Propriedades das Integrais Definidas - Aula

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO - UFPE 
Centro Acadêmico do Agreste - CAA 
Cálculo Diferencial e Integral I – 2014.2 
 
 
Propriedades da Integral Definida 
 
 Nos cálculos que fizemos sempre considerarmos que 𝑎 < 𝑏. E se 𝑏 < 𝑎? 
 
Propriedade 1: 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑎
𝑏
= − ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥.
𝑏
𝑎
 
 
Demonstração: De fato, sabemos que 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =
𝑏
𝑎
lim
𝑛→ ∞
∑ 𝑓(𝑥𝑖)∆𝑥,
𝑛
𝑖=1
 
onde ∆𝑥 =
𝑏−𝑎
𝑛
 . Se 𝑏 < 𝑎 então ∆𝑥̅̅̅̅ =
𝑎−𝑏
𝑛
= −
𝑏−𝑎
𝑛
= −∆𝑥. Logo, 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑎
𝑏
= lim
𝑛→∞
∑ 𝑓(𝑥𝑖)
𝑛
𝑖=1
∆𝑥̅̅̅̅ = lim
𝑛→∞
∑ 𝑓(𝑥𝑖)
𝑛
𝑖=1
(−∆𝑥) = lim
𝑛→∞
[− ∑ 𝑓(𝑥𝑖)
𝑛
𝑖=1
∆𝑥] 
= − lim
𝑛→∞
∑ 𝑓(𝑥𝑖)
𝑛
𝑖=1
∆𝑥 = − ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥. 
𝑏
𝑎
 
∎ 
 
 E o que se deve esperar de uma integral onde 𝑎 = 𝑏? 
 
Propriedade 2: 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 0.
𝑎
𝑎
 
 
Demonstração: Nesse caso teríamos ∆𝑥 =
𝑎−𝑎
𝑛
= 0. Segue que 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑎
𝑎
= lim
𝑛→∞
∑ 𝑓(𝑥𝑖)∆𝑥
𝑛
𝑖=1
= lim
𝑛→∞
∑ 𝑓(𝑥𝑖) ∙ 0
𝑛
𝑖=1
= lim
𝑛→∞
0 = 0. 
∎ 
 
Propriedade 3: 
∫ 𝑐𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= 𝑐(𝑏 − 𝑎), 
onde 𝑐 é qualquer constante. 
 
Demonstração: A função 𝑐 é constante. Logo, assume o mesmo valor para todo 𝑥. 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= ∫ 𝑐𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= lim
𝑛→∞
∑ 𝑐∆𝑥
𝑛
𝑖=1
= lim
𝑛→∞
𝑐 ∑ ∆𝑥
𝑛
𝑖=1
= lim
𝑛→∞
𝑐(𝑏 − 𝑎) = 𝑐(𝑏 − 𝑎). 
∎ 
 
 Sejam 𝑓 e 𝑔 funções contínuas. Posteriormente veremos que toda função contínua é 
integrável. 
 
Propriedade 4: 
∫ (𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥))𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
+ ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
.
𝑏
𝑎
 
 
Demonstração: Por definição 
∫ [𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 = lim
𝑛→∞
∑[𝑓(𝑥𝑖) + 𝑔(𝑥𝑖)]
𝑛
𝑖=1
𝑏
𝑎
∆𝑥 = lim
𝑛→∞
∑[𝑓(𝑥𝑖)∆𝑥 + 𝑔(𝑥𝑖)∆𝑥].
𝑛
𝑖=1
 
Pelas propriedades dos somatórios, obtemos 
lim
𝑛→∞
∑[𝑓(𝑥𝑖)∆𝑥 + 𝑔(𝑥𝑖)∆𝑥]
𝑛
𝑖=1
= lim
𝑛→∞
[∑ 𝑓(𝑥𝑖)∆𝑥 + ∑ 𝑔(𝑥𝑖)∆𝑥
𝑛
𝑖=𝑖
𝑛
𝑖=1
] . 
Uma vez que os limites de cada somatório existe, segue que 
∫ [𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 = lim
𝑛→∞
∑ 𝑓(𝑥𝑖)∆𝑥 +
𝑛
𝑖=1
lim
𝑛→∞
∑ 𝑔(𝑥𝑖)∆𝑥
𝑛
𝑖=1
𝑏
𝑎
= ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
+ ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
. 
∎ 
 
Propriedade 5: 
∫ 𝑐𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= 𝑐 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
, 
onde 𝑐 é qualquer constante. 
 
Demonstração: Sabemos que 
∫ 𝑐𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= lim
𝑛→∞
∑ 𝑐𝑓(𝑥𝑖)∆𝑥
𝑛
𝑖=1
= lim
𝑛→∞
𝑐 ∑ 𝑓(𝑥𝑖)∆𝑥
𝑛
𝑖=1
= 𝑐 lim
𝑛→∞
∑ 𝑓(𝑥𝑖)∆𝑥
𝑛
𝑖=1
. 
Portanto, 
∫ 𝑐𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= 𝑐 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
. 
∎ 
 
Propriedade 6: 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑐
𝑎
+ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑐
= ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
. 
 
Exemplo 1: Consideremos ∫ 𝑥𝑑𝑥
3
0
+ ∫ 𝑥𝑑𝑥
5
3
. Calculando cada uma das integrais, temos 
 
∫ 𝑥𝑑𝑥 =
3 ∙ 3
2
=
9
2
3
0
 
 
 
 
Dessa forma, 
∫ 𝑥𝑑𝑥
3
0
+ ∫ 𝑥𝑑𝑥
5
3
=
9
2
+ 8 =
9 + 16
2
=
25
2
. 
 
Note que 
∫ 𝑥𝑑𝑥
5
0
=
5 ∙ 5
2
=
25
2
. 
Confirma-se que 
∫ 𝑥𝑑𝑥
3
0
+ ∫ 𝑥𝑑𝑥
5
3
= ∫ 𝑥𝑑𝑥
5
0
. 
∎ 
 
Propriedades Comparativas da Integral 
 
Propriedade 7: Se 𝑓(𝑥) ≥ 0 para 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, então 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
≥ 0. 
 
Isso segue do fato de que nesse caso a integral representa a área abaixo do gráfico de 𝑓 
e acima do eixo 𝑥. 
 
 
∫ 𝑥𝑑𝑥 = 2 ∙ 3 +
2 ∙ 2
2
 = 6 + 2 = 8
5
3
 
 
Propriedade 8: Se 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) para 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, então 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≥ ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥.
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
 
 
Propriedade 9: Se 𝑚 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑀 para 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, então 
𝑚(𝑏 − 𝑎) ≤ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
≤ 𝑀(𝑏 − 𝑎). 
 
Demonstração: De acordo com a Propriedade 8 
∫ 𝑚𝑑𝑥
𝑏
𝑎
≤ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
≤ ∫ 𝑀𝑑𝑥.
𝑏
𝑎
 
Utilizando a Propriedade 3 
𝑚(𝑏 − 𝑎) ≤ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
≤ 𝑀(𝑏 − 𝑎). 
∎ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Texto baseado nos livros 
 GUIDORIZZI, H. L., Um Curso de Cálculo, Vol. 1. Ed. LTC, 2001. 
 STEWART, J., Cálculo, V.1. Ed. Thomson Pioneira, 2005.