Exercícios de Revisão - P3 - Diferenciação Implícita

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EXERCÍCIOS DE REVISÃO – P3 
1) a) Encontre a aproximação linear local de 
  3 xxf 
 em 
640 x
. 
b) Use a aproximação linear local obtida em (a) para aproximar 
3 565,
. 
2) Encontre a aproximação linear local de 
   xxf cotg
 em 
4
0

x
. 
3) Encontre 
y
e 
dy
para os valores dados: 
a) 
1;0010;
2
1
2
 x,x
x
y
 
b) 
0;020;65 2  x,xxxy
 
c) 
1;10;
1
12



 x,x
x
x
y
 
4) Um terreno, em desapropriação para reforma agrária, tem a forma de um quadrado. Estima-se que 
cada um de seus lados mede 1.200 m, com um erro máximo de 
10
m. Usando diferencial, 
determine o possível erro no cálculo da área do terreno. 
5) Calcule 
dx
dy
 por diferenciação implícita: 
a) 
2522  yx
 
b) 
xyyx  33
 
c) 
0132 22  xxyy
 
d) 
  xyx  32
 
e) 
  2 yxxyln
 
f) 
1322  xyey x
 
6) Calcule 
2
2
dx
yd por diferenciação implícita: 
a) 
32 yx 
 b) 
1633  yx
 
7) Encontre uma equação da reta tangente à curva 
0922 33  xyyx
 no ponto 
 12,
. 
8) Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função f definida por 
 
2xexf 
 no ponto de 
abscissa 1. 
9) Use diferenciação logarítmica para calcular 
dx
dy
: 
a)  
 6
5
53
2



x
x
y
 
b)   21 22  xxy 
c) 2xxy  
d) 
  32
13



xx
x
y
 
10) Determine a derivada das seguintes funções: 
a) 
  xexf 5
 
b) 
  12
2  xxexf
 
c) 
  x,exf 0501030 
 
d) 
    xexxxf 62 53 
 
e) 
 
xe
x
xf 
 
f) 
   231 xexf  
g) 
   3xlnxf 
 
h) 
   252  xxlnxf
 
i) 
  xlnxxf 2
 
j) 
 
x
xln
xf 
 
l) 
  








1
1
x
x
lnxf
 
m) 
  xelnxf 2
 
n) 
  xexxf  2
 
o) 
  142  xxlnxf
 
p) 
 
 xln
x
xf
2

 
q) 
  






2
arcsen
x
xf
 
r) 
   xxxf 2arcsen
 
s) 
     xxxf 5arccossec5arcsec 
 
t) 
    2arctg xlnxf  
u) 
  24
2
arcsen4 xx
x
xf 






 
v) 
   xexf 32arccossec 
11) Obtenha os intervalos de crescimento e decrescimento das funções e determine os eventuais pontos 
de máximo e mínimo relativos: 
a) 
 
1
2
2 

x
x
xf
 c) 
 
2xexf 
 
b) 
  10
24
24

xx
xf
 d) 
  32xxf 
 
12) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão das funções: 
a) 
  32 24  xxxf
 b) 
  xxexf 
 
 Para as funções definidas de 13 a 15, pede-se: 
a) os intervalos nos quais f é crescente; 
b) os intervalos nos quais f é decrescente; 
c) os extremos relativos de f; 
d) os intervalos onde o gráfico é côncavo para cima; 
e) os intervalos onde o gráfico é côncavo para baixo; 
f) os pontos de inflexão; 
g) esboço do gráfico. 
13) 
  104 34  xxxf
 
14) 
   32 5 xxf 
15) 
  xxexf 
 
16) Estima-se que, daqui a t anos, a população de certo país será de 
  t,etP 02050
 milhões de 
habitantes. Qual será a taxa de variação da população daqui a 10 anos? 
17) Após t semanas do aparecimento de uma forma rara de gripe, aproximadamente 
 
t,e
tQ
21764
80


 milhares de pessoas pegaram gripe. Qual foi a taxa de expansão da epidemia, 
ao final da segunda semana? 
18) Determine a velocidade no instante t = 2 s de um móvel que se desloca segundo a equação horária 
    ttlnttS 23 
 (t em segundos e S em metros). 
19) Encontre os extremos absolutos das funções dadas no intervalo dado, se existirem: 
a) 
  123  xxxxf
 no intervalo 







2
1
2,
 
b) 
    322 xxf
 no intervalo 
 51,
 
c) 
   xlnxxf  210
 no intervalo  21 e, 
20) Um jardineiro deseja cercar um canteiro retangular com 600 cm de arame, dando 3 voltas. Quais as 
dimensões do canteiro para que ele tenha área máxima? Qual é a área máxima? 
21) Um novo refrigerante será lançado no mercado. Para isso, foi feito um contrato com uma indústria 
de embalagens, que deve fabricar recipientes cilíndricos em alumínio com capacidade de 400 cm
3
. 
Qual deve ser o raio R da base e a altura H de cada um desses recipientes cilíndricos de modo que a 
quantidade de alumínio utilizada para sua fabricação seja mínimo? 
 
RESPOSTAS: 
1) a) 
3
8
48
13
 xx
 b) 4,03125 2) 
 
2
2
2cotg

 xx
 
3) a) −0,000998; −0,001 b) −0,118; −0,12 c) −0,0789; −0,075 
4) 
00024.
 m2 
5) a) 
y
x
dx
dy

 b) 
xy
xy
dx
dy



2
2
3
3
 c) 
 xy
y
dx
dy
212
23 2



 d) 
 
2
23
1
2



yxdx
dy
 
 e) 
xxy
yxy
dx
dy



 f) 
xye
yey
dx
dy
x
x
32
2
2
22



 
6) a) 
5
23
2
2
9
86
y
xy
dx
yd 

 b) 
5
43
2
2 22
y
xxy
dx
yd 

 
7) 
2
3
4
5
 xy
 8) 
e
x
e
y
32



 
9) a) 
 
 











53
18
2
5
53
2
6
5
xxx
x
dx
dy
 b) 
   









21
21
22
22
x
x
x
x
xx
dx
dy
 
 c) 
 xlnxxx
dx
dy x 2
2

 d) 
 
     













32
1
2
1
13
1
32
13
xxxxx
x
x'f
 
10) a) 
  xex'f 55
 b) 
    12
2
22  xxexx'f
 c) 
  x,e,x'f 05050 
 
 d) 
    xexxx'f 62 33206 
 e) 
 
xe
x
x'f


1
 f) 
   xx eex'f 316 
 
 g) 
 
x
x'f
3

 h) 
 
25
52
2 


xx
x
x'f
 i) 
   xlnxx'f 21
 
 j) 
 
2
1
x
xln
x'f


 l) 
 
  11
2



xx
x'f
 m) 
  2x'f
 
 n) 
    xexxx'f  22
 o) 
 
14
2
2 


xx
x
x'f
 p) 
   
  22
12
xln
xln
x'f


 
 q) 
 
24
1
x
x'f


 r) 
   x
x
x
x'f 2arcsen
41
2
2



 s) 
  0x'f
 
 t) 
 
   24 arctg1
2
xx
x
x'f


 u) 
 
2
2
x-4
28 x
x'f


 v) 
 
14e
3
6x 

x'f
 
11) a) crescente em 
 1;1
 decrescente em 
 1; 
 e 
 ;1
 
 ponto máximo relativo 
 1,1
 ponto mínimo relativo 
 1,1 
 
 b) crescente em 
 0;1
 e 
 ;1
 decrescente em 
 1; 
 e 
 1;0
 
 ponto máximo relativo 
 10,0
 pontos mínimo relativos 







4
39
,1
 e 






4
39
,1
 
 c) crescente em 
 0;
 decrescente em 
 ;0ponto máximo relativo 
 1,0
 não tem ponto mínimo relativo 
 d) decrescente em 
  ;
 
 não tem ponto máximo nem mínimo relativo 
12) a) concavidade para cima em 









3
3
;
 e 








;
3
3
 concavidade para baixo em 









3
3
;
3
3
 
 pontos de inflexão 









9
22
,
3
3
 e 








9
22
,
3
3
 
 b) concavidade para cima em 
 2;-
 concavidade para baixo em 
 2; 
 
 ponto de inflexão 
 22,2  e
 
13) a) crescente em 
 ;3
 b) decrescente em 
 3;
 
 c) não tem ponto máximo relativo 
 ponto mínimo relativo 
 17,3 
 
 d) concavidade para cima em 
 0;
e 
 2;
 
 e) concavidade para baixo em 
 2;0
 
 f) pontos de inflexão 
 10,0
 e 
 6,2 
 
14) a) crescente em 
 ;0
 b) decrescente em 
 0;
 
 c) não tem ponto máximo relativo ponto mínimo relativo 
 125,0 
 
 d) concavidade para cima em 
 5; 
, 
 11;-
 e 
 ,5
 
 e) concavidade para baixo em 
 1;5 
 e 
 51;
 
 f) pontos de inflexão 
 0,5
; 
 64,1 
; 
 64,1 
 e 
 0,5
 
 
 
 
 
 
15) a) crescente em 
 1;
 b) decrescente em 
 ;1
 
 c) ponto máximo relativo 






e
1
,1
 não tem ponto mínimo relativo 
 d) concavidade para cima em 
 ;2
 
 e) concavidade para baixo em 
 2;
 
 f) ponto de inflexão 






2
2
,2
e
 
 
 
 
 
16) 1,22 milhões de habitantes/ano 
17) 5,576 milhares de pessoas/semana 
18) 
2
27
v
 m/s 
19) a) máximo absoluto: 
  21 f
 mínimo absoluto: 
  12 f
 
 b) máximo absoluto: 
  3 95 f
 mínimo absoluto: 
  02 f
 
 c) máximo absoluto: 
  eef 10
 mínimo absoluto: 
  02 ef
 
20) quadrado de lado 50 cm e a área máxima é de 2500 cm
2 
21) 
993,R 
cm 
997,H 
cm 
g) 
g) 
g)