q4ad2resolucao-2051-1

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AD2 – Questa˜o 4 – Gabarito
a) (1.5 pt) Quatro pessoas foram a uma lanchonete e consumiram 1 pastel integral e 1 suco natural,
cada uma, gastando um total de 40, 00 reais. Em um outro dia, uma dessas pessoas voltou a`
lanchonete e comprou 6 pasteis integrais e 4 sucos naturais para viagem, quando, enta˜o, gastou
54, 50 reais. Qual a diferenc¸a entre os prec¸os do pastel integral e do suco natural?
Soluc¸a˜o: Chamando pelas letras x e y os prec¸os do pastel integral e do suco natural, respecti-
vamente, temos o sistema: {
4x+ 4y = 40
6x+ 4y = 54, 50.
Da´ı, multiplicando a primeira equac¸a˜o deste sistema por −1 e somando suas duas equac¸o˜es vem:
−4x− 4y = −40
6x+ 4y = 54, 50
2x+ 0y = 14, 50.
Assim,
2x = 14, 50⇐⇒ x = 14, 50
2
= 7, 25 reais.
Levando este valor de x na primeira equac¸a˜o do sistema, temos:
4 · 7, 25 + 4y = 40⇐⇒ 29 + 4y = 40⇐⇒ 4y = 40− 29 = 11⇐⇒ y = 11
4
= 2, 75 reais.
Logo, a diferenc¸a entre os prec¸os do pastel integral e do suco natural sera´ dada pela diferenc¸a
entre x e y, isto e´,
x− y = 7, 25− 2, 75 = 4, 50 reais.
b) (1,0 pt) Pedro pensou em um nu´mero maior que 10 e menor que 80. A soma de seus algarismos
e´ 15 e o produto de seus algarismos e´ 56. Qual e´ esse nu´mero?
Soluc¸a˜o: Seja N este nu´mero que Pedro pensou, tal que 10 < N < 80. Sejam x e y os
algarismos que formam este nu´mero N . Temos que:{
x+ y = 15
xy = 56.
Substituindo na segunda equac¸a˜o do sistema acima o valor de y obtido na primeira equac¸a˜o,
temos:
x(15 − x) = 56 ⇐⇒ 15x− x2 = 56
⇐⇒ x2 − 15x+ 56 = 0
⇐⇒ x = 15±
√
(−15)2 − 4(56)
2
=
15±√225 − 224
2
=
15 ±
√
1
2
=
15± 1
2
.
Me´todos Determin´ısticos I AD2 - questa˜o 3 2
Da´ı, x1 =
15 + 1
2
=
16
2
= 8 ou x2 =
15− 1
2
=
14
2
= 7.
Levando estes dois valores de x para a primeira equac¸a˜o, vem que y1 = 15− x1 = 15− 8 = 7 e
y2 = 15− x2 = 15− 7 = 8.
Consequentemente, N podera´ ser o nu´mero 87 ou o nu´mero 78.
Como 10 < N < 80, N = 78.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ