DERIVADAS DIRECIONAIS

Prévia do material em texto

Cálculo Diferencial e Integral 
Lista de Exercícios Cs1C3e01M 
 
CDCI/CMCD 
 
(01) Determinar a derivada direcional de 22 yx.4x.3)y,x(f −+= em um ponto 
qualquer P(x,y) e na direção do vetor 






=
2
1
,
2
3
u
r
. 
Solução: 
Imediatamente, tem-se que: 
)cos(.)y,x(P
y
)y,x(f)cos(.)y,x(P
x
)y,x(f)y,x(P
u
)y,x(f β





∂
∂
+α





∂
∂
=
∂
∂
r , 
onde ))cos(),(cos(
2
1
,
2
3
u βα=






=
r
 é um vetor unitário (verificar). 
Logo: 
32yx.33
2
1).y2(
2
3).4x.6()y,x(P
u
)y,x(f
+−=−++=
∂
∂
r . 
Resposta: 
32yx.33)y,x(P
u
)y,x(f
+−=
∂
∂
r . 
 
(02) Determinar a derivada direcional de z.y.3y.x.2)z,y,x(f 23 −= no ponto 
P(1,2,-1) e na direção do ponto Q(3,-1,5) a partir do ponto P(1,2,-1). 
Solução: 
Sabe-se que a derivada direcional de z.y.3y.x.2)z,y,x(f 23 −= no ponto P(1,2,-1) 
e na direção do vetor PQ é dada por: 
)1,2,1(Pu)).z,y,x(f.()1,2,1(Pu
)z,y,x(f
−
∇=−
∂
∂ r
r , 
onde o unitário ur é o versor do vetor PQ . 
Logo, tem-se o unitário ur será tal que: 
Cálculo Diferencial e Integral 
Lista de Exercícios Cs1C3e01M 
 
CDCI/CMCD 
⇒
+−
=
+−+
+−
=
+−
+−
=
−−−
==
49
k.6j.3i.2
6)3(2
k.6j.3i.2
k.6j.3i.2
k.6j.3i.2
PQ
)1,2,1()5,1,3(
PQ
PQ
u
222
rrrrrr
rrr
rrr
r
 





 −
=
+−
=⇒
7
6
,
7
3
,
7
2
7
k.6j.3i.2
u
rrr
r
. 
Calculando-se o gradiente de )z,y,x(f no ponto P(1,2,-1), tem-se que: 
=−
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇
−− )1,2,1(P
23
)1,2,1(P )z.y.3y.x.2).(z.ky.jx.i()z,y,x(f.
rrr
 
=−+−+
− )1,2,1(P
232 )k).y.3(j).z.y.6x.2(i).y.x.6(( rrr
)12,14,12(k.12j.14i.12 −=−+= rrr . 
Portanto: 
7
90
7
6
,
7
3
,
7
2).12,14,12(u)).z,y,x(f.()1,2,1(P
u
)z,y,x(f
)1,2,1(P
−
=




 −
−=∇=−
∂
∂
−
r
r . 
 
(03) Determinar a derivada direcional de 222 zyxw ++= no ponto )1,2,2(P −− 
e na direção do vetor AB sabendo-se que )1,2,1(A − e )1,0,2(B . 
Solução: 
Imediatamente, tem-se que: 
[ ]
)1,2,2(P
)1,2,2(P
)z,y,x(u.)z,y,x(f.
)z,y,x(u
)z,y,x(f)P(
u
w
−−
−−
∇=
∂
∂
=
∂
∂
, 
onde: =





∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇ )z,y,x(f.
z
.j
y
.j
x
.i)z,y,x(f. 
z
)z,y,x(f
.j
y
)z,y,x(f
.j
x
)z,y,x(f
.i
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= 
e 





=
+
+
==
−
== 0,
5
2
,
5
1
41
j2i
)0,2,1(
)0,2,1(
AB
AB
AB
AB)z,y,x(u . 
Como 
Cálculo Diferencial e Integral 
Lista de Exercícios Cs1C3e01M 
 
CDCI/CMCD 
4
x
)z,y,x(f
x2
x
)z,y,x(f
)1,2,2(P
−=
∂
∂
⇒=
∂
∂
−−
, 
4
y
)z,y,x(fy2
y
)z,y,x(f
)1,2,2(P
=
∂
∂
⇒=
∂
∂
−−
 e 
2
z
)z,y,x(f
z2
z
)z,y,x(f
)1,2,2(P
−=
∂
∂
⇒=
∂
∂
−−
, tem-se que: 
=











∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂ 0,
5
2
,
5
1
.)P(
z
)z,y,x(f
.j)P(
y
)z,y,x(f
.j)P(
x
)z,y,x(f
.i)P(
u
w
 
( )
5
54
5
4
5
8
5
40,
5
2
,
5
1).0,4,4(0,
5
2
,
5
1
.j.0j.4i.4 ==+−=





−=





++− . 
Resposta: 
5
54
)z,y,x(u
)z,y,x(f)P(
u
w
)1,2,2(P
=
∂
∂
=
∂
∂
−−
. 
 
(04) Calcular a derivada direcional máxima da função escalar de posição 
( ) ( )zycosyxsenw +++= , no ponto )6/,0,3/(P pi−pi . 
Solução: 
)6/,0,3/(P
máxima
)]z,y,x(f[grad|)P(
u
f
pi−pi
=
∂
∂
r . 
Mas, 
=+++





∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇= ))zycos()yx.(sen(k.
z
j.
y
i.
x
)z,y,x(f.)]z,y,x(f[grad
rrrr
 
k).zysen(j)).zysen()yx(cos(i).yxcos( rrr +−+−+++= . 
Logo: 
=pi−−pi−−pi+pi=
pi−pi
k).6/sen(j)).6/sen()3/(cos(i).3/cos()]z,y,x(f[grad )6/,0,3/(P
rrr
 
Cálculo Diferencial e Integral 
Lista de Exercícios Cs1C3e01M 
 
CDCI/CMCD 






=+++=
2
1
,1,
2
1
2
k
2
j
2
j
2
i
rrrr
. 
Portanto: 
2
6
4
11
4
1)f(grad|)P(
u
f
)6/,0,3/(P
máxima
=++==
∂
∂
pi−pir
. 
 
(05) Determinar a derivada direcional mínima da função escalar de posição defi-
nida por )z2y(tg)zxcos()yx2(sen)z,y,x(w −+++−= , no ponto )0,,2/(P pipi . 
Solução: 
É imediato que: 
)0,,2/(Pmín
)]z,y,x(f[grad)0,,2/(P
u
)z,y,x(f
pipi
−=pipi
∂
∂
r . 
Mas, =
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇= )z,y,x(f).
z
.k
y
.j
x
.i()z,y,x(f.)]z,y,x(f[grad
rrrr
 
=−+++−
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= ))z2y(tg)zxcos()yx.2(sen).(
z
.k
y
.j
x
.i(
rrr
 
+−+−−++−−= j)).z2y(sec)yx2cos((i)).zx(sen)yx2cos(2( 2 rr
k)).z2y(sec2)zx(sen( 2
r
−−+−+ . 
Logo: k.3i)]z,y,x(f[grad
)0,,2/(P
rr
−=
pipi
. 
Portanto: 
1091)]z,y,x(f[grad)0,,2/(P
u
)z,y,x(f
)0,,2/(Pmín −=+−=−=pipi∂
∂
pipi
r . 
 
(06) Em qual direção é mínima a derivada direcional da função definida por 
)z2y(tg)zxcos()yx2(sen)z,y,x(w −+++−= no ponto )0,,2/(P pipi ? 
Solução: 
A derivada direcional é mínima quando o ângulo entre o gradiente e o unitário ur 
em P é de o180 , pois: 
==
∂
∂
pipi
)180cos(.u.)]z,y,x(f[grad)P(
u
)z,y,x(f
)0,,2/(Pmín
or
r
)0,,2/(P)]z,y,x(f[grad pipi−= . 
Cálculo Diferencial e Integral 
Lista de Exercícios Cs1C3e01M 
 
CDCI/CMCD 
 
(07) Em qual direção, a partir do ponto P(1,2,-1), é máxima a derivada direcional 
da função definida por z.y.3y.x.2)z,y,x(f 23 −= ? Qual é o módulo deste máxi-
mo? 
Solução: 
De outro lado, sabe-se que a derivada direcional é máxima na direção do gradiente 
da função. 
Portanto, o módulo de tal valor máximo é dado por: 
=−++=−+=
−
222
)1,2,1(P )12(1412k.12j.14i.12)z,y,fx(grad
rrr
22144196144 =++ . 
 
(08) Em que direção, a partir do ponto P(2,1,-1), a derivada direcional de 
32 yzx)z,y,x(f = é máxima? Qual o valor absoluto deste máximo? 
Resposta: É máxima a derivada direcional na direção k.12j.4i.4 rrr +−− . O valor 
absoluto é igual a 114 . 
 
(09) Calcular a derivada direcional máxima da função 22 yxz −= no ponto 
P(5,4). 
Resposta: 
3
41)P(
u
f
máx
=
∂
∂
r . 
 
(10) Qual é a direção da derivada direcional máxima tomando-se por base o e-
xercício anterior? 
Resposta: )5/4(arctg −=α .