Exemplo de Treliça Hiperestática

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Exemplo de Treliça Hiperestática: 
Para determinar a hiperestáticidade de uma treliça analisamos primeiramente a equação 
que relaciona o número de barras, nós e reações de apoio da estrutura. 
Se a treliça atender à equação nbr 2>+ (sendo r o número de reações de apoio, b o 
número de barras e n o numero de nós) devemos analisar a hiperestaticidade externa e 
interna. 
A externa é determinada pelo número de reações de apoio quando comparado ao 
número de equações da estática disponíveis e pela configuração destas reações (se 
houverem três reações na mesma direção a plana treliça será hipostática). 
Uma vez que a estaticidade externa foi estudada partimos para o estudo da estaticidade 
interna. A partir da lei de formação básica da treliça e da observação da existência da 
formação de um possível mecanismo (que resultaria em uma treliça hipostática). 
Considere-se a treliça a seguir: 
P
a
a
A
B C
D
Utilizando a equação →⋅>+→>+ 42632nbr treliça com possibilidade de 
hiperestaticidade. 
Analisando os apoios conclui-se que a treliça é externamente isostática. 
Aplicando-se a lei de formação da treliça simples: 
Parte-se do triângulo ABD, a partir das barras BC e CD chega-se ao nó C. Sobrando 
assim uma das barras (no caso dessa análise a barra AC). Com isso conclui-se que a 
treliça é uma vez hiperestática internamente. 
A
B C
D
Para chegar a um Sistema Principal, poderíamos romper qualquer uma das barras da 
treliça. Rompendo-se, por exemplo, a barra AC: 
A
B C
D
X1
X1
 
Sistema Principal e Hiperestático 
Efeitos sobre o Sistema Principal: 
- Carregamento Externo: 
A
B C
D
P
x
y
VA
HA
VD
Equilíbrio externo: 
( )
( )
( )∑
∑
∑
−=⇒=
=⇒=
=⇒=
PVF
PVM
PHF
Ay
DA
Ax
0
0
0
0
0
0
 
Equilíbrio Interno: 
Estando a barra AC rompida e não havendo carregamento em suas extremidades, 
( ) 00 =ACN . 
Equilíbrio do nó C: 
( )
( )∑
∑
=⇒=
=⇒=
00
00
0
0
CDy
BCx
NF
NF
 
Equilíbrio do nó A: 
( )
( )∑
∑
=⇒=
=⇒=
PNF
PNF
ABy
ADx
0
0
0
0
 
Equilíbrio do nó B: 
( )∑ −=⇒= 20 0 PNF BDy 
Esforços Normais no Sistema Principal para o Carregamento Externo: 
A
B C
D
+P
0
0+P
0
0
-
P
DN(0) 
- Hiperestático X1 = 1: 
A
B C
D
1kN
1kN
x
y
VA
HA
VD
 
 
Equilíbrio externo: 
( )
( )
( )∑
∑
∑
=⇒=
=⇒=
=⇒=
00
00
00
1
1
1
Ay
DA
Ax
VF
VM
HF
 
Equilíbrio Interno: 
Estando a barra AC rompida e havendo carregamento unitário em suas extremidades, 
( ) kNNAC 11 = . 
Equilíbrio do nó C: 
( )
( ) kNNF
kNNF
CDy
BCx
2
20
2
20
1
1
−=⇒=
−=⇒=
∑
∑
 
Equilíbrio do nó A: 
( )
( )∑
∑
−=⇒=
−=⇒=
kNNF
kNNF
ABy
ADx
2
20
2
20
1
1
 
Equilíbrio do nó B: 
( )∑ =⇒= kNNF BDy 10 1 
Esforços Normais no Sistema Principal para o Carregamento Externo: 
A
B C
D

2
-

2
-

2
-

2
-
+1
+1
+1
DN(1) (kN) 
Cálculo dos coeficientes: 
Em todas as barras da estrutura do Sistema Principal, os esforços normais são 
constantes ao longo das barras. Sendo assim, ao utilizar a tabela para obter o Trabalho 
Virtual interno ( )iWδ , todos os termos serão resultado do cruzamento de dois retângulos. 
( )
( ) ( )212122
2
2411
22122
2
2
2
211
2
2
11
10
+=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⋅⋅+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛⋅⋅=δ⋅
+−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ⋅⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−=δ⋅
EA
aaa
EA
EA
aPPaPaPa
EA
 
Equação de Compatibilidade: 
PXX
2
20
11
10
111110 =δ
δ−=⇒=δ⋅+δ 
Para encontrar os esforços normais na treliça hiperestática, basta utilizar o Princípio da 
Superposição de Efeitos: 
( ) ( )1
1
0 NXNN ⋅+= , resultado em: 
P
2
-
P
2
-
P
2
+
P
2
+ 
2
-
P

2+
P
DN