slides dist. binomial poisson

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- 1 
 
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 
- 2 VARIÁVEL ALEATÓRIA 
• Variável aleatória (VA) é uma variável cujo 
valor é o resultado numérico de um experimento 
aleatório. 
A VA é uma função formada por valores 
numéricos definidos sobre o espaço amostral de 
um experimento aleatório: 
• A cada resultado do experimento aleatório 
corresponderá apenas um único valor 
numérico da VA. 
- 3 VARIÁVEL ALEATÓRIA 
• Variável aleatória Discreta. 
• Os valores se referem a contagens (N o 
Inteiros) 
 
• Variável aleatória Contínua. 
• Os valores pertencem ao conjunto dos 
números reais ( Variável X ε R); 
- 4 Variável Aleatória 
CC 
KC 
CK 
KK 
X: número de Caras (C) 
0 1 2 
X = 0  KK 
X = 1  KC  CK 
X = 2  CC 
P(X = 0) = P(KK) 
P(X = 1) = P(KC  CK) 
P(X = 2) = P(CC) 
Resultados Não Numéricos 
Experimento: jogar 2 moedas ( onde C = cara e K = coroa) 
Valores de X Ω Espaço Amostral 
- 6 Distribuição de Probabilidade DISCRETA 
 
 
• Distribuição Binomial 
 
 
• Distribuição de Poisson 
 
 
 
- 7 PREMISSAS DA DISTR. BINOMIAL 
Premissas básicas para a Distribuição Binomial : 
 
• experimento repetido “n” vezes ( provas ), nas 
mesmas condições. 
• As provas repetidas devem ser independentes, 
isto é, um resultado não afeta os demais. 
• Só dois resultados: sucesso ou fracasso. 
• No decorrer do experimento, a probabilidade p 
de sucesso e a probabilidade q (q = 1-p ) de 
fracasso serão constantes e complementares. 
- 8 Média e Variância da DISTR. BINOMIAL 
 
 
• MÉDIA : μ = np 
 
• VARIÂNCIA : σ 2 = npq 
 
 
 
- 9 Probabilidade de uma DISTR. BINOMIAL 
 
 
 
 
 
 
• P(X = k) é a probabilidade de que o evento se realize k 
vezes em n provas; 
• p é a probabilidade de que o evento se realize em uma 
só prova (probabilidade de sucesso); 
• q é a probabilidade de que o evento não se realize no 
decurso dessa prova (probabilidade de fracasso); 
• O coeficiente binomial é igual a : 
n,k
n!
C =
k!(n -k)!
   k n kn ,k f ( X ) P( X k ) C p q
- 10 Exemplo 1 (Dist. Binomial ) 
Solução: O problema cumpre as 4 premissas ? 
 
• experimento repetido, nas mesmas condições, n= 10 
lançamentos 
• As provas independentes. Cada moeda lançada não 
afeta os outros resultados. 
• Dois resultados complementares: sucesso e fracasso. 
( cara; coroa ) 
• No decorrer do experimento, as probabilidades p de 
sucesso e q (q=1-p) de fracasso serão constantes, 
p(cara)=p=1/2, p(coroa)=q=1/2, p+q=1. 
Uma moeda é lançada 10 vezes. Qual a probabilidade de 
conseguir 3 caras ao longo das 10 vezes? 
- 11 Exemplo 1 (Dist. Binomial ) 
Solução: Obtendo os parâmetros; 
 
• Número de tentativas n=10 
• Número de sucessos desejado k=3 
• Probabilidade de sucesso em 1 tentativa p=1/2 
• Probabilidade de fracasso em 1 tentativa q=1/2 
• Usando estes parâmetros na fórmula da Distribuição 
binomial 
 
 
• temos: 
 
    k n kn ,k f ( X ) P( X k ) C p q
- 12 Exemplo 1 (Dist. Binomial ) 
Solução: 
 Se X é a variável aleatória que representa "o número de 
caras" então: 
 
P(X=3) = C 10,3 . (0,5)
3 . (0,5)(10 – 3) 
 
P(X=3) = 10! . (0,5)3 . (0,5)7 
 3! (10-3)! 
P(X=3) = 120 . 0,125 . 0,0078125 = 
 
P(X=3) = 0,1171875 ou 11,7% 
- 13 Exemplo 2 (Dist. Binomial ) 
Solução: O problema cumpre as 4 premissas ? 
 
• n = 6 
• As provas (duplicatas) são independentes. 
• Dois resultados: sucesso(pago em dia) e fracasso. 
• No decorrer do levantamento, as probabilidades p de 
sucesso e q (q=1-p) de fracasso serão constantes e 
complementares, p=70%, q=30%, p+q=100%. 
Em uma carteira de clientes de um determinado banco, a 
probabilidade de uma duplicata ser paga em dia é 70%. 
Para um levantamento com 6 duplicatas de clientes 
diferentes, qual a probabilidade de todas serem pagas com 
atraso? 
- 14 Exemplo 2 (Dist. Binomial ) 
Solução: Obtendo os parâmetros; 
 
• Número de tentativas n=6 
• Número de sucessos desejado k=0 
• Probabilidade de sucesso em 1 tentativa p=70%= 0,7 
• Probabilidade de fracasso em 1 tentativa q=30%= 0,3 
• Usando estes parâmetros na fórmula da Distribuição 
binomial 
 
 
• temos: 
 
 
   k n kn ,k f ( X ) P( X k ) C p q
- 15 Exemplo 2 (Dist. Binomial ) 
Solução: 
 Se X é a variável aleatória que representa "o número de 
duplicatas pagas em dia" então: 
 
P(X=0) = C 6,0 . (0,7)
0 . (0,3)(6 – 0) 
 
P(X=0) = 6! . (0,7)0 . (0,3)6 
 0! (6-0)! 
P(X=3) = 1 . 1 . 0,000729 = 
 
P(X=3) = 0,00729 ou 0,73% 
- 16 DISTRIBUIÇÃO DE POISSON 
É empregada para descrever a probabilidade de 
ocorrências em um intervalo contínuo de tempo, 
comprimento ou espaço(área) 
 
• Num. Clientes que chegam em uma loja no 
intervalo de uma hora. 
• Quantidade de defeitos por metro quadrado em 
um processo de pintura. 
• Num. de buracos por quilômetro em uma rodovia. 
• Quantidade de acidentes registrados na central 
da Polícia Rodoviária por dia. 
- 17 DISTRIBUIÇÃO DE POISSON 
Premissas para a Distribuição de Poisson : 
 
• A probabilidade de uma ocorrência é a mesma 
em todo o campo de observação. 
• A probabilidade de mais de uma ocorrência em 
um único ponto é aproximadamente zero. 
• O número de ocorrências em qualquer intervalo é 
independente do número de ocorrências em 
outros intervalos. 
 
- 18 Probabilidade de uma DISTR. POISSON 
P(X=k) = e-λ . t ( λ . t ) k . ou 
 K! 
 
P(X=k) = e-μ ( μ ) k .  μ = λ.t 
 K! 
 
 
• e é uma constante igual = 2,71828182846 (No de Neper); 
• λ é o número médio de ocorrências em um determinado 
intervalo; 
• t é o intervalo de tempo/comprimento/espaço contínuo de 
observações que se está analisando; 
• K é o número de ocorrências no intervalo desejado 
- 19 Exemplo 1 (Dist. Poisson ) 
Solução: O problema cumpre as 3 premissas. 
 
• A probabilidade de uma ocorrência é a mesma em 
todo o campo de observação. 
• A probabilidade de mais de uma ocorrência em um 
único ponto é aproximadamente zero. 
• O número de ocorrências em qualquer intervalo é 
independente do número de ocorrências em outros 
intervalos. 
Um SAC de uma grande rede de supermercado recebe 
chamadas telefônicas a uma razão de 4 chamadas por 
hora. Qual a probabilidade de receber 3 chamadas em um 
intervalo de meia hora? 
- 20 Exemplo 1 (Dist. Poisson ) 
Solução: Obtendo os parâmetros: 
 
• λ = 4 → é o número médio de chamadas/hora; 
• t = 0,5 hora → é o intervalo de tempo em análise; 
• K = 3 → é o no de ocorrências no intervalo em análise; 
 
 
 
 
 
 
 
P(X=3) = e- 4 . 0,5 ( 4 . 0,5 ) 3 . 
 3! 
 
Um SAC de uma grande rede de supermercado recebe 
chamadas telefônicas a uma razão de 4 chamadas por 
hora. Qual a probabilidade de receber 3 chamadas em um 
intervalo de meia hora? 
- 21 Exemplo 1 (Dist. Poisson ) 
Solução: 
 
• λ = 4 → é o número médio de chamadas/hora; 
• t = 0,5 hora → é o intervalo de tempo em análise; 
• K = 3 → é o no de ocorrências no intervalo em análise; 
 
 
 
 
 
 
 
P(X=3) = e- 4 . 0,5 ( 4 . 0,5 ) 3 . = e- 2 (2) 3 
 3! 6 
P(X=3) = e- 2 (2) 3 = 0,135335 . 8 = 1,082682 
 6 6 6 
P(X=3) = 0,1804 = 18,04% 
- 22 Exemplo 2 (Dist. Poisson ) 
Observa-se defeitos nos fios fabricados para tear com uma 
média de 0,2 defeitos/metro (Considereque o processo de 
fabricação aproxima-se a uma Dist. Poisson). Ao 
inspecionar pedaços de fios com 6m de comprimento, qual 
a probabilidade se obter zero defeito nessa amostra? 
Solução: 
 
• λ = 0,2 → é o número médio de defeitos/metro; 
• t = 6m → é o intervalo de comprimento em análise; 
• K = 0 → é o no de ocorrências no intervalo em análise; 
 
 
 
 
 
 
 
P(X=0) = e- 0,2 . 6 ( 0,2 . 6 ) 0 . = e- 1,2 (1,2) 0 
 0! 1 
P(X=0) = 0,301194 . 1 = 30,12% 
- 23 Função do Excel 
DISTRBINOM (núm_s; tentativas; prob_s; cumulativo) 
• A função estatística DISTRBINOM retorna a 
probabilidade simples ou acumulada do número de 
tentativas bem-sucedidas núm_s, conforme o valor 
do argumento cumulativo. 
• Se o argumento cumulativo for FALSO, a função 
retornará a probabilidade do número exato de 
sucessos núm_s 
• Se o argumento cumulativo for VERDADEIRO, a 
função retornará a probabilidade acumulada 
desde o valor 0 até o valor núm_s informado. 
- 24 Exemplo 2 (resolução com excel) 
Solução: 
 Se X é a variável aleatória que representa "o número 
de caras" então: 
 
- 25 Exemplo 3 
• Um vendedor de seguros vende apólices a cinco 
homens, todos de mesma idade e de boa saúde. De 
acordo com as tabelas atuariais, a probabilidade de 
um homem dessa idade estar vivo daqui a 30 anos é de 
2/3. determinar a probabilidade de estarem vivos 
neste prazo: 
a) Os cinco homens vivam mais 30 anos; 
b) No máximo um homem viva mais 30 anos; 
c) pelo menos um homem viva mais 30 anos; 
 
- 26 Exemplo 3 (Dist. Binomial serve?) 
• Experimento deve ser repetido um número finito de 
vezes (5 tentativas). 
• As provas repetidas devem ser independentes (cada 
homem independe das demais). 
• Em cada prova deve aparecer um dos dois possíveis 
resultados complementares: sucesso e insucesso 
(estar vivo ou morto) 
• No decorrer do experimento, a probabilidade p de 
sucesso e a probabilidade do insucesso serão 
mantidas constantes (p+q=1) ou seja (2/3+1/3=1). 
 
- 27 a) Os cinco homens 
• n=5 
• k=5 
• p = 2/3 = 0,667 
 
- 28 b) No máximo 1 homem 
• n=5 k  1 p=2/3 q= 1-2/3=1/3, logo: 
• P(x  1 ) = P(x=0) + P(x=1) , 
 
• então P(x=0) = ? 
 
 
• então P(x=1) = ? 
 
 
• Assim, 
• P(x  1 ) = P(x=0) + P(x=1)=0,0041+0,0412 = 0,0453 
 
- 29 c) Pelo menos 1 homem 
• n=5 k  1 p=2/3 q= 1-2/3=1/3, logo devemos 
calcular as probabilidades de: 
• P(x  1) = P(x=1) + P(x=2) + P(x=3) + P(x=4) + P(x=5), 
• porém sabendo da propriedade das probabilidades 
complementares P(A)+P(A)=1 , isto é: 
 
 
 
 
• Assim, ao invés de calcular 5 distribuições, podemos 
calcular apenas uma Binomial ( P(x=0) ) 
 
queremos sabeacumulado r 
P(x = 0)
P(x =
+ P(x = 1) + P(x = 2) + + P(x = 5) 1
P(x = 1) + P(x = 2) + + P(x = 5) 1 - 0)


bnncvc 
- 30 c) pelo menos 1 homem 
• n=5 
• k  1 
• p=2/3 
 
• logo P(x=0)=? 
 
 
 
 
 
• P(x  1 )= 1 – P(x=0) = 1- 0,0041 =0,9959 
 portanto, 
- 31 Exercícios 
1) Em um grupo de 4 crianças, qual a probabilidade de encontrar 
uma criança com mais de 6 anos de idade, sabendo que neste 
estudo a probabilidade de se ter uma criança com mais de 6 anos 
é de 80% ? 
Resp.: P(x=1)= 2,56% (n=4, p=0.8, q=0.2 e x=1) 
2) Para o exercício anterior qual a probabilidade de nenhuma 
criança no grupo ter mais de seis anos ? 
Resp.: P(x=0)= 0,16% (n=4, p=0.8, q=0.2 e x=0) 
3) Em uma rede de lanchonete verifica-se 88% dos pedidos sendo 
preenchidos corretamente. Diante desse estudo, em uma amostra 
de 3 pedidos, qual a probabilidade dos três estarem corretamente 
preenchidos? 
Resp.: P(x=3)= 68,15% (n=3, p=0.88, q=0.12 e x=3) 
4) Para o exercício anterior qual a probabilidade de pelo menos 2 
pedidos serem corretamente preenchidos ? 
Resp.: P(x ≥ 2) = P(x=2) + P(x=3) = 27,88% + 68,15% = 96,03% 
- 32 Exercícios 
5) Sabendo-se que um serviço de Internet apresenta uma média de 
8 falhas/mês, qual a probabilidade deste serviço apresentar 5 
falhas em um mês? 
Resp.: P(x=5)= 9,16% ( λ =8, t = 1, x=5) 
6) Para o exercício anterior qual a probabilidade deste serviço 
apresentar nenhuma falha em um mês ? 
Resp.: P(x=5)= 0,03% ( λ =8, t = 1, x=0) 
7) No Banco Banorte verificou-se em um determinado Caixa 
Eletrônico, uma média de 3 falhas/semana. Para um período de 
140 dias, qual a probabilidade deste Caixa Eletrônico apresentar 
35 falhas? 
Resp.: P(x=35)= 0,01% ( λ =3 fal/sem, t = 140 dias, x=35) 
8) No Banorte verificou-se uma média de 3 clientes/minuto na última 
hora de funcionamento. Neste horário, qual a probabilidade em 
determinado minuto, chegarem exatamente 2 clientes? 
Resp.: P(x=2)= 22,40% ( λ =3, t = 1, x=2) 
- 33 
Resolva os 
exercícios !! 
- 34 
 
Fim da Aula !!