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Probabilidade
Fidel Ernesto Castro Morales
Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Departamento de Estatística
Sumário
Probabilidade
Definição (Experimento aleatório)
Um experimento que pode fornecer diferentes resultados, muito
embora seja repetido toda vez da mesma maneira, é chamado
experimento aleatório.
Exemplo 1
I
Jogar um dado equilibrado e observar o número da face
superior.
I
Selecionar ao acaso um habitante de Natal e medir sua altura
em metros.
I
Escolher, ao acaso, um ponto do círculo de raio 1 centrado na
origem.
I
Lançar duas moedas e observar a face superior.
Definição (Espaço amostral)
O conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento
aleatório é chamado espaço amostral do experimento. O espaço
amostral é denotado por Ω.
Exemplo 2
Determine o espaço amostral dos seguintes experimentos aleatórios:
I
Jogar um dado equilibrado e observar o número da face
superior.
I
Selecionar ao acaso um habitante de Natal e medir sua altura
em metros.
I
Escolher, ao acaso, um ponto do círculo de raio 1 centrado na
origem.
I
Lançar duas moedas e observar a face superior.
Definição (Evento)
Um evento é um subconjunto do espaço amostral de um
experimento aleatório. Os subconjuntos de Ω são representados
pelas letras latinas maiúsculas A,B, . . .. O evento é denominado
simples se consistir um único resultado e composto se consistir em
mais de um resultado.
O conjunto vazio será denotado por ∅.
Determine eventos simples e compostos dos Ω's dos exemplos
anteriores:
I
Jogar um dado equilibrado e observar o número da face
superior.
I
Selecionar ao acaso um habitante de Natal e medir sua altura
em metros.
I
Escolher, ao acaso, um ponto do círculo de raio 1 centrado na
origem.
I
Lançar duas moedas e observar a face superior.
Exemplo 3
Considere um experimento em lançar três moedas e observar a face
superior delas. Determine o espaço amostral e os eventos simples.
Dê um exemplo de evento composto.
Solução:
Definição (Eventos mutuamente excludentes ou disjuntos)
Uma coleção de eventos, E
1
,E
2
, . . . é denominada mutuamente
excludente se para todos os pares Ei
⋂
Ej = ∅.
Definição (União)
A união de dois eventos A e B , representada por A
⋃
B e lida "A
união B", é o evento que consiste em todos os resultados que estão
no evento A ou no evento B ou em ambos, isto é, todos os
resultados em ao menos um dos eventos.
Definição (Interseção)
A interseção de dois eventos A e B , representada por A
⋂
B e lida
"A interseção B", é o evento que consiste de todos os resultados
que estão em ambos A e B .
Definição (Complemento)
O complemento de um evento A, representado por A′, é o conjunto
de todos os resultados em Ω que não estão contidos em A.
Exemplo 4
Assuma que Ω = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, A = {0, 1, 2, 3, 4},
B = {3, 4, 5, 6} e C = {1, 3, 5}. Determinar
I A
⋃
B ,
I A
⋂
B ,
I A
⋃
C ,
I A
⋂
C ,
I C
⋂
B ,
I C
⋃
B ,
I A′,
I B ′,
I C ′.
Definição Clássica de probabilidade
Se um experimento aleatório tiver N(Ω) = N resultados
mutuamente exclusivos e igualmente prováveis e se um evento A
tiver N(A) desses resultados. A probabilidade do evento A
representado por P(A), e dado por:
P(A) =
N(A)
N
.
Exemplo: Considere o lançamento de 2 dados balanceados.
Calcular a probabilidade de:
a) Obter soma 7;
b) Obter soma maior que 10;
c) Que resultado do primeiro dado seja superior ao resultado do
segundo.
Definição frequentista de probabilidade
Suponhamos que realizamos um experimento n vezes (n grande) e
destas o evento A ocorre exatamente r < n vezes, então a
frequência relativa de vezes que ocorreu o evento A, r/n, é a
estimação da probabilidade que ocorra o evento A, ou seja,
P(A) =
r
n
.
Essa estimação da probabilidade por frequência relativa de um
evento A, é próxima da verdadeira probabilidade do evento A,
quando n tende ao infinito.
Exemplo: Considere o lançamento de uma moeda. Calcular a
probabilidade de A = {resultado obtido é cara}.
Axiomas de probabilidade
Uma função P(·) é denominada probabilidade se satisfaz as
condições:
1. P(Ω) = 1.
2. P(A) ≥ 0, sendo A qualquer evento em um experimento
aleatório.
3. P(
⋃
j Ej) =
∑
j P(Ej), com os Ejs disjuntos.
Propriedades
I P(E ′) = 1− P(E ).
I
Se E
1
⊆ E
2
, então P(E
1
) ≤ P(E
2
).
I P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B).
I P(∅) = 0.
prova:
Exemplo 5
Cada item de uma amostra de quatro hipotecas está classificado
como taxa fixa (F) ou taxa variável (V).
1. Qual é o espaço amostral?
2. Que resultados do evento possuem exatamente tres hipotecas
de taxa fixa?
3. Que resultados do evento possuem quatro hipotecas de taxa
fixa?
4. Que resultados pertecem ao evento em que as quatro
hipotecas são de taxa variável?
5. Qual é a união dos eventos das partes (3) e (4) e qual a
interseção desses dois eventos?
6. Quais são a união e a interseção dos dois eventos (2) e (3)?
Exemplo 6
Selecione aleatóriamente um estudante em uma determinada
universidade e represente por A o evento dele possuir um cartão de
crédito Visa e por B o evento análogo para um Mastercard.
Suponha que,
P(A) = 0.5,P(B) = 0.4 e P (A
⋂
B) = 0.25.
(a) calcule a probabilidade de que um indivíduo selecionado tenha
pelo menos um dos dois tipos de cartão (ou seja, a probabilidade
do evento (A
⋃
B)).
(b)Qual a probabilidade de o indivíduo selecionado não ter nenhum
dos tipos de cartão?
(c) Descreva, em termos de A e B, o evento em que o estudante
selecionado possui um cartão Visa mas não um MasterCard.
Calcule a probabilidade desse evento.
Técnicas de contagem
Definição (Evento simples com a mesma probabilidade)
Quando os diversos resultados de um experimento são igualmente
prováveis (a mesma probabilidade é atribuida a cada evento
simples), a tarefa de calcular probabilidades se reduz a uma
contagem. Em particular, se N for a quantidade de resultados de
um espaço amostral e N(A) for a quantidade de resultados contidos
em um evento A, então
P(A) =
N(A)
N
.
Regra do produto para pares ordenados
Definição
Entendemos por par ordenado que, se O
1
e O
2
forem objetos, o par
(O
1
,O
2
) sera diferente do par (O
2
,O
1
).
Exemplo par ordenado 1: Se um indivíduo seleciona uma linha
aérea para uma viagem de Los Angeles a Chicago e (após fazer
negócios em Chicago) uma segunda linha para seguir até Nova
York, uma possibilidade é (American, United), outra é (United,
American) e outra, (United, United).
Exemplo 7
Um marceneiro tem 20 modelos de cadeiras e 5 modelos de mesa.
De quantas maneiras podemos formar um conjunto de 1 mesa com
4 cadeiras iguais?
Solução:
Proposição
Se o primeiro elemento ou objeto de um par ordenado puder ser
selecionado de n
1
formas e para cada uma dessas n
1
formas, o
segundo elemento do par pode ser selecionado de n
2
formas, o que
faz com que o número de pares seja n
1
n
2
.
Exemplo 8
De quantas maneiras 2 pessoas podem estacionar seus carros numa
garagem com 6 vagas?
Solução:
Regra do produto para k−tuplas
Suponha que um conjunto consista em conjuntos ordenados de k
elementos (k−tuplas) e que haja n
1
escolhas possíveis para o
primeiro elemento. Para cada escolha do primeiro elemento, há n
2
escolhas possíveis do segundo elemento . . .; para cada escolha
pissível dos primeiros k − 1 elemento, há nk escolhas do ko
elemento. Então há n
1
n
2
. . . nk resultados possíveis k−tuplas.
Exemplo 9
I
Quantos subconjuntos possui o conjunto A = {a, b, c}?
I
Quantos subconjuntos possui um conjunto A com n
elementos?
Solução:Arranjos e permutações
Definição (Arranjo)
Qualquer sequência ordenada de k objetos selecionados de um
conjunto de n objetos distintos é denominada arranjo de tamanho k
dos objetos. O número de arranjos de tamanho k que pode ser
criado a partir dos n objetos é representado por Ak,n.
Exemplo 10
Considerando os dígitos 1, 2, 3, 4 e 5, quantos números de 2
algarismos distintos podem ser formados?
Solução:
Definição (Fatorial)
Para qualquer inteiro positivo m, m! é lido fatorial de m e definido
por
m! = m(m − 1) · . . . · (2)(1).
Além disso, 0! = 1. Temos que,
Ak,n = Pk,n =
n!
(n − k)!
e n! = Pn,n.
Exemplo 11
Dado o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5}, quantos subconjuntos de 2
elementos A possui?
Solução:
Combinações
Definição
Dado um conjunto de n objetos diferentes, qualquer subconjunto
não-ordenado de tamanho k é denominado combinação. O número
de combinações de tamanho k que podem ser formadas a partir de
n objetos distintos é representado por Ck,n. Assim,
Ck,n =
Pk,n
k!
=
n!
k!(n − k)! .
Exemplo 12
Uma professora de matemáticas deseja marcar uma reunião com
cada um de seus oito assistentes, quatro homens e quatro mulheres,
para discutir o curso de cálculo. Suponha que todas as sequências
de reuniões sejam igualmente provaveis de serem escolhidas.
1. Qual é a probabilidade de que pelo menos uma assistente
mulher esteja entre as primeiras três pessoas com quem a
professora se reunirá?
2. Qual é a probabilidade de que após as primeiras cinco reuniões
ela tenha se reunido com todas as assistentes mulheres?
Exemplo 13
Um dia de produção de 850 peças fabricadas contém 50 peças que
não encontram os requerimentos dos consumidores. Duas peças são
selecionadas ao acaso, sem reposição, de uma batelada. Qual é a
probabilidade de uma segunda peça seja defeituosa, dado que a
primeira peça é defeituosa?
Probabilidade condicional
Definição
A probabilidade condicional de um evento B , dado um evento A,
denotada como P(B | A), é
P(B | A) = P(A ∩ B)
P(A)
para P(A) > 0.
Exemplo 14
Discos de policarbonato plástico, provenientes de um fornecedor,
são analisados com relação à resistencia a arranhões e choque. Os
resultados de 100 discos estão resumidos a seguir:
Resistência a choque
Alta Baixa
Resistência a arranhão Alta 80 9
Baixa 6 5
Faça A denotar o evento em que o disco tenha alta resistência a
choque e faça B denotar o evento em que um disco tenha alta
resistência a arranhão. Determine as seguintes probabilidades:
1. P(A)
2. P(B)
3. P(A | B)
4. P(B | A)
Regra de multiplicação
P(A ∩ B) = P(A | B)P(B) = P(B | A)P(A).
Prova:
Regra da Probabilidade total (dois eventos)
Para quasquer eventos A e B ,
P(B) = P(B ∩A) + P(B ∩A′) = P(B | A)P(A) + P(B | A′)P(A′).
Prova:
Exemplo 15
Uma cadeia de lojas de vídeo vende três marcas diferentes de
videocassetes. Dessas vendas, 50% são da marca 1 (a mais barata),
30% são da marca 2 e 20% são da marca 3. Cada fabricante
oferece um ano de garantia para peças e mão-de-obra. É sabido
que 25% dos videocassetes da marca 1 necessitam de reparos de
garantia, enquanto os percentuais correspondentes para as marcas
2 e 3 são 20% e 10%, respectivamente.
1. Qual é a probabilidade de que um comprador seleccionado
aleatoriamente compre um videocassete da marca 1 que
precise de reparo durante a garantia?
2. Qual é a probabilidade de que um comprador selecionado
aleatoriamente possua um aparelho que necessite de reparos
durante a garantia?
3. Se um cliente voltar à loja com um videocassete que precise de
reparos em garantia, qual é a probabilidade dele ser da marca
1? E da marca 2? E da marca 3?
Definição (Partição do espaço amostral)
Uma coleção de eventos B
1
,B
2
, ...,Bk formam uma partição do
espaço amostral se eles não têm intersecção entre si e sua união é
igual ao espaço amostral.
Bi
⋂
Bj = ∅para i 6= j e
⋃k
i=1 Bi = Ω.
fidel.pdf
 
Teorema da probabilidade total
Se B
1
,B
2
, ...,Bk , formam uma partição do espaço amostral Ω,
entao qualquer evento A em Ω, satifaz:
P(A) = P(B
1
)P (A | B
1
)+...+P (Bk)P (A | Bk) =
k∑
i=1
P (Bi )P (A | Bi ) .
Teorema de Bayes
Teorema de Bayes
Se B
1
,B
2
, ...,Bk formam uma partição do espaço amostral Ω, e A e
qualquer evento em Ω, então:
P(Bi | A) = P (Bi )P (A | Bi )∑k
i=1 P (Bi )P (A | Bi )
.
Exemplo 16
Uma montadora trabalha com 2 fornecedores (A e B) de uma
determinada peça. As chances de que uma peça esteja fora das
especificações dado que é proveniente dos fornecedores A e B são
10% e 5% respectivamente. A montadora recebe 30% das peças do
fornecedor A e 70% de B. Se uma peça do estoque inteiro é
escolhido ao acaso:
1. Calcule a probabilidade de que ela esteja fora das
especificações.
2. Se uma peça escolhida ao acaso está fora das especificações,
qual é a probabilidade que venha do fornecedor A?
Exemplo 17 (Incidência de doença rara)
Apenas 1 em 1000 adultos é acometido por uma doença rara para a
qual foi desenvolvido um teste de diagnóstico. O teste funciona de
tal forma que, se o individuo tiver a doença, o resultado do teste
será positivo em 99% das vezes e, se não a tiver, será positivo em
apenas 2% das vezes. Se um indivíduo seleccionado aleatoriamente
for testado e o resultado for positivo, qual é a probabilidade dele ter
a doença?
Exemplo 18
Volte ao cenário dos cartões de crédito do Exercício 12, onde
A = {Visa}, A = {Mastercard}, P(A) = 0.5, P(B) = 0.4 e
P(A ∩ B) = 0.25. Calcule e interprete cada uma das probabilidades
a seguir
1. P(B | A)
2. P(B ′ | A)
3. P(A | B)
4. P(A′ | B)
5. Dado que o indivíduo selecionado tem ao menos um cartão de
crédito, qual é a probabilidade dele ter um cartão Visa?
Exemplo 19
Em determinado posto de gasolina, 40% dos clientes usam gasolina
comum (A
1
), 35% usam gasolina aditiva (A
2
) e 25% usam gasolina
premium (A
3
). Dos clientes que usam gasolina comum, apenas
30% enchem o tanque (evento B). Dos clientes que usam gasolina
aditiva, 60% enchem o tanque, enquanto dentre os que usam
premium, 50% enchem o tanque.
1. Qual é a probabilidade de o próximo cliente pedir gasolina
aditiva e encher o tanque?
2. Qual é a probabilidade de o proximo cliente encher o tanque?
3. Se o próximo cliente encher o tanque, qual é a probabilidade
de pedir gasolina comum? E gasolina aditiva? E gasolina
premium?
Independência de eventos
Definição
Dois eventos A e B são independentes se a informação da
ocorrência ou não de B não altera a probabilidade da ocorrência de
A. Isto é,
P(A | B) = P(A),P(B) > 0.
Conseqüentemente, temos que dois eventos A e B são
independentes se somente se,
P
(
A
⋂
B
)
= P (A)P (B) .
Exemplo 20
Em uma escola o 20% dos alunos tem problemas visuais, o 8%
problemas auditivos e 4% tem problemas visuais e auditivos.
Selecionamos um aluno desta escola ao acaso:
1. são os eventos de ter problemas visuais e auditivos eventos
independentes?
2. Se aluno selecionado tem problemas visuais, qual é a
probabilidade de que tenha problemas auditivos?
3. Qual é a probabilidade de não ter problemas visuais ou ter
problema auditivos ?
Teorema:
Se A , B eventos em Ω sao eventos independentes, entao:
1. A e Bc são independentes;
2. Ac e B são independentes;
3. Ac e Bc são independentes.
Definição
Os eventos A
1
, . . . ,An, são mutuamente independentes se para k
(k = 2, 3, . . . , n) e cada subconjunto de índices i
1
, . . . , ik
P(Ai
1
∩ Ai
2
∩, . . . ,∩Aik ) = P(Ai1)P(Ai2) · · ·P(Aik ).
Exemplo 21
Um atirador acerta o 80% de seus disparos e outro (na mesmas
condições de tiro), o 70%. Qual é a probabilidade de acertarse
ambos atiradores disparam simultaneamente o alvo? Considere que
o alvo foi acertado quando pelo menos, uma das duas balas tenha
feito impacto no alvo.
Exemplo 22
O circuito mostrado a seguir opera somente se houver um caminho
de equipamentos funcionais, da esquerda para a direita. A
probabilidade de que cada aparelho funcione é mostrado no gráfico.
Suponha que os equipamentos falhem independentemente. Qual
será a probabilidade de que o circuito opere?
Exemplo 23
O circuito mostrado a seguir opera somente se houver um caminho
de equipamentos funcionais, da esquerda para a direita. A
probabilidade de que cada aparelho funcione é mostrada no gráfico.
Suponha que os equipamentos falhem independentemente. Qual
será a probabilidade de que o circuito opere?
Exemplo 24
Amostras de uma peça de alumínio fundido são classificadas com
base no acabamento (em micropolegadas) da superfície e nas
medidas de comprimento. Os resultados de 100 peças são
resumidos a seguir:
Comprimento
Excelente Bom
Acabamento superfície Excelente 75 7
Bom 10 8
Faça A denotar o evento em que um disco tenha excelente
acabamento na superficie e faça B denotar o evento em que um
disco tenha excelente comprimento. Os eventos A e B são
independentes?
Exemplo 25
A probabilidade de que um espécime de laboratório contenha altos
níveis de contaminação é de 0.10. Cinco amsotras são verificadas,
sendo elas independentes.
1. Qual é a probabilidade de que nenhum espécime contenha
altos níveis de contaminação?
2. Qual é a probabilidade de que exatamente um espécime
contenha altos níveis de contaminação?
3. Qual é a probabilidade de que pelo menos um espécime
contenha altos níveis de contaminação?

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