GabP2_T1

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MAT 003 Prova 2 - Turma T1 30/06/2015
(Q1) (2.0 pontos) Calcule I
C
�y
x2 + y2
dx+
x
x2 + y2
dy,
onde C e´ a curva definida por y2 = 2(x+ 2), �2  x  2, orientada no sentido decrescente de y.
(Q2) (3.0 pontos) Seja S a superf´ıcie obtida pela rotac¸a˜o de 360 graus da curva �(t) = (t, 0, t2), t 2 [0, 2] em torno
do eixo z e considere o campo vetorial
~F (x, y, z) = (xd + z) ~i+ (x+ e�y
2 � z) ~j + zd ~k,
onde d e´ a soma dos d´ıgitos de seu nu´mero de matr´ıcula.
a) Fornec¸a uma parametrizac¸a˜o para S. Atenc¸a˜o: na˜o basta escrever a expressa˜o. E´ preciso justificar de
onde vem a parametrizac¸a˜o obtida.
b) Determine uma equac¸a˜o para o plano que tangencia S no ponto P =
✓
1
2
,
1
2
,
1
2
◆
.
c) Calcule a integral Z
↵
~F · d~r,
onde ↵ e´ a curva obtida pela intersec¸a˜o de S com o plano z = 2, orientada no sentido hora´rio quando
vista de cima do eixo z.
(Q3) (5.0 pontos) Considere o campo vetorial
~F (x, y, z) =
✓
3x+
x
(x2 + y2 + z2)3/2
,
y
(x2 + y2 + z2)3/2
,
z
(x2 + y2 + z2)3/2
◆
e os so´lidos
B1 = {(x, y, z) 2 R3 | x2 + y2 + z2  1},
B2 = {(x, y, z) 2 R3 | �2  x  2, �2  y  2, �2  z  2}.
a) Calcule div(~F ).
b) Verifique se a afirmac¸a˜o abaixo e´ verdadeira ou falsa e justifique:
Se � : [0, 1] ! R3 e´ qualquer curva simples, na˜o fechada de classe C1 e contida na superf´ıcie do
so´lido B1 enta˜o Z
�
~F · d~r = 0.
c) Calcule o fluxo de ~F atrave´s do so´lido B2 supondo que o vetor normal aponta para fora deste so´lido.
Dica: se precisar, utilize o fato de que
RR
S1
3x2 dS = 4⇡, onde S1 e´ a superf´ıcie definida pelo so´lido S1.
Respostas sem justificativa na˜o sera˜o consideradas. Boa prova! Boas fe´rias!