Prova de Cálculo Multivariável

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MAT 003 Prova 1 - Turma T5 30/04/2015
(Q1) (2.5 pontos) Considere o conjunto D = {(x, y) 2 R2 | y cotg(b)  x pa2 � y2, 0  y  a sen(b)}, onde a e
b sa˜o constantes tais que a > 0 e b 2 (0,⇡/2).
a) Esboce D.
b) Calcule a integral dupla
ZZ
D
x4 � y4 dxdy.
(Q2) (2.5 pontos) Seja B o so´lido no octante positivo limitado pelas superf´ıcies de equac¸o˜es
x2 + y2 + z2 = 4z e z =
p
3(x2 + y2), satisfazendo z 
p
3(x2 + y2).
Escreva a integral tripla que representa o volume do so´lido:
a) em coordenadas esfe´ricas
b) em coordenadas cil´ındricas
Atenc¸a˜o: em nenhum dos casos e´ necessa´rio calcular as integrais.
(Q3) (3 pontos) A rainha do tabuleiro de xadrez (veja a figura) pode ser confeccionada, de forma simplificada,
utilizando formas geome´tricas simples. Deste modo, a coroa, a cabec¸a, o pescoc¸o e o corpo da pec¸a sa˜o
descritos, respectivamente, por um cone, uma esfera, um cilindro e outro cone. As equac¸o˜es cartesianas das
superf´ıcies envolvidas na construc¸a˜o da estrutura, na˜o necessariamente na ordem em que foram descritas, esta˜o
indicadas a seguir:
S1 : x
2 + y2 + z2 = �z + 3/4, S2 : x2 + y2 = 1/4, S3 : x2 + y2 = (z + 3)2, S4 : x2 + y2 = (1� z)2.
a) Qual das equac¸o˜es apresentadas acima descreve a cabec¸a e o pescoc¸o da rainha? Justifique sua escolha.
b) Fornec¸a uma parametrizac¸a˜o para a curva obtida pela intersec¸a˜o das superf´ıcies que descrevem, respecti-
vamente, a coroa e a cabec¸a da rainha.
c) Fornec¸a uma parametrizac¸a˜o para a superf´ıcie que representa o corpo da estrutura.
(Q4) (2 pontos) Seja ~F (x, y) = ax ~i+ by ~j um campo vetorial, onde a e b sa˜o constantes reais. Calcule
Z
�
~F · d�,
onde � e´ uma curva cuja imagem e´ igual ao pedac¸o da elipse
x2
4
+
y2
9
= 1 que esta´ no primeiro quadrante,
percorrida no sentido anti-hora´rio.
Rodrigo Lima
Rodrigo Lima