lista 2 de cálculo II
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U N I V E R S I D A D E D E S Ã O P A U L O 
Escola de Engenhar ia de Lorena \u2013 EEL 
 
 
 
Rodovia Itajubá-Lorena, Km 74,5 Área I 
CEP 12600-970 - Lorena - SP 
Fax (12) 3153-3133 
Tel. (Direto) (12) 3159-5007/3153-3209 
USP Lorena 
 
 
 
www.faenquil.br 
 
Pólo Urbo-Industrial Área II 
 CEP 12600-970 - Lorena - SP 
Fax (12) 3153-3006 
Tel. (PABX) (12) 3159-9900 
 
Lista de Exercícios de Cálculo II (LOB1004) - 3 
 
Profa. Responsável: Diovana A. S. Napoleão 
Departamento de Ciências Básicas e Ambientais 
Assunto referente: Derivadas parciais, Derivadas parciais de funções de 
três ou mais variáveis e de ordem superior 
 
1- Determinar as derivadas parciais (derivar em relação a x e a y): 
a) 
4 2 3( , ) 5 4f x y x y xy\uf03d \uf02b \uf02b
 
b) 3 3 2( , ) (4 3 ) 5f x y xy y x y\uf03d \uf02d \uf02b 
c) 3 2
2 2
x y
z
x y
\uf02b
\uf03d
\uf02b
 
d) 
3 23( , ) 3f x y x y\uf03d \uf02b \uf02b
 
e) z = cosxy 
f) z=(x2 + y2)ln(x2 + y2) 
g) 
2 2cos( )
xseny
z
x y
\uf03d
\uf02b
 
h) z= tgxy 
i) f(x, t) = arctg(x
t
) 
j) u = sen-1(yz) 
 
2- Considere a função 2
2 2
xy
z
x y
\uf03d
\uf02b
. Verifique que 
z z
x y z
x y
\uf0b6 \uf0b6
\uf02b \uf03d
\uf0b6 \uf0b6
. 
 
3-Seja 
:R R\uf06a \uf0ae
uma função de uma variável real, diferenciável e tal que 
'(2) 8\uf06a \uf03d
. 
Seja 
( , )
x
g x y
y
\uf066
\uf0e6 \uf0f6
\uf03d \uf0e7 \uf0f7
\uf0e8 \uf0f8
. Calcule: 
a) 
(2,2)
g
x
\uf0b6
\uf0b6
 b) 
(2,2)
g
y
\uf0b6
\uf0b6
 
 
4-Considere a função dada por 
x
z xsen
y
\uf03d
. Verifique que: 
z z
x y z
x y
\uf0b6 \uf0b6
\uf02b \uf03d
\uf0b6 \uf0b6
 
 
5- A função p=p(V,T) é dada implicitamente pela equação pV=nRT, onde n e R são 
constantes não-nulas. Calcule 
p p
e
V T
\uf0b6 \uf0b6
\uf0b6 \uf0b6
. 
 
 
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6- Suponha que a função z = z(x, y) admita derivadas parciais em todos os pontos de 
seu domínio e que seja dada implicitamente pela equação xyz + z3 = x. Expresse 
z z
e
x y
\uf0b6 \uf0b6
\uf0b6 \uf0b6
 em termos de x, y e z. 
 
7-Seja f(x, y) = 2 2
2
0
x y
te dt
\uf02b
\uf02d
\uf0f2
. Calcule 
( , )
f
x y
x
\uf0b6
\uf0b6
 e 
( , )
f
x y
y
\uf0b6
\uf0b6
. 
 
8- Determinar as derivadas parciais (derivar em relação às variáveis): 
 
a) f(x,y,z)= x 
x y ze \uf02d \uf02d
 
b) w = x2arcsen 
x
y
 
c) 
xyz
w
x y z
\uf03d
\uf02b \uf02b
 
d) 
2 2 2( , , ) ( )f x y z sen x y z\uf03d \uf02b \uf02b
 
 
9- Seja 
:f R R\uf0ae
 contínua em f(3) = 4. Considere 
 
2 4
0
( , , ) ( )
x y z
g x y z f t dt
\uf02b \uf02b
\uf03d \uf0f2
 
Calcule: 
a) 
\uf028 \uf0291,1,1
g
x
\uf0b6
\uf0b6
 b) 
\uf028 \uf0291,1,1
g
y
\uf0b6
\uf0b6
 c) 
\uf028 \uf0291,1,1
g
z
\uf0b6
\uf0b6
 
 
10- A energia cinética de um corpo com massa m e velocidade v é 
21
2
k mv\uf03d
. Mostre 
que: 
 
2
2
K K
K
m v
\uf0b6 \uf0b6
\uf03d
\uf0b6 \uf0b6
 
11- Verifique se a função u 
2 2 2
1
u
x y z
\uf03d
\uf02b \uf02b
é uma solução da equação de Laplace 
uxx + uyy + uzz = 0. 
 
12- Verifique se a função 2 2k tu e \uf061\uf02d\uf03d senkx é solução da equação de condução de calor 
2
t xxu u\uf061\uf03d
. 
 
13- Mostre que a função 
( , ) .u x t senawt senwx\uf03d
 satisfaz a equação da onda. 
2 2
2
2 2
u u
a
t x
\uf0b6 \uf0b6
\uf03d
\uf0b6 \uf0b6