Teorema Fundamental do Cálculo -Aula

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO - UFPE 
Centro Acadêmico do Agreste - CAA 
Cálculo Diferencial e Integral I – 2014.2 
 
 
Teorema Fundamental do Cálculo 
 
 O Teorema que veremos adiante nos mostra que existe uma forte relação entre 
derivadas e integrais. Essa relação nos permite calcular integrais de uma forma bem mais 
simples do que o cálculo do limite e somas aproximantes. 
 A princípio consideremos uma função 𝑔 definida a partir da função 𝑓 ≥ 0 da seguinte 
forma: 
𝑔(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
𝑥
𝑎
. 
 Ela pode ser interpretada como a área abaixo do gráfico de 𝑓, acima do eixo 𝑥 e entre as 
retas 𝑥 = 𝑎 e 𝑥 = 𝑏. 
 
 
 
 
 
 
 Calculemos a derivada de 𝑔. Para ℎ > 0 temos que 𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥) é a área dada na 
figura ao lado. Perceba que essa área é aproximadamente a mesma do retângulo de base ℎ e 
altura 𝑓(𝑥). Assim, 
𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥) ≈ ℎ ∙ 𝑓(𝑥) 
logo 
𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)
ℎ
≈ 𝑓(𝑥). 
Devemos, então, esperar que 
𝑔′(𝑥) = lim
ℎ→0
𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)
ℎ
= 𝑓(𝑥). 
É o que garante o 
 
Teorema Fundamental do Cálculo (Parte 1) Se 𝑓 for contínua em [𝑎, 𝑏], então a função 
definida por 
𝑔(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏
𝑥
𝑎
 
é contínua em [𝑎, 𝑏] e diferenciável em (𝑎, 𝑏) e 𝑔′(𝑥) = 𝑓(𝑥). 
 
Demonstração: Tomemos 𝑥 e 𝑥 + ℎ em (𝑎, 𝑏). Temos que 
𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
𝑥+ℎ
𝑎
− ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
𝑥
𝑎
 = [∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 + ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
𝑥+ℎ
𝑥
𝑥
𝑎
] − ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
𝑥
𝑎
 
= ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
𝑥+ℎ
𝑥
 . 
Supondo ℎ ≠ 0 
𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)
ℎ
=
1
ℎ
∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡.
𝑥+ℎ
𝑥
 
 Se considerarmos ℎ > 0, como 𝑓 é contínua em [𝑥, 𝑥 + ℎ], pelo Teorema do Valor 
Extremo existem 𝑢, 𝑣 ∈ [𝑥, 𝑥 + ℎ] tais que 𝑚 = 𝑓(𝑢) é o valor mínimo e 𝑀 = 𝑓(𝑣) é o valor 
máximo absoluto de 𝑓 nesse intervalo. Pelas propriedades já vistas 
𝑚ℎ ≤ ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 ≤
𝑥+ℎ
𝑥
𝑀ℎ ⇔ 𝑓(𝑢) ∙ ℎ ≤ ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 ≤
𝑥+ℎ
𝑥
𝑓(𝑣) ∙ ℎ 
 ⇔ 𝑓(𝑢) ≤
1
ℎ
∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 ≤
𝑥+ℎ
𝑥
𝑓(𝑣), 
ou seja, 
𝑓(𝑢) ≤
𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)
ℎ
≤ 𝑓(𝑣). 
Se ℎ < 0 chegamos, de forma análoga, ao mesmo resultado. Note que como 𝑢 e 𝑣 estão em 
[𝑥, 𝑥 + ℎ], se fizermos ℎ → 0 teremos que 
𝑢 → 𝑥 e 𝑣 → 𝑥. 
Logo, 
limℎ→0 𝑓(𝑢) = lim
𝑢→𝑥
𝑓(𝑢) = 𝑓(𝑥) e limℎ→0 𝑓(𝑣) = lim
𝑣→𝑥
𝑓(𝑣) = 𝑓(𝑥), 
pois 𝑓 é contínua. Pelo Teorema do Confronto, 
𝑔′(𝑥) = lim
ℎ→0
𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)
ℎ
= 𝑓(𝑥). 
Se 𝑥 = 𝑎 ou 𝑥 = 𝑏 olhamos para esse limite como um limite lateral. 
∎ 
 
Exemplo 1: Podemos afirmar que a derivada da função 
𝑔(𝑥) = ∫ sec2 𝑡𝑑𝑡
𝑥
0
 
é 
𝑔′(𝑥) = sec2 𝑥, 
pois a função 𝑓(𝑥) = sec2 𝑥 é contínua em [0, +∞). 
∎ 
 
Exemplo 2: Encontre a derivada de ℎ(𝑥) = ∫ √1 − 𝑒𝑡𝑑𝑡.
𝑥
7
 
 
Solução: Como 𝑓(𝑡) = √1 + 𝑒𝑡 é contínua em ℝ, pelo TFC. Parte 1, 
ℎ′(𝑥) = √1 + 𝑒𝑥 . 
∎ 
 
Exemplo 3: Vamos calcular 
𝑑
𝑑𝑥
∫ sec 𝑡 𝑑𝑡 .
𝑥4
1
 Observe que nesse caso o limite superior é uma 
função. Logo, 
∫ sec 𝑡 𝑑𝑡
𝑥4
1
 
é a composição das funções 
𝑔(𝑢) = ∫ sec 𝑡 𝑑𝑡
𝑢
1
 𝑒 𝑢(𝑥) = 𝑥4 . 
Pela Regra da Cadeia 
𝑑
𝑑𝑥
∫ sec 𝑡 𝑑𝑡 =
𝑑
𝑑𝑢
𝑥4
1
𝑔(𝑢) ∙
𝑑
𝑑𝑥
𝑢(𝑥) =
𝑑
𝑑𝑢
∫ sec 𝑡 𝑑𝑡
𝑢
1
∙
𝑑𝑥4
𝑑𝑥
= sec 𝑢 ∙ 4𝑥3 = 4𝑥3 sec(𝑥4) . 
∎ 
 
Teorema Fundamental do Cálculo (Parte 2) Se 𝑓 for contínua em [𝑎 , 𝑏], então 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)
𝑏
𝑎
 
onde 𝐹 é qualquer antiderivada de 𝑓, isto é, uma função tal que 𝐹′ = 𝑓. 
 
Demonstração: Seja 𝑔(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡.
𝑥
𝑎
 A parte 1 do TFC nos garante que 𝑔′(𝑥) = 𝑓(𝑥), ou 
seja, 𝑔 é uma primitiva de 𝑓. Sabemos que qualquer outra primitiva 𝐹 de 𝑓 tem a forma, para 
𝑎 < 𝑥 < 𝑏, 
𝐹(𝑥) = 𝑔(𝑥) + 𝐶 
onde 𝐶 é uma constante. Como 𝐹 e 𝑔 são contínua em [𝑎, 𝑏], 
lim
𝑥→𝑎+
𝐹(𝑥) = lim
𝑥→𝑎+
(𝑔(𝑥) + 𝐶) = lim
𝑥→𝑎+
𝑔(𝑥) + lim
𝑥→𝑎+
𝐶 = 𝑔(𝑎) + 𝐶 = 𝐹(𝑎) 
e 
lim
𝑥→𝑏−
𝐹(𝑥) = lim
𝑥→𝑏−
(𝑔(𝑥) + 𝐶) = lim
𝑥→𝑏−
𝑔(𝑥) + lim
𝑥→𝑏−
𝐶 = 𝑔(𝑏) + 𝐶 = 𝐹(𝑏). 
Logo, 
𝐹(𝑥) = 𝑔(𝑥) + 𝐶 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]. 
 Fazendo 𝑥 = 𝑎 em 𝑔 temos que 
𝑔(𝑎) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
𝑎
𝑎
= 0. 
 Assim, 
𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) = 𝑔(𝑏) − 𝐶 − 𝑔(𝑎) − 𝐶 = 𝑔(𝑏) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡.
𝑏
𝑎
 
∎ 
 
Exemplo 4: Vamos calcular a integral de 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 3 em [−1, 5]. Uma vez que a função é 
contínua no intervalo considerado podemos utilizar a segunda parte do TFC. Uma primitiva de 
𝑓 é dada por 
𝐹(𝑥) =
𝑥3
3
+ 3𝑥. 
Portanto, 
∫ (𝑥3 + 3)𝑑𝑥
5
−1
= 𝐹(5) − 𝐹(−1) =
53
3
+ 3 ∙ 5 − (
(−1)3
3
+ 3(−1)) 
 =
125
3
+ 15 −
(−1)
3
+ 3 =
125 + 45 + 1 + 9
3
=
180
3
= 60. 
∎ 
 
Exemplo 5: Calculemos a área abaixo do gráfico de 𝑓(𝑥) =
𝑠𝑒𝑛 𝑥 em [0, 𝜋]. Como a função é contínua no intervalo dado, 
∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥
𝜋
0
= −cos 𝑥|0
𝜋 
 = − cos 𝜋 − (−𝑐𝑜𝑠0) = 1 − (−1) = 1 + 1 = 2. 
Dessa forma, a área procurada é 2𝑢. 𝑎.. 
∎ 
 
Exemplo 6: O TFC não é aplicável à função 𝑓(𝑥) =
1
𝑥2
 em [−1, 3]. Por quê? 
 
Solução: Para que possamos aplicar a segunda parte do TFC precisamos que a função seja 
contínua no intervalo considerado, o que não acontece para 𝑓(𝑥) =
1
𝑥2
 em [−1, 3], pois a função 
não é contínua em zero. 
∎ 
Texto baseado nos livros 
 GUIDORIZZI, H. L., Um Curso de Cálculo, Vol. 1. Ed. LTC.,2001. 
 STEWART, J., Cálculo, V.1. Ed. Thomson Pioneira, 2005.