Limites e Continuidade - Resumo

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www.abacoaulas.com LIMITES e CONTINUIDADE: Resumo Prof. Alexandre O Calvão
LIMITES
A IDÉIA DE LIMITE. 
 Se existe um número L tal que f(x) fica 
arbitrariamente próximo de L quando x está 
suficientemente próximo de c (com x ≠ c), então
Limx -> C f(x) = L
o qual deve ser lido como “o limite de f(x) quando x 
tende a “c” é L”.
Obs. Intuitivamente, isto significa que, a medida 
que x se aproxima de c, f(x) se aproxima de L.
Obs. X não precisa assumir o valor c, a função não 
precisa sequer estar definida em c!
LIMITE- Def. 
 Seja f uma função definida num conjunto X de 
números reais: f é dita ter o limite L em x0, escrito 
Limx->xo f(x) = L, se, dado um número real qualquer ε 
> 0 (erro), existe um número real δ > 0 (tolerância) 
tal que 
│f(X) – L│< ε, sempre que x Є X e 0<│x – xo│< δ.
Obs. L não pode ser infinito.
LIMITE LATERAL(Do ponto de vista informal). 
 Se pudermos tornar os valores de f(x) tão próximos 
quanto quisermos de L, fazendo x suficientemente 
próximo de “a” (porém maior que a) então 
escrevemos
Limx -> a+ f(x) = L
o qual é lido como “o limite de f(x) quando x 
aproxima-se de “a” pela direita é L”. Da mesma 
forma, se pudermos tornar os valores de f(x) tão 
próximos quanto quisermos de L, fazendo x 
suficientemente próximo de “a”(porém menor que 
a), então escrevemos
Limx -> a- f(x) = L
RELAÇÃO ENTRE LIMITES LATERAIS E 
BILATERAIS. 
O limite bilateral de uma função existe em um ponto 
a se e somente se existirem os limites laterais 
naquele ponto e tiverem o mesmo valor; isto é,
limx -> a f(x) = L sss Limx -> a+ f(x)=L = limx -> a- f(x)
sss= se e somente se 
LIMITES NO INFINITO. 
Se f(x) fica arbitrariamente próximo de L quando x é 
suficientemente grande e positivo, então Limx → + ∞ 
f(x)=L. Da mesma forma, se f(x) se aproxima de L 
quando x se torna cada vez mais negativo, então 
Limx → - ∞ f(x)=L.
TEOREMA. Propriedades dos Limites. 
Supondo que todos os limites no lado direito 
existem, temos:
1. Se b é uma constante, então 
Limx ->c (bf(x))=bLimx ->c f(x)
2. Limx ->c (f(x)+g(x)) =Limx ->c f(x)+Limx ->c g(x)
3. Limx ->c (f(x).g(x)) =(Limx ->c f(x)).(Limx ->c g(x))
4. Limx ->c (f(x)/g(x)) =(Limx ->c f(x))/(Limx ->c g(x)) desde 
que Limx ->c g(x)≠0
5. Qualquer que seja a constante k, Limx ->c k=k
6. Limx ->c x=c
Tipos comuns de comportamento associados à não-
existência de um limite.
1. f(x) se aproxima de números diferentes pelo lado 
direito e esquerdo. Exm. Lim(x-> 0) |x|/x
2. f(x) aumenta ilimitadamente quando x tende a c. 
Exm: Lim(x-> 0) 1/x2
3. f(x) oscila entre dois valores fixos quando x tende 
a c. Exm: Lim(x-> 0) sen(1/x)
TEOREMA. Funções que coincidem em todos os pontos 
exceto em um deles.
 Seja c um número real e seja f(x)=g(x) para todo x ≠ c 
em um intervalo aberto contendo c. Se existe o limite de 
g(x) para x tendendo a c, então também existe o limite de 
f(x) e
Lim (x → c) f(x) = Lim (x → c) g(x)
Limite de uma função polinomial para x -> ±∞.
Se p(x)= a0xn + an-1 xn-1 +... então 
Lim x -> ±∞p(x)= a0xn 
q(x) = bo xm + ...+b1 x +bo
Lim x -> ±∞ [p(x)/q(x)] = Lim x -> ±∞ (a0xn / bo xm)
Conclusões:
a) Se n < m, então, Lim |x| -> ∞ [p(x)/q(x)] = 0
b) Se n > m, então, Lim |x| -> ∞ [p(x)/q(x)] pode ser +∞ 
ou - ∞ , dependendo dos sinais de ao e bo
c) Se n = m, então, Lim |x|-> ∞ [p(x)/q(x)] = ao / bo
Teorema do confronto (sanduíche)
Sejam f, g h três funções e suponhamos que exista 
r>0 tal que
f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)
para 0< x-p <r. Nestas condições, se
limx-> p f(x) = L = limx-> p h(x)
então
limx-> p g(x) = L
Obs. Muito aplicado na determinação de limites 
trigonométricos.
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h(x)
g(x)
f(x)
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Assíntotas
Se o gráfico de y=f(x) se aproxima de uma 
reta horizontal y=L quando x → ∞ ou x → -∞ , então 
a reta y=L é chamada de uma assíntota 
horizontal. Isso ocorre quando
f(x) → L quando x → ∞ ou f(x) → L quando x → -∞
Se o gráfico de y=f(x) se aproxima de uma 
reta vertical x=K quando x → K por um lado ou pelo 
outro, isto é, se
y → ∞   ou y   ­→ ∞  quando x   K,→
então a reta x=K é chamada de assíntota vertical.
LIMITES FUNDAMENTAIS
Limite fundamental trigonométrico
 Lim x -> 0 [ (sen x)/x] = 1
 Lim x -> 0 [ (1-cos x)/x] = 0
Limite fundamental exponencial
 e = Lim x -> ±∞ (1+1/x)x, x ∈ R
ou
 e = Lim x -> 0 (1+x)1/x
 Lim x -> 0 [ (ax - 1)/x] = Ln a se a>0 e ∈ R
CONTINUIDADE
IDÉIA DE CONTINUIDADE. 
Uma função é contínua em um intervalo se seu 
gráfico não apresenta quebras, saltos ou buracos em 
todo o intervalo.
 Uma função contínua tem um gráfico que pode ser 
desenhado sem se tirar o lápis do papel.
 Uma função é contínua se valores próximos da 
variável independente correspondem a valores 
próximos da função. Na prática, a continuidade é 
importante porque significa que pequenos erros no 
valor da variável independente acarretam pequenos 
erros no valor da função.
CONTINUIDADE- Def. Uma função f é dita 
contínua em xo se as três condições são satisfeitas.
i) f(xo ) está definida
ii) Limx -> xo f(x) existe
iii) Limx -> xo f(x) = f(xo ).
Teorema: Continuidade de Somas, 
Produtos e Quocientes. 
Suponha que f e g sejam contínuas em um 
intervalo e que b é uma constante. Então, 
neste mesmo intervalo temos:
1. bf(x) é contínua
2. f(x) + g(x) é contínua
3. f(x).g(x) é contínua
4. f(x)/g(x) é contínua, desde que g(x)≠0 no 
intervalo.
Teorema: Continuidade da Função Composta. 
Suponha que f e g sejam contínuas e que f(g(x)) 
esteja definida em algum intervalo. Então, nesse 
intervalo, f(g(x)) é contínua.
 TIPOS DE DESCONTINUIDADE.
1. Diz-se que uma função f(x) tem uma 
descontinuidade infinita em x=a se f(x) torna-se 
infinita (positivamente ou negativamente) quando x-
> a. Isto é f(a) não está definida e Lim x-> a f(x) não 
existe.
2. Diz-se que uma função f(x) tem uma 
descontinuidade de salto em x=a se f(x) permanecer 
finita, mas variar abruptamente em x=a. Isto é, f(a) 
está definida, mas 
Lim x-> a f(x) não existe [se bem que, em geral, os 
limites pela esquerda e pela direita existam e f(a) 
seja igual a um deles].
3. Diz-se que uma função f(x) tem uma 
descontinuidade removível em x=a se f(a) não está 
definida, mas 
Lim x-> a f(x) existe.
Descontinuidade Removível – A quebra em função de 
um buraco, ou de um ponto deslocado é chamada 
descontinuidade removível no gráfico. A 
descontinuidade de salto ou infinita não é removível.
TEOREMA DO VALOR INTERMEDIÁRIO
 Se f for contínua em [a,b] e se k for um real 
compreendido entre f(a) e f(b), então existirá pelo 
menos um c em [a,b] tal que f(c)=k.
TEOREMA DO ANULAMENTO (BOLZANO)
 Se f for contínua no intervalo fechado [a,b] e se 
f(a) e f(b) tiverem sinais contrários, então existirá 
pelo menos um c em [a,b] tal que f(c)=0.
fig.
Obs. Observe que o teorema do anulamento é um 
caso particular do teorema do valor intermediário.
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a c b
f(a)
f(b)
k
a c
b
f