Material de apoio - Interpolação

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Cálculo numérico 
ST462 B / ST468 B 
• É o método mais difundido para se obter 
estimativas de valores intermediários entre 
dados precisos. 
• Interpolar uma função f(x) consiste em 
aproximar essa função por uma outra função 
g(x), escolhida entre uma classe de funções 
definida a priori e que satisfaça algumas 
propriedades. A função g(x) é então usada em 
substituição à função f(x). 
 
Interpolação 
 
• A necessidade de se efetuar esta substituição 
surge em várias situações, como por exemplo: 
i. Quando são conhecidos somente valores 
numéricos da função para um conjunto de pontos 
e é necessário calcular o valor da função em um 
ponto não tabelado; 
ii. Quando a função em estudo tem uma expressão 
tal que operações como a diferenciação e a 
integração são difíceis (ou mesmo impossíveis) 
de serem realizadas. 
Interpolação 
 
• Consideremos (n+1) pontos distintos: x0, x1,...xn, 
chamados nós da interpolação, e os valores de f(x) 
nesses pontos: f(x0), f(x1),...f(xn). 
• A forma de interpolação de f(x) consiste em se obter 
uma determinada função g(x) tal que: 
 
Interpolação 
 












)()(
)()(
)()(
)()(
22
11
00
nn xfxg
xfxg
xfxg
xfxg

• Para n = 5, temos graficamente: 
 
 
Interpolação 
 
• A interpolação polinomial consiste em determinar o 
único polinômio de grau n que passa pelos n+1 pontos 
dados. Esse polinômio, então, fornece uma fórmula 
para calcular valores intermediários, ou seja, dados os 
pontos (x0, f(x0)), (x1, f(x1)),..., (xn, f(xn)), portanto 
(n+1) pontos, queremos aproximar f(x) por um 
polinômio pn(x), de grau menor ou igual a n, tal que: 
 
 
 
Interpolação Polinomial 
 
nkxpxf knk ...,2,1,0 )()( 
TEOREMA 1 
Existe um único polinômio pn(x), de grau ≤ n, tal que: 
 pn(xk) = f(xk), k = 0,1,2,...,n desde que xk ≠ xj, j ≠ k. 
 
• Para se obter pn(x) existem algumas formas, entre elas a 
resolução de sistema linear, a forma de Lagrange e de Newton. 
• Teoricamente estas três formas conduzem ao mesmo 
polinômio. A escolha entre elas depende de condições com 
estabilidade do sistema linear, tempo computacional entre 
outros. 
 
Interpolação Polinomial 
 
Exemplo: Encontrar o polinômio de grau ≤ 2 que interpola os 
pontos da tabela. 
 
 
Temos que p2(x) = a0 + a1x + a2x
2; 
p2(x0) – f(x0) ↔ a0 – a1 +a2 = 4 
p2(x1) – f(x1) ↔ a0 = 1 
p2(x2) – f(x2) ↔ a0 – 2a1 + 4a2 = – 1 
Resolvendo o sistema linear obtemos: 
a0 = 1, a1 = – 7/3 e a2 = 2/3. 
Assim, p2(x) = 1 – 7/3x + 2/3x
2 é o polinômio que interpola f(x) 
em x0 = – 1, x1 = 0 e x2 = 2.
 
 
Interpolação Polinomial 
Sistema Linear 
 
x -1 0 2 
f(x) 4 1 -1 
 
• Sejam x0, x1,..., xn, (n+1) pontos distintos e yi = f(xi), i = 0,...,n. 
• Seja pn(x) o polinômio de grau ≤ n que interpola f em x0,...,xn. 
Podemos representar pn(x) na forma pn(x) = y0L0(x) + y1L1(x) + 
... + ynLn(x), onde os polinômios Lk(x) são de grau n. Para cada 
i, a condição pn(xi) = yi deve ser satisfeita, ou seja: 
 pn(xi) = y0L0(xi) + y1L1(xi) + ... + ynLn(xi) = yi. 
• Lk(x) é um polinômio de grau n e, assim, pn(x) é um polinômio 
de grau menor ou igual a n. 
Interpolação Polinomial 
Forma de Lagrange 
 
 
• Temos, então, a forma de Lagrange para o polinômio 
interpolador representado por: 
 
onde: 
 
Interpolação Polinomial 
Forma de Lagrange 
 



n
k
kkn xLyxp
0
)()(
.
)(
)(
)(
,0
,0
jk
n
kjj
j
n
kjj
k
xx
xx
xL





EXEMPLO 
Seja a tabela: 
Pela forma de Lagrange, temos que: 
 
 
 
Interpolação Polinomial 
Forma de Lagrange 
 
x -1 0 2 
f(x) 4 1 -1 
6)02)(12(
)0)(1(
)1)((
))((
)(L
2
2
)20)(10(
)2)(1(
))((
))((
)(L
3
2
)21)(01(
)2)(0(
))((
))((
)(L
:onde )()()()(
2
202
10
2
2
2101
20
1
2
2010
21
0
2211002
xxxx
xxxx
xxxx
x
xxxx
xxxx
xxxx
x
xxxx
xxxx
xxxx
x
xLyxLyxLyxp


























EXEMPLO (Continuação) 
Assim, pela forma de Lagrange temos: 
 
 
Agrupando os termos semelhantes, obtemos que: 
p2(x) = 1 – 7/3x + 2/3x
2 
Interpolação Polinomial 
Forma de Lagrange 
 





 













 

6
)1(
2
2
1
3
2
4)(
222
2
xxxxxx
xp
 
• A forma de Newton para o polinômio pn(x) que 
interpola f(x) em x0, x1,...,xn, (n+1) pontos 
distintos é a seguinte: 
 
 
 
Interpolação Polinomial 
Forma de Newton 
 
))((...)()()( 1012010  nnn xxxxdxxdxxddxp
• Seja f(x) uma função tabelada em n+1 pontos distintos x1,x2,...,xn. 
Definimos o operador das diferenças divididas por: 
 
 
Interpolação Polinomial 
Forma de Newton 
 
• Dizemos que f[x0,x1,...,xk] é a diferença dividida de ordem k da função f(x) sobre 
os k+1 pontos: x0,x1,...,xk . Dada uma função f(x) e conhecidos os valores que f(x) 
assume nos pontos distintos x0,x1,...,xn, podemos construir a tabela: 
 
 
Interpolação Polinomial 
Forma de Newton 
 
EXEMPLO) Usando a forma de Newton, o polinômio p2(x), que 
interpola f(x) nos pontos 
 
 
 
Interpolação Polinomial 
Forma de Newton 
 
x -1 0 2 
f(x) 4 1 -1 
Agrupando os termos 
semelhantes, obtemos 
que: 
p2(x) = 1 – 7/3x + 2/3x
2 
 
• Como já observamos, ao se aproximar uma função f(x) por um 
polinômio interpolador de grau ≤ n, comete-se um erro, ou seja 
 En(x) = f(x) – pn (x) para todo x no intervalo [x0,xn]. 
• O estudo do erro é importante para sabermos quão próximo f(x) 
está de pn(x). 
 
 
 
Estudo do erro na interpolação 
 
• Este caso ilustra a importância de estudarmos o erro no caso da 
interpolação linear 
 
 
 
• O mesmo polinômio p1(x) interpola f1(x) e f2(x) em x0 e x1. Contudo, o 
erro: 
• Observamos ainda que o erro, neste caso, depende da 
concavidade das curvas, ou seja, de 
 
Estudo do erro na interpolação 
 
).,(),()( quemaior é )()( 1012
2
111
1
1 xxxxpxfxExpxfxE 
).( e )(
''
2
''
1 xfxf
TEOREMA 
Sejam x0 < x1<x2< ... <xn, (n+1) pontos 
Seja f(x) com derivadas até ordem (n+1) para todo x pertencente ao 
intervalo [x0,xn]. 
Seja pn(x) o polinômio interpolador de f(x) nos pontos x0, x1,...,xn. 
Então em qualquer ponto x pertence ao intervalo [x0,xn], o erro é 
dado por: 
 
onde ξx ϵ [x0,xn] 
 
Estudo do erro na interpolação 
 
)!1(
))...()()(()()(
)1(
210



n
f
xxxxxxxxxpxfE x
n
nnn

TEOREMA 
 
 
 
Este teorema mostra claramente a relação entre a 
diferença dividida de ordem (n+1) e a derivada de 
ordem (n+1) da função f(x). 
 
Estudo do erro na interpolação 
 
).,( e ),(,
)!1(
],,...,,[ 0x0
)1(
10 nn
x
n
n xxxxx
n
f
xxxxf 


 
A fórmula para o erro: 
 
 
tem uso limitado na prática, dado que serão raras as situações em 
que conheceremos f(n+1)(x) e o ponto ξx nunca é conhecido. 
A importância da fórmula exata para En(x) é teórica, uma vez que é 
usada na obtenção das estimativas de erro para as fórmulas de 
interpolação, diferenciação e integração numérica. 
 
 
Estudo do erro na interpolação 
 
)!1(
))...()()(()()(
)1(
210



n
f
xxxxxxxxxpxfE x
n
nnn
• Se a função f(x) é dada na forma de tabela, o valor absoluto do 
erro |En(x)| só pode ser estimado. Isso porque, neste caso, não é 
possível calcular Mn+1; mas, se construirmos a tabela de 
diferenças divididas até ordem n+1, podemos usar o maior valor 
(em módulo destas diferenças como uma aproximação para 
 Neste caso dizemos que: 
 
 
Estimativa para o erro na 
interpolação 
 
|).1n ordem de divididas diferenças |máx(|))...()()((||)(| 210  nn xxxxxxxxxE
].,[ intervalo no 
)!1(
0
1
n
n xx
n
M


• EXEMPLO 
Seja f(x) na forma: 
 
Estimativa para o erro na 
interpolação 
 
• EXEMPLO 
Seja f(x) na forma: 
 
Estimativa para o erro na 
interpolação 
 
Tabela das diferenças 
 
Estimativa para o erro na 
interpolação 
 
• Deve-se escolher três pontos de interpolação. Como 0.47 ϵ (0.4, 
0.52), dois pontos deverão ser 0.4 e 0.52. O outro pode ser 0.34 
como 0.6. Escolheremos x0= 0.4, x1= 0.52 e x2 = 0.6. 
 
 
a) p2(0,47) = 0.2780 ≈ f(0.47) 
b) |E(0.47)| ≈ (0.41 – 0.4)(0.47 – 0.52)(0.47 – 0.6)| |18.2492| ≈ 
8.303 × 10-3 
 
Estimativa para o erro na 
interpolação 
• Dada a tabela 
 
 
• O problema da interpolação inversa consiste em: dado y ϵ 
(f(x0),f(xn)), obter x, tal que f(x) = y. 
• Formas de resolver o problema: 
i. Obter pn(x) que interpola f(x) em x0, x1,...,xn e em seguida encontrar x 
tal que pn(x) = y; 
ii. Interpolação inversa. 
 
Interpolação Inversa 
Exemplo forma i) 
 
Interpolação Inversa 
Neste caso, não conseguimos 
nem mesmo fazer uma 
estimativa do erro cometido, 
pois o que sabemos é medir o 
erro em se aproximar f(x) por 
pn(x), e aqui queremos medir o 
erro cometido sobre x e não 
sobre f(x). 
Forma ii) 
• Se f(x) for invisível num intervalo contendo y, então faremos uma 
interpolação de x = f-1(y) = g(y). 
• Uma condição para que uma função contínua num intervalo [a,b] seja 
inversível é que seja monótona crescente (ou decrescente) neste 
intervalo. 
• Se f(x) for dada na forma de tabela, supondo que f(x) é contínua em 
(x0,xn), então f(x) será admitida como monótona crescente se 
f(x0) < f(x1) < ...< f(xn) e decrescente se f(x0) > f(x1) > ...> f(xn). 
 
Interpolação Inversa 
EXEMPLO Forma ii) 
Interpolação Inversa 
EXEMPLO Forma ii) Tabela das diferenças divididas 
Interpolação Inversa 
EXEMPLO Forma ii) (continuação) 
Interpolação Inversa 
EXEMPLO Forma ii) (continuação) 
Interpolação Inversa 
• A tabela de diferenças divididas junto com a relação entre a diferença 
dividida de ordem k e derivada de ordem k podem nos auxiliar na 
escolha do grau do polinômio que usaremos para interpolar uma 
função f(x) dada. 
• Deve-se em primeiro lugar, construir a tabela de diferenças divididas. 
Em seguida, examinar as diferenças divididas da função na 
vizinhança do ponto de interesse. Se nesta vizinhança as diferenças 
divididas de ordem k forem praticamente constantes (ou se as 
diferenças de ordem (k+1) variarem em torno de zero) poderemos 
concluir que um polinômio interpolador de grau k será o que melhor 
se aproximará a função na região considerada na tabela. 
Escolha do grau do polinômio 
interpolador 
EXEMPLO) 
 
Escolha do grau do polinômio 
interpolador 
EXEMPLO) (continuação) 
 
Escolha do grau do polinômio 
interpolador 
EXEMPLO) (continuação) 
 
Escolha do grau do polinômio 
interpolador 
constantes 
Assim, no intervalo 
[1,1.05] dizemos que 
um polinômio de grau 1 
é uma boa aproximação 
para f(x) =