Avaliação N2 - Cálculo I - Gabarito Comentado

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• A resolução da prova deve ser a caneta azul ou preta; 
• Só será aceita como resposta correta a resolução completa correta de cada item; 
• Em todas as questões é necessário apresentar cálculos como justificativas; 
• Proibido durante a resolução da prova o porte de celular, mesmo desligado. 
• Em todas as questões será avaliada a escrita matemática na forma correta. 
 
1. (Valor 6) Calcular as assíntotas horizontais e verticais da função ( ) 1g x 2
x
= − , e fazer um esboço. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FAPAC - Faculdade Presidente Antônio Carlos 
INSTITUTO TOCANTINENSE PRESIDENTE ANTÔNIO CARLOS LTDA - 
ITPAC-PORTO – TO 
Avaliações 
N1 ( ) N2 ( x ) N3 ( ) 
1ª Chamada AE ( ) 
Curso: Engenharia Civil Disciplina: Cálculo I Data: 18/04/2015 
Código: 54 Valor da Avaliação: 20,0 
Professor: Dr. Antônio Rafael Bôsso Duração da Avaliação: 2 Aulas 
Nota: Estudante: Material de Estudo 
Assíntota Horizontal: 
( )
( )
( )
( )
( )
( )
x x
x x
x
x x
x x
x
1lim f x lim 2
x
1lim f x lim 2
lim f x 2
1lim f x lim 2
x
1lim f x lim 2
lim f x 2
→+∞ →+∞
→+∞ →+∞
→+∞
→−∞ →−∞
→−∞ →−∞
→−∞
= −
= −
∞
=
= −
= −
∞
=
 
Assíntota Horizontal: 
( )
( )
( )
( )
x 0 x 0
x 0
x 0 x 0
x 0
1lim f x lim 2
0
lim f x
1lim f x lim 2
0
lim f x
+ +
+
− −
−
+→ →
→
−
→ →
→
= −
= −∞
= −
= +∞
 
−3 −2 −1 1 2 3 4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
 
2. (Valor 4) Um reservatório de água tem a forma de um cone invertido com 40 m de altura e uma base de 10 m 
de raio. A água fui no tanque a uma taxa de 2,5 m3/min. Calcular a velocidade com que o nível da água estará se 
elevando quando sua profundidade for de 8 m? 
 
Gabarito: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sendo h a altura e R o raio do cone menor, usando o teorema de tales chegamos: 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo R na equação do volume cone e derivando em relação a t, obtemos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
3
R hV
3
dV m2,5
dt min
dh ? h 8m
dt
pi
=
=
= ⇒ =
 
40 h
10 R
1R h
4
=
=
 
2
2
3
3
2
2
R hV
3
1 h h
4V
3
hV
48
d d hV
dt dt 48
dV 3 h dh
dt 48 dt
8 dh2,5
16 dt
dh 40 m dh 5 m
dt 64 min dt 8 min
pi
=
 
pi 
 
=
pi
=
pi
=
pi
=
pi
=
= ⇔ =
pi pi 
3. (Valor 4) Calcular a derivada da função ( ) ( )3f x 4x cos 2x 2x senx= + ⋅ . 
 
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
= + ⋅
= ⋅ + ⋅
′ ′ ′ ′ ′= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
′= ⇒
′= ⇒ = − ⋅
′= ⇒
′= ⇒ =
′ ′ ′ ′ ′= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
′ = ⋅
3
3 2
3
f x 4x cos 2x 2x senx
f x u x v x g x h x
f x u x v x v x u x g x h x h x g x
Sabemos que :
u x 4x u x =12x 
v x cos 2x v x sen 2x 2
g x 2x g x =2 
h x senx h x cos x
f x u x v x v x u x g x h x h x g x
f x 4x ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
− ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
′ = − ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
′ = − ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ +
2
3 2
2
sen 2x 2 cos 2x 12x 2x cos x senx 2
f x 8x sen 2x 12x cos 2x 2x cos x 2 senx
f x 4x 2x sen 2x 3 cos 2x 2 x cos x senx
 
 
 
4. (Valor 4) Calcular a derivada da função ( ) ( )
43x 8
f x
tgx
+
= . 
 
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( )
+ ′ ′⋅ − ⋅
′= = =
  
′= + ⇒ + ⋅
′= ⇒ =
′ ′⋅ − ⋅
′ =
  
⋅ + ⋅ − + ⋅
′ =
⋅ + ⋅ −
′ =
43
2
4 33 3 2
2
2
3 43 2 3 2
2
32 3
x 8 u x v x u x u x v x
f x f x f x
tgx v x v x
Sabemos que :
u x x 8 u x =4 x 8 3x 
v x tgx v x sec x
v x u x u x v x
f x
v x
tgx 4 x 8 3x x 8 sec x
f x
tgx
12x x 8 tgx
f x ( )+ ⋅
43 2
2
x 8 sec x
tg x
 
 
 
5. (Valor 4) Calcular a derivada implícita de x, sabendo que 3 3 4 24x 3y x 6y+ = . 
 
 
( )
( )
( )
( )
( )
+ =
⋅ + = ⋅⋅ + ⋅ ⋅
+ + ⋅ = ⋅
⋅ − ⋅ = − −
− −
=
−
− ⋅ +
=
⋅ −
− ⋅ +
=
⋅ −
3 2
2
2 3 3 2 4
4 2 2 3 3
2 3 3
4 2
2 3
4
2 3
4
3 4
3 3 2 4
d d4x 6y
dx dx
dx dy12x 12y
dx dx
dy dy12x 12x y 9y x 12y
dx dx
dy dy9x y 12y 12x 12x y
dx dx
dy 12x 12x y
dx 9x y 12y
12x 1 xydy
dx 3y 3x y 4
4x
3y x
dx dy3y 4x
1 xydy
dx y 3x
9y x
d dx
y
x
4
 
 
 
6. (Valor 4) Usando a definição de limite, obter a derivada da ( ) 2f x 3x 6x 2= + + 
 
Gabarito: 
 
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
x 0
2
2
22
x 0
22 2
x 0
2
x 0
x 0
f x x f x
f x lim
x
f x 3x 6x 2
f x x 3 x x 6 x x 2
f x x 3x 6x x 3 x 6x 6 x 2
f x x f x
f x lim
x
3x 6x x 3 x 6x 6 x 2 3x 6x 2
f x lim
x
6x x 3 x 6 x
f x lim
x
x 6x 3 x 6
f x lim
x
f
∆ →
∆ →
∆ →
∆ →
∆ →
+ ∆ −
′ =
∆
= + +
+ ∆ = + ∆ + + ∆ +
+ ∆ = + ∆ + ∆ + + ∆ +
+ ∆ −
′ =
∆
+ ∆ + ∆ + + ∆ + − − −
′ =
∆
∆ + ∆ + ∆
′ =
∆
∆ + ∆ +  
′ =
∆
′( ) ( )
( )
x 0
x lim 6x 3 x 6
f x 6x 6
∆ →
= + ∆ +
′ = + 
 
 
7. (Valor 4) A derivada da função ( ) ( )53g x 3 2x 1= − é 
a) ( ) ( )43g x 90x 2x 1′ = − 
b) ( ) ( )42 3g x 90x 2x 1′ = − 
c) ( ) ( )42 3g x 45x 2x 1′ = − 
d) ( ) ( )43g x 45x 2x 1′ = − 
e) ( ) ( )3g x 30x 2x 1′ = − 
 
 
 
8. (Valor 4) A derivada da função ( )
3x 2xf x
sec6x
−
= é 
 
a) ( ) ( ) ( )( )
3 3
2
x 2x sec6x 6 x 2x sec6x tg6x
f x
6sec6x tg6x
− − − ⋅
′ =
⋅
 
b) ( ) ( ) ( )( )
3 3
2
x 2x sec6x x 2x sec6x tg6x
f x
sec6x tg6x
− − − ⋅
′ =
⋅
 
c) ( ) ( ) ( )( )
3 3
2
x 2x sec6x 3 x 2x sec6x tg6x
f x
sec6x tg6x
− − − ⋅
′ =
⋅
 
d) ( ) ( ) ( )( )
3 3
2
x 2x sec6x 6 x 2x sec6x
f x
6sec6x
− − −
′ = 
e) ( ) ( ) ( )
2 33x 2 6 x 2x tg 6x
f x
sec 6x
− − −
′ = . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )[ ]
( )
′ ′⋅ − ⋅
−
′= = =
  
′= − ⇒ = −
′= ⇒ = ⋅ ⋅
′ ′⋅ − ⋅
′ =
  
⋅ − − − ⋅ ⋅ ⋅
′ =
′ =
3
2
3 2
2
2 3
2
2
u x v x u x u x v xx 2xf x f x f x
sec 6x v x v x
Sabemos que :
u x x 2x u x 3x 2 
v x sec 6x v x sec 6x tg6x 6
v x u x u x v x
f x
v x
sec 6x 3x 2 x 2x sec 6x tg6x 6
f x
sec 6x
3x
f x ( ) ( )
( ) ( ) ( )
− ⋅ − − ⋅ ⋅
− − − ⋅
′ =
3
2
2 3
2 sec 6x 6 x 2x sec 6x tg6x
sec 6x
3x 2 6 x 2x tg6x
f x
sec 6x
 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
53
43 2
42 3
g x 3 2x 1
g x 15 2x 1 6x
g x 90x 2x 1
= −
′ = − ⋅
′ = ⋅ −
 
9. (Valor 6) Uma escada com 25 unidades de comprimento está apoiada numa parede vertical. Se o pé da escada 
for puxado horizontalmente, afastando-se da parede a 4 unidades de comprimento por segundo, pode-se afirmar 
que a velocidade com que a escada está deslizando, quando seu pé está a 20 unidades de comprimento da parede 
será de 
(A) -16/3 u/s 
(B) 35 u/s1 
(C) 20 u/s 
(D) 5 u/s 
(E) 15 u/s 
 
 
Gabarito:Escada 
y 
x 
dx unidades4
dt s
dy ? x 20 unidades
dt
=
= ⇒ =
 
( )
2 2
2 2
y 625 x
d dy 625 x
dt dt
dy dx2y 0 2x
dt dt
dy dxy x
dt dt
dy15 20 4
dt
dy 80 unidades
dt 15 s
dy 16 unidades
dt 3 s
= −
= −
= −
= −
= − ⋅
= −
= −
 
2 2 2
2 2
25 y x
625 y 20
y 15 unidades
= +
= +
=