SÉRIES E SEQUÊNCIAS IV

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Cálculo Diferencial e Integral 
Lista de Exercícios Fs4C3e04 
 
CDCI/CMCD 
(01) Verificar se sequência ...,)1n.2(
n
,...,
9
4
,
7
3
,
5
2
,
3
1
++++
 é convergente ou di-
vergente. 
Solução: 
Uma sequência ...,a,...,a,a,a,a,a,a n654321 pode ser denotada por }a{ n . Diz-
se, então, que uma sequência }a{ n tem limite L , isto é: Lalim n
n
====
+∞+∞+∞+∞→→→→
, se 0>>>>εεεε∀∀∀∀ 
existe um número 0N >>>> tal que εεεε<<<<−−−− |La| n para todo Nn >>>> . 
 Se uma sequência }a{ n tem um limite, diz-se que a sequência é convergente e 
diz-se que na converge para aquele limite. Se a sequência não é convergente, diz-
se que a sequência é divergente. 
Assim, observe que como ⇒⇒⇒⇒
++++
...,)1n.2(
n
,...,
9
4
,
7
3
,
5
2
,
3
1
 
⇒⇒⇒⇒====






++++
⇒⇒⇒⇒
∞∞∞∞→→→→ 2
1
)1n.2(
nlim
n
 
⇒⇒⇒⇒ a sequência ...,)1n.2(
n
,...,
9
4
,
7
3
,
5
2
,
3
1
++++
converge para 2/1 . 
 
(02) Verificar se sequência }1)1{( n ++++−−−− é convergente ou divergente. 
Solução: 
A seqüência }1)1{( n ++++−−−− é divergente, pois é da forma: 
 ...,1)1(,...,0,2,0,2,0,2,0 n ++++−−−− ; ou seja: se n é par, então 2an ==== ; se n é ímpar, 
então 0an ==== . 
 
(03) Verificar a série ∑∑∑∑
+∞+∞+∞+∞
====
++++1n )1n.(n
1
 é convergente ou divergente. 
Solução: 
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Se {{{{ }}}}nu é uma seqüência e n4321
n
1i
in u...uuuuuS ++++++++++++++++++++======== ∑∑∑∑
====
, então a se-
qüência {{{{ }}}}ns é chamada uma série infinita. 
Logo, uma série infinita é dada por: 
 ...u...uuuuu n4321
1n
n ++++++++++++++++++++++++====∑∑∑∑
+∞+∞+∞+∞
====
. 
Dada a série denotada acima, 11 us ==== , 212 uus ++++==== , 3213 uuus ++++++++==== , e em ge-
ral 
k4321
k
1i
ik u...uuuuus ++++++++++++++++++++======== ∑∑∑∑
====
, onde ks é denominada a k-ésima 
soma parcial da série dada e a seqüência {{{{ }}}}ns é uma seqüência de somas parciais. 
Como 1n3211n u...uuus −−−−−−−− ++++++++++++++++==== e n1n21n uu...uus ++++++++++++++++==== −−−− , então 
n1nn uss ++++==== −−−− . 
Se ...u...uuuuu n4321
1n
n ++++++++++++++++++++++++====∑∑∑∑
+∞+∞+∞+∞
====
 é uma série infinita e }s{ n é a se-
quência de somas parciais definindo esta série infinita, então, se n
n
slim
+∞+∞+∞+∞→→→→
 existe e é 
igual a S , então diz-se que a série ∑∑∑∑
+∞+∞+∞+∞
====1n
nu é convergente e que S é a soma da sé-
rie infinita em referência ou que a série converge para S . 
Se n
n
slim
+∞+∞+∞+∞→→→→
 não existe ou é infinito, a série é dita divergente e não tem uma soma. 
Nestas condições, observe, então, que: 
2
1
2.1
1
us 11 ============ ; 
3
2
3.2
1
2
1
uss 212 ====++++====++++==== ; 
4
3
4.3
1
3
2
uss 323 ====++++====++++==== ; 
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5
4
5.4
1
4
3
uss 434 ====++++====++++==== . 
Percebe-se, então, que: )1k(
1
k
1
)1k.(k
1
uk ++++
−−−−====
++++
==== , segundo a decomposição 
de frações em frações parciais. 
Conseqüentemente, tem-se que: 
2
11u1 −−−−==== , 3
1
2
1
u 2 −−−−==== , 4
1
3
1
u 3 −−−−==== , ... , 
n
1
)1n(
1
u 1n −−−−
−−−−
====
−−−−
, e )1n(
1
n
1
un ++++
−−−−==== . 
Contudo, n1n21n uu...uus ++++++++++++++++==== −−−− . 
Portanto, resulta que: 
====





++++
−−−−++++





−−−−
−−−−
++++++++





−−−−++++





−−−−++++





−−−−==== )1n(
1
n
1
n
1
)1n(
1
...
4
1
3
1
3
1
2
1
2
11sn 
)1n(
n
s)1n(
n
)1n(
11 n ++++
====⇒⇒⇒⇒
++++
====
++++
−−−−==== . 
Observe, então, que a sequência de somas parciais para a série dada é: 
)}1n/(n{}s{ n ++++==== . 
Portanto: 1
n
11
1lim
n
)1n(
1lim)1n(
nlim
nnn
====






++++
====
++++
====
++++ +∞+∞+∞+∞→→→→+∞+∞+∞+∞→→→→+∞+∞+∞+∞→→→→
. 
Diz-se, então, que a série infinita ∑∑∑∑∑∑∑∑
+∞+∞+∞+∞
====
+∞+∞+∞+∞
====
++++
====
1n1n
n )1n.(n
1
u tem soma 1 e é tal que: 
1...)1n.(n
1
...
20
1
12
1
6
1
2
1
)1n.(n
1
1n
====++++
++++
++++++++++++++++++++====
++++∑∑∑∑
+∞+∞+∞+∞
====
. 
Observe, também, que se a série infinita ∑∑∑∑
+∞+∞+∞+∞
====1n
nu é convergente, então 0ulim n
n
====
+∞+∞+∞+∞→→→→
. 
Saliente-se que a recíproca de tal afirmação é falsa. 
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Contudo, se 0ulim n
n
≠≠≠≠
+∞+∞+∞+∞→→→→
, então a série ∑∑∑∑
+∞+∞+∞+∞
====1n
nu é divergente. 
Veja, então, que: 0)nn(
1lim)1n.(n
1lim 2nn ====++++
====
++++ +∞+∞+∞+∞→→→→+∞+∞+∞+∞→→→→
. 
 
(04) Se }a{ n e }b{ n são sequências convergentes e c é uma constante, é pos-
sível verificar que: 
(a) a sequência constante }c{ tem c como seu limite; 
(b) n
n
n
n
alim.ca.clim
+∞+∞+∞+∞→→→→+∞+∞+∞+∞→→→→
==== ; 
(c) n
n
n
n
nn
n
blimalim)ba(lim
+∞+∞+∞+∞→→→→+∞+∞+∞+∞→→→→+∞+∞+∞+∞→→→→
±±±±====±±±± ; 
(d) (((( )))) (((( ))))n
n
n
n
nn
n
blim.alim)b.a(lim
+∞+∞+∞+∞→→→→+∞+∞+∞+∞→→→→+∞+∞+∞+∞→→→→
==== 
(e) 0blim,
blim
alim
b
alim n
n
n
n
n
n
n
n
n
≠≠≠≠====





+∞+∞+∞+∞→→→→
+∞+∞+∞+∞→→→→
+∞+∞+∞+∞→→→→
+∞+∞+∞+∞→→→→
 
 
(05) Sabendo-se que ∑∑∑∑
+∞+∞+∞+∞
====1n
na e ∑∑∑∑
+∞+∞+∞+∞
====1n
nb são convergentes com somas A e B, res-
pectivamente, demonstrar que: ∑∑∑∑
+∞+∞+∞+∞
====
±±±±====±±±±
1n
nn BA)ba( . 
Solução: 
Sejam as somas parciais: ...aaaA 321n ++++++++++++==== e ...bbbB 321n ++++++++++++==== . 
Logo: ====++++++++++++±±±±++++++++++++====±±±±==== ...)bbb(...)aaa(BAs 321321nnn 
)ba(...)ba()ba()ba( nn332211 ±±±±++++++++±±±±++++±±±±++++±±±±==== . 
Nestas condições, resulta que BA)BA(limslim nn
n
n
n
±±±±====±±±±====
+∞+∞+∞+∞→→→→+∞+∞+∞+∞→→→→
, pois, por hipóte-
se, nA converge para A e nB converge para B. Assim, ns converge para BA ±±±± 
e, portanto, de fato ∑∑∑∑
+∞+∞+∞+∞
====
±±±±====±±±±
1n
nn BA)ba( . 
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(06) Sabendo-se que ∑∑∑∑
+∞+∞+∞+∞
====1n
na é convergente com soma A e que K é uma cons-
tante, demonstrar que: ∑∑∑∑
+∞+∞+∞+∞
====
====
1n
n A.Ka.K . 
 
(07) Utilizando o critério do termo geral, verificar se a série ∑∑∑∑
+∞+∞+∞+∞
====
++++
1n
2
2
n
)1n.4(
 é 
convergente ou divergente.
 
Solução: 
Não sendo 0alim n
n
====
+∞+∞+∞+∞→→→→
, então ∑∑∑∑
+∞+∞+∞+∞
====1n
na é uma série divergente. 
Se Sslim n
n
====
+∞+∞+∞+∞→→→→
, então Sslim 1n
n
====+++++∞+∞+∞+∞→→→→
; onde n1nn ssa −−−−==== ++++ . 
0SSslimslim)ss(limalim n
n
1n
n
n1n
n
n
n
====−−−−====−−−−====−−−−====
+∞+∞+∞+∞→→→→
+++++∞+∞+∞+∞→→→→
+++++∞+∞+∞+∞→→→→+∞+∞+∞+∞→→→→
. 
Portanto, se na não converge para 0 , a série não pode convergir, sendo denomi-
nada série divergente. 
O critério em questão, denominado critério do termo geral, somente pode ser apli-
cado para verificar divergência. Saliente-se, entretanto, que se 0alim n
n
====
+∞+∞+∞+∞→→→→
, a sé-
rie ∑∑∑∑
+∞+∞+∞+∞
====1n
na pode ser tanto convergente como divergente. 
Observe, então, que, pelo critério do termo geral, a série ∑∑∑∑
+∞+∞+∞+∞
====
++++
1n
2
2
n
)1n.4(
 é diver-
gente, pois 04
n
)1n.4(lim 2
2
n
≠≠≠≠====++++
+∞+∞+∞+∞→→→→
. 
 
(08) Utilizando o critério do integral, verificar se a série infinita definida por 
...
9
1
7
1
5
1
3
1
++++++++++++++++ é convergente ou divergente.
 
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Solução: 
Seja )x(fy ==== uma função definida, contínua, monótona decrescente para x cres-
cente, 0)x(flim
n
====
+∞+∞+∞+∞→→→→
 e na)n(f ==== . 
Segundo o critério do integral, a série ∑∑∑∑
+∞+∞+∞+∞
====1n
na convergirá ou divergirá, conforme o 
integral impróprio ∫∫∫∫
∞∞∞∞
C
dx).x(f venha convergir ou divergir; com C um valor arbi-
trário. 
Assim sendo, no exemplo em referência, no intervalo 1x >>>> , 0)x(f >>>> e diminui 
quando x aumenta. 
Tomando-se 1C ==== , 
]]]] ====++++====
++++
====
+∞+∞+∞+∞→→→→+∞+∞+∞+∞→→→→
+∞+∞+∞+∞
∫∫∫∫∫∫∫∫
u
1
1x.2lim
1x.2
dxlimdx).x(f
u
u
1u1
∞∞∞∞====−−−−++++====
+∞+∞+∞+∞→→→→
)31x.2(lim
u
. 
Logo, como o integral não existe, a série é divergente. 
 
(09) Utilizando o critério da razão (ou da relação), verificar se a série infinita 
definida por ∑∑∑∑
+∞+∞+∞+∞
====
++++1n )!1n(
2
 é convergente ou divergente.
 
Solução: 
Segundo o critério da razão, a série ∑∑∑∑
+∞+∞+∞+∞
====1n
na converge (absolutamente), se 1L <<<< ; 
diverge, se 1L >>>> ; e, se 1L ==== , nada se pode afirmar sobre a convergência ou di-
vergência da série. Observe que |a/)a(|limL n1n
n
+++++∞+∞+∞+∞→→→→
==== . 
Observe que uma série ∑∑∑∑
+∞+∞+∞+∞
====1n
na é absolutamente convergente quando ∑∑∑∑
+∞+∞+∞+∞
====1n
n |a| 
converge. Se ∑∑∑∑
+∞+∞+∞+∞
====1n
na converge mas ∑∑∑∑
+∞+∞+∞+∞
====1n
n |a| diverge, então ∑∑∑∑
+∞+∞+∞+∞
====1n
na é condicio-
nalmente convergente. Toda série absolutamente convergente é convergente. 
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Logo, a série ∑∑∑∑
+∞+∞+∞+∞
====
++++1n )!1n(
2
 converge, pois: 
 
 
 
====
++++++++
++++
====
++++
++++
====






++++






++++++++
====
+∞+∞+∞+∞→→→→+∞+∞+∞+∞→→→→+∞+∞+∞+∞→→→→
|)!1n).(2n(
)!1n(|lim|)!2n(
)!1n(|lim|
)!1n(
2
)!1)1n((
2
|limL
nnn
 
10|)2n(
1|lim
n
<<<<====
++++
====
+∞+∞+∞+∞→→→→
. 
 
(10) Utilizando o critério de Cauchy, verificar se a série infinita definida por 
∑∑∑∑
+∞+∞+∞+∞
====1n
n))n(log(
1
 é convergente ou divergente.
 
Solução: 
Sendo n n
n
|a|limL
+∞+∞+∞+∞→→→→
==== , o critério de Cauchy estabelece que a série ∑∑∑∑
+∞+∞+∞+∞
====1n
na con-
verge (absolutamente) desde que 1L <<<< e que diverge quando 1L >>>> . Entretanto, 
se 1L ==== , nada se pode afirmar sobre convergência ou divergência. 
 
(11) Utilizando o critério de Leibniz para séries alternadas, verificar se a série 
infinita definida por ...
5
1
4
1
3
1
2
11 −−−−++++−−−−++++−−−− é convergente ou divergente.
 
Solução: 
Pelo critério em questão, a série alternada ∑∑∑∑
+∞+∞+∞+∞
====
−−−−
−−−−====++++−−−−++++−−−−
1n
n
1n
4321 a.)1(...aaaa 
é convergente desde que |a||a| n1n ≤≤≤≤++++ (para 1n ≥≥≥≥ ) e 0|a|lim n
n
====
+∞+∞+∞+∞→→→→
. 
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CDCI/CMCD 
Conseqüentemente, a série ...
5
1
4
1
3
1
2
11 −−−−++++−−−−++++−−−− é convergente, pois: 
como 
n
)1(
a
1n
n
−−−−
−−−−
==== , 
n
1|a| n ==== e )1n(
1|a| 1n ++++====++++ , para 1n ≥≥≥≥ , tem-se que: 
|a||a| n1n ≤≤≤≤++++ e, também, que 0|a|lim n
n
====
+∞+∞+∞+∞→→→→
. 
 
(12) Utilizando o critério da comparação, verificar se a série infinita definida 
por ...
!n
1
...
!5
1
!4
1
!3
1
!2
11 ++++++++++++++++++++++++++++ é convergente ou divergente.
 
Solução: 
O critério da comparação estabelece que uma série numérica de termos positivos é 
convergente se, depois dos primeiros k termos, cada um dos seus termos for me-
nor do que ou igual aos termos correspondentes de uma série convergente conhe-
cida. Por tal critério, uma série numérica de termos positivos é divergente se, de-
pois dos primeiros k termos, cada um dos seus termos for maior do que ou igual 
aos termos correspondentes de um série divergente conhecida. 
Observe, então, que o termo geral da série em referência é 
!n
1
. 
Como 1n2!n −−−−≥≥≥≥ , então 1n2
1
!n
1
−−−−
≤≤≤≤ . 
A série em estudo é, termo a termo, menor do que ou igual à série convergente de-
finida por ...
16
1
8
1
4
1
2
11 ++++++++++++++++++++ (PG de razão 2/1q ==== ). 
Logo, ...
!n
1
...
!5
1
!4
1
!3
1
!2
11 ++++++++++++++++++++++++++++ é convergente por comparação. 
 
(13) Utilizando o critério da comparação, verificar se a série infinita definida 
por ∑∑∑∑
+∞+∞+∞+∞
====1n
)nlog(
1
 é convergente ou divergente.
 
Solução: 
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A série ∑∑∑∑
+∞+∞+∞+∞
====1n
)nlog(
1
 é divergente, pois )nlog(n >>>> donde se conclui que 
)nlog(/1n/1 <<<< e a série ∑∑∑∑
+∞+∞+∞+∞
====1n
n
1
 diverge. 
 
(14) Utilizando o critério de Raabe, verificar se a série infinita definida por 
...)n.3(....9.6.3
)2n.3.(....7.4.1
...
9.6.3
7.4.1
6.3
4.1
3
1
2222
++++




 −−−−
++++++++





++++





++++





 é convergen-
te ou divergente.
 
Solução: 
Seja L|
u
u|1.nlim
n
1n
n
====





−−−−
++++
+∞+∞+∞+∞→→→→
. Então a série ∑∑∑∑
+∞+∞+∞+∞
====1n
na converge (absolutamente) se 
1L >>>> e diverge ou converge condicionalmente se 1L <<<< . Se 1L ==== , o critério fa-
lha. 
Logo, a série ...)n.3(....9.6.3
)2n.3.(....7.4.1
...
9.6.3
7.4.1
6.3
4.1
3
1
2222
++++




 −−−−
++++++++





++++





++++





 é con-
vergente, pois: 
1
3
4
)3n.3(
)1n.3(1.nlim|
a
a|1.nlim
2
n
n
1n
n
>>>>====














++++
++++
−−−−====





−−−−
+∞+∞+∞+∞→→→→
++++
+∞+∞+∞+∞→→→→
. 
 
(15) Utilizando o critério de Gauss, verificar se a série infinita definida por 
...)n.2(....6.4.2
)1n.2.(....5.3.1
...
6.4.2
5.3.1
4.2
3.1
2
1
2222
++++




 −−−−
++++++++





++++





++++





 é convergen-
te ou divergente.
 
Solução: 
Se 2
n
n
1n
n
C
n
l1|
u
u| ++++−−−−====++++ , onde: P|C| n <<<< para todo Nn >>>> , então a série ∑∑∑∑
+∞+∞+∞+∞
====1n
na 
converge (absolutamente) se 1L >>>> e diverge ou converge condicionalmente se 
1L ≤≤≤≤ . 
Cálculo Diferencial e Integral 
Lista de Exercícios Fs4C3e04 
 
CDCI/CMCD 
 
Logo, segundo o critério de Gauss a série infita definida por 
...)n.2(....6.4.2
)1n.2.(....5.3.1
...
6.4.2
5.3.1
4.2
3.1
2
1
2222
++++




 −−−−
++++++++





++++





++++





 é convergente, pois 
pela decomposição de frações simples, tem-se que: 
2
n2
2
n
1nn/Cn/11)4n.8n.4(
)n/45(
n
11
2n.2
1n.2|
a
a| ++++−−−−====
++++++++
−−−−
++++−−−−====





++++
++++
====
++++
, onde: 
 P|C| n <<<< . 
 
(16) Determinar para quais valores de x converge a série∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
−−−−
1n
n)ax(!n .
 
Solução: 
Seja )}x(u{ n , com ,...4,3,2,1n ==== , uma sucessão de funções definidas no intervalo 
]b,a[ . Diz-se que a sucessão converge para )x(F , ou que tem o limite )x(F em 
]b,a[ , se, para cada 0>>>>εεεε e para cada x em ]b,a[ , pode-se determinar 0N >>>> , tal 
que εεεε<<<<−−−− |)x(F)x(u| n para todo Nn >>>> . Em tal caso escreve-se, então, que 
)x(F)x(ulim n
n
====
+∞+∞+∞+∞→→→→
. 
Se o número N depender somente de εεεε e não de x , diz-se que a sucessão con-
verge para )x(F uniformemente em ]b,a[ ou que a série é uniformemente con-
vergente em ]b,a[ . 
Diz-se que a série de funções ...)x(u)x(u)x(u)x(u 32
1n
1n ++++++++++++====∑∑∑∑
+∞+∞+∞+∞
→→→→
 é convergen-
te em ]b,a[ quando a sucessão de somas parciais )}x(s{ n , com ,...4,3,2,1n ==== , é 
convergente em ]b,a[ , sendo )x(u...)x(u)x(u)x(u)x(s n321n ++++++++++++++++==== . Nestas 
condições, escreve-se que )x(S)x(slim n
n
====
+∞+∞+∞+∞→→→→
, denominando-se )x(S de soma da 
série. 
Disto posto, observe, quanto ao exercício proposto, que nn )ax(!nu −−−−==== e, portan-
to, que 
====−−−−−−−−++++==== ++++
+∞+∞+∞+∞→→→→
+++++∞+∞+∞+∞→→→→
|)ax(!n/)ax()!1n(|lim|u/u|lim n1n
n
n1n
n
 
Cálculo Diferencial e Integral 
Lista de Exercícios Fs4C3e04 
 
CDCI/CMCD 
|ax|).1n(lim
n
−−−−++++====
+∞+∞+∞+∞→→→→
. 
Mas, o limite em referência é infinito para ax ≠≠≠≠ . Assim sendo, a série em estudo 
converge tão somente para ax ==== . 
 
(17) Verificar se a série de funções ∑∑∑∑
∞∞∞∞
====1n
2n
)nxcos(
 é uniformemente e absoluta-
mente convergente no intervalo ]2,0[ pipipipi segundo o critério de Weierstrass.
 
Solução: 
Se existe uma sucessão de constantes positivas ...,k,k,k 321 em um determi-
nado intervalo, de modo que nn k|)x(u| ≤≤≤≤ , com ,...4,3,2,1n ==== , e ∑∑∑∑
∞∞∞∞
====1n
nk conver-
ge, então a série ...)x(u)x(u)x(u)x(u 32
1n
1n ++++++++++++====∑∑∑∑
+∞+∞+∞+∞
→→→→
 é uniformemente e abso-
lutamente convergente no intervalo considerado. 
Assim sendo, resulta que a série ∑∑∑∑
∞∞∞∞
====1n
2n
)nxcos(
 é uniformemente e absolutamente 
convergente em ]2,0[ pipipipi , pois 22 n
1|
n
)nxcos(| ≤≤≤≤ e ∑∑∑∑
∞∞∞∞
====1n
2n
1
 converge. 
 
(18) Verificar se a série de potências ∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
−−−−
−−−−
1n
n
n
)1n.3.(2
)1x.(n
 convergente.
 
Solução: 
Ressalte-se que toda série da forma 
...)ax.(u...)ax.(u)ax.(uu)ax(u nn221
0n
0
n
0 ++++−−−−++++++++−−−−++++−−−−++++====−−−−∑∑∑∑
+∞+∞+∞+∞
→→→→
, onde 
,...u,u,u 210 são constantes, denomina-se série de potências em )ax( −−−− . 
Cada série de potências tem um raio R denominado raio de convergência da série 
e tal que a série converge se R|ax| <<<<−−−− e diverge se R|ax| >>>>−−−− ; sendo que o in-
Cálculo Diferencial e Integral 
Lista de Exercícios Fs4C3e04 
 
CDCI/CMCD 
tervalo R|ax| <<<<−−−− diz-se intervalo de convergência. Se, entretanto, 0R ==== , a sé-
rie converge somente para ax ==== . Mas, se 0R ==== , então a série converge para todo 
valor de x . 
Assim sendo, ao aplicar o critério da razão para avaliar a convergência da série 
dada, tem-se que: 
====
−−−−−−−−
++++−−−−−−−−++++
+∞+∞+∞+∞→→→→
|)1n.3.(2/)1x.(n
))2n.3.(2.2/())1x.()1x).(1n((|lim
nn
nn
n
 
====
++++
−−−−−−−−++++
====
+∞+∞+∞+∞→→→→
|)2n.3.(n.2
)1x).(1n.3).(1n(|lim
n
 
2
|1x||
n.4n.6
1n.2n.3|lim.|1x| 2
2
n
−−−−
====
++++
−−−−++++
−−−−====
+∞+∞+∞+∞→→→→
. 
Mas, pela condição de convergência 1
2
|1x|
<<<<
−−−−
. 
Logo: 3x12|1x|1
2
|1x|
<<<<<<<<−−−−⇒⇒⇒⇒<<<<−−−−⇒⇒⇒⇒<<<<
−−−−
. 
Portanto, para 1x −−−−==== , ∑∑∑∑∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
∞∞∞∞
====
−−−−
−−−−
====
−−−−
−−−−
1n
n
1n
n
n
)1n.3(
)1.(n
)1n.3.(2
)2.(n
; a série diverge, pois 
0
3
1
)1n.3(
nlim
x
≠≠≠≠====
−−−−
+∞+∞+∞+∞→→→→
. 
Também a série diverge no extremo 3x ==== , onde ∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
−−−−1n )1n.3(
n
. 
Resulta afirmar, então, que a série converge para 3x1 <<<<<<<<−−−− . 
 
(19) Utilizando Séries, determinar o valor aproximado de dx).xsen( 2
1
0
∫∫∫∫ . 
Solução: 
Seja 2xz ==== . 
Sabe-se que ...
!7
x
!5
x
!3
z
z)zsen(
753
++++−−−−++++−−−−==== . 
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CDCI/CMCD 
Portanto, resulta que: ...
!7
x
!5
x
!3
x
x)xsen(
14106
22 ++++−−−−++++−−−−==== . 
Nestas condições, tem-se, então, que: 
≅≅≅≅





++++−−−−≅≅≅≅





−−−−++++−−−−==== ∫∫∫∫∫∫∫∫
1
0
1173106
2
1
0
2
1
0
1320
x
42
x
3
xdx....
!5
x
!3
x
xdx).xsen( 
3103,00008,00238,03333,0 ≅≅≅≅++++−−−−≅≅≅≅ . 
 
(20) Determinar, por meio de séries, o valor de e/1 com cinco decimais exatas. 
Solução: 
Desenvolvendo-se xe −−−− em séries de potências, tem-se que: 
...)!1n(
x
.)1(...
!3
x
!2
x
x1e
1n
1n
32
x ++++
−−−−
−−−−++++++++−−−−++++−−−−====
−−−−
−−−−−−−−
. 
Logo: ====++++++++++++−−−−++++−−−−========−−−− ...
!5
1
!4
1
!3
1
!2
111
e
1
e
5432
1
 
====−−−−====−−−−++++−−−−++++−−−−==== 175201,0543081,0000003,0...166667,0500000,0)11( 
36788,0==== .