lista_geral_03 - diferenciabilidade

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Cálculo II
Lista 03
Profa. Dra. Elaine Cristina Catapani Poletti
1. Determine os pontos críticos das funções:
(a) f(x, y) = xe−x2−y2
(b) f(x, y) = x4 + y4 + 4x+ 4y
(c) f(x, y) = x2 − y2 + 3xy − x+ y
(d) f(x, y) = x3 + y3 − xy
2. Determine os pontos de máximo, mínimo e de sela da função:
(a) f(x, y) = x2 + 3xy + 4y2 − 6x+ 2y
(b) f(x, y) = x3 + 2xy + y2 − 5x
(c) f(x, y) = x2 −−4xy + 4y2 − x+ 3y + 1
(d) f(x, y) = 1
x2
+ 1
y
+ xy, x > 0 e y > 0
3. Mostre que o Teste do Hessiano (derivada segunda) é inconclusivo no ponto
crítico de f(x, y) = (x − y)4 + (x + y + 2)2 e que neste ponto f assume
mínimo local.
4. Mostre que a função f(x, y) = 1
2
− sen(x2 + y2) admite um máximo local
na origem.
5. Uma industria produz dois insumos A e B e o seu lucro pela venda de x
unidades do produto A e y unidades do produto B é dado por: L(x, y) =
60x+100y− 3
2
x2− 3
2
y2−xy. Supondo que toda a produção da indústria seja
vendida, determinar a produção que maximiza o lucro. Determine, também,
esse lucro.
1
6. Para produzir determinado produto cuja quantidade é representada por z ,
uma empresa utiliza dois fatores de produção cujas quantidades são indica-
das por x e y com preços unitários sendo, respectivamente, 2 e 1. O produto
será vendido no mercado consumidor a um preço unitário igual a 5. A fun-
ção de produção da empresa é dada por z = 900 − x2 − y2 + 32x + 41y.
Determine a produção que maximiza o lucro. Qual o lucro máximo?
7. Quais as dimensões de uma caixa retangular sem tampa com volume 4m3 e
com a menor área de superfície possível?
2