Dependência e Independência Linear em Álgebra Linear

Prévia do material em texto

MA33 - Introduc¸a˜o a` A´lgebra Linear
Unidade 6 - Dependeˆncia e independeˆncia linear
A. Hefez e C. S. Fernandez
Resumo elaborado por Paulo Sousa
PROFMAT - SBM
10 de agosto de 2013
Dependeˆncia e independeˆncia linear
Vimos na sec¸a˜o anterior, que um conjunto finito de vetores S gera
um dado espac¸o vetorial V se cada vetor em V pode ser escrito como
uma combinac¸a˜o linear dos vetores de S . Em geral, pode haver mais
de uma maneira de expressar um vetor em V como uma combinac¸a˜o
linear de vetores de um conjunto gerador. Veja exemplo a seguir:
Exemplo: Considere os conjuntos S1 = {(1, 1), (1,−1)} e S2 =
{(1, 2), (2, 1), (1,−1)}. Dado (x , y) ∈ R2, temos que
I (x , y) = x+y2 (1, 1) +
x−y
2 (1,−1);
I (x , y) = 2y−x3 (1, 2) +
2x−y
3 (2, 1) + 0 · (1,−1);
I (x , y) = x+y3 (1, 2) + 0 · (2, 1) + 2x−y3 (1,−1).
Portanto, R2 = G (S1) = G (S2). Ale´m disso, existem formas dis-
tintas de escrevermos os vetores de R2 como combinac¸a˜o linear dos
elementos de S2. Este fato na˜o ocorre com o conjunto S1.
PROFMAT - SBM MA33 - Introduc¸a˜o a` A´lgebra Linear slide 2/6
Dependeˆncia e independeˆncia linear
A seguir, estudaremos condic¸o˜es sob as quais cada vetor de um espac¸o
vetorial V pode ser escrito de uma u´nica maneira como combinac¸a˜o
linear dos elementos de um conjunto gerador. Na pro´xima unidade
veremos que conjuntos geradores com esta propriedade desempenham
um papel fundamental no estudo dos espac¸os vetoriais.
Definic¸a˜o: Sejam v1, . . . , vr vetores em um espac¸o vetorial V . Dize-
mos que os vetores v1, . . . , vr sa˜o linearmente independentes, ou LI,
se a equac¸a˜o
a1v1 + · · ·+ arvr = 0
e´ satisfeita somente quando a1 = · · · = ar = 0. Caso exista algum
ai 6= 0, dizemos que os vetores v1, . . . , vr sa˜o linearmente dependen-
tes, ou LD.
O termo “linearmente dependente” sugere que os vetores de alguma
maneira dependem uns dos outros. O pro´ximo resultado mostra que
isto realmente ocorre.
PROFMAT - SBM MA33 - Introduc¸a˜o a` A´lgebra Linear slide 3/6
Dependeˆncia e independeˆncia linear
Teorema: Um conjunto finito S com dois ou mais vetores de um
espac¸o vetorial V e´ LD se, e somente se, pelo menos um dos vetores
de S pode ser escrito como uma combinac¸a˜o linear dos outros vetores.
Dem.: Seja S = {v1, . . . , vr } um subconjunto de um espac¸o V . Se
S e´ LD, enta˜o existem nu´meros reais a1, . . . , ar na˜o todos nulos, tais
que a1v1 + · · ·+ arvr = 0. Suponhamos que a1 6= 0, enta˜o
v1 = −
a2
a1
v2 · · ·− ar
a1
vr
mostrando que v1 e´ uma combinac¸a˜o linear dos demais vetores de S .
Reciprocamente, se v1 e´ combinac¸a˜o linear dos outros vetores de S
existem b2, . . . , br tais que v1 = b2v2 · · ·+ brvr . Logo,
1 · v1 − b2v2 · · ·− brvr = 0
mostrando que os vetores v1, . . . , vr sa˜o LD.
PROFMAT - SBM MA33 - Introduc¸a˜o a` A´lgebra Linear slide 4/6
Dependeˆncia e independeˆncia linear
Exemplo: Determinemos para quais valores reais de a os vetores
(a,−1,−1), (−1, a,−1) e (−1,−1, a) formam um conjunto linear-
mente dependente em R3. Para tanto, devemos garantir a existeˆncia
de constantes x , y , z na˜o todas nulas tais que
x(−1,−1, a) + y(−1, a,−1) + z(a,−1,−1) = (0, 0, 0).
Existe soluc¸a˜o na˜o trivial para a equac¸a˜o se, so´ se, o sistema ho-
mogeˆneo abaixo tem soluc¸a˜o diferente da soluc¸a˜o (0, 0, 0):
−x − y + az = 0
−x + ay − z = 0
ax − y − z = 0
.
Aplicando o me´todo do escalonamento, conclu´ımos que o sistema e´
poss´ıvel e indeterminado quando a = −1 ou a = 2. A soluc¸a˜o deste
problema motiva o pro´ximo resultado, que nos oferece um me´todo
para verificar se n vetores de Rn LI ou LD.
PROFMAT - SBM MA33 - Introduc¸a˜o a` A´lgebra Linear slide 5/6
Dependeˆncia e independeˆncia linear
Proposic¸a˜o: Sejam v1, . . . , vn vetores em Rn, onde para cada i com
1 6 i 6 n, temos vi = (ai1, . . . , ain). Seja A = (aij). Temos que
{v1, . . . , vn} e´ LI se, e somente se, A e´ invert´ıvel.
O pro´ximo resultado reponde ao mesmo questionamente para o caso
que tenhamos n + 1 vetores em Rn.
Proposic¸a˜o: Sejam v1, . . . , vr vetores em Rn. Se r > n, enta˜o os
vetores v1, . . . , vr sa˜o linearmente dependentes.
Ide´ia da Dem.: Obter uma combinac¸a˜o linear dois vetores v1, . . . , vr
resultando no vetor nulo, e´ equivalemte a encontrar soluc¸o˜es para um
sistema linear homogeˆneo com r -inco´gnitas e n-equac¸o˜es. E´ sabido
que, um sistema linear cuja quantidade de inco´gnitas e´ maior que a
quantidade de equac¸o˜es e´ poss´ıvel e indeterminado.
PROFMAT - SBM MA33 - Introduc¸a˜o a` A´lgebra Linear slide 6/6