Cinetica-1 com matlab

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Cinética Química e Cálculo 
de Reatores (EQE
RESOLUÇÃO DE QUESTÕES 
SOBRE REATORES 
(PROJETO)
Professor: Dr. Martin Schmal.
Alunos: Alberto André Rodrigues Drummond, Angelo Siguemura 
Souza, Camila Nascimento Barbosa, Nicolas Domenech Freiberger
e Tiago Tavares Gomes
Cinética Química e Cálculo 
de Reatores (EQE-364)
RESOLUÇÃO DE QUESTÕES 
SOBRE REATORES 
(PROJETO)
Dr. Martin Schmal.
Alberto André Rodrigues Drummond, Angelo Siguemura 
Souza, Camila Nascimento Barbosa, Nicolas Domenech Freiberger
e Tiago Tavares Gomes.
Cinética Química e Cálculo 
RESOLUÇÃO DE QUESTÕES 
Alberto André Rodrigues Drummond, Angelo Siguemura 
Souza, Camila Nascimento Barbosa, Nicolas Domenech Freiberger
2
QUESTÃO 4
A taxa de crescimento de bactérias é dada:
c
m
c
mg CC
C
Kr 


  1
Onde 15,0  hKm e LgCm /20
O substrato está em excesso. 
Usa-se um reator batelada de 2L. 
a) Plote a taxa de crescimento e concentração das células em função do 
tempo, após inoculação de 0,4g de células no reator.
b) Se for usado um CSTR deduza a equação e plote a taxa e concentração 
em função do tempo espacial variando o fluxo.
RESOLUÇÃO
a) Método matemático para encontrar a função que correlaciona a 
concentração de células e o tempo:
 

















m
C
c
C
cCc
C
m
C
c
C
dt
cdC
grdt
cdC
2
1 max.max 
Fazendo Cc = C temos:
c
C
mC
cC
m
r
dt
dC
g
.1 



  
dTm
C
C
C
dCdt
m
dC
m
C
C
C
m  







































 
.
..
1
1
 

















 
t
t
m
C
C m
dt
C
C
C
dC
00
.1

3
Resolução da integral por Frações Parciais
C
B
C
C
A
C
C
C
mm




 




  1.1
1
1
)(
)( 
mC
CB
BCA
1B
mC
A
1
mm C
B
A
C
B
A  0
11  B
C
BC
B
C
BC
mm
















 




  C
C
C
C
C
C
C
m
m
m
1
1
1
1
1
.
 



 
tC
C
C
C
m
m dtdC
C
C
C
C
dCC
0 max00
1
.1
1

Integrando a equação acima e desenvolvendo:
tD
C
C
C
M
C
C *
1
ln max













onde












20
2.0
1
2.0
lnD
Desenvolvendo a equação acima achamos a seguinte equação que 
correlaciona Cc e o tempo:
t
t
c e
e
C
5.0
5.0
*0101.01
*202.0


Substituindo valores para o tempo na equação encontramos valores 
para a concentração de células dentro do reator . Com os valores de Cc e do 
tempo montamos a curva para a concentração vs o tempo e também uma 
curva para a taxa de crescimento vs o tempo.
4
Tabela 1: Concentração e Taxa de Crescimento das Células ao Longo do Tempo
Usando o Matlab para resolver a equação diferencial:





20
*5.0
2
C
C
C CC
dt
dC
Para isso foram criados dois arquivos no Matlab:
O primeiro, com o código fonte mostrado abaixo, define a função 
diferencial encontrada:
function dC = dCdt(t,C)
dC=0.5*(C-((C^2)/20));
0 0,2 -
0,5 0,256 0,112
1 0,3275 0,1275
1,5 0,4187 0,1458
2 0,5344 0,1672
2,5 0,681 0,1924
3 0,8661 0,222033333
3,5 1,0985 0,256714286
4 1,389 0,29725
4,5 1,7489 0,3442
5 2,1912 0,39824
5,5 2,7287 0,459763636
6 3,373 0,528833333
6,5 4,13 0,604615385
7 5,0127 0,687528571
8 7,2087 0,8760875
9 9,5242 1,036022222
10 11,9967 1,17967
11 14,2386 1,276236364
12 16,0588 1,321566667
20 19,91 0,9855
30 19,99 0,659666667
40 19,99 0,49475
50 19,99 0,3958
100 19,99 0,1979
Tempo (h)
Concentração de 
células (g/L)
Taxa de crescimento 
de células (g/Lh)
5
O segundo arquivo criado está vinculado ao primeiro, já que ele resolve 
a equação diferencial e plota os valores encontrados para a concentração e 
outro gráfico para os valores da taxa em um intervalo de tempo estipulado de 0 
a 30h sabendo que a concentração inicial é de 0,2 g/cm3. O código fonte desse 
arquivo e a curva obtida estão mostrados abaixo:
[t,C] = ode45('dCdt',[0:0.5:30],0.2);
figure(1)
plot(t,C);
title('Variacao da concentracao de celulas');
xlabel('Tempo (h)');
ylabel('Concentracao de celulas (g/dm3)'); 
A=(C-0.2)./t; % taxa de crescimento das celulas
figure(2)
plot(t,A);
title('Variacao da taxa de crescimento');
xlabel('Tempo (h)');
ylabel('Taxa de crescimento de celulas (g/dm3*h)');
Gráfico 1: Variação da Concentração de Células
0 5 10 15 20 25 30
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Variacao da concentracao de celulas
Tempo (h)
C
on
ce
nt
ra
ca
o 
de
 c
el
ul
as
 (
g/
dm
3)
6
Gráfico 2 Variação da Taxa de Crescimento das Células
b) Para um reator contínuo CSTR vale o seguinte balanço de massa :
VrCCv
dt
dC
V gCC *)(* 00 
Onde 0v é o fluxo de células entrando no reator.
Sabendo que o tempo espacial 
0v
V , dividindo os dois lados da 
equação acima por V, temos que :
gCC rCCdt
dC  )(*1 0
Para o reator em regime permanente e considerando 0
0
CC (não há 
entrada de células), temos que :
0**
1  CC CC  já que CCm
C
g CCC
C
r **1*max  


 
Da equação acima :  
1
Quando:  
1



 
m
C
C
C
1*
1
max
0 5 10 15 20 25 30
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Variacao da taxa de crescimento
Tempo (h)
T
ax
a 
de
 c
re
sc
im
en
to
 d
e 
ce
lu
la
s 
(g
/d
m
3*
h)
7
Para 0
1  , MC CC 
(PONTO 1 – interseção da reta 
1
vsCC com o eixo y (no caso CC ))
Para 0CC , max
1  
(PONTO 2 – interseção da reta 
1
vsCC com o eixo x ( no caso 
1
)
Como 
0v
V , variando 0v variamos o valor de 
1
, logo obtemos a 
seguinte reta para 
1
vsCC : 
Gráfico 3: Concentração em Função do Tempo Espacial
8
QUESTÃO 5
A polimerização aniônica é feita em CSTR e o mecanismo será:
 ki
I + M  R1
kp
Rj + M  Rj+1
As concentrações de monômero e iniciador são M0 e I0 respectivamente.
a) Deduza a equação em função da 
b) Se smol
lki .015,0 e smol
lk p .10
3 plote I e M em função de 
c) Se ki >> kp e R1 = I0 o que acontece?
RESOLUÇÃO
a) Fazendo o balanço de massa para o iniciador ( I ) para um reator CSTR, 
temos que :
)(
0
I
I
r
XI

 onde
0
0
I
II
X I

Logo,
MI
IIII
I
0
I
0
kr-

MkI
I
I
I
 0 )1(
A equação (1) acima correlaciona I e 
Taxa de consumo de monômero (M): 




1j
JPIM RMkMIkr
IIR O
j
J 

1
9
)( 0 IIMkMIkr PIM 
Fazendo o balanço de massa para o monômero M em um reator CSTR:
)(
0
M
M
r
XM

 onde
0
0
M
MM
X M

)(r- 0
0
M
0
IIMkMIk
MMMM
PI 

MMIIMkMIk PI  00 )(
MM
Mk
MkMIk
Mk
MIk
I
IP
I
I 


 0
00
1
)(
1 



)1)(( 0
2
0
2
0 MkMMMIkkMIk IIPI  
0)1()1( 000
2
0  MMMkIkMIkk IIPI 
)1(2
)1(*4)1()1(
0
00
2
0000
Ikk
MIkkMkIkMkIk
M
PI
PIIIII



 (2)
A equação (2) acima correlaciona M e  .
b) Com a equação (1) encontrada podemos plotar I / I0 eM / M0 , sabendo 
que smol
lki .015,0 e smol
lk p .10
3 . 
Como ki é muito menor que kp, podemos considerar que a concentração 
de iniciador se mantém constante, logo 1
0

I
I
. Com isso a partir da 
equação 1 encontramos :
0
0
1
I
I
k
I
I
M
I


Onde a única incógnita é o  . Multiplicamos o denominador da equação 
por um fator 0.337, já que esse foi o valor máximo encontrado para M variando 
 , que é igual a concentração inicial de monômero M0. Para plotar M / M0
10
utilizado o software Matlab. O código fonte e a figura obtida estão mostrados 
abaixo:
B=1; % I/I0 = 1 constante, ki<<<kp
A=0.999; % I/I0 = 0.999 para nao gerar uma indeterminacao no calculo 
de M que ocorre para I/I0=1
T=0:0.2:2; % TAL variando de 0 a 2
M=(1-A)./(0.337.*(T.*0.015.*A)); % fator 0.337 para que tenhamos M/M0 
variando de 0 a 1
plot(T,M,'-r',T,B,'*g')
title('Variação de M/M0 e I/I0 com T(tal)');
xlabel('T(tal))');
ylabel('M/M0 ou I/I0');
Gráfico 3: M/M0 ou I/I0 versus 
c) A taxa de consumo de R1 é dada pela seguinte equação:
11 MRkMIkr PIR 
Fazendo o balanço de massa em um reator CSTR para R1 temos:






Mk
Mk
IR
R
P
I


1MRkMIk-
0
1
1PI
1
11
Como R1=I0, e colocando M em evidência temos que:
MkIkI
I
M
PI  0
0

Dividindo numerador e denominador por I0 e considerando ki >> kP :
IkI
I
M

0
1
Comparando com a equação encontrada para M no item anterior:
Vemos que os valores gerados para M são maiores, já que não temos 
mais a parcela 
0I
I
sendo subtraída do numerador.
0
0
1
I
I
k
I
I
M
I

