Fundamentos de Análise Estrutural

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1. Fundamentos 
1.1 – Introdução 
O projeto estrutural consiste em diversas etapas. Primeiramente é necessário realizar a 
modelagem estrutural, ou seja, idealizar um modelo matemático que represente de forma mais 
fiel possível a estrutura real. Uma vez estando de posse do modelo estrutural deve-se proceder 
a análise estrutural, que é exatamente do que trata a presente disciplina. Na análise estrutural 
são determinados os esforços internos (ou diretamente as tensões, dependendo das hipóteses 
simplificadoras adotadas) e os deslocamentos (ou as deformações). Uma vez de posse destas 
grandezas passa-se ao chamado dimensionamento estrutural, no qual verificam-se as 
condições de resistência do material e as condições de utilização (deformações, vibrações 
excessivas...) da estrutura. 
Muitas das estruturas reais são hiperestáticas, por permitir um melhor aproveitamento do 
material sem a causa de instabilidade (caso típico de estruturas de aço) ou simplesmente por 
razões construtivas (caso típico de estruturas de concreto moldado in situ). 
 
1.2 – Estruturas isostáticas e hiperestáticas 
1.2.1 – Estruturas Isostáticas 
Uma estrutura isostática é aquela na qual: 
- o número de vínculos é o estritamente necessário para impedir o movimento de corpo rígido; 
- conhecidas as reações de apoio, podem-se determinar os esforços internos; 
- só existe uma condição que satisfaz ao equilíbrio; 
- os esforços independem da rigidez da estrutura; 
- se as condições de equilíbrio forem satisfeitas então as condições de compatibilidade de 
deslocamentos serão automaticamente satisfeitas. 
1.2.2 – Estruturas Hiperestáticas 
Uma estrutura hiperestática é aquela na qual: 
- O número de vínculos é maior do que o estritamente necessário para impedir o movimento de 
corpo rígido e/ou conhecidos os valores das reações de apoio, não é possível determinar os 
esforços internos; 
 - As condições de equilíbrio não bastam, existem inúmeras soluções que satisfazem ao equilíbrio; 
 - As condições de compatibilidade de deslocamentos não bastam, existem inúmeras soluções que 
satisfazem à compatibilidade; 
 - De forma geral, os esforços dependem das características físicas do material e geométricas da 
seção transversal do elemento estrutural; 
 - A solução é aquela que satisfaz simultaneamente ao equilíbrio e à compatibilidade de 
deslocamentos. 
1.3 – Métodos Clássicos de resolução de estruturas hiperestáticas 
1.3.1 – Método das Forças 
 A idéia do método consiste em determinar, dentre as soluções que satisfazem às condições de 
equilíbrio, aquela que satisfaz também às condições de compatibilidade de deformações. 
 No presente curso, trataremos somente do caso de material linearmente elástico (validade da 
lei de Hooke) e comportamento linear geométrico da estrutura (caso de pequenos deslocamentos e 
rotações, sendo estes deslocamentos e estas rotações da mesma ordem de grandeza). 
 Com essas simplificações garante-se a validade do princípio da superposição de efeitos e das 
equações que relacionam deslocamentos e esforços internos estudadas no âmbito da resistência dos 
materiais. 
 Quando estas simplificações são consideradas, o Método das Forças é denominado Método da 
Flexibilidade. 
1.3.2 – Método dos Deslocamentos 
A idéia do método consiste em determinar, dentre as soluções que fazem com que a 
configuração deformada da estrutura satisfaça às condições de compatibilidade de deformações, 
aquela que satisfaz também às condições de equilíbrio. 
 Quando as simplificações de linearidade física e geométrica são consideradas, o Método dos 
Dslocamentos é denominado Método da Rigidez. 
1.4 – Princípio dos Trabalhos Virtuais (P.T.V.) para corpos deformáveis 
O P.T.V. para corpos deformáveis enuncia que se um sistema estrutural em equilíbrio for 
submetido a um campo de deslocamentos virtuais cinematicamente admissível (ou seja, compatível 
com as vinculações do sistema e mantendo a continuidade interna) o trabalho virtual das forças que 
sobre ele atuam (forças externas) é igual ao trabalho virtual das forças internas. 
O campo de deslocamentos virtuais a ser especificado deve ser cinematicamente admissível 
(ou cinematicamente compatível), ou seja: deve ser contínuo e derivável e ser suficientemente 
pequeno para ser consistente com a hipótese de pequenas mudanças de configuração, além disso deve 
atender às condições de prescrição de deslocamentos. 
As forças internas e externas são supostas constantes durante a aplicação do deslocamento 
virtual. 
Assim tem-se: 
 δWi = δWe 
onde δWi designa o trabalho virtual das forças internas (ou trabalho virtual interno) e δWe o trabalho 
virtual das forças externas (ou trabalho virtual externo). 
 Para um entendimento intuitivo da validade do princípio dos trabalhos virtuais para um sólido 
deformável, toma-se um sólido deformável submetido a um carregamento arbitrário e dividi-se em 
elementos de volume infinitesimais. 
 
sólido deformável 
dV 
sólido deformável dividido em 
volumes infinitesimais 
 
elementos interno e de 
contorno 
Estando o sólido em equilíbrio, cada um dos volumes infinitesimais também deve estar. 
Conforme já estudado anteriormente, no contato entre os elementos surgem tensões cujas resultantes 
são os esforços internos do sólido. 
R
m
m
R
 
No contato entre dois elementos internos os 
esforços internos se equilibram. 
Como o contato entre dois elementos internos está equilibrado, ao analisar o equilíbrio do 
sólido como um todo restam apenas as fronteiras de cada um dos elementos infinitesimais de contorno 
com a parte externa do sólido. Assim, ao somar todas as contribuições das tensões internas restarão as 
contribuições dos esforços internos na fronteira, que pelo equilíbrio de todos estes elementos 
infinitesimais de contorno deve cancelar a contribuição das forças externas atuantes nesta fronteira do 
sólido. 
 A partir de uma configuração de equilíbrio, atribui-se um campo de deslocamentos virtuais, 
que pode ser representado por uma variação admissível no campo de deslocamentos real. 
iu
idu
1.4.1 – Trabalho Virtual Interno em estruturas reticuladas 
O trabalho virtual será dado pelo produto entre o esforço interno e a variação de deslocamento 
a ele associado. 
 A seguir serão descritas a contribuição no trabalho virtual para um trecho 
infinitesimal de barra . 
( iWd δ )
dx
- esforço normal: 
dx
NN
du 
( ) NduWd Ni =δ 
→du deslocamento virtual 
→N esforço real 
- esforço cortante: 
Q
dx
yQy
dv
 
( ) dvQWd yQi y =δ 
→dv deslocamento virtual 
→yQ esforço real 
 
 
- momento fletor: 
dx
Mz Mz
dθ
 
( ) θ−=δ dMWd zMi z 
→θd deslocamento virtual 
→zM esforço real 
Obs: na equação da linha elástica o ângulo com tal 
curvatura entrando pela direita é negativo. 
- momento de torção: 
TT dφ
dx
 
( ) φ−=δ TdWd Ti 
→φd deslocamento virtual 
→T esforço real 
Obs: O sentido por nós adotado como positivo para 
T, é oposto ao sentido do positivo do ângulo de 
torção. 
Juntando a contribuição de todos os desforços, tem-se: 
( ) (∫∫ φ−θ−+=δ=δ
l
zy
l
ii TddMdvQNduWdW ) , sendo l o comprimento da barra em questão. 
1.4.2 – Método da Carga Unitária para o cálculo de deslocamentos 
Considere uma estrutura reticulada qualquer submetida a um carregamento externo e na qual 
se deseja conhecer um certo deslocamento δ . 
δ
A B
 
Campo de deslocamentos gerado pelo 
carregamento externo 
Pu
m δ
A B
 
Carga unitária na direção de e campo de 
deslocamentos virtuais sendo o campo de 
deslocamentos gerado pelo carregamento 
externo. 
δ
 O campo de deslocamentos desta estrutura atende todasas exigências de um campo de 
deslocamentos virtuais: é pequeno, contínuo e derivável e atende às vinculações externas da estrutura. 
Assim, posso considerar como campo de deslocamentos virtuais este campo de 
deslocamentos para no qual desejo conhecer δ . 
Em seguida considero a mesma estrutura submetida a uma carga unitária na direção do 
carregamento incógnita . Considerando o campo de deslocamentos da primeira estrutura como o 
campo de deslocamentos virtuais, o trabalho virtual externo realizado pela carga P
δ
u será dado por: 
δ=δ⋅=δ⋅=δ 1ue PW 
 Como pelo P.T.V. , o deslocamento que se quer conhecer é o trabalho virtual 
interno relativo à carga unitária e ao campo de deslocamentos (virtuais) gerado pelo carregamento 
externo. 
ie WW δ=δ
 Podemos relacionar as componentes do campo de deslocamentos virtuais com os esforços 
oriundos do carregamento externo: 
- deslocamento axial: 
dx
EA
Ndu
EA
N
dx
du ee =⇒= 
- deslocamento transversal: 
 dx
GA
Q
dv
GA
Q
dx
dv ey
e
y χ=⇒χ= 
- ângulo de flexão: 
( ) dx
EI
Md
EI
M
dx
dvd
dx
d
z
e
z
z
e
z −=θ⇒−==θ 2
2
 
- ângulo de torção: 
dx
GJ
T
d
GJ
T
dx
d
p
e
p
e
−=φ⇒−=φ 
O trabalho virtual interno é dado por: 
( )∫ φ−θ−+=δ
l
uu
z
u
y
u
i dTdMdvQduNW 
dx
GJ
TT
EI
MM
GA
Q
Q
EA
NNW
l p
e
u
z
e
zu
z
e
yu
y
e
u
i ∫ ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ++χ+=δ 
Sendo δWi = δWe : 
dx
GJ
TT
EI
MM
GA
QQ
EA
NN
l p
eu
z
e
z
u
z
e
y
u
y
eu∫ ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ++χ+=δ 
Dependendo do tipo de deslocamento a se determinar, escolhe-se a carga unitária adequada a 
se aplicar. A tabela a seguir, retirada de Sussekind [1], exemplifica alguns dos possíveis casos. 
 
Deslocamento a calcular δ Carga unitária a aplicar 
Deslocamento linear de um ponto m numa direção Δ 
~
Pu = 1
Δ
m
 
Rotação da tangente à elástica numa seção S 
~
S
Mu = 1
 
Rotação relativa das tangentes à elástica numa rótula, de 
duas barras i e j S
Mu = 1
~
Mu = 1
j
i
 
Rotação absoluta de uma corda AB 
B
A
~
Pu = 1
l
(AB = l)
Pu = 1
l
 
Rotação relativa entre duas cordas AB e CD 
~
Pu1 = 1
l1
(AB = l1)
Pu1 = 1
l1
Pu2 = 1
l2
Pu2 = 1
l2
A
(CD = l2)
B
C
D
 
Rotação relativa das tangentes à elástica em duas seções S e 
S’ de uma barra 
S
Mu = 1
~
S '
Mu = 1
 
Variação de comprimento de corda que une dois pontos A e 
B 
B
A
~
Pu = 1
Pu = 1
 
 Para utilizar a tabela, primeiramente deve-se analisar a forma de cada diagrama envolvido no 
cálculo do deslocamento em questão. É importante destacar que as tabelas podem ser utilizadas na 
integração de qualquer produto de duas funções polinomiais que constem na tabela utilizada (sejam 
estas funções a representação matemática de momentos fletores, esforços cortantes, esforços normais 
ou qualquer outro parâmetro). 
 As integrais podem ser resolvidas através do uso de tabelas de integração elaboradas com base 
nos diagramas de momentos mais comuns. 
 Vale salientar que a utilização das tabelas só será válida para o caso em que a rigidez da barra 
não varie ao longo de seu comprimento. 
 Para utilizar a tabela basta analisar a forma e o valor destacado na tabela das duas funções que 
se deseja calcular a integral do produto e utilizar o resultado correspondente ao “cruzamento” destas 
duas funções. 
- Utilização de tabelas de integração no cálculo de deslocamentos pelo método da carga unitária. 
 
 Tabela para o cálculo de ( ) ( )∫l
0
dxxMxM ue
 
M u
 
MuB
 
M uB
A
uM
 
M um
par. 2° grau 
uM B
tg. horiz.
par. 2° grau 
M uB
tg. horiz.
par. 2° grau
 αl βl
M u
 
eM
ueMM l uBeMM2
 l ( )uBuAe MMM +2 l umeMM l32 uBeMM l32 uBeMM l31 ueMM l21 
BM
e
 
ue
BMM2
 l uBeBMM3
 l ( )uBuAeB MMM 26 + l umeBMM l31 uBeBMM l125 uBeBMM l41 ( ) ueBMMα+161 l 
AM
e
 
ue
AMM2
 l uBeAMM6
 l ( )uBuAeA MMM +26 l umeAMM l31 uBeAMM l41 uBeAMM l121 ( ) ueAMMβ+161 l 
AM
e B
eM
 
( ) ueBeA MMM +2 l 
( ) uBeBeA MMM 26 + l
 
( ) ( )[ ]uBeBeAuAeBeA MMMMMM 226 +++ l
 
( ) umeBeA MMM + l31
 
( ) uBeBeA MMM 53121 + l ( ) uBeBeA MMM 3121 + l 
( ) ( )[ ] ueBeA MMM α++β+ 1161 l
 
M em
par. 2° grau 
ue
mMM l3
2 uBemMM l3
1 ( )uBuAem MMM +3 l umemMM l158 uBemMM l157 uBemMM l51 ( ) uemMMαβ+13
1
 l 
tg. horiz.
M eB
par. 2° grau 
ue
BMM l3
2 uBeBMM l12
5 ( )uBuAeB MMM 5312 + l umeBMM l157 uBeBMM l158 uBeBMM l103 ( ) ueBMM25121 β−β− l 
AM
e tg. horiz.
par. 2° grau 
ue
AMM l3
2 uBeAMM l4
1 ( )uBuAeA MMM 3512 + l umeAMM l157 uBeAMM l3011 uBeAMM l152 ( ) ueAMM25121 α−α− l 
BM
e
tg. horiz.
par. 2° grau
 
ue
BMM l3
1 uBeBMM l4
1 ( )uBuAeB MMM 312 + l umeBMM l51 uBeBMM l103 uBeBMM l51 ( ) ueBMM21121 α+α+ l 
MA
e
tg. horiz.
par. 2° grau
 
ue
AMM l3
1 uBeAMM l12
1 ( )uBuAeA MMM +312 l umeAMM l51 uBeAMM l152 uBeAMM l301 ( ) ueAMM21121 β+β+ l 
αl βl
M e
 
ueMM l
2
1 ( ) uBeMMα+1 l6
1 ( ) ( )[ ]uBuAe MMM α++β+ 11 l61 
( ) umeMMαβ+13
1
 l
 
( ) uBeMM25121 β−β− l
 
( ) uBeMM21121 α+α+ l
 
ueMM l
3
1 
 
	1. Fundamentos 
	1.1 – Introdução 
	1.2 – Estruturas isostáticas e hiperestáticas 
	1.2.1 – Estruturas Isostáticas 
	1.2.2 – Estruturas Hiperestáticas 
	1.3 – Métodos Clássicos de resolução de estruturas hiperestáticas 
	1.3.1 – Método das Forças 
	1.3.2 – Método dos Deslocamentos 
	1.4 – Princípio dos Trabalhos Virtuais (P.T.V.) para corpos deformáveis 
	1.4.1 – Trabalho Virtual Interno em estruturas reticuladas 
	1.4.2 – Método da Carga Unitária para o cálculo de deslocamentos