Aula 10 - Derivadas

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Matemática para Negócios
Aula 10 - Derivadas
INTRODUÇÃO
Veremos nesta aula algumas técnicas de derivação como: Derivada da Função Potência, Derivada de uma Constante,
Derivada de uma Constante Multiplicada por uma Função, Derivada de uma Soma, Derivada do Produto e Derivada do
Quociente. 
Bons estudos!
OBJETIVOS
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Analisar e resolver as técnicas de derivação.
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DERIVADA DA FUNÇÃO POTÊNCIA
A derivada da função potência pode ser usada em diferentes contextos.
Derivada de uma função 
Para realizar a diferenciação da derivada de uma função, deve-se seguir algumas regras. São elas:
Derivadas 
Uma função y=f(x) tem como derivada a representação y’. As regras de derivação são bem simples:
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DERIVADA DA FUNÇÃO POTÊNCIA
Taxa Média de Variação de uma função y = f(x) no intervalo [a, b].
Quando a variável x passa do valor a para o valor b, variando ∆ x = b – a, os valores da função y = f(x) passam de y =
f(a) para  y= f(b), variando ∆ y = f(b) - f(a). 
A divisão da variação (∆ y de y) pela variação (∆ x de x) é a taxa média de variação (TMV) dessa função no intervalo[a,
b]:
Vejamos na prática! 
Vamos calcular e interpretar o valor da taxa média de variação da função y = x² + 1 no intervalo [1, 3].
Para a = 1 e b = 3 → ∆ x = 3 – 1 = 2 
y = f(3) = 9 + 1 = 10 
y = f(1) = 1 + 1 = 2
No intervalo [1, 3] a função y = x² + 1 está crescendo, em média, 4 para cada unidade acrescida em x.
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Exemplo
, y = 2x → y’ = 5.2x  = 10x 
y = 7√𝑥 → y’ = (7).(x )’  = 7.(1/2).(x ) = 7/2 √𝑥 
y = 3x + 2x → y’ = (5).(3x ) + (4).(2x ) = 15x + 8x 
y = 5x → y’ = 5 
y = 5 → y’ = 0 
y = 8x – 7x + 2x – 2x + 11 → y’ = 32x – 21x + 4x – 2
CÁLCULO DA DERIVADA EM UM PONTO
Para compreendermos como determinar a derivada em um ponto, vamos calcular o valor da derivada de y = 3x + 10x
– 50 no ponto p = 0,8 e interpretar o resultado obtido.
y = 3x + 10x – 50 no ponto p=0,8 
 
Cálculo da função derivada: y’= 6x + 10 
 
Cálculo do valor da função derivada no ponto p=0,8: 
y’ (0,8) = 6(0,8) + 10 = 14,8 
 
Interpretação: 
no ponto p=0,8 a tendência da função y = 3x + 10x – 50 é crescer 14,8.
VAMOS PRATICAR!
Se o custo de um produto em função da quantidade produzida é dado por: CT = q –3q + 100q + 1000, calcule a
tendência à variação do custo com a quantidade, relativa ao valor do custo quando a quantidade é de 50 unidades.
Resposta Correta
DERIVADA DO PRODUTO DE DUAS FUNÇÕES:  Y = F(X) . G(X)
Seja a função:
Vamos calcular a derivada da função y = (x + 1).(x – 3x), x ∈ 𝑹
5 4 4
1/2 -1/2
5 4 4 3 4 3
4 3 2 3 2
2
2
2
3 2
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f(x) = x + 1 ; g(x) = x² - 3x 
(x) = 1;   g’(x) = 2x – 3 
 
Correção: 
 
Então: y’ = (x + 1)’ . (x² – 3x) + (x + 1) . (x² - 3x)’ = 1 . (x² - 3x) + (x + 1) . (2x – 3) = x² –3x + 2x² + 2x – 3x – 3 = 3x² – 4x –
3,  x ∈ R
DERIVADA DO QUOCIENTE DE DUAS FUNÇÕES
É determinada pelas funções:
Vejamos alguns exemplos:
Vamos calcular a derivada da função y = x / (x+1) , x ≠ − 1
f(x) = x  ;  g(x) = x+1 
f’(x) = 1  ;  g’(x) = 1 
y = f/g → y’ = (f’ . g – f . g’) / g² 
y'=[x+1)-x]/(x+1)²=1/(x+1)² para x ∈ 0
Vamos calcular a derivada da função y = 5x / (x2 + 4), x ∈ R
f(x) = 5x ; g(x) = x² + 4 
f’(x) = 5 ; g’ (x) = 2x 
y = f / g → y’ = (f’ . g – f . g’) / g² 
(f/g)’ = [(5) (x² + 4) – (5x) (2x) ] / (x² + 4)² = 
(5x² + 20 - 10x²) / (x² + 4)² = (20 – 5x²) / (x² + 4)² , x ∈ R
ATIVIDADE
1 - Calcule o valor da derivada da função y = –0,25x² + 6x + 5, x ∈ R, no ponto p= –5 e interprete o resultado obtido.
Resposta Correta
ATIVIDADE
2 - Calcule a função derivada de cada uma das funções:
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Resposta Correta
3 – Calcule e interprete o valor da taxa média de variação da função y = x – 8x no intervalo [2, 6].
1
0
2
6
Justi�cativa
4 – Calcule a função derivada da função y = 4x – 10, (x ∈ R).
16x
4x – 10
16x – 10
11x – 10
Justi�cativa
5 - Calcule a função derivada da função y = x-1, supondo x ≠ 0.
-1 . x
-1. x
x
2
4
3
3
4
3
1
-1
-2
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1x
Justi�cativa
6 – Calcule o valor da derivada da função y = -3x + x + 2, x ∈ R, no ponto p = 2 e interprete o resultado obtido.
y’ = -11; no ponto p = 2 a tendência da função é decrescer 11.
y’ = 13; no ponto p = 2 a tendência da função é crescer 13.
y’ = 13; no ponto p = 2 a tendência da função é decrescer 13.
y’ = 11; no ponto p = 2 a tendência da função é crescer 13.
Justi�cativa
Glossário
2
2