Integral de Produto entre Potencias de Seno e Cosseno

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Ca´lculo Diferencial e Integral I
Integral de Produto entre Poteˆncias de Seno e Cosseno
Luiz C. M. de Aquino
aquino.luizclaudio@gmail.com
http://sites.google.com/site/lcmaquino
http://www.youtube.com/LCMAquino
Integral de Produto entre Poteˆncias de Seno e Cosseno
Introduc¸a˜o
Na aula anterior no´s estudamos te´cnicas para calcular integrais
envolvendo apenas uma poteˆncia de seno ou de cosseno.
Nesta aula estudaremos como calcular integrais envolvendo o
produto entre poteˆncias de seno e cosseno.
Integral de Produto entre Poteˆncias de Seno e Cosseno
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Calcule
∫
sen 3x cos2 x dx .
Vamos comec¸ar reescrevendo o integrando como∫
sen 3x cos2 x dx =
∫
sen x sen 2x cos2 x dx .
Podemos ainda escrever que∫
sen 3x cos2 x dx =
∫
sen x
(
1− cos2 x) cos2 x dx .
Fac¸amos a substituic¸a˜o u = cos x e du = − sen x dx .∫
sen 3x cos2 x dx =
∫
− (1− u2) u2 du
= −u
3
3
+
u5
5
+ c
= −cos
3 x
3
+
cos5 x
5
+ c
Integral de Produto entre Poteˆncias de Seno e Cosseno
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Calcule
∫
sen 3x cos2 x dx .
Vamos comec¸ar reescrevendo o integrando como∫
sen 3x cos2 x dx =
∫
sen x sen 2x cos2 x dx .
Podemos ainda escrever que∫
sen 3x cos2 x dx =
∫
sen x
(
1− cos2 x) cos2 x dx .
Fac¸amos a substituic¸a˜o u = cos x e du = − sen x dx .∫
sen 3x cos2 x dx =
∫
− (1− u2) u2 du
= −u
3
3
+
u5
5
+ c
= −cos
3 x
3
+
cos5 x
5
+ c
Integral de Produto entre Poteˆncias de Seno e Cosseno
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Calcule
∫
sen 3x cos2 x dx .
Vamos comec¸ar reescrevendo o integrando como∫
sen 3x cos2 x dx =
∫
sen x sen 2x cos2 x dx .
Podemos ainda escrever que∫
sen 3x cos2 x dx =
∫
sen x
(
1− cos2 x) cos2 x dx .
Fac¸amos a substituic¸a˜o u = cos x e du = − sen x dx .∫
sen 3x cos2 x dx =
∫
− (1− u2) u2 du
= −u
3
3
+
u5
5
+ c
= −cos
3 x
3
+
cos5 x
5
+ c
Integral de Produto entre Poteˆncias de Seno e Cosseno
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Calcule
∫
sen 3x cos2 x dx .
Vamos comec¸ar reescrevendo o integrando como∫
sen 3x cos2 x dx =
∫
sen x sen 2x cos2 x dx .
Podemos ainda escrever que∫
sen 3x cos2 x dx =
∫
sen x
(
1− cos2 x) cos2 x dx .
Fac¸amos a substituic¸a˜o u = cos x e du = − sen x dx .∫
sen 3x cos2 x dx =
∫
− (1− u2) u2 du
= −u
3
3
+
u5
5
+ c
= −cos
3 x
3
+
cos5 x
5
+ c
Integral de Produto entre Poteˆncias de Seno e Cosseno
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Calcule
∫
sen 3x cos2 x dx .
Vamos comec¸ar reescrevendo o integrando como∫
sen 3x cos2 x dx =
∫
sen x sen 2x cos2 x dx .
Podemos ainda escrever que∫
sen 3x cos2 x dx =
∫
sen x
(
1− cos2 x) cos2 x dx .
Fac¸amos a substituic¸a˜o u = cos x e du = − sen x dx .∫
sen 3x cos2 x dx =
∫
− (1− u2) u2 du
= −u
3
3
+
u5
5
+ c
= −cos
3 x
3
+
cos5 x
5
+ c
Integral de Produto entre Poteˆncias de Seno e Cosseno
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Calcule
∫
sen 3x cos2 x dx .
Vamos comec¸ar reescrevendo o integrando como∫
sen 3x cos2 x dx =
∫
sen x sen 2x cos2 x dx .
Podemos ainda escrever que∫
sen 3x cos2 x dx =
∫
sen x
(
1− cos2 x) cos2 x dx .
Fac¸amos a substituic¸a˜o u = cos x e du = − sen x dx .∫
sen 3x cos2 x dx =
∫
− (1− u2) u2 du
= −u
3
3
+
u5
5
+ c
= −cos
3 x
3
+
cos5 x
5
+ c
Integral de Produto entre Poteˆncias de Seno e Cosseno
Exerc´ıcio
Exemplo 2: Calcule
∫
sen 2x cos3 x dx .
Vamos comec¸ar reescrevendo o integrando como∫
sen 2x cos3 x dx =
∫
sen 2x cos2 x cos x dx .
Podemos ainda escrever que∫
sen 2x cos3 x dx =
∫
sen 2x
(
1− sen 2x) cos x dx .
Fac¸amos a substituic¸a˜o u = sen x e du = cos x dx .∫
sen 2x cos3 x dx =
∫
u2
(
1− u2) du
=
u3
3
− u
5
5
+ c
=
sen 3x
3
− sen
5x
5
+ c
Integral de Produto entre Poteˆncias de Seno e Cosseno
Exerc´ıcio
Exemplo 2: Calcule
∫
sen 2x cos3 x dx .
Vamos comec¸ar reescrevendo o integrando como∫
sen 2x cos3 x dx =
∫
sen 2x cos2 x cos x dx .
Podemos ainda escrever que∫
sen 2x cos3 x dx =
∫
sen 2x
(
1− sen 2x) cos x dx .
Fac¸amos a substituic¸a˜o u = sen x e du = cos x dx .∫
sen 2x cos3 x dx =
∫
u2
(
1− u2) du
=
u3
3
− u
5
5
+ c
=
sen 3x
3
− sen
5x
5
+ c
Integral de Produto entre Poteˆncias de Seno e Cosseno
Exerc´ıcio
Exemplo 2: Calcule
∫
sen 2x cos3 x dx .
Vamos comec¸ar reescrevendo o integrando como∫
sen 2x cos3 x dx =
∫
sen 2x cos2 x cos x dx .
Podemos ainda escrever que∫
sen 2x cos3 x dx =
∫
sen 2x
(
1− sen 2x) cos x dx .
Fac¸amos a substituic¸a˜o u = sen x e du = cos x dx .∫
sen 2x cos3 x dx =
∫
u2
(
1− u2) du
=
u3
3
− u
5
5
+ c
=
sen 3x
3
− sen
5x
5
+ c
Integral de Produto entre Poteˆncias de Seno e Cosseno
Exerc´ıcio
Exemplo 2: Calcule
∫
sen 2x cos3 x dx .
Vamos comec¸ar reescrevendo o integrando como∫
sen 2x cos3 x dx =
∫
sen 2x cos2 x cos x dx .
Podemos ainda escrever que∫
sen 2x cos3 x dx =
∫
sen 2x
(
1− sen 2x) cos x dx .
Fac¸amos a substituic¸a˜o u = sen x e du = cos x dx .∫
sen 2x cos3 x dx =
∫
u2
(
1− u2) du
=
u3
3
− u
5
5
+ c
=
sen 3x
3
− sen
5x
5
+ c
Integral de Produto entre Poteˆncias de Seno e Cosseno
Exerc´ıcio
Exemplo 2: Calcule
∫
sen 2x cos3 x dx .
Vamos comec¸ar reescrevendo o integrando como∫
sen 2x cos3 x dx =
∫
sen 2x cos2 x cos x dx .
Podemos ainda escrever que∫
sen 2x cos3 x dx =
∫
sen 2x
(
1− sen 2x) cos x dx .
Fac¸amos a substituic¸a˜o u = sen x e du = cos x dx .∫
sen 2x cos3 x dx =
∫
u2
(
1− u2) du
=
u3
3
− u
5
5
+ c
=
sen 3x
3
− sen
5x
5
+ c
Integral de Produto entre Poteˆncias de Seno e Cosseno
Exerc´ıcio
Exemplo 2: Calcule
∫
sen 2x cos3 x dx .
Vamos comec¸ar reescrevendo o integrando como∫
sen 2x cos3 x dx =
∫
sen 2x cos2 x cos x dx .
Podemos ainda escrever que∫
sen 2x cos3 x dx =
∫
sen 2x
(
1− sen 2x) cos x dx .
Fac¸amos a substituic¸a˜o u = sen x e du = cos x dx .∫
sen 2x cos3 x dx =
∫
u2
(
1− u2) du
=
u3
3
− u
5
5
+ c
=
sen 3x
3
− sen
5x
5
+ c
Integral de Produto entre Poteˆncias de Seno e Cosseno
Exerc´ıcio
Exemplo 3: Calcule
∫
sen 4x cos2 x dx .
Vamos reescrever o integrando usando as identidades
trigonome´tricas
sen 2x =
1
2
(1− cos 2x) e cos2 x = 1
2
(1 + cos 2x).
Ficamos enta˜o com∫
sen 4x cos2 x dx =
∫ [
1
2
(1− cos 2x)
]2 [1
2
(1 + cos 2x)
]
dx
=
1
8
∫
1− cos 2x − cos2 2x + cos3 2x dx
Fazendo cos2 2x = 12(1 + cos 4x) e cos
3 2x = 12(1 + cos 4x) cos 2x ,
temos que∫
sen 4x cos2 x dx =
1
8
∫
1
2
−1
2
cos 2x−1
2
cos 4x+
1
2
cos 4x cos 2x dx .
Integral de Produto entre Poteˆncias de Seno e Cosseno
Exerc´ıcio
Exemplo 3: Calcule
∫
sen 4x cos2 x dx .
Vamos reescrever o integrando usando as identidades
trigonome´tricas
sen 2x =
1
2
(1− cos 2x) e cos2 x = 1
2
(1 + cos 2x).
Ficamos enta˜o com∫
sen 4x cos2 x dx =
∫ [
1
2
(1− cos 2x)
]2 [1
2
(1 + cos 2x)
]
dx
=
1
8
∫
1− cos 2x − cos2 2x + cos3 2x dx
Fazendo cos2 2x = 12(1 + cos 4x) e cos
3 2x = 12(1 + cos 4x) cos 2x ,
temos que∫
sen 4x cos2 x dx =
1
8
∫
1
2
−1
2
cos 2x−1
2
cos 4x+
1
2
cos 4x cos 2x dx .
Integral de Produto entre Poteˆncias de Seno e Cosseno
Exerc´ıcio
Exemplo 3: Calcule
∫
sen 4x cos2 x dx .
Vamos reescrever o integrando usando as identidades
trigonome´tricas
sen 2x =
1
2
(1− cos 2x) e cos2 x = 1
2
(1 + cos 2x).
Ficamos enta˜o com∫
sen 4x cos2 x dx =
∫ [
1
2
(1− cos 2x)
]2 [1
2
(1 + cos 2x)
]
dx
=
1
8
∫1− cos 2x − cos2 2x + cos3 2x dx
Fazendo cos2 2x = 12(1 + cos 4x) e cos
3 2x = 12(1 + cos 4x) cos 2x ,
temos que∫
sen 4x cos2 x dx =
1
8
∫
1
2
−1
2
cos 2x−1
2
cos 4x+
1
2
cos 4x cos 2x dx .
Integral de Produto entre Poteˆncias de Seno e Cosseno
Exerc´ıcio
Exemplo 3: Calcule
∫
sen 4x cos2 x dx .
Vamos reescrever o integrando usando as identidades
trigonome´tricas
sen 2x =
1
2
(1− cos 2x) e cos2 x = 1
2
(1 + cos 2x).
Ficamos enta˜o com∫
sen 4x cos2 x dx =
∫ [
1
2
(1− cos 2x)
]2 [1
2
(1 + cos 2x)
]
dx
=
1
8
∫
1− cos 2x − cos2 2x + cos3 2x dx
Fazendo cos2 2x = 12(1 + cos 4x) e cos
3 2x = 12(1 + cos 4x) cos 2x ,
temos que∫
sen 4x cos2 x dx =
1
8
∫
1
2
−1
2
cos 2x−1
2
cos 4x+
1
2
cos 4x cos 2x dx .
Integral de Produto entre Poteˆncias de Seno e Cosseno
Exerc´ıcio
Exemplo 3: Calcule
∫
sen 4x cos2 x dx .
Vamos reescrever o integrando usando as identidades
trigonome´tricas
sen 2x =
1
2
(1− cos 2x) e cos2 x = 1
2
(1 + cos 2x).
Ficamos enta˜o com∫
sen 4x cos2 x dx =
∫ [
1
2
(1− cos 2x)
]2 [1
2
(1 + cos 2x)
]
dx
=
1
8
∫
1− cos 2x − cos2 2x + cos3 2x dx
Fazendo cos2 2x = 12(1 + cos 4x) e cos
3 2x = 12(1 + cos 4x) cos 2x ,
temos que∫
sen 4x cos2 x dx =
1
8
∫
1
2
−1
2
cos 2x−1
2
cos 4x+
1
2
cos 4x cos 2x dx .
Integral de Produto entre Poteˆncias de Seno e Cosseno
Exerc´ıcio
Repetindo a equac¸a˜o anterior,∫
sen 4x cos2 x dx =
1
8
∫
1
2
−1
2
cos 2x−1
2
cos 4x+
1
2
cos 4x cos 2x dx .
Na u´ltima parcela do integrando vamos aplicar a identidade
trigonome´trica
cos a cos b =
1
2
[cos(a + b) + cos(a− b)].
Ficamos enta˜o com∫
sen 4x cos2 x dx =
1
8
∫
1
2
−1
2
cos 2x−1
2
cos 4x+
1
4
[cos 6x+cos 2x ] dx ,
∫
sen 4x cos2 x dx =
1
16
x− 1
64
sen 2x− 1
64
sen 4x +
1
192
sen 6x +c .
Integral de Produto entre Poteˆncias de Seno e Cosseno
Exerc´ıcio
Repetindo a equac¸a˜o anterior,∫
sen 4x cos2 x dx =
1
8
∫
1
2
−1
2
cos 2x−1
2
cos 4x+
1
2
cos 4x cos 2x dx .
Na u´ltima parcela do integrando vamos aplicar a identidade
trigonome´trica
cos a cos b =
1
2
[cos(a + b) + cos(a− b)].
Ficamos enta˜o com∫
sen 4x cos2 x dx =
1
8
∫
1
2
−1
2
cos 2x−1
2
cos 4x+
1
4
[cos 6x+cos 2x ] dx ,
∫
sen 4x cos2 x dx =
1
16
x− 1
64
sen 2x− 1
64
sen 4x +
1
192
sen 6x +c .
Integral de Produto entre Poteˆncias de Seno e Cosseno
Exerc´ıcio
Repetindo a equac¸a˜o anterior,∫
sen 4x cos2 x dx =
1
8
∫
1
2
−1
2
cos 2x−1
2
cos 4x+
1
2
cos 4x cos 2x dx .
Na u´ltima parcela do integrando vamos aplicar a identidade
trigonome´trica
cos a cos b =
1
2
[cos(a + b) + cos(a− b)].
Ficamos enta˜o com∫
sen 4x cos2 x dx =
1
8
∫
1
2
−1
2
cos 2x−1
2
cos 4x+
1
4
[cos 6x+cos 2x ] dx ,
∫
sen 4x cos2 x dx =
1
16
x− 1
64
sen 2x− 1
64
sen 4x +
1
192
sen 6x +c .
Integral de Produto entre Poteˆncias de Seno e Cosseno
Exerc´ıcio
Repetindo a equac¸a˜o anterior,∫
sen 4x cos2 x dx =
1
8
∫
1
2
−1
2
cos 2x−1
2
cos 4x+
1
2
cos 4x cos 2x dx .
Na u´ltima parcela do integrando vamos aplicar a identidade
trigonome´trica
cos a cos b =
1
2
[cos(a + b) + cos(a− b)].
Ficamos enta˜o com∫
sen 4x cos2 x dx =
1
8
∫
1
2
−1
2
cos 2x−1
2
cos 4x+
1
4
[cos 6x+cos 2x ] dx ,
∫
sen 4x cos2 x dx =
1
16
x− 1
64
sen 2x− 1
64
sen 4x +
1
192
sen 6x +c .
Integral de Produto entre Poteˆncias de Seno e Cosseno
Exerc´ıcio
Temos ainda outra estrate´gia para fazer esse u´ltimo exerc´ıcio.
Usando a identidade trigonome´trica fundamental, podemos
escrever que∫
sen 4x cos2 x dx =
∫
sen 4x
(
1− sen 2x) dx
=
∫
sen 4x dx −
∫
sen 6x dx
Ou ainda, tambe´m podemos escrever que∫
sen 4x cos2 x dx =
∫ (
1− cos2 x)2 cos2 x dx
=
∫
cos2 x dx − 2
∫
cos4 x dx +
∫
cos6 x dx
Bastava agora aplicar as te´cnicas estudadas na aula anterior para
calcular integrais desse tipo.
Integral de Produto entre Poteˆncias de Seno e Cosseno
Exerc´ıcio
Temos ainda outra estrate´gia para fazer esse u´ltimo exerc´ıcio.
Usando a identidade trigonome´trica fundamental, podemos
escrever que∫
sen 4x cos2 x dx =
∫
sen 4x
(
1− sen 2x) dx
=
∫
sen 4x dx −
∫
sen 6x dx
Ou ainda, tambe´m podemos escrever que∫
sen 4x cos2 x dx =
∫ (
1− cos2 x)2 cos2 x dx
=
∫
cos2 x dx − 2
∫
cos4 x dx +
∫
cos6 x dx
Bastava agora aplicar as te´cnicas estudadas na aula anterior para
calcular integrais desse tipo.
Integral de Produto entre Poteˆncias de Seno e Cosseno
Exerc´ıcio
Temos ainda outra estrate´gia para fazer esse u´ltimo exerc´ıcio.
Usando a identidade trigonome´trica fundamental, podemos
escrever que∫
sen 4x cos2 x dx =
∫
sen 4x
(
1− sen 2x) dx
=
∫
sen 4x dx −
∫
sen 6x dx
Ou ainda, tambe´m podemos escrever que∫
sen 4x cos2 x dx =
∫ (
1− cos2 x)2 cos2 x dx
=
∫
cos2 x dx − 2
∫
cos4 x dx +
∫
cos6 x dx
Bastava agora aplicar as te´cnicas estudadas na aula anterior para
calcular integrais desse tipo.
Integral de Produto entre Poteˆncias de Seno e Cosseno
Exerc´ıcio
Temos ainda outra estrate´gia para fazer esse u´ltimo exerc´ıcio.
Usando a identidade trigonome´trica fundamental, podemos
escrever que∫
sen 4x cos2 x dx =
∫
sen 4x
(
1− sen 2x) dx
=
∫
sen 4x dx −
∫
sen 6x dx
Ou ainda, tambe´m podemos escrever que∫
sen 4x cos2 x dx =
∫ (
1− cos2 x)2 cos2 x dx
=
∫
cos2 x dx − 2
∫
cos4 x dx +
∫
cos6 x dx
Bastava agora aplicar as te´cnicas estudadas na aula anterior para
calcular integrais desse tipo.
Integral de Produto entre Poteˆncias de Seno e Cosseno
Exerc´ıcio
Temos ainda outra estrate´gia para fazer esse u´ltimo exerc´ıcio.
Usando a identidade trigonome´trica fundamental, podemos
escrever que∫
sen 4x cos2 x dx =
∫
sen 4x
(
1− sen 2x) dx
=
∫
sen 4x dx −
∫
sen 6x dx
Ou ainda, tambe´m podemos escrever que∫
sen 4x cos2 x dx =
∫ (
1− cos2 x)2 cos2 x dx
=
∫
cos2 x dx − 2
∫
cos4 x dx +
∫
cos6 x dx
Bastava agora aplicar as te´cnicas estudadas na aula anterior para
calcular integrais desse tipo.
Integral de Produto entre Poteˆncias de Seno e Cosseno
Procedimento
∫
sen mx cosn x dx (m, n ∈ N).
(i) Se m e´ ı´mpar, enta˜o ele tem o formato 2k + 1 (com k ∈ N).
Desse modo, reescreva o integrando como segue abaixo e use
a substituic¸a˜o u = cos x e du = − sen x dx :
sen 2k+1x cosn x = sen x
(
1− cos2 x)k cosn x ;
(ii) Se n e´ ı´mpar, enta˜o ele tem o formato 2k + 1 (com k ∈ N).
Desse modo, reescreva o integrando como segue abaixo e use
a substituic¸a˜o u = sen x e du = cos x dx :
sen mx cos2k+1 x = sen mx
(
1− sen 2x)k cos x ;
Integral de Produto entre Poteˆncias de Seno e Cosseno
Procedimento
∫
sen mx cosn x dx (m, n ∈ N).
(iii) Se m e n sa˜o pares, enta˜o eles tem o formato 2k1 e 2k2
(com k1, k2 ∈ N). Desse modo, reescreva o integrando
como segue abaixo:
sen 2k1x cos2k2 x =
[
1
2
(1− cos 2x)
]k1 [1
2
(1 + cos 2x)
]k2
;
Ou ainda, reescreva o integrando como
sen 2k1x cos2k2 x =
(
1− cos2 x)k1 cos2k2 x ou,
sen 2k1x cos2k2 x = sen 2k1x
(
1− sen 2x)k2 .