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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ
INSTITUTO DE FÍSICA E QUÍMICA
Experimento de Pêndulos Acoplados
 Arian Rodrigues Batista - 21441 Pedro Silva Lourenço - 24766
Resumo:
Este trabalho abordará um experimento executado em laboratório que tem por finalidade o estudo do movimento de pêndulos acoplados, constituído por um sistema de massas presas a fios de nylon conectados por molas. O movimento de um sistema acoplado pode ser caracterizado como um conjunto de osciladores harmônicos unidos por uma mola quando o ângulo do movimento em relação a reta normal for suficientemente pequeno. Neste experimento, foram efetuadas medidas de movimento de oscilações de pêndulos duplos e triplos acoplados. Para a execução de tal experimento foi preso, com fios de nylon de mesmo comprimento, duas massas a uma mola, passando o sistema a oscilar em um 1º e 2º modo normal, para pêndulos duplos acoplados. Para o pendulo triplo acoplado, adicionou-se mais uma massa as outras duas, utilizando outra mola e foi observado o sistema oscilar de acordo com o 1º, 2º e 3º modo normal de vibração. Com as medidas obtidas no experimento, calcularam-se as frequências de oscilação que foram comparadas com valores experimentais e teóricos, calculados de acordo com o formalismo de Lagrange.
Palavras - chave: Osciladores, Modos normais e Pêndulos acoplados.
Abstract: 
This work will address an experiment performed in a laboratory which aims to study the coupled pendulum motion, consisting of a system of masses attached to nylon thread attached by springs. The motion of a coupled system maybe characterized as a set of harmonic oscillators together by a spring when the movement angle to the normal line is sufficiently small. In this experiment, motion measures of double pendulum swings and coupled triple were made. For the execution of the experiment was arrested with the same length nylon yarn, two masses to a spring, from the system to oscillate in a normal mode 1 and 2, for coupled double pendulums. For a system shaped for triple connected pendulum a new mass was added to the other two, using another coil spring and noted the system oscillates according to the 1st, 2nd and 3rd normal mode of vibration. With the measurements obtained in the experiment, we calculated the frequencies of oscillation and compared them with experimental and theoretical values calculated by the Lagrange formalism.
Keywords: oscillators, normal modes and coupled pendulums, engaged
Introdução
O movimento retilíneo de uma massa m presa a uma mola de constante k é governado pela equação diferencial
Se a massa for solta com x(0) e (0) não nulos simultaneamente, efetuará oscilações harmônicas com freqüência angular ω dada por
Ou alternativamente, por
Sendo que a convenção implícita de que a parte real de x será identificada com a solução real. Este é um exemplo de oscilações de um sistema com um grau de liberdade. O estado do sistema pode ser descrito por uma única função
representando a coordenada da massa m.
Movimentos oscilatórios semelhantes podem ser também observados em sistemas com vários graus de liberdade. Neste experimento concentraremos nossas atenções aos pêndulos duplo e triplo acoplados. 
Construiremos o conjunto de equações diferenciais que descrevem o movimento do sistema para o pendulo duplo e triplo. 
Figura 1: Pêndulo duplo acoplado Figura 2: Pêndulo triplo acoplado
1.1 Pêndulo Duplo: 
Para o pêndulo duplo, considere dois pêndulos com hastes leves, de comprimento l e de massas iguais a m ligadas por uma mola (figura 1). Coordenadas convenientes para descrever a configuração do sistema são os ângulos θ1 e θ2. A equação de movimento de cada pêndulo é
em que I é o momento de inércia (I=ml2), e N é o momento em torno do ponto de suspensão. Se os deslocamentos angulares θ1 e θ2 forem pequenos e fizermos as aproximações usuais.
Então,
o que conduz ao sistema de equações diferenciais acopladas:
Pode-se deduzir diretamente estas equações por meio das equações lagrangianas do movimento. Se qi (i = 1, 2, ..., n) são as coordenadas generalizadas que descrevem a configuração de um sistema (com n graus de liberdade), então seu movimento é dado por n equações diferenciais do tipo
em que L é o lagrangiano do sistema. Para sistemas conservativos, o lagrangiano pode ser considerado como a diferença entre as energias cinéticas e potenciais:
L = T – V
No caso do pêndulo duplo (n = 2), as coordenadas generalizadas podem ser escolhidas como θ1 e θ2. A energia cinética é então,
e a energia potencial é
Os dois primeiros termos representam as energias potenciais gravitacionais das duas massas (em relação à terra) e o terceiro termo representa a energia potencial elástica da mola.
Usando álgebra elementar, a expressão acima pode ser transformada para obtermos sua forma convencional:
Este é um exemplo das chamadas formas quadráticas. Observe que a energia cinética T é também representada por uma forma quadrática nas variáveis é diagonal. A Energia potencial V não é uma forma diagonal devido a presença do termo . Este termo é responsável pelo acoplamento entre os pêndulos, pois se tivesse ausente, o sistema resultante ( veja abaixo) se reduziria a duas equações diferenciais independentes. Temos, assim, o caso do acoplamento estático, em que o acoplamento aparece em V, mas não em T. Aplicando as expressões da lagrangiana, obtemos as equações do movimento.
Substituindo nas equações lagrangianas, obtemos as equações do movimento (após cancelar l) da mesma forma que antes:
Não é difícil localizar o efeito do termo cruzado que aparece na forma quadrática de V sobre o acoplamento das duas equações diferenciais.
Procuramos as soluções harmônicas simples
que conduzem a um sistema algébrico linear 2 x 2:
Cujo determinante deve se anular,
Obtendo tais freqüências características: 
As relações de fase correspondentes são obtidas após substituir ω1 e ω2 nas equações diferenciais.
Um sistema de pêndulos acoplados acontece quando o movimento de um deles influencia no movimento do outro. Isso reflete na forma matemática, ou seja, a equação diferencial satisfeita por θ1 depende de θ2 e vice e versa. 
No primeiro modo, a mola nunca sofre alongamentos e ambos os pêndulos se movem como se estivessem livres. No segundo modo, a mola sofre a deformação máxima para uma dada amplitude de vibrações.
Figura 3: Modos normais do pêndulo duplo acoplado.
1.2 Pêndulo Triplo: 
De modo análogo ao que foi feito para o pêndulo duplo, vamos deduzir o sistema de equações diferenciais, à partir da lagrangiana de um sistema de três pêndulos acoplados, conforme figura 4.
Para isso consideramos três pêndulos de massas m1, m2 e m3, e com o mesmo comprimento l. As massas m1 e m2 estão acopladas por uma mola 1 de constante k1 e as massa m2 e m3 estão acopladas por uma mola 2 de constante k2. 
Figura 4: Pêndulo triplo acoplado
Partindo do princípio que o lagrangiano pode ser considerado como a diferença entre as energias cinéticas (T) e potenciais (V), temos:
L = T – V
Da mesma forma encontramos a seguinte equação para a energia cinética T:
Da mesma forma chegamos a equação que representa a energia potencial (V), do pêndulo triplo acoplado:
Onde os três primeiros termos representam as energias potenciais gravitacionais das duas massas (em relação à terra) e os dois últimos termos representam as energias potenciais elástica da mola.
Usando álgebra elementar, a expressão acima pode ser transformada para obtermos sua forma convencional:
A partir das equações encontradas, calculam-se os termos do lagrangeano.
Então, substituindoestes termos na equação, obtém-se:
As soluções harmônicas simples são dadas por:
Assim, conduzem o sistema algébrico linear 3x3:
 
Cujo determinante deve se anular,
Fazendo m1=m2=m3=m e w1=w2=w3=w e k1=k2=k, temos:
Dessa maneira, encontramos as seguintes freqüências para o polinômio gerado da determinante, para o pêndulo triplo:
	As relações de fase correspondente são obtidas após substituir w1,w2 e w3 no w da determinante acima.
Para w1 obtemos:
Figura 5 - Primeiro modo do pendulo triplo acoplado.
Para w2 obtemos:
 
Figura 6 - Segundo modo do pêndulo triplo acoplado
Para w3 obtemos:
Figura 7 - Terceiro modo do pêndulo triplo acoplado.
Objetivos
O experimento com pêndulos tem por finalidade analisar os modos normais de oscilação de pêndulos acoplados e o fenômeno de batimento, além disso, determinar os fatores de acoplamento por distintos métodos. 
Material Utilizado:
Três fios de nylon do mesmo comprimento e um carretel de fio de nylon e tesoura;
Três esferas de mesma massa com adaptadores para molas nas laterais e em cima para fixar o fio de nylon;
Suporte com hastes para fixar os pêndulos;
Dois cronômetros;
Uma régua de um metro;
Duas molas de constante elástica pequena de 10,5cm de comprimento.
Uma balança;
Um dinamômetro graduado em newtons;
Nível de bolha;
Paquímetro;
Trena de cinco metros;
Câmera.
Procedimento Experimental:
1.Utilizamos a balança para medir as massas fornecidas.
2. Preparamos três fios de nylon de mesmo comprimento e amarramos à massa fornecida ao suporte de forma a que as massas fiquem da mesma altura.
3. Determinamos a constante elástica das molas fornecidas.
4. Preparamos o sistema de pêndulos acoplados duplo de acordo com a figura 2.
5. Desviamos levemente os pêndulos tentando reproduzir o primeiro modo normal definido na introdução deste experimento. Tivemos o cuidado de deixar os pêndulos oscilarem sempre em fase. Com o cronômetro, medimos o tempo de 10 oscilações. Repetimos esta contagem de tempo pelo menos 5 vezes, alterando levemente a amplitude de oscilação entre cada medida.
6. Desviamos levemente os pêndulos tentando reproduzir o segundo modo normal definido na introdução deste experimento. Fizemos com que os pêndulos oscilassem em sentidos opostos, isto é, em oposição de fase. Com o cronômetro, medimos o tempo de 10 oscilações e repetimos esta contagem de tempo pelo menos 5 vezes, alterando-se levemente a amplitude de oscilação entre cada medida.
7. Desviamos ligeiramente um dos pêndulos da posição de equilíbrio. No instante que o largamos, iniciou-se a contagem de tempo e, ao mesmo tempo, contamos o número de oscilações na medida em que a amplitude foi diminuindo. Simultaneamente, medimos o intervalo de tempo entre os mínimos da amplitude.
8. Com base no que foi desenvolvido na introdução deste experimento, deduzimos o sistema de equações diferenciais, a partir da lagrangiana de um sistema de três pêndulos acoplados.
9. Resolvemos o sistema e encontramos os seus modos normais.
10. Preparamos o sistema de pêndulos acoplados triplo.
11. Desviamos levemente os pêndulos tentando reproduzir o primeiro modo normal. Com o cronômetro, medimos o tempo de 10 oscilações e repetimos esta contagem de tempo pelo menos 5 vezes, alterando-se levemente a amplitude de oscilação entre cada medida.
12. Repetimos o procedimento 11 para o segundo e terceiro modos normais.
13. Realizamos dois tipos diferentes de movimentos que resultaram da combinação de mais de um modo normal. Analogamente ao item 7, no instante que iniciou o movimento misto, iniciou-se a contagem de tempo e, ao mesmo tempo, contou-se o número de oscilações na medida em que a amplitude vai diminuindo. Simultaneamente, mediu-se o intervalo de tempo entre os mínimos da amplitude.
Análise de dados: 
Massas das esferas: 
Para a realização do experimento primeiramente enumeramos as esferas e em seguida medimos sua massa com o auxilio da balança. Utilizou-se a esfera 1 e 2 para o experimento do pêndulo duplo e adicionou a esfera 3 ao conjunto para o experimento do pêndulo triplo. 
m1= 135,30g
m2 = 134,80g
m3=134,80g
Média das massas:m = 134,90 ± 0,05g
Para essas medidas consideramos alguns erros: 
Imprecisão das medidas;
Paralaxe; 
Tomamos como menor incremento da balança como 0,05g. 
Comprimento dos fios:
Cortamos os fios de tal modo que seu comprimento ficasse do mesmo tamanho, l = 96,50 cm, onde consideramos apenas a interpolação da régua para a determinação da incerteza 0,05. 
l = 96,50 cm ± 0,05 cm
5.3 Constantes elásticas: 
Pela Lei Hooke temos que F=k.∆x, onde F é a força elástica, k é a constante elástica e ∆x é a deformação da mola. Seguimos a experiência calculando a constante elástica da mola, K. Nesta etapa foram utilizadas duas molas, também enumeradas, que apresentavam diferenças consideráveis com relação as suas deformações. Então, optamos por substituirmos as molas até que os valores de deformação da mola 1 fosse tal qual a mola 2.Para encontrarmos a deformação das molas utilizamos uma massa teste, que uma vez colocada presa a mola era possível medir tal deformação,obtendo-se x1= 10,5cm e x2= 10,5cm. A massa dessa massa teste m=10,80g, onde seu peso é P=0,11 N. Fazendo a equivalência de P=F, obtemos, m.g = k.x , logo a constante elástica da mola obtida é:
Pêndulo duplo acoplado: 
Para o primeiro e o segundo modo normal, descrito na introdução deste relatório, repetimos 5 vezes as medidas para o tempo de 10 oscilações conforme descrito no procedimento experimental (itens 5 e 6). Feito isso, calculamos a média e o desvio padrão e seu respectivo período para cada modo normal Os erros foram definidos pelo limite do erro estatístico, encontrado por L.E.E.= 
Tabela 1: Tempo de Oscilação e Período do 1º Modo Normal 
	Modo 1
	Tempo de oscilação (s)
	Período (s)
	1
	18,12 ± 0,07
	1,81 ± 0,01
	2
	18,14 ± 0,07
	1,81 ± 0,01
	3
	18,12 ± 0,07
	1,81 ± 0,01
	4
	18,12 ± 0,07
	1,81 ± 0,01
	5
	18.00 ± 0,07
	1,80 ± 0,01
	Média
	18,10 ± 0,07
	1,81 ± 0,01
	Desvio Padrão
	0,05
	0,01
Segue abaixo o gráfico referente ao primeiro modo normal para o pêndulo duplo.
Tabela 2: Tempo de Oscilação e Período do 2º Modo Normal 
	Modo 2
	Tempo de oscilação (s)
	Período (s)
	1
	10,09 ± 0,05
	1,01 ± 0,01
	2
	9,97 ± 0,05
	1,00 ± 0,01
	3
	10,06 ± 0,05
	1,01 ± 0,01
	4
	10,01 ± 0,05
	1,00 ± 0,01
	5
	10,04 ± 0,05
	1,00 ± 0,01
	Média
	10,03 ± 0,05
	1,00 ± 0,01
	Desvio Padrão
	0,04
	0,01
	
	Segue abaixo o gráfico do segundo modo normal para o pêndulo duplo.
	
Para que pudéssemos comparar os resultados teóricos das freqüências com as equações encontradas a partir do Lagrangiano, fizemos os cálculos para cada uma delas utilizando as seguintes relações: 
Equação experimental: 
 
Equações teóricas: 
Tabela 3: Frequências teórica e experimental do 1º e 2º modo normal do Pêndulo Duplo: Valores comparativos
 
	
	1° Modo normal
	2° Modo normal
	Freqüência teórica (rad/s)
	3,22
	7,09
	Freqüência Experimental (rad/s)
	3,22
	5.06
	Desvio relativo
	0.2%
	4.06%
Pêndulo triplo acoplado: 
Repetimos o mesmo procedimento adotado para o pêndulo duplo, adicionando mais uma massa, como foi descrito em Procedimento Experimental (item 10 à 13). 
 Tabela 4: Tempo de Oscilação e Período do 1º Modo Normal do Pendulo triplo acoplado
	Modo 1
	Tempo de oscilação (s)
	Período (s)
	1
	19,51±0,03
	1,951±0,03
	2
	19,52±0,03
	1,952±0,03
	3
	19,52±0,03
	1,952±0,03
	4
	19,54±0,03
	1,954±0,03
	5
	19,55±0,03
	1,955±0,03
	Média
	19.53±0,03
	1,953±0,03
	Desvio Padrão
	0,02
	0,02
Tabela 5: Tempo de Oscilação e Período do 2º Modo Normal do Pendulo triplo acoplado
	Modo 2
	Tempo de oscilação (s)
	Período (s)
	1
	15,62±0,02
	1,562±0,022
	15,67±0,02
	1,567±0,02
	3
	15,64±0,02
	1,564±0,02
	4
	15,64±0,02
	1,564±0,02
	5
	15,66±0,02
	1,566±0,02
	Média
	15,65±0,02
	1,565±0,02
	Desvio Padrão
	0,02
	0,02
Como explicado no item Processo experimental (subitem 13), a partir da contagem de tempo e oscilações podemos montar a seguinte tabela para o 3º Modo Normal. 
Tabela 6: Tempo total do movimento em relação média do intervalo mínimo de amplitude e o número de oscilações para o 3º modo normal do Pêndulo Triplo Acoplado
	Numero de oscilação
	Tempo total (s)
	Média do intervalo mínimo de Amplitude (s)
	Período (s)
	10,0
	12,11±0,03
	0,27±0,02
	1,211±0,01
	10,0
	12,14±0,03
	0,25±0,02
	1,214±0,01
	10,0
	12,10±0,03
	0,27±0,02
	1,210±0,01
		Média:	
	12,12±0,03
	0,26±0,02
	1,212±0,01
	Desvio padrão:
	0,02
	0,01
	0,01
Podemos comparar valores de resultados experimentais e teóricos a partir das relações abaixo. A partir do Lagrangiano obtemos as expressões para o calculo experimental da freqüência de oscilação dos três modos normais, que comparamos com a equação experimental. 
Equação experimental: 
 
Equações teóricas:
 Modo normal 1	
Modo Normal 2 	
Modo Normal 3	
Tabela 9: Frequências teórica e experimental do 1º, 2º e 3º modo normal do Pêndulo Triplo : Valores comparativos
	
	1º Modo Normal
	2º Modo Normal
	3º Modo Normal
	Freqüência teórica (rad/s)
	3,22
	4,24
	5,76
	Freqüência Experimental (rad/s)
	3.23
	4,02
	5,19
	Desvio relativo
	0,3%
	5%
	9%
5.5 O comportamento de θ
	O comportamento de θ em função do tempo para cada modo normal é dada pela relação: 
Que pode ser escrita também como: 
Os gráficos do ângulo θ em função do tempo resultam em uma função cosenoidal. A partir de relações trigonométricas, podemos escrever a equação como sendo:
Sendo Ki a amplitude da oscilação e uma constante que pode ser determinada pelas condições iniciais do movimento. Como para o primeiro modo normal de vibração, as amplitudes de , e são máximas e iguais a K1 no instante inicial (t = 0 s). Isso significa que neste instante. Portanto 
Gráfico 1: 1º Modo Normal do pêndulo triplo
	Os gráficos do ângulo θ em função do tempo resultam em uma função cosenoidal. Para o modo normal 1 o período de oscilação é de 1,28s. Foi adotado para o ângulo máximo o valor de 4o, deslocamento inicial estimado. Para o modo normal 2 o período foi de 1,82s com o mesmo ângulo máximo
De modo análogo pode-se proceder para o segundo e para o terceiro modo normal de vibração, obtendo-se:
Gráfico 2: 2º Modo Normal do pêndulo triplo
Para o terceiro modo normal de vibração.
Gráfico3:3º Modo Normal do pêndulo triplo
Conclusão: 
A experiência teve como objetivo calcular e analisar os modos normais dos Pêndulos Acoplados Duplos e Triplos com os valores teóricos e experimentais. Os resultados obtidos para as freqüências de oscilação de cada modo normal, comparando-se com os valores teóricos esperados, demonstraram um pequeno erro. Estes erros podem ser justificados principalmente pelo pequeno movimento lateral do sistema onde pode ter havido perda de energia. Visto que todos os cálculos teóricos foram baseados no movimento exclusivamente no plano este fato pode ter contribuído para a não concordância exata dos valores. Outros fatores de menor influência também podem ser considerados: com relação ao fio de fixação das massas pode ter ocorrido o estiramento e um pequeno deslizamento na haste do suporte das massas. Ambos de difícil estimação com os materiais e métodos utilizados. Quanto ao modo misto foi observado o fenômeno da modulação, onde a menor freqüência limita a amplitude da freqüência de maior oscilação. Este movimento é bastante complexo mas exibe uma periodicidade muito regular em todos os três casos analisados.
Referências Bibliográficas :
RESNICK R. & HALLIDAY D. Física Vol. 2. Rio de Janeiro 1973.Livros Técnicos e científicos Editora S.A
BUTKOV, Eugene. Física Matemática. Rio de Janeiro 1978. Editora Guanabara Dois S.A.
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