04_Avaliação N1 - Cálculo I - Gabarito Comentado

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• A resolução da prova deve ser a caneta azul ou preta; 
• Só será aceita como resposta correta a resolução completa correta De cada item; 
• Em todas as questões é necessário apresentar cálculos como justificativas; 
• Proibido durante a resolução da prova o porte de celular, mesmo desligado. 
• Em todas as questões será avaliada a escrita matemática na forma correta. 
 
1. (Valor 2) Seja a função ( )g x definida pelas sentenças: ( )
2x 6 se x 2
g x 4 se x 2
x 3 se 2 x
− + <

= =
 + <
. Construir o gráfico da 
função ( )g x em torno dos valores de x = 2, e determinar o domínio e imagem da função. Usar papel 
milimetrado. 
 
 
−2 −1 1 2 3 4 5 6 7
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
 
 
 
FAPAC - Faculdade Presidente Antônio Carlos 
INSTITUTO TOCANTINENSE PRESIDENTE ANTÔNIO CARLOS LTDA - 
ITPAC-PORTO – TO 
Avaliações 
N1 ( x ) N2 ( ) N3 ( ) 
1ª Chamada AE ( ) 
Curso: Engenharia Civil Disciplina: Cálculo I Data: 07/03/2015 
Código: 54 Valor da Avaliação: 20,0 
Professor: Dr. Antônio Rafael Bôsso Duração da Avaliação: 2 Aulas 
Nota: Estudante 1: Material de Estudo 
Estudante 2: Material de Estudo 
( )
( )
= −∞ +∞
= +∞
D ,
Im 2,
 
 
2. (Valor 2) Seja a função definida pela sentenças: ( )
2x 9 se x 4
f x 8 se x 4
x 3 se 4 x
 − <

= =
 + <
. Construir o gráfico usando o papel 
milimetrado juntamente com as tabelas necessárias a construção, e determinar o domínio e imagem da função. 
 
Gabarito Comentado: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x f(x) x f(x) 
1 -8 4 8 
2 -5 
 3 0 
 4 7 
 x f(x) 
 4 7 
 5 8 
 6 9 
 7 10 
 
 
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
x
y
 
 
 
( )= −∞ +∞
= − +∞
D ,
Im [ 9, ) 
3. (Valor 2) Os cabos da ponte pênsil, indicada na figura abaixo, tomam a forma de arcos de parábola. As torres 
de suporte têm 24 metros de altura e há um intervalo entre elas de 200 metros. O ponto mais baixo de cada cabo 
fica a 4 metros do leito da estrada. Considerando o plano horizontal do tabuleiro da ponte contendo o eixo dos x 
e o eixo de simetria da parábola como sendo o eixo dos y, perpendicular a x, determine o comprimento do 
elemento de sustentação AB, que liga verticalmente o cabo parabólico ao tabuleiro da ponte, situado a 50 m do 
eixo y. 
 
Precisamos encontrar a função analítica. Precisamos de três pontos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )
( )
2
2
2
2
2
2
Ponto 0,24
y a x b x c
24 a 0 b 0 c
c 24
y a x b x c
y a x b x 24
Ponto 100,4
y a x b x 24
4 a 100 b 100 24
20 10000 a 100 b
1 500 a 5 b Eq.1
= ⋅ + ⋅ +
= ⋅ + ⋅ +
=
= ⋅ + ⋅ +
= ⋅ + ⋅ +
= ⋅ + ⋅ +
= ⋅ + ⋅ +
− = ⋅ + ⋅
− = ⋅ + ⋅
 
( )
2
2
Ponto 200,24
y a x b x 24
24 a 200 b 200 24
0 40000 a 200 b
0 200 a 1 b Eq.2
= ⋅ + ⋅ +
= ⋅ + ⋅ +
= ⋅ + ⋅
= ⋅ + ⋅
 
2
2
2
1 500 a 5 b
0 200 a 1 b
1 500 a 5 b
0 1000 a 5 b
 
0 200 a 1 b
0 200 0,002 1 b
b 0,4
y a x b x 24
y 0,002 x 0,4 x 24
Calcular a altura para x 15
1 500 a
a 0,00
0
y 0,002
2 Eq.3
Eq.3 Eq.
x 0,4 2
0
2
x 4
y
− = ⋅ + ⋅
= ⋅ + ⋅
− = ⋅ + ⋅
= − ⋅ − ⋅
= ⋅ + ⋅
= ⋅ + ⋅
= −
= ⋅ + ⋅ +
= ⋅ − ⋅ +
=
= ⋅ − ⋅






− = −
+
⋅
=
=
→
2
,002 150 0,4 150 24
y 9m
⋅ − ⋅ +
=
 
4. (Valor 2) Seja h definida por ( )
2
2
4 x se x 1
h x 5 se x 1
2 x se 1 x

− <

= =
 + <
. 
Verificar se a função é contínua em x = 1. Justificar com cálculos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. (Valor 2) Sejam as funções ( ) 2f x 3x 3x 7= − + − e ( ) 2g x x 5x= + . Calcular ( )( )f g 4 . 
 
Gabarito Comentado: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. (Valor 2) O valor do 
2
x 4
4x 64lim
2x 8→
−
−
, é 
a) 0 
b) ∞ 
c) 16 
d) 24 
e) 1 
 
 
1º Modo: 
 
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
22 2
4 2 2 2
4 3 2
4 3 2
f g x 3 x 5x 3 x 5x 7
f g x 3 x 2 x 5x 25x 3x 15x 7
f g x 3x 30x 72x 15x 7
f g 4 4 30 4 72 4 15 4 7
f g 4 768 1920 1152 60 7
f g 4 3787
= − + + + −
= − + ⋅ ⋅ ⋅ + + + −
= − − − + −
= − ⋅ − ⋅ + ⋅ −
= − − − + −
= −
2º Modo: 
 
( )
( )
( )
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( )( )
2
2
22 2
2
g x x 5x
g 4 4 5 4
g 4 36
f g x x 5x 3 x 5x 7
f g 4 3 36 3 36 7
f g 4 3787
= +
= + ⋅
=
= + + + −
= − + −
= −
 
( )
( ) ( )
2
x 4 x 4
2 2
x 4 x 4
4x 64lim f x lim
2x 8
2x 8
lim f x lim
2x 8
→ →
→ →
−
=
−
−
=
−
 
( ) ( )( )( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
x 4 x 4
x 4 x 4
x 4 x 4
x 4
2x 8 2x 8
lim f x lim
2x 8
lim f x lim 2x 8
lim f x lim 2 4 8
lim f x 16
→ →
→ →
→ →
→
− +
=
−
= +
= ⋅ +
=
 
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
x
2
x 1
x 1
2
x 1
1 x 1
x 1
x 1
lim h x 2 x
lim h x 3
lim h x 4 x
lim h x
i) Como lim h x lim h x 3
logo limh x 3
3
+ −
+
+
−
−
→
→
→ →
→
→
→
= =
= +
=
−
=
=
=
 
( )
( ) ( )
x 1
ii) h 1 5
iii) Como h 1 limh x
→
=
≠
 
 
Não é contínua 
 
7. (Valor 2) O valor do 
x 0
1lim
x+→
 é 
a) 0 
b) 10.000 
c) +∞ 
d) −∞ 
e) 1 
 
 
 
 
 
8. (Valor 2) Calcular 
3
x 1
x 1lim
x 1→
−
−
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9. (Valor 2) Calcular o valor do limite ( ) 3 22x 2 x 2
x x x 10lim f x lim
x 3x 2→− →−
− − +
=
+ +
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )
( )
( )
x 0 x 0
x 0 x 0
x 0
1lim f x lim
x
1lim f x lim
0,000001
lim f x
+ +
+ +
+
→ →
→ →
→
=
=
= +∞
 
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )
( )
3
x 1 x 1
1
3
3 3
x 1 x 1
3 3
3
3
x 1 x 1 33
3
x 1 x 1 3 23 3
x 1 x 1 3 2 3
x 1
x 1limf x lim
x 1
x 1limf x lim
x 1
x 1limf x lim
x 1
x 1limf x lim
x 1 x x 1
1limf x lim
1 1 1
1limf x
3
→ →
→ →
→ →
→ →
→ →
→
−
=
−
−
=
−
−
=
−
−
=
− + +
=
+ +
= 
( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
3 33 3 2 33 3
3 3
3 3 2 2
3 3 23 3
3
Sabemos :
w m w m w wm m
w x 
x 1 x 1 x x 1 1
x 1 x
m
1 x
1
x 1
−
− = − + +
= =
= − + ⋅ +
− = − + +
 
2
2
x 3x 2 x 2
-x -2x x+1
x 2
x 2
0
+ + +
+
− −
 
3 2
2 2 2
2
2
x x x 10 x 2
-x -2x x 3x 5
3x x 10
3x 6x
5x 10
5x 10
0
− − + +
− +
− − +
+ +
+
− −
 
( )
( ) ( )
3 2
2x 2 x 2
3 2 2
2x 2 x 2
23 2
2x 2 x 2
3 2
2x 2 x 2
x x x 10lim f x lim
x 3x 2
x x x 10 x 3x 5lim lim
x 3x 2 x 1
2 3 2 5x x x 10lim lim
x 3x 2 2 1
x x x 10 4 6 5lim lim 15
x 3x 2 1
→− →−
→− →−
→− →−
→− →−
− − +
=
+ +
− − + − +
=
+ + +
− − − +
− − +
=
+ + − +
− − + + +
= = −
+ + −
 
10. (Valor2) Seja ( )
x a
lim f x L
→
= , para todo 0∈> , existe um 0δ > , tal que: 
Se 0 x a< − < δ , então ( )f x L− <∈. 
 
Sabendo que ( )
x 2
lim 3x 8 2
→−
+ = , calcular um delta relacionado com um epsilon. 
 
 
 
 
 
( )
( )
( )
x 2
lim 3x 8 2
para todo >0, existe um >0, tal que:
Se 0 x a , então : f x L
0 x 2 3x 8 2
x 2 3x 6
x 2 3 x 2
x 2 
→−
+ =
∈ δ
< − < δ − <∈
< + < δ + − <∈
⇒ + < δ + <∈
⇒ + < δ + <∈
⇒ + < δ 3 x 2
x 2 3 x 2
x 2 3
x 2 
3
+ <∈
⇒ + < δ + <∈
⇒ + < δ δ =∈
∈
⇒ + < δ δ =