Topico_1 - Funções de Várias Variáveis

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Funções de várias variáveis
0.1 Introdução.
Estudaremos neste capítulo as funções de várias variáveis. Por várias vezes
iniciaremos as discussões a partir de funções de duas variáveis e estenderemos,
assim, a definção para um número arbitrário de variáveis.
Iniciemos com a definição de funções de duas variáveis reais:
Definição 1 Seja A ⊂ R2. Desta forma, os elementos de A são pares de nú-
meros reais da forma (x, y). Uma função f : A → R é uma função de duas
variáveis reais que associa para cada par ordenado (x, y) ∈ A, um único valor
z = f(x, y) ∈ R.
De acordo com a lei de Gay-Lussac, volume de uma gás ideal é dado em
termos da pressão e da temperatura na forma:
V (T, P ) =
kT
P
onde k > 0 é uma constante que depende do gás.
Ou seja, a função indicada acima está escrita em termos de duas variáveis
independentes: P e T .
Se tomarmos outra situação, tal como número de indivíduos N de uma certa
população de crustáceo dependente da quantidade P de indivíduos, da quantidade
de nutrientes A e da temperatura T . Ou seja, embora não se tenha exatamente a
expressão matemática desta relação, sabe-se que:
N = N(P,A, T )
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ou seja, esta relação é expressa em termos de uma função de três variáveis inde-
pendentes.
Assim, generalizando a ideia, podemos formalizar a definição de uma função
de várias variáveis como segue:
Definição 2 Seja A ⊂ Rn. Desta forma, os elementos de A são números reais
x1, x2, ..., xn. Uma função definida sobre A com valores em R é uma associação
que a cada elemento de A associa um número.
Consideremos os exemplos:
Exemplo 1 Seja f : R2 → R dada por:
f(x, y) = x2 + y2
Observe que função acima está definida para todos os pares (x, y) e pode ser
interpretada geometricamente como o quadrado da distância entre o ponto e a
origem. Seu gráfico é representado na figura abaixo:
Exemplo 2 Seja f : A ⊂ R2 → R dada por:
f(x, y) =
x2 − y2
x2 + y2
Verifique que f não está definida para o ponto (0, 0) tal como também pode
ser constatado na figura.
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Exemplo 3 Considere agora f : A ⊂ R2 → R dada por:
f(x, y) = sen
(√
x2 + y2
)
Verifique que f está definida para todos os pares (x, y) e é interpretada pela
figura acima.
0.2 Domínio.
Da mesma forma que acontece com as funções de uma única variável real
temos, para toda função, a indicação de seu domínio.
Definição 3 O domínio de uma função z = f(x, y) é o conjunto de pontos P =
(x, y) do plano xy para os quais existe um correspondente z.
Para as funções definidas no R3, R4, etc, a definição é análoga.
Exemplo 4 Considere z = f(x, y) = 1
x−y
. O domínio de f é entendido como
todos os pares x, y tal que x 6= y.
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Exemplo 5 A função z = g(x, y) = √9− x2 − y2 tem por domínio o conjunto
dos pares x, y onde 9 − x2 − y2 ≥ 0, ou seja, a região círcular x2 − y2 ≤ 9 de
raio 3 centrada na origem. (Lembre-se que a equação da circunferência centrada
na origem é x2 − y2 = r2
Exemplo 6 O domínio de w = h(x, y, z) = 2x+3y+4z
x2+y2+z2
é dado pelos pontos (x, y, z)
tal que x2 + y2 + z2 6= 0, ou seja, todos os pontos exceto a origem.
0.3 Gráficos e Curvas de Nível.
Assim como gráficos de uma variável, definimos gráficos de funções de n
variáveis x1, x2, ..., xn como o conjunto de pontos no espaço n + 1 na forma
x1, x2, ..., xn, f(x1, ..., xn), onde (x1, x2, ..., xn) é o domínio de f .
Quando n = 1, o gráfico é o conjunto de pontos (x, f(x)), ou seja, o espaço
bidimensional.
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Quando n = 2, o gráfico é o conjunto de pontos (x, y, f(x, y)), ou seja, o
espaço tridimensional, e assim por diante.
Definição 4 O gráfico de uma função de duas variáveis z = f(x, y) é o conjunto
de todos os pontos (x, y, z) ∈ R3 tal que (x, y) ∈ Dom(f) e z = f(x, y).
Veja alguns gráficos:
Figura 1: Gráficos de algumas funções.
Diante da dificuldade de traçar gráficos de funções em 3 dimensões, comu-
mente nos restringimos a traçar as curvas de nível.
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Definição 5 Seja k um número real. Uma curva de nível Ck de uma função z =
f(x, y) é o conjunto de pontos (x, y) ∈ Dom(f), tal que f(x, y) = k.
Figura 2: Representação de curvas de nível.
Exemplo 7 Considere f(x, y) =
√
4− x2 − y2. O domínio de f é dado por
Dom(f) = {(x, y) ∈ R2 tal que 4− x2 − y2 ≥ 0⇒ x2 + y2 ≤ 4}.
Se tormarmos k = 0, então C0 é dada por x2 + y2 = 4.
Para k = 1
2
, então C 1
2
é dada por x2 + y2 = 15
4
.
Se k = 1, então C1 é dada por x2 + y2 = 3.
Se k = 2, então C2 é dada por x2 + y2 = 0. E assim por diante.
Exemplo 8 Considere f(x, y) = x2− y2. O domínio de f é dado por Dom(f) =
R
2
.
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Se tormarmos k = 0, então C0 é dada por y = ±x, ou seja, o conjunto de reta
bissetriz do primeiro e segundo quadrante.
Para k = 1, então C1 é dada por x2 − y2 = 1⇒ y = ±
√
x2 − 1.
Se k = 2, então C2 é dada por x2 − y2 = 2 ⇒ y = ±
√
x2 − 2. Ou seja, se
k 6= 0 então Ck é uma hipérbole. Lembre-se que a equação reduzida da hipérbole
centrada na origem é: x2
a2
− y2
b2
= 1.
Exemplo 9 Considere f(x, y) = 4x2+y2. O domínio de f é dado por Dom(f) =
R
2
.
Observe que os cortes horizontais rezultam em elípses (e os verticais em pa-
rábolas).
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0.4 Exercícios.
1. A temperatura T em oC em um ponto (x, y) de uma placa de metal plana é
dada por T (x, y) = x2 + y2. Determine a temperatura da placa nos pontos
A = (1, 3) e B = (−2, 1).
2. Uma empresa vende dois produtos, A e B. O preço unitário do produto
A é R$4, 00 e de B é R$2, 00. Se a empresa vende x unidades de A e y
unidades de B. a) Qual a expressão matemática que representa a receita da
empresa. b) Qual é a receita em reais dessa empresa se forem vendidos 10
mil unidades do produto A e 8 mil unidades do produto B?
3. Determine o domínio das funções.
(a) z = 3− x− y
(b) z = 1 + x2 + y2
(c) w =
√
x2 + y2 + z2
(d) z = x2 + y2 − 2
(e) z = ex2+y2
(f) z = 2x+ 5y − 4
(g) w = 2x2 + 5y
(h) w = √y − x
(i) w = ln(x2 + y2)
(j) w = 1+x
1+z
(k) z = x
y2+1
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(l) w = exz
4. Desenhar as curvas de nível Ck para os valores de k indicados.
(a) z = x2 − y2, k = 0, 1, 2, 3
(b) z = y2 − x2, k = 0, 1, 2, 3
(c) z = 2− (x2 + y2), k = −3,−2,−1, 0, 1, 2
(d) z = √x+ y, k = 5, 4, 3, 2
5. Esboçar os gráficos das funções indicadas.
(a) z = 3− 2x− 3y
(b) z = 8− y2 − x2
(c) f(x, y) = ln(y − 2x)
(d) f(x, y) = x+ y2
6. Se T (x, y) = x + y2 − 1 representa a temperatura em cada ponto de uma
região do plano. Determine as curvas de nivel ou isotermas para k =
0,±1,±2
7. Seis funções têm indicadas abaixo seus gráficos e curvas de nível. Faça a
ligação entre gráfico e sua respectiva curva de nível.
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