INTEGRAIS I

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Cálculo Diferencial e Integral 
Lista de Exercícios BsN04C3e04 
 
CDCI/CMCD 
 
(01) Calcular ∫ du).u(r
r
 sabendo-se que: 
))u4.())u1.(3(,u.6),u(tg()u(r 14)32u4(2 −− +=r . 
Solução: 
Observe, inicialmente, que se k).u(rj).u(ri).u(r)u(r 321
rrrr
++= é uma função veto-
rial de posição que depende de uma única variável real u e tal que as funções 
)u(re)u(r),u(r 321 são todas funções reais contínuas em dado intervalo, então 
( ) =++= ∫∫ du.k).u(rj).u(ri).u(rdu).u(r 321 rrrr 
( ) ( ) ( ) =++= ∫∫∫ du.k).u(rdu.j).u(rdu.i).u(r 321 rrr 
du).u(r.kdu).u(r.jdu).u(r.i 321 ∫∫∫ ++=
rrr
, 
onde: du).u(redu).u(r,du).u(r 321 ∫∫∫ são integrais ordinários semelhantes 
àqueles estudados anteriormente no Cálculo Diferencial e Integral básico. 
Disto posto, resulta, imediatamente, que: 
du).u4.())u1.(3(.kdu.u.6.jdu).u(tg.idu).u(r 14)32u4(2 −− +++= ∫∫∫∫
rrrr
. 
Como: 1
222 Cu)u(tgdxdu).u(secdu].1)u([secdu)).u(tg( ++=−=−= ∫∫∫ ∫ , 
2
)32u4(
du.u8
2)32u4()32u4( C)6ln(
6
.
8
1)3u4(d.6.
8
1du.u.6 +=−=
−
=
−−
∫ ∫ 43421 e 
3
2
22
udu2
2
4
14 C)u(arctg.
3
2
))u(1(
)u(d
.
3
2
)u1(
du.u
.
3
4du).u4.()]u1.(3[ +=
+
=
+
=+
=
−
∫∫∫
876
, tem-
se que: 
=





++






++++=
−
∫ 3
2
2
)32u4(
1 C)u(arctg.3
2
.kC)6ln(
6
.
8
1
.j)Cu)u(tg.(idu).u(r rrrr
 
=++++++=
−
)C.kC.jC.i()u(arctg.
3
2
.k)6ln(
6
.
8
1
.j)u)u(tg.(i
C
321
2
)32u4(
44 344 21
rrrrrr
r
 
Cálculo Diferencial e Integral 
Lista de Exercícios BsN04C3e04 
 
CDCI/CMCD 
C))u(arctg.
3
2
,)6ln(
6
.
8
1
,u)u(tg( 2
)32u4( r
++=
−
. 
 
(02) Calcular: ∫ 






+
−
+++ − dx.k.)x(cosh
)x(senhj.
5x
x2i.)5x2x( 42
12
rrr
. 
Solução: 
Como, tem-se que: 
(a) =
+++
=
++
=++ ∫∫ ∫
−
)14x2x(
dx
)5x2x(
dxdx)5x2x( 2212
 
=
++
=
+++
= ∫∫ ))2()1x((
dx
))2()1x2x((
dx
2222 1C)2/)1x((arctg.2
1
++ ; 
(b) ∫∫ ∫ =−=−=
−
−− dx.x2.)5x(dx.)5x.(x2
5x
xdx2 2/122/12
2
 
2
2
2
1
2
1
2
dx.x2
22/12 C5x2C
1
2
1
)5x()5x(d.)5x( +−=+
+
−
−
=−−= ∫
+
−
=
−
43421
 e 
(c) === ∫∫∫
=
−−
43421
dx).xsenh(
44
4 ))x(cosh(d).x(coshdx).x(cosh).xsenh()x(cosh
dx).xsenh(
 
3
3
3
3
C)x(cosh).3/1(C
3
)x(cosh
+−=+
−
=
−
−
; 
então 
=







+
−
+++∫
− dx.k.)x(cosh
)x(senhj.
5x
x2i.)5x2x( 42
12
rrr
 
+





+= i.)2/)1x((arctg.
2
1 r ( ) +− j.5x2 2 r ( ) +− − k.)x(cosh).3/1( 3 r 
=








+++
444 3444 21
rrr
r
C
321 k.Cj.Ci.C 
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CDCI/CMCD 
+





+= i.)2/)1x((arctg.
2
1 r ( ) +− j.5x2 2 r ( ) Ck.)x(cosh).3/1( 3 rr +− − . 
 
(03) Calcular: ∫ 





−+
−
+−
−− dx.)7x4x3(,)1x(
)2xx(),x(senh 12
3
1
. 
Solução: 
Como, tem-se que: 
(a) { du.vv.udx.)x(senh
dv
u
1
∫∫ −=
−
43421
 e 





=⇒=
+
=⇒++== −
xvdxdv
1x
dxdu1xxln()x(senhu
2
21
 
Logo: { =
+
−=−= ∫∫∫
−−
1x
dx.x)x(senh.xdu.vv.udx.)x(senh
2
1
dv
u
1
43421
 
=++−=
=
−−
∫ 43421
dx.x2
22/121 )1x(d.)1x(.
2
1)x(senh.x 
1
21
1
2/12
1 C1x)x(senh.xC
2/1
)1x(
.
2
1)x(senh.x ++−=++−= −− ; 
(b) 
1x
2
xx)1x(
)2xx( 23
−
++=
−
+−
 e =
−
++=
−
+−
∫∫ dx).1x
2
xx(dx.)1x(
)2xx( 23
 
}
∫∫∫∫∫∫ =
−
++=
−
++=
321
u
'u
22
)1x(
dx.12dx.xdx.x)1x(
dx2dx.xdx.x
2
23
C)1xln(2
2
x
3
x
+−++= ; 
(c) C
au
auln.
a2
1
)au(
du
22 +





+
−
=
−
∫ e 
=
−+
=−+ ∫∫
−
)7x4x3(
dxdx)7x4x3( 212 
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CDCI/CMCD 
=
−+
=
−
++
= ∫∫ )3/25)3/2x(
dx
.
3
1
))
3
7(
3
x4
x(
dx
.
3
1
2
2
 
=+++−+= 3C))3/5)3/2x/(()3/5)3/2xln(((.)3/5.(2
1
.
3
1
=+++−+= 3C))3/)52x3/(()3/)52x3ln(((.10
3
.
3
1
=++− 3C))7x3/()3x3ln((.10
1
 
4434421
4C
33 C)3ln(.10
1))7x3/()1xln((.
10
1C))7x3/()1x.(3ln(.
10
1
+++−=++−= ; 
então 
=





−+
−
+−
∫
−− dx.)7x4x3(,)1x(
)2xx(),x(senh 12
3
1
 
( ) C))7x3/()1xln((.
10
1
,)1xln(2
2
x
3
x
,1x)x(senh.x
23
21
r
+







+−





−+++−= − . 
 
(04) Sejam as funções k.t2j.3i.tv rrrr +−= , k.2j.2iw rrrr +−= e kj.ti.3u rrrr −+= , 
calcular: dt).uXw.v(2
1t
rrr
∫
=
 e dt)).uXw(Xv(2
1t
rrr
∫
=
. 
Respostas: 
0dt).uXw.v(2
1t
rrrr
=∫
=
 e 
k.
2
15j.
3
44i.
2
87dt)).uXw(Xv(2
1t
rrrrrr
+
−−
=∫
=
. 
 
(05) Seja a função vetorial k.u4j).u62(i).uu3()u(r 2 rrrr −−+−= . Determinar: 
∫ du)u(r
r
 e du.)u(r4
2u∫ =
r
. 
Respostas: 
( ) ( ) ck.u2j.u3u2i.2/uudu)u(r 2223 rrrrr +−−+−=∫ e 
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CDCI/CMCD 
)24,32,50(du.)u(r4
2u
−−=∫
=
r
. 
 
(06) Calcular: du).j).ucos(2i).usen(3(2/
0u
rr
∫
pi
=
+ . 
Resposta: j.2i.3du).j).ucos(2i).usen(3(2/
0u
rrrr
+=+∫
pi
=
. 
 
(07) Calcular os integrais ∫ du)u(r
r
 e ∫
=
2
1u
du)u(rr tomando-se a função vetorial 
)3,u2,uu()u(r 32 −−=r . 
Resposta: 
∫ +−+





−= ck.u3j.
2
xi.
3
u
2
udu)u(r
432 rrrrv
 e 
k.3j.
2
15i.
6
5du)u(r2
1u
rrrr
−+−=∫
=
. 
 
(08) Sejam as funções vetoriais k).1t(j.ti.t)t(v 2 rrrr −+−= e k.t6i.t2u 2 rrr +=
, cal-
cular: dt).u.v(
2
0t
rr
∫
=
. 
Respostas: 12dt).u.v(2
0t
=∫
=
rr
. 
 
(09) Sejam as funções vetoriais k).1t(j.ti.t)t(v 2 rrrr −+−= e k.t6i.t2u 2 rrr +=
, cal-
cular: dt).uXv(
2
0t
rr
∫
=
. 
Respostas: k.
5
64j.
3
40i.24dt).uXv(2
0t
rrrrr
+−−=∫
=
. 
 
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(10) Calcular ∫ du)u(r
r
 sabendo-se que: 
(a) k).1u2cos(.uj.5.ui).ucos(.e)u(r 321u4)usen( 2 rrrr +++= − ; 
(b) k.)7u.4u3(j.
u16
1u2i.)5u2u()u(r 12212
rrrr
−−
−++





+
+
+++= ; 
(c) k)).u(ln(gcot.
u
1j.
12u2u2
3u2i.
u56
u2)u(r 23 2
rrrr
+





++−
−
+
−
= . 
Respostas: 
(a) ∫ +
+
++=
−
ck.
8
)1u2sen(j.)5ln(8
5i.edu)u(r
3)1u4(
)usen(
2
rrrrr
; 
(b) ck.
10/1
7x3
3x3
lnj.)4/u(arctg
4
1)2u16ln(i.
2
1u
tgarc
2
1
du)u(r r
rrrr
+
+
−
++++
+
∫ = 














 ; 
(c) ck)).uln(sen(lnj.
2u
3u
ln
5
1
6u2ulni.
10
3/2)2u56.(3
du)u(r r
rrrr ++∫
+
−
+−−−+
−−
= 











.