INTEGRAL DE SUPERFÍCIE I

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Cálculo Diferencial e Integral 
Lista de Exercícios Ds4C3e04Gx 
 
CDCI/CMCD 
 
(01) Calcular, através de Integrais de Superfície, a área da superfície S da esfe-
ra de raio R e centro na origem do espaço real tridimensional 
3
. 
Observação: 
Antes de apresentar a solução do problema, leve-se em conta as seguintes 
considerações. 
Seja 
3S 
 uma superfície bilateral gerada pela função vetorial de posi-
ção definida por 
k.zj.yi.x)z,y,x(R


 (a função posição de S). 
Admita-se que x, y e z sejam definidas pelas equações paramétricas: 








)v,u(hz
)v,u(gy
)v,u(fx
, com 
 ]b,a[u
 e 
 ]d,c[v
. 
Logo, tem-se que 
k).v,u(hj).v,u(gi).v,u(f)v,u(R


, onde (u,v) des-
loca-se sobre a região D do plano uOv. 
Seja dA a região infinitesimal na superfície 
3S 
. 
Portanto, como dA é gerado pelos vetores 
du.
u
)v,u(R
PQ



 e 
dv.
v
)v,u(R
PW



 , sendo 

 o ângulo entre 
PQ
 e 
PW
, tem-se que: 
 )sen(.PW.PQPWXPQdA
dv.
v
)v,u(R
Xdu.
u
)v,u(R





 . 
Mas, da Geometria, sabe-se, também, que: 
222
PW.PQPW.PQPWXPQ 





. 
Conseqüentemente, vem que: 
Cálculo Diferencial e Integral 
Lista de Exercícios Ds4C3e04Gx 
 
CDCI/CMCD 






222
PW.PQPW.PQPWXPQdA


















222
dv.
v
)v,u(R
.du.
u
)v,u(R
dv.
v
)v,u(R
.du.
u
)v,u(R
 
 
dv.du.
v
)v,u(R
.
u
)v,u(R
v
)v,u(R
.
u
)v,u(R
222



















. 
Mas, como 

D
dAA
. 
Portanto, resulta que: 
dv.du.
v
)v,u(R
.
u
)v,u(R
v
)v,u(R
.
u
)v,u(R
A
222
D
S 
















 

, 
fórmula esta que permite a determinação da área de superfícies 
3S 
. 
Disto posto, determine-se a área da superfície da esfera de raio e centro em 
3)0,0,0(O 
. 
Solução: 
Sabendo-se que a equação vetorial da esfera é determinada por: 
k.zj.yi.x)z,y,x(R


, tem-se, para coordenadas esféricas, que x, y e z 
são dadas pelas seguintes equações paramétrica; quais sejam: 








)cos(.Rz
)(sen).(sen.Ry
)cos().(sen.Rx
, com 
0
 e 
 20
. 
Logo, tem-se que: 
k).cos(.Rj).sen().sen(.Ri).cos().sen(.R),(R


, , 
k).sen(.Rj).sen().cos(.Ri).cos().cos(.R
),(R 




j).cos().sen(.Ri).sen().sen(.R
),(R 




, 
Cálculo Diferencial e Integral 
Lista de Exercícios Ds4C3e04Gx 
 
CDCI/CMCD 
2
2
R
),(R



 , 
)(sen.R
),(R 222 


 e 
0
),(R
.
),(R
2












 . 
Assim sendo, resulta que: 


















  d.d.
),(R
.
),(R),(R
.
),(R
A
222
D
S

, 
onde: 





20
0 . 
Assim, vem que: 


















  d.d.
),(R
.
),(R),(R
.
),(R
A
222
D
S

 
 








d.d).sen(.Rd.d.)(sen.R 2
0
2
0
24
0
2
0
 
     






d.)0cos()cos(.Rd.)cos(.R
2
0
2
0
2
0
2
 
.)a.u(R42.R2d.R2d).11(.R 22
2
0
2
2
0
2  




. 
 
(02) Calcular, através de Integrais de Superfície, a área da parte do plano defi-
nido por 
a2zyx 
 situada no primeiro octante e limitada por 
222 ayx 
, com 
a
. 
Observação: 
Antes de se resolver, propriamente,o exercício leve-se em conta as seguin-
tes considerações. 
Cálculo Diferencial e Integral 
Lista de Exercícios Ds4C3e04Gx 
 
CDCI/CMCD 
Seja uma superfície 
3S 
 determinada por 
)y,x(fz 
 e que se projeta 
sobre um domínio 
2D 
. 
Se 
k.zj.yi.x)z,y,x(R


 é a equação vetorial de S, então resulta afir-
mar que: 
k.y,x(fj.yi.x)y,x(R


. 
Mas, é sabido que: 
dv.du.
v
)v,u(R
.
u
)v,u(R
v
)v,u(R
.
u
)v,u(R
A
222
D
S 
















 

. 
Logo, tem-se que: 
.dy.dx.
y
)y,x(R
.
x
)y,x(R
y
)y,x(R
.
x
)y,x(R
A
222
D
S 
















 

 
Mas, observe que: 
k).y,x(fj.yi.x)y,x(R


, 
x
)y,x(f
j.0i
x
)y,x(R




 
 , 
y
)y,x(f
ji.0
y
)y,x(R




 
 , 
2
2
x
)y,x(f
1
x
)y,x(R











 , 22
y
)y,x(f
1
y
)y,x(R











 e 
2
2
y
)y,x(f
.
x
)y,x(f
y
)y,x(R
.
x
)y,x(R






















 . 
Portanto, resulta que: 


















  dy.dx.y
)y,x(R
.
x
)y,x(R
y
)y,x(R
.
x
)y,x(R
A
222
D
S

 
dy.dx.
y
)y,x(f
x
)y,x(f
1
22
D
















 
. 
Cálculo Diferencial e Integral 
Lista de Exercícios Ds4C3e04Gx 
 
CDCI/CMCD 
Observe, porém, que o Integral de Superfície de 
3S 
 determinada pela 
função real de variáveis reais 
)y,x(fz 
 e que se projeta sobre um domí-
nio 
2D 
, com w = g(x,y,z) definida e contínua 
S)z,y,x( 
, é dado 
por: 
dy.dx.
y
)y,x(f
x
)y,x(f
1).z,y,x(gdS).z,y,x(g
22
DS
















 
. 
Solução: 
Do imediatamente considerado, resulta que: 
dy.dx.
x
z
x
z
1A
22
D
S 



















 
, onde:






22 xay0
ax0
:D
, 
sendo S: z = 2a – x – y, 
D)y,x( 
. 
Se z = 2a – x – y, então resulta que: 
1
x
z



 e 
1
x
z



. 
Portanto, vem que: 




















 


dx.dy.111dy.dx.
x
z
x
z
1A
22 xa
0y
a
0x
22
D
S
 
.)a.u(
4
.3a
a.
4
1
.3A.3dy.dx.3dx.dy.3
2
2
D
D
xa
0y
a
0x
22

 


. 
Observe que 

D
dy.dx
 (no desenvolvimento acima) é numericamente igual 
a 1/4 da área do círculo de raio a e com centro na origem do plano cartesi-
ano, ou seja: 
2a.
4
1

. Não sendo, portanto, necessário o seu cálculo. 
Todavia, não se observando tal fato, dever-se-ia proceder conforme a se-
guir é apresentado. 
Cálculo Diferencial e Integral 
Lista de Exercícios Ds4C3e04Gx 
 
CDCI/CMCD 




















 


dx.dy.3dy.dx.
x
z
x
z
1A
22 xa
0y
a
0x
22
D
S
   




dx.xa.3dxy.3 22
a
0x
xa
0y
a
0x
22
 














a
0x22
2
xa.
2
x
a
x
arcsen.
2
a
.3
    











 00arcsen.
2
a
.3aa.
2
a
1arcsen.
2
a
.3
2
22
2 
.)a.u(
4
.3.a
2
.
2
a
.3
22 



. 
Saliente-se que a solução acima considerada foi abreviada, pois tomou-se 
dx.xa 22 
 como imediato; ou seja: 
Cxa.
2
x
a
x
arcsen.
2
a
dx.xa 22
2
22 






. 
Entretanto, não se conhecendo o integral imediato em questão dever-se-ia 
deduzir a correspondente solução. 
Então, por substituição de variáveis trigonométricas, tome-se o triângulo 
retângulo de catetos x e 
22 xa 
 e hipotenusa a, com o cateto x oposto 
ao ângulo 

. 
Logo, tem-se que: 






)cos(.axaa/)xa()cos(
d).cos(.adx)sen(.axa/x)sen(
2222
. 
Portanto, resulta que: 
  d).(cosad).cos(.a).cos(.adx.xa
2222
. 
Cálculo Diferencial e Integral 
Lista de Exercícios Ds4C3e04Gx 
 
CDCI/CMCD 
Novamente depara-se com semelhante problema, pois embora o integral 
de cos
2
(x).dx seja imediato, não lembrar do resultado implicará em neces-
sárias deduções. 
Diversas são as maneiras de se deduzir o correspondente resultado. Tome-
se, entretanto, a Integração por Partes para se deduzir a solução. 
Logo, tem-se que: se 






 )sen(d).cos(vd).cos(dv
d).sen(du)cos(u , en-
tão 
   du.vv.ud).cos(.)cos(d).(cos
dvu
2

 
  d).sen().sen(d).cos().sen(
  d).(sen)cos().sen(
2
 
  d)).(cos1()cos().sen(
2
  d).(cosd)cos().sen(
2
. 
Assim, tem-se que: 
  d).(cosd)cos().sen(d).(cos
22
. 
Conseqüentemente, resulta que: 
  )cos().sen(d)cos().sen(d).(cos.2
2
 




  22
)cos().sen(
d).(cos 2
 
 








a
x
arcsen.
2
1
2
a
xa
.
a
x 22
.
a
x
arcsen.
2
1
a.2
xa.x
2
22







 
Disto posto, resulta, então, que: 

















  a
x
arcsen.
2
1
a.2
xa.x
.ad).(cos.adx.xa
2
22
22222
 







a
x
arcsen.
2
a
xa.
2
x 222
. 
Cálculo Diferencial e Integral 
Lista de Exercícios Ds4C3e04Gx 
 
CDCI/CMCD 
Portanto: 
dx.xa.3dx.dy.3A 22
a
0x
xa
0y
a
0x
S
22
 



= 













a
0
2
22
a
x
arcsen.
2
a
xa.
2
x
.3
 

























a
0
arcsen.
2
a
0a.
2
0
.3
a
a
arcsen.
2
a
aa.
2
a
.3
2
22
2
22
 
.)a.u(
4
.3.a
2
1
.
2
a
.3)1arcsen(.
2
a
.3
222 
