ELON LAGES - Geometria analitica e algebra linear
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ELON LAGES - Geometria analitica e algebra linear


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Geometria Analítica e 
Álgebra Linear 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lima, Elon Lages 
 Geometria analítica e álgebra linear / Elon Lages 
Lima. 1.ed. Rio de Janeiro : IMPA, 2014 
 
 324 p. : il. ; 23 cm. (Coleção matemática universitária) 
 
 Inclui bibliografia. 
 e-ISBN 978-85-244-0383-5 
1. Geometria Analítica. 2. Álgebra Linear. I. Título. 
II. Série. 
 
 CDD-516.3 
 
COLEÇÃO MATEMÁTICA UNIVERSITÁRIA 
 
 
 
 
 
 
Geometria Analítica e 
Álgebra Linear 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Elon Lages Lima 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 INSTITUTO NACIONAL DE MATEMÁTICA PURA E APLICADA
Copyright \uf8e9 2014 by Elon Lages Lima 
 
Impresso no Brasil / Printed in Brazil 
 
Capa: Rodolfo Capeto, Noni Geiger e Sérgio R. Vaz 
Ilustrações: Paulo Visgueiro 
 
 
 
Coleção Matemática Universitária 
Comissão Editorial: 
 Elon Lages Lima 
 S. Collier Coutinho 
 Paulo Sad 
 
 
Títulos Publicados: 
\u2022 Análise Real, vol. 1: Funções de uma Variável \u2013 Elon Lages Lima 
\u2022 EDP. Um Curso de Graduação \u2013 Valéria Iório 
\u2022 Curso de Álgebra, Volume 1 \u2013 Abramo Hefez 
\u2022 Álgebra Linear \u2013 Elon Lages Lima 
\u2022 Introdução às Curvas Algébricas Planas \u2013 Israel Vainsencher 
\u2022 Equações Diferenciais Aplicadas \u2013 Djairo G. de Figueiredo e Aloisio Freiria Neves 
\u2022 Geometria Diferencial \u2013 Paulo Ventura Araújo 
\u2022 Introdução à Teoria dos Números \u2013 José Plínio de Oliveira Santos 
\u2022 Cálculo em uma Variável Complexa \u2013 Marcio G. Soares 
\u2022 Geometria Analítica e Álgebra Linear \u2013 Elon Lages Lima 
\u2022 Números Primos: Mistérios e Recordes \u2013 Paulo Ribenboim 
\u2022 Análise no Espaço Rn \u2013 Elon Lages Lima 
\u2022 Análise Real, vol. 2: Funções de n Variáveis \u2013 Elon Lages Lima 
\u2022 Álgebra Exterior \u2013 Elon Lages Lima 
\u2022 Equações Diferenciais Ordinárias \u2013 Claus Ivo Doering e Artur Oscar Lopes 
\u2022 Análise Real, vol. 3: Análise Vetorial \u2013 Elon Lages Lima 
\u2022 Álgebra Linear. Exercícios e Soluções \u2013 Ralph Costa Teixeira 
\u2022 Números Primos. Velhos Mistérios e Novos Recordes \u2013 Paulo Ribenboim 
 
 
Distribuição: 
 IMPA 
 Estrada Dona Castorina, 110 
 22460-320 Rio de Janeiro, RJ 
 e-mail: ddic@impa.br 
 http://www.impa.br 
 
 
Prefa´cio
Embora seja geralmente a primeira coisa que se le\u2c6 num livro, o prefa´cio
e´ sempre a u´ltima a ser escrita. Tendo acabado de fazer a revisa\u2dco final
das provas, antes de mandar o texto para impressa\u2dco, cumpre-me contar
ao presum\u131´vel leitor o que o livro conte´m e com que intenc¸a\u2dco o escrevi.
Comecemos com o t´\u131tulo. No estilo de antigamente, ele seria algo
como \u201cCompe\u2c6ndio de Geometria Anal´\u131tica e Ca´lculo Vetorial, servindo
de introduc¸a\u2dco a` A´lgebra Linear.\u201d Simplificando, restou \u201cGeometria
Anal´\u131tica e A´lgebra Linear\u201d. Dito assim, fica a impressa\u2dco de que esses
dois assuntos sa\u2dco tratados com a mesma extensa\u2dco.
Na verdade, trata-se essencialmente de um livro de Geometria Anal´\u131-
tica, plana e espacial. Isto significa, por um lado, o estudo da Geometria
por meio da introduc¸a\u2dco de coordenadas e, por outro lado, o me´todo de
olhar para problemas de A´lgebra (e de Ana´lise) sob o ponto de vista da
Geometria.
Os vetores ocorrem inicialmente como instrumento para desenvolver
a Geometria Anal´\u131tica: muito u´teis no caso do plano e indispensa´veis
no espac¸o. Em seguida percebe-se que a noc¸a\u2dco de depende\u2c6ncia (e inde-
pende\u2c6ncia) linear de vetores e´ a chave para analisar o comportamento
dos sistemas de equac¸o\u2dces lineares e a linguagem adequada para exprimir
seus resultados. Neste ponto, estamos fazendo um pouco de A`lgebra
Linear.
A fim de identificar as co\u2c6nicas e as superf´\u131cies qua´dricas, precisamos
estudar as formas quadra´ticas a duas e tre\u2c6s varia´veis. Somos enta\u2dco
levados naturalmente a considerar matrizes sime´tricas 2 × 2 ou 3 × 3,
seus autovalores e autovetores. Isto e´ A´lgebra Linear.
Matrizes e determinantes ocorrem ainda na fo´rmula de Gram para a
a´rea de um paralelogramo ou o volume de um paralelep´\u131pedo.
E, finalmente, transformac¸o\u2dces lineares sa\u2dco brevemente estudadas, no
plano e no espac¸o tridimensional, dando-se va´rios exemplos e mostrando-
se como um sistema de substituic¸o\u2dces lineares transforma uma circun-
fere\u2c6ncia numa elipse e uma esfera num elipso´ide.
Assim se mostra neste livro como o estudo da Geometria Anal´\u131tica
a duas e tre\u2c6s dimenso\u2dces conduz a noc¸o\u2dces ba´sicas como depende\u2c6ncia
linear, matrizes, formas quadra´ticas, autovalores, transformac¸o\u2dces li-
neares, etc. Estes conceitos sera\u2dco mais tarde sistematizados na A´lgebra
Linear, a qual tera´ sua aprendizagem suavizada e tornada natural para
os estudantes que ja´ possuam uma experie\u2c6ncia pre´via correspondente ao
conteu´do do presente livro. Independente disso, e´ claro, a Geometria
Anal´\u131tica faz parte da cultura m\u131´nima necessa´ria para estudos posteri-
ores (ou simulta\u2c6neos) de Ca´lculo, Ana´lise, Equac¸o\u2dces Diferenciais, etc.
Os leitores aos quais este livro se destina sa\u2dco os alunos do primeiro
ano da Universidade. Va´rios dos temas nele tratados constam, de uma
forma mais superficial, do programa do Ensino Me´dio mas este fato na\u2dco
e´ levado em conta aqui, ou seja, na\u2dco admitimos que o leitor possua
conhecimento anterior sobre o assunto. Os livros citados na bibliografia
conte\u2c6m apresentac¸o\u2dces em certos pontos bem semelhantes a este, ale´m de
conterem uma ampla colec¸a\u2dco de exerc´\u131cios que podera\u2dco complementar
aqueles aqui propostos.
E´ com grande satisfac¸a\u2dco que deixo consignados aqui meus agradeci-
mentos aos Professores Eduardo Wagner e Paulo Cezar P. Carvalho, que
colaboraram comigo nos livros que precederam este. Um agradecimen-
to especial e´ devido ao Professor Jonas de Miranda Gomes pelo apoio,
incentivo e valioso tempo investido na preparac¸a\u2dco deste livro. A todos,
um abrac¸o amigo do autor.
Rio de Janeiro, 25 de marc¸o de 2001.
Elon Lages Lima
Prefa´cio da segunda edic¸a\u2dco
Nesta edic¸a\u2dco, foi feita uma revisa\u2dco exaustiva do texto e dos exerc´\u131cios.
Para tal, contei com a valiosa colaborac¸a\u2dco do Professor Flore\u2c6ncio Gui-
mara\u2dces. Foram tambe´m refeitas diversas figuras, com a generosa par-
ticipac¸a\u2dco do meu colega Moacyr Alvim. Ale´m disso, acrescentei e mo-
difiquei va´rios exerc´\u131cios e reformulei a apresentac¸a\u2dco de alguns to´picos,
notadamente nas sec¸o\u2dces referentes a formas quadra´ticas. O volume in-
teiro foi redigitado por Roge´rio Trindade. A todas esta pessoas, externo
meu agradecimento.
Rio de Janeiro, 25 de marc¸o de 2005.
Elon Lages Lima
Contents
Introduc¸a\u2dco 1
Coordenadas na Reta 3
Exerc´\u131cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Coordenadas no Plano 8
Exerc´\u131cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Segmentos de Reta no Plano 15
Exerc´\u131cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
A Dista\u2c6ncia entre Dois Pontos 23
Exerc´\u131cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Escolhendo o Sistema de Coordenadas 31
Exerc´\u131cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Outros Tipos de Coordenadas 37
Exerc´\u131cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
As Equac¸o\u2dces da Reta 40
Exerc´\u131cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
A\u2c6ngulo entre Duas Retas 56
Exerc´\u131cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Dista\u2c6ncia de um Ponto a uma Reta 58
Exerc´\u131cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3
A´rea de um Tria\u2c6ngulo 62
Exerc´\u131cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Desigualdades Lineares 66
Exerc´\u131cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73