P1_14 - prova 1

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Prova 1 - Cálculo II
Profa. Dra. Elaine Cristina Catapani Poletti
1. (2,0) Verifique, se existir, o valor de k para que f seja contínua.
f(x, y) =
{
x3(y−1)2
2x7+3(y−1)4 , se (x, y) 6= (0, 1)
k, se (x, y) = (0, 1).
Resolução. Nã existe k que torne f contínua pois não existe o limite de
f(x, y) quando (x, y)→ (0, 1) pois:
Se tomarmos C1 : y = kx+ 1, temos:
lim(x→ 0; y = kx+ 1)f(x, kx+ 1) =
lim(x→ 0; y = kx+ 1)
x3(kx+ 1− 1)2
2x7 + 3(kx+ 1− 1)4
= 0
Se tomarmos C2 : y = kx2 + 1, temos:
lim(x→ 0; y = kx2 + 1)f(x, kx2 + 1) =
lim(x→ 0; y = kx2 + 1)
x3(kx2 + 1− 1)2
2x7 + 3(kx2 + 1− 1)4
=
k2
2
2. (2,0) Seja f(x, y) = (x2 + y2)γ
(
x
y
)
onde γ é uma função qualquer de uma
variável real derivável. Assinale a alternativa correta:
(a) x∂f
∂x
+ y ∂f
∂y
= 2f
(b) x∂f
∂x
+ y ∂f
∂y
= f(x, y) + 2
(c) x∂f
∂x
+ y ∂f
∂y
= 0
(d) n.d.a
Resolução. A resposta correta é da alternativa (a), pois:
∂f
∂x
= 2xγ
(
x
y
)
+(x2+y2)γ′
(
x
y
) (
1
y
)
e ∂f
∂y
= 2yγ
(
x
y
)
−(x2+y2)γ′
(
x
y
) (
x
y2
)
.
Logo: x∂f
∂x
+ y ∂f
∂y
⇒
x
(
2xγ
(
x
y
)
+ (x2 + y2)γ′
(
x
y
)(
1
y
))
+y
(
2yγ
(
x
y
)
− (x2 + y2)γ′
(
x
y
)(
x
y2
))
=
1
2x2γ
(
x
y
)
+2(x2+y2)γ′
(
x
y
)(
x
y
)
+2y2γ
(
x
y
)
−2(x2+y2)γ′
(
x
y
)(
x
y
)
=
2x2γ
(
x
y
)
+ 2y2γ
(
x
y
)
= 2(x2 + y2)γ
(
x
y
)
= 2f(x, y)
3. (2,0) O potencial elétrico é dado por f(x, y, z) = e3x+4ycos(5z), dertemine:
(a) a taxa de variação de f em (0, 0, 0) na direção de ~r = (1, 1, 1).
Resolução. D~uf = ∇f(0, 0, 0) • ~u = (3, 4, 0) •
(
1√
3
, 1√
3
, 1√
3
)
= 7√
3
(b) ∂2f
∂x2
+ ∂
2f
∂y2
+ ∂
2f
∂z2
Resolução. 9e3x+4ycos(5z)+16e3x+4ycos(5z)−25e3x+4ysen(5z) = 0
Logo ∂2f
∂x2
+ ∂
2f
∂y2
+ ∂
2f
∂z2
= 0
4. (2,0) Dada f(x, y) = ln(x− 3y).
(a) explique por que f é diferenciável em P = (7, 2)
Resolução. Como as derivadas parciais de f de primeira ordem ∂f
∂x
=
1
x−3y e
∂f
∂y
= −3
x−3y existem perto de P e são contínuas em (7, 2), pelo
teorema de diferenciabilidade, f é diferenciável em P .
(b) determine sua linearização
Resolução. Calculando as derivadas parciais de f em P , temos:
L(x, y) = 0 + 1(x− 7)− 3(y − 2) = x− 3y − 1
(c) aproxime através do item (b) f(6.9, 2.06)
f(6.9, 2.06) ≈ L(6.9, 2.06) = 6.9− 3(2.06)− 1 = 0.28
5. (2,0) Determine, se existir, pontos de máximo, mínimo e de sela para f(x, y) =
3x2y + y3 − 3x2 − 3y2 + 2
Resolução. Derivando f e igualando a zero, temos: ∂f
∂x
= 6xy − 6x = 0⇔
6x(y − 1) = 0⇔ x = 0 ou y = 1.
∂f
∂y
= 3y2 + 3x2 − 6y = 0. Se x = 0, então y = 0 ou y = 2. Logo temos os
pontos críticos (0, 0), (0, 2).
Se y = 1 então x = ±1, Logo temos também os pontos críticos (1, 1), (−1, 1).
Fazendo a matriz Hessiana e calculando o determinante temos: H(0, 0) =
36 > 0 com ∂
2f
x2
|(0.0) = −6 Logo (0, 0) é ponto de máximo local.
2
H(0, 2) = 36 > 0 com ∂
2f
x2
|(0.0) = 6 Logo (0, 0) é ponto de mínimo local.
Quanto aos pontos (1, 1), (−1, 1), H(1, 1) < 0 e H(−1, 1) < 0 logo são
ambos pontos de sela.
Questões sem justificativas matemáticas não serão consideradas.
BOA PROVA!
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