A. Isto é, P(A | B) = P(A),P(B) > 0. Conseqüentemente, temos que dois eventos A e B são independentes se somente se, P ( A ⋂ B ) = P (A)P (B) . Exemplo 20 Em uma escola o 20% dos alunos tem problemas visuais, o 8% problemas auditivos e 4% tem problemas visuais e auditivos. Selecionamos um aluno desta escola ao acaso: 1. são os eventos de ter problemas visuais e auditivos eventos independentes? 2. Se aluno selecionado tem problemas visuais, qual é a probabilidade de que tenha problemas auditivos? 3. Qual é a probabilidade de não ter problemas visuais ou ter problema auditivos ? Teorema: Se A , B eventos em Ω sao eventos independentes, entao: 1. A e Bc são independentes; 2. Ac e B são independentes; 3. Ac e Bc são independentes. Definição Os eventos A 1 , . . . ,An, são mutuamente independentes se para k (k = 2, 3, . . . , n) e cada subconjunto de índices i 1 , . . . , ik P(Ai 1 ∩ Ai 2 ∩, . . . ,∩Aik ) = P(Ai1)P(Ai2) · · ·P(Aik ). Exemplo 21 Um atirador acerta o 80% de seus disparos e outro (na mesmas condições de tiro), o 70%. Qual é a probabilidade de acertarse ambos atiradores disparam simultaneamente o alvo? Considere que o alvo foi acertado quando pelo menos, uma das duas balas tenha feito impacto no alvo. Exemplo 22 O circuito mostrado a seguir opera somente se houver um caminho de equipamentos funcionais, da esquerda para a direita. A probabilidade de que cada aparelho funcione é mostrado no gráfico. Suponha que os equipamentos falhem independentemente. Qual será a probabilidade de que o circuito opere? Exemplo 23 O circuito mostrado a seguir opera somente se houver um caminho de equipamentos funcionais, da esquerda para a direita. A probabilidade de que cada aparelho funcione é mostrada no gráfico. Suponha que os equipamentos falhem independentemente. Qual será a probabilidade de que o circuito opere? Exemplo 24 Amostras de uma peça de alumínio fundido são classificadas com base no acabamento (em micropolegadas) da superfície e nas medidas de comprimento. Os resultados de 100 peças são resumidos a seguir: Comprimento Excelente Bom Acabamento superfície Excelente 75 7 Bom 10 8 Faça A denotar o evento em que um disco tenha excelente acabamento na superficie e faça B denotar o evento em que um disco tenha excelente comprimento. Os eventos A e B são independentes? Exemplo 25 A probabilidade de que um espécime de laboratório contenha altos níveis de contaminação é de 0.10. Cinco amsotras são verificadas, sendo elas independentes. 1. Qual é a probabilidade de que nenhum espécime contenha altos níveis de contaminação? 2. Qual é a probabilidade de que exatamente um espécime contenha altos níveis de contaminação? 3. Qual é a probabilidade de que pelo menos um espécime contenha altos níveis de contaminação?
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