DERIVADAS (4)

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Cálculo Diferencial e Integral 
Lista de Exercícios BsN05C3e05 
 
CDCI/CMCD 
 
(01) Considere a função k.zxyj.zy2i.yxr 2222 rrrr +−= , calcular 2
2
2
2
y
rX
x
r
∂
∂
∂
∂ rr
 
no ponto P(2,1,-2). 
Solução: 
Como considerado em sala de aula, as regras para a derivação ordinária ou parcial 
anteriormente apresentadas nas disciplinas básicas de Cálculo Diferencial e Inte-
gral são mantidas. 
Assim, dada a função vetorial )z,y,x(vr tem-se que as derivadas parciais em rela-
ção às variáveis reais x, y, z serão dadas por: 
x
)z,y,x(v)z,y,xx(vlim
x
)z,y,x(v
0x ∆
−∆+
=
∂
∂
→∆
rrr
, 
y
)z,y,x(v)z,yy,x(vlim
y
)z,y,x(v
0y ∆
−∆+
=
∂
∂
→∆
rrr
 e 
z
)z,y,x(v)zz,y,x(vlim
z
)z,y,x(v
0z ∆
−∆+
=
∂
∂
→∆
rrr
. 
Analogamente calculam-se as derivadas sucessivas de ordem n. 
Por exemplo: 




∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
x
)z,y,x(v
xx
)z,y,x(v
2
2 rr
, 






∂
∂
∂
∂
=









∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
2
2
3
3
x
)z,y,x(v
xx
)z,y,x(v
xxx
)z,y,x(v rrr
; 












∂
∂
∂
∂
∂
∂
=





∂
∂
∂
∂
=
∂∂
∂
y
)z,y,x(v
yxy
)z,y,x(v
xyx
)z,y,x(v
2
2
2
3 rrr
. 
Saliente-se, também, que os diferenciais de funções vetoriais de posição serão cal-
culados de forma análoga. 
 Seja, então, a função vetorial de posição definida por: 
k).u(rj).u(ri).u(r)u(r 321
rrrr
++= , onde )u(re)u(r),u(r 321 são funções reais dife-
renciáveis do parâmetro real u. 
O diferencial de k).u(rj).u(ri).u(r)u(r 321
rrrr
++= será dado por: 
Cálculo Diferencial e Integral 
Lista de Exercícios BsN05C3e05 
 
CDCI/CMCD 
=++=== k.du).u('rj.du).u('ri.du).u('rdu).u('vdu.
du
)u(rd)u(rd 321
rrrr
r
r
 
k).u(drj).u(dri).u(dr 321
rrr
++= , 
onde: )u(dre)u(dr),u(dr 321 são os diferenciais totais das funções reais 
)u(re)u(r),u(r 321 da variável real u. 
Deve-se observar, contudo, que para a função vetorial de posição 
k).z,y,x(rj).z,y,x(ri).z,y,x(r)z,y,x(r 321
rrrr
++= o diferencial será dado por: 
dz.
z
)z,y,x(rdy.
y
)z,y,x(rdx.
x
)z,y,x(r)z,y,x(rd
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
rrr
r
, 
onde: k.
x
)z,y,x(rj.
x
)z,y,x(ri.
x
)z,y,x(r
x
)z,y,x(r 321 rrr
r
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
, 
 k.
y
)z,y,x(rj.
y
)z,y,x(ri.
y
)z,y,x(r
y
)z,y,x(r 321 rrr
r
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
 e 
 k.
z
)z,y,x(rj.
z
)z,y,x(ri.
z
)z,y,x(r
z
)z,y,x(r 321 rrr
r
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
. 
É necessário observar, ainda, quanto à derivação de funções vetoriais de posição 
que embora todas as regras de derivação sejam mantidas, a derivação do produto 
de funções vetoriais deverá seguir a seguinte convenção (uma vez que o produto 
vetorial não é comutativo), qual seja: 
( ) 






+





= )u(wX
du
)u(vd
du
)u(wdX)u(v)u(wX)u(v
du
d rrrrrr
. 
Das considerações em questão, resulta, portanto, em relação ao exercício propos-
to, que: 
Como: jy2
x
r
2
2 r
r
=
∂
∂
 e kxz2jz4
y
r 2
2
2 rr
r
+=
∂
∂
, tem-se que: 
k32j16
8160
002
kji
y
rX
x
r
)2,1,2(P2
2
2
2 rr
rrr
rr
−=
−
=
∂
∂
∂
∂
−
. 
Cálculo Diferencial e Integral 
Lista de Exercícios BsN05C3e05 
 
CDCI/CMCD 
Logo: 51612802561024
y
rX
x
r
)2,1,2(P
2
2
2
2
==+=
∂
∂
∂
∂
−
rr
. 
 
(02) Considere a função k.zxyj.zy2i.yxr 2222 rrrr +−= , calcular 2
2
2
2
y
rX
x
r
∂
∂
∂
∂ rr
 
no ponto P(2,1,-2). 
Resposta: 516
y
rX
x
r
)2,1,2(P
2
2
2
2
=
∂
∂
∂
∂
−
rr
. 
Solução: 
Como: jy2
x
r
2
2 r
r
=
∂
∂
 e kxz2jz4
y
r 2
2
2 rr
r
+=
∂
∂
, tem-se que: 
k32j16
8160
002
kji
y
rX
x
r
)2,1,2(P2
2
2
2 rr
rrr
rr
−=
−
=
∂
∂
∂
∂
−
. 
Logo: 5165.16.1612802561024
y
rX
x
r
)2,1,2(P
2
2
2
2
===+=
∂
∂
∂
∂
−
rr
. 
 
(03) Se yzx)z,y,x(f 2= e k)xz(j)yz(i)yx3(v 22 rrrr −+= , calcular 
zy
)v.f(2
∂∂
∂ r
 no 
ponto P(1,-2,-1). 
Resposta: )2,12,12(k.2j.12i.12
zy
)v.f(
)1,2,1(P
2
−−=+−−=
∂∂
∂
−
rrr
r
. 
 
(04) Se k.xzj.yi.xv 2 rrrr +−= , k.xyzj.xi.yu rrrr −+= e k.zxj.yiw 3 rrrr +−= , deter-
minar 
yx
)uXv(2
∂∂
∂ rr
 e )]wXu.(v[d rrr no ponto P(1,-1,2). 
Cálculo Diferencial e Integral 
Lista de Exercícios BsN05C3e05 
 
CDCI/CMCD 
Respostas: j.8i.4
yx
)uXv(
)2,1,1(P
2 rrrr
+−=
∂∂
∂
−
 e dx.8])wXu.(v[d )2,1,1(P =−
rrr
. 
 
(05) Seja a função vetorial k)).ycos(.2x(j)).xsen(.yxye(i).4xy2x2(v rrrr +−+−= . 
Determinar as seguintes funções vetoriais derivadas; quais sejam: 
x
v
∂
∂r
, 
y
v
∂
∂r
, 2
2
x
v
∂
∂ r
, 2
2
y
v
∂
∂ r
, 
yx
v2
∂∂
∂ r
 e 
xy
v2
∂∂
∂ r
. 
Resposta: 
k).ycos(x2j)).xcos(yye(i).x4xy4(
x
v xy3 rrr
r
+−+−=
∂
∂
; 
k).ysen(xj)).xsen(xe(i.x2
y
v 2xy2 rrr
r
−−+=
∂
∂
; 
k)..ycos(2j)).xsen(yey(i).x12y4(
x
v xy22
2
2 rrrr
+++−=
∂
∂
; 
k).ycos(xj.ex
y
v 2xy2
2
2 rrr
−=
∂
∂
; 
k)).ysen(x2(j))xcos(exye(i.x4
xy
v
yx
v xyxy
22 rrrrr
−−++=
∂∂
∂
=
∂∂
∂
. 
 
(06) Seja a função vetorial k).y2x3(j).x2xy3(i)).xy(cos(v 2 rrrr +−−+= . Deter-
minar as seguintes funções vetoriais derivadas; quais sejam: 
x
v
∂
∂r
, 
y
v
∂
∂r
, 2
2
x
v
∂
∂ r
, 2
2
y
v
∂
∂ r
, 
yx
v2
∂∂
∂ r
 e 
xy
v2
∂∂
∂ r
. 
Resposta: 
k.3j).x4y3(i)).xysen(y(
x
v rrr
r
−−+−=
∂
∂
; 
k.2j.x3i)).xysen(x(
y
v rrr
r
−+−=
∂
∂
; 
Cálculo Diferencial e Integral 
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CDCI/CMCD 
j.4i)).xycos(y(
x
v 2
2
2 rrr
−−=
∂
∂
; 
i)).xycos(x(
y
v 2
2
2 rr
−=
∂
∂
; 
j.3i)).xysen()xycos(xy(
xy
v
yx
v 22 rr
rr
++−=
∂∂
∂
=
∂∂
∂
. 
 
(07) Sejam as funções zxy)z,y,x(f 2= e k.yzj.xyi.xz)z,y,x(v 22 rrrr +−= . De-
terminar )v.f(
zx
2
3
r
∂∂
∂
 no ponto P(2,-1,1). 
Resposta: )0,2,4(j2i4)v.f(
zx )1,1,2(p2
3
−=−=
∂∂
∂
−
rrr
. 
 
(08) Se vr é uma função de x,y,z e t, onde x,y e z são funções de t, demonstrar que: 
.
dt
dz
.
z
v
dt
dy
.
y
v
dt
dx
.
x
v
t
v
dt
vd
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
rrrrr
 
 
(09) Se 1c
r
 e 2c
r
 são vetores constantes e λ é um escalar constante, mostrar que 
))ycos(.c)ysen(.c.(ev 21x λ+λ= λ−
rrr
 satisfaz à equação diferencial definida por: 
.0
y
v
x
v
2
2
2
2 r
rr
=
∂
∂
+
∂
∂
 
 
(10) Se k.xzj.xz2i.yzxu 232 rrrr +−= e k.xj.yi.z2v 2 rrrr −+= , determinar, no ponto 
)2,0,1(P − , a função derivada )vXu(
yx
2
rr
∂∂
∂
. 
Resposta: )0,8,4(j.8i.4)vXu(
yx )2,0,1(P
2
−−=−−=
∂∂
∂
−
rrrr
. 
 
Cálculo Diferencial e Integral 
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CDCI/CMCD 
(11) Determinar as derivadas parciais das seguintes funções; quais sejam: 
k.xyj.zxi.yzu rrrr ++= , j.xy2i).yx(v 22 rrr +−= e k.xzj.zyi.yxw 222 rrrr ++= . 
Respostas: 
k.yj.z
x
u rr
r
+=
∂
∂
; k.xi.z
y
u rr
r
+=
∂
∂
; j.xi.y
z
w rr
r
+=
∂
∂
; 
j.y2i.x2
x
v rr
r
+=
∂
∂
; j.x2i.y2
y
v rr
r
+−=
∂
∂
; 
k.zi.xy2
x
w 2 rr
r
+=
∂
∂
; j.yz2i.x
y
w 2 rr
r
+=
∂∂
; k.zx2j.y
y
w 2 rr
r
+=
∂
∂
. 
 
(12) Calcular vdr se k)y.x(j))ycos(.z(i))ysen(.x()z,y,x(v 222 rrrr −+= . 
Resposta: 
)xydy2dxy,dz)ycos(.z2dy)ysen(.z,dy)ycos(.xdx)ysen(.x2(vd 222 −−+−+=r .