VARIÁVEIS COMPLEXAS II

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Cálculo Diferencial e Integral 
Lista de Exercícios Gs4C3e03 
 
CDCI/CMCD 
(01) Demonstrar que )xsen(.i)xcos(eix += . 
Solução: 
Do desenvolvimento em série de Maclaurin sabe-se que: 
...
!3
x
!2
x
!1
x1
!n
x
e
32n
0n
x ++++==∑
∞
=
 para todo x com intervalo de conver-
gência ),( +∞−∞ . 
Para 1x = , tem-se que: ...
!3
1
!2
1
!1
11
!n
1
e
0n
++++==∑
∞
=
 . 
Mas, ao se substituir x por ix , resulta que: 
 =+++++==∑
∞
=
...
!4
)x.i(
!3
)x.i(
!2
)x.i(
!1
x.i1
!n
)x.i(
e
432n
0n
ix
 
=+−−++−−+= ...
!7
x.i
!6
x
!5
x.i
!4
x
!3
x.i
!2
x
!1
x.i1
765432
 
=+−+−++−+−= ...
!7
x.i
!5
x.i
!3
x.i
!1
x.i
...
!6
x
!4
x
!2
x1
753642
 
=
−
−
+
−
=
−∞
=
∞
=
∑∑ )!1n.2(
x.)1(
.i)!n.2(
x.)1( 1n2n
0n
n2n
0n
 
)xsen(.i)xcos( += . 
Ou seja, de fato, )xsen(.i)xcos(eix += , resultado este conhecido como a 
fórmula de Euler. 
Ressalte-se, porém, que a relação entre exponencial complexa e funções 
trigonométricas foi primeiro provada pelo matemático inglês Roger Cotes 
em 1714, na forma: x.i))xsen(.i)xln(cos( =+ . 
 
(02) Demonstrar que: 
(a) i2/)ee()zsen( iziz −−= ; 
Solução: 
Dos resultados de Euler, resulta que: 
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Lista de Exercícios Gs4C3e03 
 
CDCI/CMCD 
)sen(.i)cos(e i α+α=α e )sen(.i)cos(e i α−α=α− . 
Logo: 
i.2
ee)sen()sen(.i.2ee
ii
ii
α−α
α−α −
=α⇒α=− . 
Portanto: i2/)ee()zsen( iziz −−= . 
 
(b) )izcosh()zcos( = ; 
Solução: 
Das considerações anteriores, resulta que: 
 
2
ee)cos()cos(.2ee
ii
ii
α−α
α−α +
=α⇒α=+ e 
)z.icosh(
2
ee)zcos(
iziz
=
+
=
−
. 
Observe, também, que: )zcosh(
2
ee
2
ee)z.icos(
zzzz
=
+
=
+
=
−−
. 
Observação: 
Os conceitos de funções hiperbólicas são matidos. Assim, resulta que: 
2
ee)zcosh(
zz −+
= , 
2
ee)z(senh
zz −
−
= , )zcosh(
1)z(hsec = , 
)z(senh
1)z(hseccos = , )zcosh(
)z(senh)z(tgh = e )z(senh
)zcosh()z(ghcot = . 
 
(c) )izsenh(i)zsen( −= ; 
Solução: 
Pelo item (a) tem-se que: i2/)ee()zsen( iziz −−= . 
Mas, 
2
ee)z(senh
zz −
−
= . 
Assim, 
2
ee)z.i(senh
z.iz.i −
−
= . 
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CDCI/CMCD 
Logo, é imediato, que: 
=
−
−=−⇒
−
=
−−
2
ee).
i
i
.(i)z.i(senh.i
2
ee)z.i(senh
z.iz.iz.iz.i
)z(seni.2/)ee(
i.2
ee
i.2
ee).1).(1( z.iz.i
z.iz.iz.iz.i
=−=
−
=
−
−−=
−
−−
. 
 
(d) 1)z(senh)z(cosh 22 =− ; 
Solução: 
É imediato que: 
1
2
ee
2
ee)z(senh)z(cosh
2
zz
2
zz
22
=




 −
−




 +
=−
−−
. 
 
(e) )zsen().zcos()zcos().zsen()zzsen( 212121 +=+ . 
 
(03) Verificar: 
(a) )zsen().zsen()zcos().zcos()zzcos( 212121 −=+ ; 
(b) )zcos().zsen(2)z2sen( = ; 
(c) )z(sen)z(cos)z2cos( 22 −= ; 
(d) )z2cos()z2cos()zzsen().zzsen(2 122121 −=−+ ; 
(e) )z2sen()z2sen()zzsen().zzcos(2 212121 −=−+ . 
 
(04) Verificar: 
(a) )zsen(i)izsenh( = ; 
(b) )zcosh()izcos( = ; 
(c) )ysen().xcosh(i)ycos().xsenh()iyxsenh( +=+ ; 
(d) )ysen().xsenh(i)ycos().xcosh()iyxcosh( +=+ ; 
(e) )i1.(8)i1( 7 +−=+− . 
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(05) Verificar: 
(a) )zsen().zcos()zcos().zsen()zzsen( 212121 ±=± ; 
(b) )zsen().zsen()zcos().zcos()zzcos( 212121 m=± 
(c) )z(sec)z(tg1 22 =+ ; 
(d) )z(seccos)z(gcot1 22 =+ ; 
(e) )z(tg).z(tg1
)z(tg)z(tg)zz(tg
21
21
21 ±
±
=± . 
 
(06) Verificar: 
(a) )zcos()zcos( =− ; 
(b) )zsen()zsen( −=− ; 
(c) )z(sen)z(cos)z2cos( 22 −= ; 
(d) )z(tg)z(tg −=− ; 
(e) )zsec()zsec( =− . 
 
(07) Verificar: 
(a) )zsec(cos)zsec(cos −=− ; 
(b) )z(gcot)z(gcot −=− ; 
(c) )zsen()n2zsen( =pi± ; 
(d) )zcos()n2zcos( =pi± ; 
(e) )z(tg)nz(tg =pi± . 
 
(08) Verificar: 
(a) )iysen().xsen()iycos().xcos()zcos( −= ; 
(b) )iysen().xcos()iycos().xsen()zsen( += ; 
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(c) )z(tg)nz(gcot =pi± ; 
(d) )zsenh().zcosh()zcosh().zsenh()zzsenh( 212121 +=± ; 
(e) )zsenh().zsenh()zcosh().zcosh()zzcosh( 212121 +=± . 
 
(09) Verificar: 
(a) )zcosh()zcosh( =− ; 
(b) )zsenh()zsenh( −=− ; 
(c) )z(hsec)z(tgh1 22 =− ; 
(d) )z(tgh)z(tgh −=− ; 
(e) )z(echcos1)z(ghcot 22 =− . 
 
(10) Verificar: 
(a) )z(tgh).z(tgh1
)z(tgh)z(tgh)zz(tgh
21
21
21 ±
±
=± ; 
(b) ie i2 −=pi− ; 
(c) ie 2/i =pi ; 
(d) 1e i −=pi ; 
(e) 2/)ee()zcos( iziz −+= .