INE5108 - Estatística e Probabilidade para Ciências Exatas - Rogerio Cid Bastos - 2015-1 - Prova 1

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Primeira Avaliação = 13.4.2015 - GABARITO 
 
1. Em uma fábrica de monitores para computador, as linhas de montagem I, II 
e III respondem respectivamente por 50, 30 e 20 por cento da produção. 
Alguns monitores saem destas linhas com defeitos. A porcentagem de 
monitores defeituosos é de 0,4%, 0,6% e 1,2% respectivamente para as 
linhas I, II e III. Para evitar que os monitores defeituosos saiam da empresa 
e cheguem ao mercado, o controle de qualidade realiza inspeções 
individuais em todos os monitores fabricados e os que apresentam algum 
defeito são enviados para uma linha especial de recuperação. 
Item Afirmação Correta Pontos 
a A probabilidade de o monitor ter sido produzido 
na linha de montagem I é, no mínimo, igual a 
50%. 
Não 2 
b A probabilidade de um monitor defeituoso ter 
sido produzido na linha I é de 0,004. 
Não 4 
c Um monitor defeituoso ser produzido é igual a 
0,062. 
Não 8 
d Um monitor defeituoso foi encontrado. A 
probabilidade de ter sido produzido na linha de 
montagem I é de 32,26% 
Sim 16 
 
A soma resultante vale quanto? (por exemplo, se todas forem erradas vale 0; 
contudo se todas forem corretas valerá 30). A sua resposta deve ser justificada, 
quer por meio de análise, quer por meio de cálculos das probabilidades 
respectivas. 
 
Resposta: 1. 
 
 
2. 30% dos empregados de uma empresa são mulheres e o restante homens; 
3/10 das mulheres são fumantes, enquanto 11/70 dos homens são fumantes. 
Calcule: 
(a) A probabilidade de um indivíduo sorteado ser mulher e fumante; 
(b) A probabilidade de um fumante ser homem. 
Resposta: 
(a) Conhecemos P(mulher) = 0,3, e, além disso, P(fumante|mulher) = 0,15. 
Então a probabilidade do evento “mulher e fumante”, dado por 
{mulher∩fumante}, é dada por P(mulher ∩ fumante) = 
P(fumante|mulher)P(mulher) = 0,3 · 0,3=0,09 
(b) Não sabemos P(fumante). Devemos considerar a lei da probabilidade total, 
P(fumante) = P(fumante|mulher)P(mulher) +P(fumante|homem)P(homem) 
Podemos então ver que P(fumante) = 3/10 · 3/10 + 11/70 · 7/10 = 1/5 Com 
isso, concluímos que P(homem|fumante) = (11/70 · 7/10)/ (1/5) = 11/20 = 55% 
 
3. Para certo tipo de câncer a taxa de prevalência (proporção de doentes na 
população em geral) é 0.005. Um teste diagnóstico para esta doença é tal que: 
 A probabilidade do teste resultar positivo quando aplicado a um 
indivíduo com câncer (sensibilidade do teste) é 0.99; 
 A probabilidade do teste resultar negativo quando o indivíduo não tem 
câncer (especificidade do teste) é 0.95. 
Calcule o valor preditivo do teste, isto é, a probabilidade de um indivíduo ter 
câncer sabendo que o teste resultou positivo. 
Resposta: 
Suponha-se que o teste é aplicado a um indivíduo escolhido ao acaso da 
população. Dados: P(C) = 0.005, P(T|C) = 0.99, P(T¯|C¯) = 0.95, onde C = {o 
indivíduo testado tem câncer} e T = {o resultado do teste aplicado ao indivíduo 
é positivo}. 
(a) Nesta alínea pretende-se determinar P(C|T). Note-se que decorre do 
teorema de Bayes que 
P(C|T) = P(T|C)P(C) P(T) = P(T|C)P(C) P(T|C)P(C) + P(T|C¯)P(C¯) 
 = 0.99 × 0.005 0.99 × 0.005 + (1 − 0.95) × (1 − 0.005) = 0.0905. 
 
 
4. Uma água é contaminada se forem encontrados bacilos tipo A e/ou bacilos 
tipo B e C simultaneamente. As probabilidades de se encontrarem bacilos 
tipo A, B e C são, respectivamente, 0.30; 0.20 e 0.80. Existindo bacilos tipo 
A não existirão bacilos tipo B. Existindo bacilos tipo B, a probabilidade de 
existirem bacilos tipo C é reduzida à metade. Calcular: 
 
a) P[B | água é contaminada]. 
 
Resposta: 
 
𝑃[𝐴 ∪ [𝐵 ∩ 𝐶]] = 𝑃[𝐴] + 𝑃[𝐵 ∩ 𝐶] − 𝑃[𝐴 ∩ [𝐵 ∩ 𝐶]] 
 = 0.3 + 0,2*0.4 – 0 
 = 0.38 ou 38% é a probabilidade da água ser 
contaminada. 
𝑃[𝐵|𝐶𝑜𝑛𝑡𝑎𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎] =
𝑃[𝐵 ∩ 𝐶𝑜𝑛𝑡𝑎𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎]
𝑃[𝐶𝑜𝑛𝑡𝑎𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎]
 
 = 0.08/0.38 
 = 0,2105 ou 21,05% é a probabilidade de ter 
bacilos do tipo B dado que a água está contaminada.