Análise de Circuitos Elétricos e Eletrônicos - Parte 1

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Apostila
Análise de Circuitos Elétricos e
Eletrônicos
2014-2
Informática Industrial – Análise de Circuitos Elétricos e Eletrônicos
Profa.Luciana Faletti Almeida – UnED Maria da Graça
Prof. Paulo Henrique Werly Gualberto – UnED Nova Friburgo
Introdução à Eletricidade
1. O que é eletricidade?
Todos os efeitos da eletricidade podem ser explicados e previstos, se considerarmos a
existência de uma partícula minúscula chamada elétron.
Essa teoria eletrônica afirma que todos os efeitos elétricos e eletrônicos são devidos ao
movimento de elétrons de um lugar para outro, ou a existência de mais ou menos elétrons em
um determinado lugar.
1.1. Matéria
A matéria é aquilo que existe, que ocupa lugar no espaço e tem massa. É sempre
constituída de partículas elementares com massa não nula (como os átomos, em escala menor,
os prótons, elétrons e nêutrons);
Exemplo: água, madeira, ferro, petróleo, ar, etc.
1.2. Átomo
É a unidade fundamental da matéria, constituindo a menor partícula de um elemento. 
O átomo é composto de um núcleo central contendo prótons (com carga positiva), e
nêutrons (sem carga). Elétrons (com carga negativa e massa insignificante) revolvem em
torno do núcleo em diferentes trajetórias imaginárias chamadas órbitas.
Figura 1. Estrutura de um átomo.
1.3. Molécula
Uma molécula é formada quando átomos do mesmo ou de diferentes elementos se
combinam através de uma forte ligação.
Para separar os átomos de uma molécula é necessário uma quantidade razoável de
energia.
Exemplo: molécula da água = H2O – dois átomos do elemento hidrogênio e um átomo do
elemento oxigênio.
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1.4. Resumo
 Molécula = combinação forte de dois ou mais átomos
 Átomo = menor partícula física em que se pode dividir um elemento.
o Núcleo = parte pesada do átomo carregada positivamente, em torno do qual
giram os elétrons.
o Nêutron = partícula neutra e pesada do núcleo, composta por um próton e um
elétron.
o Próton = partícula pesada carregada positivamente.
o Elétron = pequena partícula que gira em torno do núcleo, carregada
negativamente e praticamente sem peso.
 Elétrons presos = elétrons da órbita interna de um átomo, que dificilmente poderão ser
retirados da mesma.
 Elétrons livres = elétrons das órbitas externas do átomo, facilmente removível.
 Eletricidade = efeito do movimento de elétrons de um ponto para outro, ou efeito
causado pelo excesso ou falta de elétrons em um material.
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Princípios da Eletrostática
2. Carga elétrica
Os elétrons circulam ao redor do núcleo de um átomo, e são mantidos nas suas órbitas
pela ação da carga positiva do núcleo. Quando se pode forçar o elétron a sair de sua órbita, a
ação deste elétron passará a ser conhecida pelo nome de eletricidade.
Os elétrons que forem retirados de suas órbitas, sob uma ação qualquer, causarão uma
falta de elétrons no lugar de onde saíram, e um excesso de elétrons no ponto que atingirem. O
excesso de elétrons em uma substância é chamado de carga negativa. A falta de elétrons em
uma substância é chamada de carga positiva.
A existência dessas cargas é conhecida como eletricidade estática. Para originar uma
carga positiva ou negativa, o elétron terá que se movimentar, enquanto os prótons no núcleo
permanecem imóveis.
Qualquer material que apresente uma carga positiva terá seu número normal de
prótons no núcleo e falta de elétrons.
No material carregado negativamente, teremos excesso de elétrons.
Figura 2. Corpos carregados.
A carga elétrica fundamental é simbolizada pela letra q e sua unidade de medida é o
Coulomb [C]. Normalmente a carga elétrica de um elétron é representada pela letra e e a carga
elétrica do próton é representada pela letra q.
O módulo da carga elétrica de um próton e de um elétron vale: q = 1.6X10-19.
Assim, a carga Q de um corpo pode ser calculada multiplicando-se a carga q de um
elétron pelo número de elétrons inseridos ou retirados. 
Q = n.q
2.1 Atração e Repulsão de Cargas
Quando os corpos se apresentam carregados de eletricidade estática, eles se
comportam de modo diferente do normal.
Quando se coloca uma esfera carregada positivamente, próximo à outra carregada
negativamente, elas se atrairão mutuamente.
Se as cargas forem suficientemente grandes e as esferas leves e tiverem liberdade de
movimento, elas entrarão em contato.
Assim, cargas opostas se atraem e cargas iguais se repelem.
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2.2 Descargas das cargas estáticas
Sempre que dois corpos carregados com cargas opostas são colocados próximos, o
excesso de elétrons do corpo carregado negativamente será atraído na direção do corpo
carregado positivamente.
Unindo-se os dois corpos por um fio, estamos oferecendo um caminho para os elétrons
da carga negativa se deslocarem em direção a carga positiva, e então as cargas se equilibrarão.
Ao invés de ligarmos os corpos por um fio podemos encostá-los (contato) e outra vez
as cargas se equilibrarão. 
Se aproximarmos corpos com cargas elevadas, os elétrons poderão pular da carga
negativa para a carga positiva, antes dos dois corpos entrarem em contato. Nesse caso,
veremos de fato a descarga sob forma de um arco.
2.3 Condutores e isolantes
Quando vários átomos se reúnem para formar certos sólidos, como por exemplo,
metais, os elétrons das orbitais mais externas não permanecem ligados aos respectivos
átomos, adquirindo liberdade de se movimentar no interior do sólido.
Esses elétrons são denominados elétrons livres, e materiais que possuem esse tipo de
elétron, permitem o transporte de carga elétrica através dele, sendo chamados de condutores
de eletricidade.
Ao contrário dos condutores, existem sólidos nos quais os elétrons estão firmemente
ligados aos respectivos átomos, essas substâncias não possuem elétrons livres.
Assim, não será possível o deslocamento de carga elétrica através desses corpos, que
são denominados isolantes elétricos ou dielétricos.
2.4 Processos de Eletrização
 Eletrização por atrito = atritando dois materiais isolantes diferentes, o calor gerado
pode ser suficiente para transferir elétrons de um material para outro, ficando ambos
os materiais eletrizados, sendo um positivo (o que cedeu elétrons) e outro negativo (o
que recebeu elétrons);
 Eletrização por contato = se um corpo eletrizado negativamente é colocado em
contato com outro neutro, o excesso de elétrons do corpo negativo será transferido
para o neutro até que ocorra o equilíbrio eletrostático. Assim, o corpo neutro fica
eletrizado negativamente.
 Eletrização por indução: 
o Aproximando-se um corpo eletrizado positivamente de um corpo condutor
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Figura 3. Atração e Repulsão.
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neutro isolado, seus elétrons livres serão atraídos para a extremidade mais
próxima do corpo positivo.
o Dessa forma o corpo neutro fica polarizado, ou seja, com excesso de elétrons
em uma extremidade (pólo negativo) e falta de elétrons na outra (pólo
positivo).
o Aterrando o pólo positivo desse corpo, ele atrairá elétrons da terra, até que essa
extremidade fique novamente neutra.o Desfazendo o aterramento e afastando o corpo com carga positiva, o corpo
inicialmente neutro fica eletrizado negativamente.
Figura 4. Eletrização por Indução.
3. Campo Elétrico
Uma carga cria ao seu redor um campo elétrico E, que pode ser representado por
linhas de campo radiais orientadas, uma vez que é uma grandeza vetorial, sendo que a sua
unidade de medida é Newton/Coulomb [N/C].
Figura 5. Campos Convergentes e Divergentes.
 Se a carga é positiva o campo é divergente, isto é, as linhas de campo saem da carga;
 Se a carga é negativa o campo é convergente, isto é, as linhas de campo chegam à
carga;
A intensidade E do campo elétrico criado por uma carga Q é diretamente proporcional
à intensidade dessa carga e da constante dielétrica do meio K, e é inversamente proporcional
6
+ +
+ +
+ +
+
+
++
-
-
-
- -
-
--
--
--
--
--
--
--
--Corpo Eletrizado Positivamente
Corpo Eletrizado Negativamente
Corpo Neutro Polarizado 
Eletrizando-se Negativamente
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ao quadrado da distância d entre a carga e o ponto considerado.
E= K⋅Q
d 2
Onde:
 K = 9x109 N.m2/C2 (no vácuo e no ar)
 Q = módulo da carga elétrica, em Coulomb [C].
 d = distância, em metro [m].
3.1 Comportamento das Linhas de Campo
Quando duas cargas de sinais contrários estão próximas, as linhas de campo
divergentes da carga positiva tendem a convergir para a carga negativa. Força de atração entre
as cargas.
Quando duas cargas de mesmos sinais estão próximas, se elas são positivas, as linhas
de campo são divergentes para ambas as cargas, e se elas são negativas as linhas de campo são
convergentes para ambas as cargas. Força de repulsão entre as cargas.
Figura 6. Linhas de Campo.
Quando duas placas paralelas são eletrizadas com cargas de sinais contrários, surge 
entre elas um campo elétrico uniforme, caracterizado por linhas de campo paralelas.
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Figura 7. Campo Uniforme.
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3.2 Força Elétrica
Consideremos uma região submetida a um campo elétrico E uniforme. Colocando uma
carga Q num ponto dessa região, essa carga ficará sujeita a uma força F, cuja unidade de
medida é newton [N] e cujo módulo pode ser calculado por: 
F = Q.E
Onde:
 Q = módulo da carga elétrica em Coulomb [C];
 E = módulo do campo elétrico, em newton/Coulomb [N/C];
 Se a carga é positiva a força age no mesmo sentido da linha de campo.
 Se a carga é negativa a força age no sentido contrário ao da linha de campo.
Na realidade, essa força que age na carga é de atração ou repulsão entre Q e a carga 
geradora desse campo elétrico.
3.3 Lei de Coulomb
Como decorrência do estudo do campo elétrico gerado por uma carga e da força que
surge em outra carga colocada nesse campo, pode-se deduzir a expressão que nos dá o módulo
da força de atração ou de repulsão entre duas cargas elétricas, devido à interação dos seus
campos elétricos.
Essa expressão é denominada Lei de Coulomb:
F=
K⋅QA⋅QB
d 2
Onde:
 K = 9x109 N.m2/C2 (no vácuo e no ar)
 QA e QB = módulos das cargas, em Coulomb [C]
 d = distância, em metro [m]
4. Potencial Elétrico
Vimos que em uma região submetida a um campo elétrico, uma carga fica sujeita a
uma força, fazendo com que ela se movimente.
Isto significa que em cada ponto dessa região existe um potencial para realização de
trabalho, independente da carga ali colocada.
O símbolo do potencial elétrico é V e a sua unidade de medida é o volt [V].
Na realidade, esse potencial depende da carga Q geradora do campo elétrico, sendo
que, quanto maior à distância d entre o ponto considerado e a carga geradora, menor o
potencial elétrico V.
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O potencial elétrico é uma grandeza escalar, podendo ser positivo ou negativo,
dependendo da carga.
V= K⋅Q
d
Onde:
 K = 9x109 N.m2/C2 (no vácuo e no ar);
 Q = valor absoluto da carga, em Coulomb [C];
 d = distância, em metro [m];
Por essa expressão, vê-se que uma carga positiva cria ao seu redor potenciais positivos
e uma carga negativa cria potenciais negativos.
Figura 9. Potenciais Negativos e Positivos.
Em uma superfície, em que todos os pontos são eqüidistantes em relação à carga
geradora, os potenciais são iguais.
Nesse caso temos as denominadas superfícies eqüipotenciais.
Figura 10. Superfícies Equipotenciais.
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Figura 8. Relação do Potencial Elétrico com a distância d da carga geradora.
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Princípios da Eletrodinâmica
5. Tensão Elétrica
Seja uma região submetida a um campo elétrico E criado por uma carga positiva Q.
Colocando um elétron –q no ponto A, situado a uma distância dA da carga Q, ele se
movimentará no sentido contrário do campo, devido à força F que surge no elétron, indo em
direção ao ponto B, situado a uma distância dB da carga Q.
Como dA > dB, o potencial do ponto A é menor que o do ponto B, isto é, VA < VB. 
Conclui-se, então, que uma carga negativa move-se do potencial menor para o maior.
Se uma carga positiva +q fosse colocada no ponto B, ela se movimentaria na mesma
direção do campo elétrico, indo do potencial maior para o menor.
Assim, para que uma carga se movimente, isto é, para que haja condução de
eletricidade, é necessário que ela esteja submetida a uma diferença de potencial ou ddp.
A ddp entre dois pontos é denominada tensão elétrica, podendo ser simbolizada pelas
letras V, U ou E, cuja unidade de medida também é o volt [V].
V=U=E=VB-VA
Observação: Usaremos os símbolos: E para identificar fontes de alimentação contínuas
(pilhas, bateria e fonte de tensão eletrônica); V para identificar a tensão contínua entre
terminais de outros dispositivos (resistores, indutores e capacitores);
Figura 11. Simbologia de tensão
6. Corrente Elétrica
O conceito de diferença de potencial elétrico e movimento de carga elétrica leva-nos a
eletrodinâmica, isto é, ao estudo das cargas elétricas em movimento.
Aplicando-se uma ddp em um condutor metálico, os seus elétrons livres movimentam-
se de forma ordenada no sentido contrário ao do campo elétrico.
Essa movimentação de elétrons denomina-se corrente elétrica, que pode ser
simbolizada por i ou I, sendo que sua unidade de medida é o ampère [A].
6.1 Intensidade da Corrente Elétrica
A intensidade i da corrente elétrica é a medida da variação da carga dQ, em Coulomb
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[C], por meio da seção transversal de um condutor durante um intervalo de termo dt, em
segundos [s]: i=
d Q
d t
Se a variação da carga for linear, a corrente será contínua e constante. Nesse caso ela
será simbolizada por I e poderá ser calculada por: I=
ΔQ
d t
OBS: pelas expressões apresentadas, vemos que o ampère [A] é a denominação usual para 
unidade de medida de corrente, que é Coulomb/segundo [C/s].
6.2 Corrente elétrica convencional
Nos condutores metálicos, a corrente elétrica é formada apenas por cargas negativas
(elétrons) que se deslocam do potencial menor para o maior.
Figura 12.Deslocamento de Corrente com cargas negativas.
Assim, para evitar o uso freqüente do valor negativo para a corrente, utiliza-se um
sentido convencional para ela, isto é, considera-se que a corrente elétrica em um condutor
metálico seja formada por cargas positivas, indo do potencial maior para o menor.
Figura 13. Deslocamento da Corrente Convencional.
Em um circuito indica-se a corrente convencional por uma seta, no sentido do
potencial maior para o menor.
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VA VB E - - - 
Corrente Elétrica I 
VB>VA 
 
VA VB E + 
Corrente Elétrica I 
VB>VA 
+ + 
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Figura 14. Indicação do sentido da corrente convencional em um circuito.
6.3 Fontes de Alimentação
O dispositivo que fornece tensão a um circuito é chamado genericamente de fonte de
tensão ou fonte de alimentação.
As Pilhas e Baterias são fontes de alimentação que produzem energia elétrica a partir
de energia liberada por reações químicas.
As Fontes de Alimentação Eletrônicas são circuitos eletrônicos que convertem a
tensão alternada da rede elétrica em tensão contínua. São conhecidos como eliminadores de
bateria, e são fartamente utilizados em equipamentos portáteis como videogames e aparelhos
de som.
Figura 16. Conversão de tensão alternada em contínua por fonte eletrônica
Em laboratórios e oficinas de eletrônica, é mais utilizada a fonte de alimentação
variável (ou ajustável). Essa fonte tem vantagem de oferecer tensão contínua e constante, cujo
valor pode ser ajustado manualmente, conforme a necessidade.
Fontes variáveis mais simples, o único tipo de controle é o de ajuste de tensão. Nas
mais sofisticadas, existem ainda os controles de ajuste fino de tensão e de limite de corrente.
Figura 17. Símbolo da fonte de alimentação variável
12
Figura 15. Pilhas e Baterias
 
E 
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As fontes de alimentação analisadas têm em comum a característica de fornecer
corrente contínua ao circuito (CC).
Assim, as fontes de alimentação CC mantêm sempre a mesma polaridade, de forma
que a corrente no circuito tem sempre o mesmo sentido.
Figura 18. Sentido da corrente em fontes CC
A rede elétrica fornece às residências e indústrias a corrente alternada (CA). Assim, a
tensão muda de polaridade em períodos bem definidos, de forma que a corrente no circuito
circula hora de um lado, hora de outro.
A corrente alternada pode ser gerada em diferentes tipos de usina de energia elétrica,
como por exemplo, as hidrelétricas, termoelétricas e nucleares.
Figura 19. Sentido da corrente em fontes CA
6.4 Bipolos Gerador e Receptor
Denomina-se bipolo qualquer dispositivo formado por dois terminais, podendo ser
representado genericamente pelo símbolo mostrado ao lado.
Figura 20. Bipolo
O gerador ou bipolo ativo é aquele que eleva o potencial elétrico do circuito, ou seja, a
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corrente entra no dispositivo pelo pólo de menor potencial e sai pelo pólo de maior potencial.
Exemplo: Fonte de alimentação.
Figura 21. Bipolo Ativo.
O receptor ou bipolo passivo é aquele que provoca queda de potencial elétrico no
circuito, ou seja, a corrente entra no dispositivo pelo pólo de maior potencial e sai pelo pólo
de menor potencial. Exemplo: Lâmpada.
Figura 22. Bipolo Passivo.
Acompanhando o sentido da corrente elétrica, verificamos que a bateria eleva o
potencial do circuito, fornecendo energia, e a lâmpada provoca queda de potencial no circuito,
consumindo energia, isto é, transformando-a em luz (e em calor).
Figura 23. Ação de um Bipolo Ativo e de um Bipolo Passivo
6.5 Terra (GND) ou Potencial de Referência
Num circuito deve-se sempre estabelecer um ponto cujo potencial elétrico servirá de
referência para a medida das tensões.
Em geral, a referência é o pólo negativo da fonte de alimentação, que pode ser
considerado um ponto de potencial zero, fazendo com que a tensão entre qualquer outro ponto
do circuito e essa referência seja o próprio potencial elétrico do ponto considerado. A essa
referência damos o nome de terra. 
Exemplo = VA é a referência; tensão VBA = VB-VA = VB-0 = VB.
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I= 200mA 
+ 
- 
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Figura 24. Representação gráfica do terra
Figura 25. Representação do terra em um circuito
6.6 Instrumentos de Medidas Elétricas
a. Multímetro 
 Tem finalidade de medir as grandezas elétricas: tensão, corrente e resistência.
 Possui dois terminais nos quais são ligadas as pontas de prova ou pontas de
teste (ponta vermelha ligada ao terminal positivo, ponta preta ligada ao
terminal negativo)
 Possui alguns controles, sendo o principal a chave rotativa ou conjunto de
teclas para a seleção da grandeza a ser medida.
b. Voltímetro
 Utilizado para medir a tensão elétrica (diferença de potencial) entre dois pontos
de um circuito elétrico.
 Os terminais do voltímetro devem ser ligados aos dois pontos do circuito em
que se deseja conhecer a ddp, essa ligação deve ser feita em paralelo podendo
envolver um ou mais dispositivos.
 Se a tensão a ser medida for CC, o pólo positivo do voltímetro deve ser ligado
ao ponto de maior potencial e o pólo negativo ao ponto de menor potencial.
 Se a tensão a ser medida for CA, os pólos positivo e negativo do voltímetro
podem ser ligados ao circuito sem se levar em conta a polaridade, resultando
em uma medida sempre positiva.
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Figura 26. Exemplo de um multímetro analógico e um 
digital 
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c. Amperímetro
 É o instrumento utilizado para medir a corrente elétrica que atravessa um
condutor ou um dispositivo,
 Para medir uma corrente o circuito deve ser aberto no ponto desejado, ligando
o amperímetro em série para que a corrente passe por ele.
 A corrente que passa por um dispositivo pode ser medida antes ou depois dele,
já que a corrente que entra num bipolo é a mesma que sai.
 Se CC o pólo positivo do amperímetro deve ser ligado ao ponto pelo qual a
corrente entra, e o pólo negativo ao ponto pelo qual ela sai.
7. Resistência Elétrica
A resistência é uma característica elétrica dos materiais, que representa a oposição à
passagem da corrente elétrica. Essa oposição à condução da corrente elétrica é provocada,
principalmente, pela dificuldade dos elétrons livres se movimentarem pela estrutura atômica
dos materiais.
A resistência elétrica é representada pela letra R e sua unidade de medida é ohm [Ω]. A
seguir, estão os símbolos mais usuais para representar a resistência em um circuito elétrico.
 
Figura 29. Simbologia de resistências em circuitos
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Figura 28. Conexão do amperímetro ao circuito
Figura 27. Conexão do voltímetro ao circuito
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7.1. Primeira lei de Ohm
 Uma resistência comporta-se como um bipolo passivo, isto é, consome a energia
elétrica fornecida por uma fonte dealimentação, provocando queda de potencial elétrico no
circuito quando a corrente passa por ela. A intensidade dessa corrente I depende do valor da
tensão V aplicada e da própria resistência R.
Figura 30. Queda de potencial na Resistência
O circuito abaixo mostra uma fonte variável ligada a uma resistência elétrica. Em
paralelo com a resistência, o voltímetro mede a tensão nela aplicada. Em série com a
resistência, o amperímetro mede a corrente que atravessa.
Figura 31. Relação entre V, I e R
Para cada tensão aplicada à resistência (V1, V2, ..., Vn), obtém-se uma corrente diferente
(I1, I2,...In).
Fazendo a relação entre V e I para cada caso observa-se que V1/ I1 = V2 / I2 = Vn / In =
constante.
Essa característica linear é o que chamamos de comportamento ôhmico, sendo que
esse valor constante equivale à resistência elétrica R do material, cuja unidade de medida é
ohm [Ω].
A relação entre tensão, corrente e resistência é denominada primeira lei de Ohm, cuja
expressão matemática é:
V=R.I
7.2 Condutância
A condutância é outra característica dos materiais e, ao contrário da resistência
expressa a facilidade com que a corrente elétrica pode atravessá-los.
Assim, a expressão da condutância é o inverso da resistência, sendo simbolizada pela
letra G, cuja unidade de medida é 1/ohm [Ω-1] ou siemens [S].
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G= 1
R
Figura 32. Relação de condutância e resistência
7.3 Curto Circuito
Quando ligamos um condutor (R≅0) diretamente entre os pólos de uma fonte de
alimentação ou de uma tomada da rede elétrica, a corrente tende a ser extremamente elevada.
Essa condição é denominada curto circuito, devendo ser evitada, pois a corrente alta
produz um calor intenso, podendo danificar a fonte de alimentação ou provocar incêndio na
instalação elétrica.
Obs.: o símbolo ≅ significa aproximadamente.
Figura 33. Curto circuito
Por isso, é comum as fontes de alimentação possuírem internamente circuitos de
proteção contra curto circuito e ou circuitos limitadores de corrente.
É o que ocorre também com as instalações elétricas, que possui fusíveis que queimam
ou disjuntores que se desarmam na ocorrência de uma elevação brusca da corrente,
protegendo toda fiação da instalação.
7.4 Resistor
O resistor é um dispositivo cujo valor de resistência, sob condições normais,
permanece constante.
Das características dos resistores duas merecem uma explicação adicional:
 Potência: o conceito de potência, isto é, relacionado ao aquecimento
provocado pela passagem da corrente pela resistência. Por isso o fabricante
informa qual a potência máxima que o resistor suporta sem alterar o seu valor
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além da tolerância prevista e sem danificá-lo.
 Tolerância: os resistores não são componentes ideais. Por isso os fabricantes
fornecem seu valor nominal RN acompanhado de uma tolerância r%, que nada
mais é do que sua margem de erro, expressando a faixa de valores prevista para
ele. Assim, o valor real R de um resistor pode estar compreendido entre um
valor mínimo Rm e o máximo RM, sendo essa faixa de resistências dada por R =
RN ± r%.
7.4.1 Código de cores
Os resistores de maior potência, por terem maiores dimensões, podem ter gravados em
seus corpos os seus valores nominais e tolerâncias. Porém, os resistores de baixa potência são
muito pequenos, tornando inviável essa gravação.
Assim sendo, gravam-se nos resistores anéis coloridos que, a partir de um código de
cores preestabelecido, informam os seus valores nominais e suas tolerâncias.
Existem dois códigos de cores: um para resistores de 5% e 10% de tolerância, formado
por quatro anéis; outro para resistores de 1% e 2% de tolerância (resistores de precisão)
formado por cinco anéis.
A leitura do valor nominal e da tolerância de um resistor é feita conforma mostra o
esquema abaixo:
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Figura 34. Código de cores de resistores
7.5 Resistências Variáveis
Diversos dispositivos são fabricados para atuarem como resistências variáveis num
circuito elétrico. A resistência variável é aquela que possui uma haste para o ajuste manual da
resistência entre os seus terminais.
Os símbolos usuais para essas resistências variáveis são mostrados na figura abaixo.
Figura 35. Simbologia resistência variável
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As resistências variáveis possuem três terminais. A resistência entre as duas
extremidades é o seu valor nominal RN (resistência máxima), sendo que a resistência ajustada
é obtida entre uma das extremidades e o terminal central, que é acoplado mecanicamente à
haste de ajuste, conforme mostra a figura abaixo.
Figura 36. Esquema resistência variável
7.6 Segunda Lei de Ohm
A segunda lei de Ohm estabelece a relação entre a resistência de um material com a
sua natureza e suas dimensões.
Quanto à natureza, os materiais se diferenciam por suas resistividades, característica
essa representada pela letra grega ρ (rô), cuja unidade de medida é ohm. metro [Ω.m]. Quanto
às dimensões do material, é importante o seu comprimento L, em [m], e a área da seção
transversal S, em [m2].
A segunda lei de Ohm expressa a relação entre essas características da seguinte forma:
“A resistência R de um material é diretamente proporcional à sua resistividade ρ e ao seu
comprimento L, e inversamente proporcional à área de sua seção transversal S”.
R=ρ⋅L
S
Portanto a resistência elétrica aumenta com o aumento da resistividade do material,
com o aumento do seu comprimento e com a diminuição da área de sua seção transversal.
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Figura 37. Relação da resistência do material com seu comprimento, sua resistividade e sua área
transversal.
A tabela a seguir mostra a resistividade média ρ de diferentes materiais. Esses valores
são aproximados e tomados a uma temperatura de 20°C.
8. Potência e Energia Elétrica
Em um circuito elétrico, a potência é definida como sendo a quantidade de carga
elétrica Q que uma fonte de tensão V pode fornecer ao circuito num intervalo de tempo ∆t.
P=V⋅Q
Δ t
Mas Q/∆t corresponde a corrente elétrica I fornecida pela fonte de alimentação ao
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circuito. Assim a expressão da potência pode ser resumida como:
P=V.I
A unidade de medida de potência em circuitos CC é denominada watt [W].
No resistor a potência dissipada em função de R pode ser calculada pelas expressões:
P = R.I2 ou P=V
2
R
9. Leis de Kirchhoff e Associação de Resistores
As leis de Kirchhoff envolvem conceitos básicos para resolução e análise de circuitos
elétricos, tanto em corrente contínua como em alternada. Antes de apresentá-las precisamos
conhecer os elementos que formam um circuito elétrico.
 Ramo = qualquer parte de um circuito elétrico composta por um ou maisdispositivos ligados em série é denominada ramo;
 Nó = qualquer ponto de um circuito elétrico no qual há a conexão de três ou
mis ramos é denominado nó;
 Malha = qualquer parte de um circuito elétrico cujos ramos formam um
caminho fechado para a corrente é denominada malha;
 
Figura 38. Exemplo de Ramo Figura 39. Exemplo de Nó
Figura 40. Exemplo de Malha
9.1 Leis de Kirchhoff
Um circuito admite um único sentido de corrente com um único valor para cada ramo.
Uma vez conhecido os sentidos e as intensidades das correntes em todos os ramos de um
circuito, todas as tensões podem também ser denominadas.
A compreensão e análise de um circuito dependem das duas leis básicas da
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eletricidade apresentadas em seguida.
9.1.1 Lei de Kirchhoff para corrente – Lei dos nós
Definindo arbitrariamente as correntes que chegam ao nó como positivas e as que
saem do nó como negativas, a lei de Kirchhoff para correntes é: “A soma algébrica das
correntes em um nó é igual a zero, ou seja, a soma das correntes que chegam em um nó é
igual a soma das correntes que saem desse nó”.
Figura 41. Lei dos Nós
9.1.2 Lei de Kirchhoff para tensões – Lei das malhas
Adotando um sentido arbitrário de corrente para análise de uma malha, e considerando
as tensões que elevam o potencial do circuito como positivas (geradores) e as tensões que
causam quedas de potencial como negativas (receptores passivos e ativos), a Lei de Kirchhoff
para tensões é: “A soma algébrica das tensões em uma malha é zero, ou seja, a soma das
tensões que elevam o potencial do circuito é igual à soma das tensões que causam a queda de
potencial”.
Figura 42. Lei das Malhas
9.2 Associação de Resistores
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Num circuito elétrico, os resistores podem estar ligados em série e/ou paralelo, em
função das características dos dispositivos envolvidos no circuito, da necessidade de dividir
uma tensão ou uma corrente, ou de obter uma resistência com valores diferentes dos valores
encontrados comercialmente.
Uma rede resistiva é um circuito formado por diversas resistências, ligadas em série
e /ou paralelo, alimentadas por uma única fonte de alimentação E.
Figura 43. Rede Resistiva
As principais características de uma rede resistiva são:
 A resistência equivalente Req vista pela fonte de alimentação;
 A corrente total I fornecia pela fonte de alimentação;
Isso significa que se todos os resistores dessa rede forem substituídos uma única
resistência de valor Req, a fonte de alimentação E fornecerá a mesma corrente I, conforme
figura abaixo.
Figura 44. Resistência Equivalente
9.2.1 Associação Série de Resistores
Na associação série o resistores estão ligados de forma que a corrente I que passa por
eles seja a mesma, e a tensão total E aplicada aos resistores se subdivida entre eles
proporcionalmente aos seus valores.
Figura 45. Associação Série de Resistores
Pela lei de Kirchhoff para tensões, a soma das tensões nos resistores é igual à tensão
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total aplicada E:
E = V1+V2+...+Vn
Em que: V1 = R1.I; V2 = R2.I;...; Vn = Rn.I
Substituindo as tensões nos resistores pela primeira lei de Ohm tem-se:
E = R1.I + R2.I + ...+ Rn.I ⇒ E = I.( R1+ R2+ ...+ Rn)
Dividindo-se a tensão E pela corrente I chega-se a:
E/I = ( R1+ R2+ ...+ Rn)
O resultado E/I corresponde à resistência equivalente Req da associação série, isto é, a
resistência que a fonte de alimentação entende como sendo sua carga.
Req = R1+ R2+ ...+ Rn
Se os n resistores da associação série forem iguais a R, a resistência equivalente pode
ser calculada por:
Req = n.R
Nesse circuito, a potência total Pe fornecida pela fonte ao circuito é igual à soma das
potências dissipadas pelos resistores (P1 + P2 + ...+Pn).
Figura 46. Potência Circuito Série 
Portanto a potencia total PE = E.I fornecida pela fonte é igual a potencia dissipada pela
resistência equivalente Peq = Req. I2.
PE = P1 + P2 + ...+Pn = Peq.
9.2.2 Associação Paralela de Resistores
Na associação paralela, os resistores estão ligados de forma que a tensão total E
aplicada ao circuito seja a mesma em todos os resistores, e a corrente I do circuito se
subdivida entre eles de forma inversamente proporcional aos seus valores.
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Figura 47. Associação Paralela de Resistores
Pela lei de Kirchhoff para correntes, a soma das correntes nos resistores é igual à
corrente total I fornecida pela fonte:
I = I1+I2+...+In
Em que: I1 = E/R1 ; I2 = E/R2 ; ... ; In = E/Rn
Substituindo as correntes nos resistores pela primeira lei de Ohm tem-se:
I = E/R1 + E/R2 + ... + E/Rn ; I = E(1/R1 + 1/R2 + ... + 1/Rn)
Dividindo-se a corrente I pela tensão E, chega-se a: 
I/E = (1/R1 + 1/R2 + ... + 1/Rn)
O resultado I/E corresponde à condutância equivalente Geq da associação paralela.
Invertendo esse valor, obtém-se, portanto, a resistência equivalente Req que a fonte de
alimentação entende como sendo a sua carga.
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + ... + 1/Rn
Se os n resistores da associação paralela forem iguais a R, a resistência equivalente
pode ser calculada por:
Req = R/n
No caso especifico de dois resistores ligados em paralelo à resistência equivalente
pode ser calculada por uma equação mais simples:
1/Req = 1/R1 + 1/R2 = (R1 + R2) / R1.R2
Req = R1.R2 / R1 + R2
Finalmente as relações entre as potências envolvidas é PE = P1 + P2 + ...+ Pn = Peq
9.2.3 Associação Mista de Resistores
A associação mista é formada por resistores ligados em série e em paralelo, não
existindo uma equação geral para a resistência equivalente, pois ela depende da configuração
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do circuito.
Se o circuito tiver apenas uma fonte de alimentação (rede resistiva), a sua análise, isto
é, a determinação das correntes e tensões nos diversos ramos e resistores do circuito pode ser
feita aplicando apenas os conceitos de associação série e paralela de resistores, e da lei de
Ohm.
Método de análise
No caso de não se conhecer nenhuma tensão ou corrente interna do circuito, o método
para a sua análise completa é o seguinte:
1) Calcula-se a resistência equivalente Req do circuito;
Figura 48. Associação Mista
2) Calcula-se a corrente I fornecida pela fonte de alimentação ao circuito;
Figura 49. Corrente fornecida pela fonte
3) Desmembra-se a resistência equivalente, passo a passo, calculando as tensões e ou/
correntes em cada parte do circuito, conforme a necessidade, até obter as tensões e
correntes desejadas.
Figura 50. Análise do Circuito Misto
9.3 Configuração Estrela e Triângulo
Em um circuito é comum os resistores estarem ligados conforme as configurações
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estrela ou triângulo, conforme figura abaixo.
Essas configurações nãose caracterizam nem como série nem como paralelo,
dificultando o cálculo da resistência equivalente do circuito e, portanto, a sua análise.
 
Figura 51. Confugurações Triângulo e Estrela
Para resolver esse problema, é possível converter uma configuração na outra, fazendo
com que os resistores mudem de posição sem, no entanto, mudarem as características elétricas
do circuito.
9.3.1 Conversão estrela-triângulo
Figura52. Conversão Estrela-Triângulo 
R12 = R1.R2 + R1.R3 + R2.R3 / R3
R13 = R1.R2 + R1.R3 + R2.R3 / R2
R23 = R1.R2 + R1.R3 + R2.R3 / R1
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9.3.2 Conversão triângulo-estrela
Figura53. Conversão Triângulo-Estrela 
R1 = R12.R13 / R12 + R13 + R23
R2 = R12.R23 / R12 + R13 + R23
R3 = R13.R23 / R12 + R13 + R23
30
	V=R.I
	þÿ
	P=V.I