Polígrafo Geometria Analítica 2015

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UNIVERSIDADE DE CAXIAS DO SUL 
CAMPUS UNIVERSITÁRIO DA REGIÃO DOS VINHEDOS 
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS, DA NATUREZA E DE TECNOLOGIA 
 
 
 
 
GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa 
Notas de Aula 
 
 
 
 
 
 
 
 
Elaborado pela Profª: MsRegine Marie Pascale Langon Lorenzi 
 
Docente: Profª Ms Justina Inês Fronza Brigoni
 
 
 
i 
 
Sumário 
1. Geometria Analítica no Cálculo .......................................................................................................... 1 
1.1. Coordenadas polares........................................................................................................... 1 
1.1.1. Sistema de coordenadas polares ......................................................................................... 1 
1.1.2. Equações e gráficos polares ............................................................................................... 2 
1.1.3. Relação entre as coordenadas polares e cartesianas ........................................................... 3 
1.2. Seções cônicas .................................................................................................................. 10 
1.2.1. Parábolas .......................................................................................................................... 10 
1.2.2. Elipses .............................................................................................................................. 18 
1.2.3. Hipérboles ........................................................................................................................ 27 
1.3. Rotação de eixos; Equações de segunda ordem ............................................................... 33 
2. O Espaço Tridimensional ..................................................................................................35 
2.1. Coordenadas retangulares no espaço ................................................................................ 35 
2.1.1. Distância entre dois pontos no espaço tridimensional...................................................... 36 
2.1.2. Ponto médio de um segmento de reta no espaço tridimensional ...................................... 36 
2.2. Esferas .............................................................................................................................. 37 
2.3. Superfícies cilíndricas ...................................................................................................... 43 
2.4. Superfícies quádricas ........................................................................................................ 46 
2.5. Coordenadas cilíndricas e esféricas .................................................................................. 48 
2.5.1. Convertendo coordenadas ................................................................................................ 48 
2.5.2. Equações de superfícies em coordenadas cilíndricas e esféricas ..................................... 52 
2.6. Vetores.............................................................................................................................. 59 
2.6.1. Vetores em sistemas de coordenadas ............................................................................... 59 
2.6.2. Operações aritméticas com vetores .................................................................................. 61 
2.6.3. Vetores com ponto inicial não na origem ......................................................................... 62 
2.6.4. Propriedades de operações com vetores ........................................................................... 64 
2.6.5. Norma de um vetor ........................................................................................................... 64 
2.6.6. Vetores unitários............................................................................................................... 65 
2.6.7. Versor de um vetor ........................................................................................................... 67 
2.6.8. Vetores determinados por comprimento e ângulo ............................................................ 68 
2.6.9. Vetores determinados por comprimento e um vetor na mesma direção e sentido ........... 69 
2.7. Produto escalar (ou produto interno) ................................................................................ 77 
2.7.1. Ângulo entre dois vetores ................................................................................................. 77 
 
 
 
ii 
 
2.7.2. Ângulos diretores ............................................................................................................. 79 
2.7.3. Trabalho............................................................................................................................ 80 
2.8. Produto vetorial ................................................................................................................ 87 
2.8.1. Características do vetor u  v ........................................................................................... 88 
2.8.2. Interpretação geométrica do módulo do produto vetorial ................................................ 89 
2.8.3. Torque .............................................................................................................................. 89 
2.9. Produto misto ................................................................................................................... 95 
2.9.1. Interpretação geométrica do módulo do produto misto.................................................... 96 
2.10. Equações paramétricas de retas ........................................................................................ 99 
2.10.1. Segmentos de retas ......................................................................................................... 101 
2.11. Equações simétricas de retas .......................................................................................... 102 
2.12. Planos no espaço tridimensional .................................................................................... 109 
2.12.1. Casos particulares da equação geral do plano ................................................................ 110 
2.12.2. Paralelismo entre reta e plano ........................................................................................ 112 
2.12.3. Perpendicularismo entre reta e plano ............................................................................. 113 
2.12.4. Planos paralelos .............................................................................................................. 114 
2.12.5. Planos perpendiculares ................................................................................................... 115 
2.12.6. Interseção de reta com plano .......................................................................................... 115 
2.12.7. Ângulo entre dois planos ................................................................................................ 116 
2.12.8. Distância de um ponto a um plano ................................................................................. 116 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
1. Geometria Analítica no Cálculo 
 
1.1. Coordenadas polares 
1.1.1. Sistema de coordenadas polares 
Para definir coordenadas polares, fixamos primeiro uma origem O (chamada pólo) e uma semi-
reta orientada (chamada eixo polar) a partir de O. 
 
 
 
Então, cada ponto P pode ser localizado associando a ele um par de coordenadas polares 
 ,r
 
no qual r é a distância orientada de O a P e  é o ângulo orientado a partir do eixo polar OP. 
 
Exemplo 1: Localize os pontos dados em coordenadas polares: 




 
4
41 ,P
 
 322 ,P
 





 

3
2
33 ,P
 





 

4
3
24 ,P
 





 

6
35 ,P
 
 
Exemplo 2: a) Localize os pontos dados em coordenadas polares: 





 
6
21 ,P
 





 
6
13
22 ,P
 





 

6
11
23 ,P
 
b) Escreva mais duas coordenadas polares que 
 representem o mesmo ponto da letra (a) 
Conclusão: 
O 
Eixo polar pólo 
 
 
2 
 
1.1.2. Equações e gráficos polares 
Exemplo 3: Esboce os gráficos de: 
a) 
2r
 b) 
3r
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
3r
 d) 
4


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) 
21  r
 e 
2
0


 f) 
31  r
 e 
44




 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
1.1.3. Relação entre as coordenadas polares e cartesianas 
 
r
x
cos 
 → 
 cosrx
 
r
y
sen 
 → 
 senry
 
222 yxr 
 
x
y
tg 
 
 
Exemplo 4: Converta o ponto 





 
3
2,
 de coordenadas polares para cartesianas. 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 5: Encontre as coordenadas polares do ponto P cujas coordenadas retangulares são 
 11 ,
. 
 
 
 
 
 
Exemplo 6: 
a) Determine uma equação polar da circunferência 
  42 22  yx
. 
 
 
 
 
 
 
 
b) Esboce o gráfico em coordenadas polares. 

P 
y 
x 
r 
θ 
O 
 
 
4 
 
 
 
Exemplo 7: a) Esboce o gráfico em coordenadas polares 
de 
 cosr 2
. 
 
 
 
 
 
 b) Encontre a equação cartesiana para essa 
curva. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 8: Com o auxílio da HP construa os gráficos: 
a) 
 cosr 1
 d) 
 senr 21
 
b) 
 senr 22
 e) 
 2senr
 
c) 
 42cosr
 f) 
 2r
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
 
Exercícios 
1) Esboce a região no plano que consiste em pontos cujas coordenadas polares satisfazem as condições 
dadas: 
a) 
43  r
 b) 
40  r
 e 
62




 c) 
32  r
 e 
3
4
3
2 


 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Localize os pontos em coordenadas polares: 





 
4
31 ,P
 





 
3
2
52 ,P
 





 
2
13 ,P
 





 
6
7
44 ,P
 





 

6
7
35 ,P
 





 

4
9
16 ,P
 
3) Determine as coordenadas retangulares dos pontos cujas coordenadas polares estão dadas: 
 a) 





 
6
6,
 b) 





 
3
2
7,
 c) 





 

6
5
6,
 d) 
 ,0
 e) 





 
6
17
7,
 f) 
 05,
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
 
4) Encontre as coordenadas polares dos pontos em coordenadas retangulares: 
 a) 
 05,
 b) 
 232 ,
 c) 
 20 ,
 d) 
 88  ,
 e) 
 333,
 f) 
 11,
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
 
5) Transforme a equação polar dada para coordenadas retangulares: 
 a) 
2r
 b) 
4senr
 c) 
 cosr 3
 d) 


sencos
r
23
6
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) Expresse as equações dadas em coordenadas polares: 
 a) 
3x
 b) 
722  yx
 c) 
0622  yyx
 d) 
49 xy
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
 
 
7) Esboce o gráfico polar: 
 a) 
3


 b) 
4
3

 c) 
3r
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8) Use a HP ou um recurso computacional para gerar os gráficos polares: 
a) 
 cosr 4
 e) 
 cosr 22
 
b) 
 senr 6
 f) 
  senr 13
 
c) 
 senr 1
 g) 
 49senr
 
d) 
 cosr2
 h) 
 4r
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
 
Respostas 
1) a) b) c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) 
 
 
 
 
 
 
3) a) 
 333 ,
 b) 
 23727 ,
 c) 
 333 ,
 d) 
 00,
 e) 
 27237 ,
 f) 
 05,
 
4) a) 
 ,5
 b) 
 6114 ,
 c) 
 232 ,
 d) 
 4528 ,
 e) 
 326 ,
 f) 
 42 ,
 
5) a) 
422  yx
 b) 
4y
 c) 
xyx 322 
 d) 
623  yx
 
6) a) 
 secr 3
 b) 
7r
 c) 
 senr 6
 d) 
942 sencosr
 
7) a) b) c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
 
 
1.2. Seções cônicas 
As seções cônicas padrão são as curvas em que um plano corta um cone duplo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.2.1. Parábolas 
Uma parábola é o conjunto de todos os pontos num plano, equidistantes de um ponto fixo (foco) e de 
uma reta fixa (diretriz). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 
 
 
Equações das parábolas com vértice na origem 
→Parábola com vértice na origem, aberta na direção x positivo, com eixo de simetria ao longo do eixo x: 
 
 
 
pxy 42 
 
 
 
 
→Parábola com vértice na origem, aberta na direção x negativo,com eixo de simetria ao longo do eixo x: 
 
 
 
pxy 42 
 
 
 
 
→Parábola com vértice na origem, aberta na direção y positivo, com eixo de simetria ao longo do eixo y: 
 
 
 
pyx 42 
 
 
 
→Parábola com vértice na origem, aberta na direção y negativo,com 
eixo de simetria ao longo do eixo y: 
 
 
 
pyx 42 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 
 
 
Exemplo 1: Esboce as parábolas e indique o foco, o vértice e a diretriz de cada curva: 
 a) 
yx 122 
 b) 
082  xy
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2: Encontre uma equação da parábola que tenha seu foco em 
 30 ,
 e como sua diretriz a reta 
3y
. Trace um esboço do gráfico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 
 
 
Exemplo 3: Determine uma equação da parábola que seja simétrica em relação ao eixo y, tenha vértice 
na origem e passe pelo ponto 
 25,
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equações das parábolasdeslocadas 
→ Parábola com 
 00 y,xV
 aberta na direção x positivo, com eixo de simetria paralelo ao eixo x: 
 
   0
2
0 4 xxpyy 
 
 
 
 
 
 
→ Parábola com 
 00 y,xV
aberta na direção x negativo, com eixo de simetria paralelo ao eixo x: 
 
   0
2
0 4 xxpyy 
 
 
 
 
 
 
14 
 
 
→ Parábola com 
 00 y,xV
 aberta na direção y positivo, com eixo de simetria paralelo ao eixo y: 
 
   0
2
0 4 yypxx 
 
 
 
 
→ Parábola com 
 00 y,xV
aberta na direção y negativo, com eixo de simetria paralelo ao eixo y: 
 
   0
2
0 4 yypxx 
 
 
 
 
 
Exemplo 4: Determine uma equação da parábola que tem seu vértice em 
 21,
 e o foco em 
 24,
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
 
Exemplo 5: Determine o gráfico da equação 
023682  yxy
 encontre o vértice, o foco e a diretriz 
da parábola. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
1) Determine a equação das parábolas abaixo: 
 a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16 
 
2) Esboce a parábola e indique o foco, o vértice e a diretriz: 
 a) 
xy 42 
 d) 
   22 2  yx
 
b) 
yx 82 
 e) 
1242  yxx
 
c) 
   263 2  xy
 f) 
242  yyx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17 
 
3) Encontre uma equação para a parábola que satisfaça as condições dadas: 
 a) Vértice 
 00,
; foco 
 03,
 c) Foco 
 30 ,
; diretriz 
3y
 
 b) Vértice 
 00,
; diretriz 
7x
 d) Vértice 
 11,
; diretriz 
2y
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18 
 
Respostas 
1) a) 
2yx 
 b) 
23 xy 
 
2) a) foco: 
 01,
 b) foco: 
 20 ,
 c) foco: 
 327 ,
 
 vértice: 
 00,
 vértice: 
 00,
 vértice: 
 32,
 
 diretriz: 
1x
 diretriz: 
2y
 diretriz: 
21x
 
 
 
 
 
 
 
2) d) foco: 
 492  ,
 e) foco: 
 22,
 f) foco: 
 247 ,
 
 vértice: 
 22  ,
 vértice: 
 252,
 vértice: 
 22,
 
 diretriz: 
47y
 diretriz: 
3y
 diretriz: 
49x
 
 
 
 
 
 
 
3) a) 
xy 122 
 b) 
xy 282 
 c) 
yx 122 
 d) 
   1121 2  yx
 
 
 
 
 
1.2.2. Elipses 
Uma elipse é o conjunto de todos os pontos num plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos 
(focos) é uma constante. 
 
 
aPFPF 221 
 
 
 
 
 
 
 
 
19 
 
Relação fundamental 
 
222 cba 
 onde: 
a é o semi-eixo maior 
b é o semi-eixo menor 
c é a distância do centro ao foco 
 
 
 
 
Equações das elipses com centro na origem 
→ Elipse com centro na origem e eixo maior horizontal: 
 
 
1
2
2
2
2

b
y
a
x 
 
→ Elipse com centro na origem e eixo maior vertical: 
 
 
 
1
2
2
2
2

a
y
b
x 
 
 
 
 
Exemplo 6: Mostrando os focos de cada uma, esboce os gráficos das elipses: 
a) 
1
169
22

yx b) 42 22  yx 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 
 
 
Exemplo 7: Determine uma equação para a elipse com focos 
 20 ,
 e o eixo maior com extremos 
 40 ,
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equações das elipses deslocadas 
→ Elipse com 
 00 y,xC
 e eixo maior horizontal: 
 
 
    
1
2
2
0
2
2
0 



b
yy
a
xx 
 
→ Elipse com 
 00 y,xC
 e eixo maior vertical: 
 
 
    
1
2
2
0
2
2
0 



a
yy
b
xx 
 
 
 
 
 
 
21 
 
Exemplo 8: Encontre uma equação para a elipse com focos 
 22 ,
 e 
 24 ,
 e vértices 
 21 ,
 e 
 25 ,
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 9: Descreva o gráfico da equação 
015464916 22  yxyx
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22 
 
Obs: Se os dois eixos de uma elipse têm o mesmo comprimento, a elipse se reduz a um círculo de 
 00 y,xC
 e raio r cuja equação é 
    220
2
0 ryyxx 
. 
 
Exemplo 10: Determine a equação do círculo de 
 32,C 
 e r = 5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 11: Esboce o gráfico da equação 
076222  yxyx
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
23 
 
Exercícios 
1) Determine a equação das elipses abaixo: 
 a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Esboce a elipse e indique os focos, os vértices e os extremos do eixo menor: 
 a) 
1
916
22

yx
 d) 
    361429 22  yx
 
b) 
99 22  yx
 e) 
011829 22  yxyx
 
c) 
    16543 22  yx
 f) 
131084 22  yxyx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24 
 
3) Encontre uma equação para a elipse que satisfaça as condições dadas: 
 a) Extremos do eixo maior 
 03,
; extremos do eixo menor 
 20 ,
 
 b) Comprimento do eixo maior 26; focos 
 05,
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Encontre a equação do círculo de centro 
 23,
 que é tangente ao eixo x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25 
 
5) Qual a equação do círculo que tem raio 3, tangencia o eixo das abscissas no ponto 
 04,
 e está 
contido no 4º quadrante? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) Determine o centro e o raio do círculo de equação 
0622  xyx
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
26 
 
Respostas 
1) a) 
1
49
22

yx
 b) 
1
94
22

yx
 
2) a) focos: 
 07 ,
 b) focos: 
 80 ,
 c) focos: 
 5323 ,
 
 vértices: 
 04,
 vértices: 
 30 ,
 vértices: 
 57,
 e 
 51,
 
 extr. eixo menor: 
 30 ,
 extr. eixo menor: 
 01,
 extr. eixo menor: 
 33,
 e 
 73,
 
 
 
 
 
 
 
 
2) d) focos: 
 512  ,
 e) focos: 
 181 ,
 f) focos: 
 3251  ,
 
 vértices: 42  ,
 e 
 22,
 vértices: 
 14,
 e 
 12,
 vértices: 
 11,
 e 
 91,
 
 extr. eixo menor: 
 14  ,
e 
 10 ,
 extr. eixo menor: 
 01,
 e 
 21,
 extr. eixo menor: 
 53,
 e 
 51,
 
 
 
 
 
 
 
 
3) a) 
1
49
22

yx
 b) 
1
144169
22

yx
 4) 
    423 22  yx
 
5) 
    934 22  yx
 6) 
 03,C
 
3r
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
27 
 
1.2.3. Hipérboles 
Uma hipérbole é o conjunto de todos os pontos num plano cuja diferença (em valor absoluto) entre as 
distâncias a dois pontos fixos (focos) é uma constante. 
 
 
aPFPF 221 
 
 
 
 
 
 
Relação fundamental 
 
222 bac 
 onde: 
a é a distância do centro ao vértice 
b é o semi-eixo conjugado 
c é a distância do centro ao foco 
 
 
 
 
 
 
Equações das hipérboles com centro na origem 
 
→ Hipérbole com centro na origem e eixo focal horizontal: 
 
 
1
2
2
2
2

b
y
a
x 
 Assíntotas: 
x
a
b
y 
 
 
 
 
 
 
28 
 
→ Hipérbole com centro na origem e eixo focal vertical: 
 
 
1
2
2
2
2

b
x
a
y 
 Assíntotas: 
x
b
a
y 
 
 
 
 
 
Exemplo 12: Esboce os gráficos das hipérboles mostrando os vértices, focos e assíntotas: 
 a) 
1
94
22

yx b) 122  xy 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
29 
 
Equações das hipérboles deslocadas 
 
→ Hipérbole com 
 00 y,xC
 e eixo focal horizontal: 
 
    
1
2
2
0
2
2
0 



b
yy
a
xx 
 Assíntotas: 
   00 xx
a
b
yy 
 
 
 
 
 
→ Hipérbole com 
 00 y,xC
 e eixo focal vertical: 
 
    
1
2
2
0
2
2
0 



b
xx
a
yy 
 Assíntotas: 
   00 xx
b
a
yy 
 
 
 
 
 
Exemplo 13: Descreva o gráfico da equação 
0218422  yxyx
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
30 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
1) Determine a equação das hipérboles abaixo: 
 a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Com o auxílio das assíntotas, esboce a hipérbole e indique os focos e os vértices: 
 a) 
1
916
22

yx
 d) 
    362934 22  xy
 
b) 
369 22  xy
 e) 
07824 22  yxyx
 
c)    
1
4
2
9
1
22



 yx f) 5763216 22  yxyx 
A equação 
022  FEyDxCyAx
 representa: 
→ uma parábola se 
0A
 e 
0C
 ou se 
0A
 e 
0C
; 
→ uma elipse se A e C tem os mesmos sinais; 
→ um círculo se A = C; 
→ uma hipérbole se A e C tem sinais opostos 
 
 
31 
 
3) Encontre uma equação para a hipérbole que satisfaça as condições dadas: 
 a) Vértices 
 02,
; focos 
 03,
 
 b) Vértices 
 60,
 e 
 66,
; distância de 10 unidades entre os focos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Para cada equação abaixo, identifique o tipo de seção cônica: parábola, elipse, círculo ou hipérbole: 
a) 
22 5459 yx 
 e) 
011181694 22  yxyx
 
b) 
0836721003625 22  yxyx
 f) 
33 22  yx
 
c) 
26108 yyx 
 g) 
0244324 22  yxyx
 
d) 
22 68 yyxx 
 h) 
011462  yxx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
32 
 
Respostas 
1) a) 
122  xy
 b) 
1
44
22

yx
 
2) a) focos: 
 05,
 b) focos: 
 1020 ,
 c) focos: 
 2131  ,
 
 vértices: 
 04,
 vértices: 
 20 ,
 vértices: 
 22  ,
 e 
 24 ,
 
 
 
 
 
 
 
2) d) focos: 
 1332 ,
 e) focos: 
 151 ,
 f) focos: 
 31721  ,
 
 vértices: 
 02,
 e 
 62,
 vértices: 
 13,
 e 
 11,
 vértices: 
 31  ,
 e 
 33 ,
 
 
 
 
 
 
 
3) a) 
1
54
22

yx
 b) 
   
1
16
6
9
3
22



 yx
 
4) a) elipse b) hipérbole c) parábola d) círculo e) elipse f) hipérbole g) hipérbole h) parábola 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
33 
 
1.3. Rotação de eixos; Equações de segunda ordem 
Geralmente, quando 
0B
 e A e C não são ambos nulos, o gráfico de uma equação geral de segundo 
grau em duas incógnitas, 
022  FEyDxCyBxyAx
 é uma seção cônica com eixos paralelos 
aos eixos coordenados. 
Se 
0B
, o gráfico da seção cônica representada pela equação tem eixos inclinados em relação aos 
eixos coordenados. Por uma rotação conveniente dos eixos coordenados, o termo misto xy pode ser 
eliminado da equação geral de segundo grau em duas incógnitas e a equação da curva se reduz a uma 
forma “reconhecível”. 
Equações de rotação 
Suponhamos que o sistema de coordenadas xy é 
girado segundo um ângulo de  radianos para formar um 
novo sistema de coordenadas 
'y'x
. Sejam 
 y,x
 as 
coordenadas cartesianas antigas do ponto P e 
 'y,'x
 as 
novas coordenadas. Então 
 sen'ycos'xx
 e 
 cos'ysen'xy
 
Eliminação do termo misto através da rotação 
 Se 
0B
, a equação 
022  FEyDxCyBxyAx
 pode ser transformada na equação 
022  'F'y'E'x'D'y'C'x'A
, pela rotação dos eixos xy de um ângulo  escolhido como 
2
0


 e 
 
CA
B
tg

2
. 
Se 
CA 
 então 
4


 
 
 
 
Exemplo 1: Identifique a curva 
1xy
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
34 
 
Exemplo 2: Identifique a curva 
432 22  yxyx
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 
Identifique a cônica aplicando uma rotação aos eixos coordenados para eliminar o termo misto: 
a) 
9xy
 
b) 
01442131031 22  yxyx
 
c) 
0232332 22  yxyxyx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta 
a) hipérbole b) elipse c) parábola 
 
 
 
 
 
35 
 
2. O Espaço Tridimensional 
 
2.1. Coordenadas retangulares no espaço 
 
 
O conjunto de todas as triplas ordenadas de números 
reais é chamado de “espaço numérico tridimensional” (R3). 
Cada tripla ordenada 
 z,y,x
 é um ponto no R
3
. 
 
 
 
 
 
Exemplo 1: Represente os pontos 
 423 ,,A
, 
 524  ,,B
 e 
 633  ,,C
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2: a) Represente o ponto 
 5001 ,,P
. Esse ponto está sobre que eixo? 
 b) Dê as coordenadas tridimensionais de um ponto P2 sobre o eixo x e de um ponto P3 sobre 
o eixo y. 
 c) Represente o ponto 
 3101 ,,Q
. Esse ponto está em que plano? 
 d) Dê as coordenadas tridimensionais de um ponto Q2 sobreo plano xy e de um ponto Q3 
sobre o plano xz. 
 
 
 
 
 
 
 
36 
 
Exemplo 3: Represente 
3x
: 
a) Em R b) em R2 c) em R3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.1.1. Distância entre dois pontos no espaço tridimensional 
A distância entre os pontos 
 1111 z,y,xP
 e 
 2222 z,y,xP
 é dada por 
 
     212
2
12
2
12 zzyyxxd 
 
 
Exemplo 4: Determine a distância entre os pontos 
 132 ,,
 e 
 314 ,, 
. 
 
 
 
 
 
2.1.2. Ponto médio de um segmento de reta no espaço tridimensional 
O ponto médio M do segmento de reta com extremos 
 1111 z,y,xP
 e 
 2222 z,y,xP
 é o ponto 
 





 
222
212121 zz,
yy
,
xx
 
 
Exemplo 5: Determine o ponto médio que liga 
 0231 ,,P 
 e 
 4472 ,,P
. Represente o segmento de reta 
marcando o ponto médio. 
 
 
 
 
37 
 
2.2. Esferas 
Uma esfera é o conjunto de todos os pontos no espaço 
tridimensional, equidistantes de um ponto fixo. O ponto fixo é 
chamado de centro da esfera e a medida da distância constante é 
chamada de raio da esfera. A equação padrão da esfera de raio r e 
centro 
 000 z,y,x
 é 
 
      220
2
0
2
0 rzzyyxx 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 1: Descreva o gráfico das equações: 
 a) 
      9123 222  zyx
 
 b) 
    541 222  zyx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
38 
 
Exemplo 2: a) Ache a equação da esfera com raio de 5 unidades e centro em 
 421 ,,
; 
b) Qual é a intersecção dessa esfera com o plano xy? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 3: Determine o centro e o raio da esfera 
017842222  zyxzyx
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 4: Ache uma equação da esfera tendo os pontos 
 265  ,,A
 e 
 049 ,,B 
 como extremos de 
um diâmetro. 
 
 
 
 
 
 
39 
 
 
 Exercícios 
1) Em cada parte, determine as coordenadas dos oito cantos da caixa: 
 a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Interprete o gráfico de 
1x
 nos contextos: 
 a) da reta numérica b) do espaço bidimensional c) do espaço tridimensional 
 
 
 
 
 
 
3) Determine o centro e o raio da esfera que tem 
 421 ,, 
 e 
 1243 ,,
 como extremos de um diâmetro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
40 
 
4) Mostre que 
 254 ,,
, 
 371 ,,
 e 
 542 ,,
 são vértices de um triângulo equilátero. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Determine a distância do ponto 
 325  ,,
 ao: 
 a) plano xy b) plano xz c) plano yz d) eixo x e) eixo y f) eixo z 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
41 
 
 
6) Em cada parte, determine a equação padrão da esfera que satisfaça as condições dadas: 
 a) Centro 
 101 ,,
; diâmetro = 8 
 b) Centro 
 231 ,,
 e passa pela origem 
 c) Um diâmetro cujos extremos sejam 
 121 ,,
 e 
 320 ,,
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7) Em cada parte, determine uma equação da esfera com centro 
 312  ,,
 e que satisfaça a condição 
dada: 
 a) tangente ao plano xy b) tangente ao plano xz c) tangente ao plano yz 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
42 
 
 
8) Descreva a superfície cuja equação é dada: 
 a) 
0192410222  zyxzyx
 
 b) 
02532222 222  zyxzyx
 
 c) 
025843222  zyxzyx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
43 
 
Respostas 
1) a) 
 000 ,,
, 
 003 ,,
, 
 053 ,,
, 
 050 ,,
, 
 400 ,,
, 
 403 ,,
, 
 453 ,,
, 
 450 ,,
 
 b) 
 010 ,,
, 
 014 ,,
, 
 064 ,,
, 
 060 ,,
, 
 210 ,,
, 
 214 ,,
, 
 264 ,,
, 
 260 ,,
 
2) a) ponto b) reta paralela ao eixo y c) plano paralelo ao plano yz 
3) raio 
74
, centro 
 412 ,,
 
5) a) 3 b) 2 c) 5 d) 
13
 e) 
34
 f) 
29
 
6) a) 
    1611 222  zyx
 b) 
      14231 222  zyx
 c) 
   
4
5
22
2
1 22
2






 zyx
 
7) a) 
      9312 222  zyx
 b) 
      1312 222  zyx
 c) 
      4312 222  zyx
 
8) a) esfera, centro 
 125  ,,
, raio 7 b) esfera, centro 







4
5
4
3
2
1
,,
, raio 
4
63
 c) nenhum gráfico 
 
 
 
2.3. Superfícies cilíndricas 
No espaço tridimensional, o gráfico de uma equação em 2 das 3 variáveis x, y e z é um cilindro cujo 
“traço” (ou diretriz) é uma curva no plano associado com as variáveis que aparecem na equação e que se 
move na direção do eixo associado a variável que está ausente. 
Consideraremos apenas cilindros formados por retas perpendiculares ao plano coordenado que 
contém a diretriz. Um cilindro cuja diretriz é uma, elipse, parábola ou hipérbole é chamado de cilindro 
elíptico (a), parabólico (b) ou hiperbólico (c). 
a) b) c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
44 
 
Exemplo: Represente as superfícies no espaço tridimensional: 
a) 
122  yx
 c) 
zx 2
 
b) 
144169 22  zy
 d) 
100425 22  yx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 
Esboce o gráfico da equação no espaço tridimensional e identifique a superfície: 
a) 
2522  zx
 b) 2xz  c) 
44 22  zy
 
 
 
 
 
 
 
 
 
45 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta 
a) cilindro circular b) cilindro parabólico c) cilindro hiperbólico 
 
 
 
 
 
 
 
46 
 
Elipsóide Hiperbolóide 
de uma folha 
Hiperbolóide 
de duas folhas 
Parabolóide 
elíptico 
Parabolóide 
hiperbólico 
Cone 
elíptico 
2.4. Superfícies quádricas 
Uma superfície quádrica é o gráfico no espaço de uma equação de segundo grau em x, y e z. A forma 
mais geral é 
0222  JIzHyGxFxzEyzDxyCzByAx
 onde A, B, C, etc. são 
constantes. 
As superfícies quádricas básicas são elipsóides (podemos pensar em esferas como elipsóides 
especiais), hiperbolóides, parabolóides e cones elípticos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No caso especial em que os traços elípticos de um cone elíptico ou de um parabolóide elíptico 
são círculos, são usados os termos cone circular e parabolóide circular. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
47 
 
Exemplo 1: Identifique as superfícies (use a tabela de equações das quádricas): 
 a) 
0121243 222  zyxb) 
044 22  zyx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2: Nas equações das superfícies de 1 a 5 abaixo: 
a) Coloque a equação na forma padrão identificando a superfície; 
b) Determine o traço da superfície dada nos planos xy, xz e yz; 
c) Se necessário, determine o traço da superfície dada nos planos 
kx 
 ou 
ky 
 ou 
kz 
; 
d) Faça um esboço da superfície. 
 1) 
14416936 222  zyx
 4) 
02 22  zyx
 
2) 
3612936 222  zyx
 5) 
044 222  zyx
 
 3) 
444 222  zyx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
48 
 
2.5. Coordenadas cilíndricas e esféricas 
São os dois mais importantes sistemas coordenados não-cartesianos no espaço e são úteis no 
estudo de superfícies com simetrias. 
 
 
 
As coordenadas cilíndricas 
 z,,r 
 com 
0r
 e 
 20
 
são usadas quando há um eixo de simetria. 
 
 
 
 
 
 
 
 
As coordenadas esféricas 
  ,,
 com 
0
, 
 20
 e 
0
 são usadas quando existe um ponto 
que é centro de simetria. 
 
 
 
 
2.5.1. Convertendo coordenadas 
Equações relacionando coordenadas cartesianas 
 z,y,x
 e cilíndricas 
 z,,r 
: 
 
 
 cosrx
 
 senry
 
zz 
 
 
 
222 yxr 
 
x
y
tg 
 
Equações relacionando coordenadas cartesianas 
 z,y,x
 e esféricas 
  ,,
: 
 
 cossenx
 
 senseny
 
 cosz
 
 
 
2222 zyx 
 
x
y
tg 
 
222 zyx
z
cos


 
 
 
 
49 
 
Equações relacionando coordenadas cilíndricas 
 z,,r 
 e esféricas
  ,,
: 
 
 senr
 

 
 cosz
 
 
 
222 zr 
 
z
r
tg 
 
 
Exemplo 1: Determine as coordenadas retangulares do ponto com coordenadas cilíndricas 








3
3
4 ,,
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2: Determine as coordenadas retangulares do ponto com coordenadas esféricas 





 
43
4 ,,
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
50 
 
Exemplo 3: Determine as coordenadas cilíndricas do ponto com coordenadas retangulares 
 4322 ,,
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 4: Determine as coordenadas esféricas do ponto com coordenadas retangulares 
 6444 ,, 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
51 
 
Exemplo 5: Converta de coordenadas cilíndricas para coordenadas esféricas: 





 
3
6
1 ,,
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 6: Converta de coordenadas esféricas para coordenadas cilíndricas: 
 002 ,,
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
52 
 
2.5.2. Equações de superfícies em coordenadas cilíndricas e esféricas 
 
Exemplo 7: Obtenha as equações do parabolóide 
22 yxz 
 em coordenadas cilíndricas e esféricas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 8: Descreva a superfície cuja equação em coordenadas esféricas é 
 sensen
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
53 
 
Exercícios 
1) Converta as coordenadas de retangulares para cilíndricas: 
 a) 
 4434 ,,
 b) 
 655 ,,
 c) 
 020 ,,
 d) 
 6344 ,, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Converta as coordenadas de cilíndricas para retangulares: 
 a) 





 
3
6
4 ,,
 b) 








2
4
3
8 ,,
 c) 
 405 ,,
 d) 
 97 ,,
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
54 
 
 
3) Converta as coordenadas de retangulares para esféricas: 
 a) 
 231 ,,
 b) 
 211 ,, 
 c) 
 3330 ,,
 d) 
 0535 ,,
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Converta as coordenadas de esféricas para retangulares: 
 a) 





 
46
5 ,,
 b) 





 
2
07 ,,
 c) 
 01 ,,
 d) 





 
22
3
2 ,,
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
55 
 
5) Converta as coordenadas de cilíndricas para esféricas: 
 a) 





 
3
6
3 ,,
 b) 








1
4
1 ,,
 c) 





 
0
4
3
2 ,,
 d) 
 3216 ,,
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) Converta as coordenadas de esféricas para cilíndricas: 
 a) 





 
3
2
4
5 ,,
 b) 








,,
6
7
1
 c) 
 003 ,,
 d) 





 
26
4 ,,
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
56 
 
7) Uma equação é dada em coordenadas cilíndricas. Expresse a equação em coordenadas retangulares: 
 a) 
3r
 b) 2rz  c)  senr 4 d) 122  zr 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8) Uma equação é dada em coordenadas esféricas. Expresse a equação em coordenadas retangulares: 
 a) 
3
 b) 
 cos4
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
57 
 
9) Uma equação de uma superfície é dada em coordenadas retangulares. Determine uma equação da 
superfície em (I) coordenadas cilíndricas e (II) coordenadas esféricas: 
 a) 
3z
 b) 
22 33 yxz 
 c) 
422  yx
 d) 
9222  zyx
 e) 
1432  zyx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
58 
 
Respostas 
1) a) 
 468  ,,
 b) 
 64325 ,, 
 c) 
 022 ,,
 d) 
 6358 ,, 
 
2) a) 
 3232 ,,
 b) 
 22424  ,,
 c) 
 405 ,,
 d) 
 907  ,,
 
3) a) 
 43322  ,,
 b) 
 4472  ,,
 c) 
 326  ,,
 d) 
 26510  ,,
 
4) a) 
 225425465 ,,
 b) 
 007 ,,
 c) 
 100 ,,
 d) 
 020 ,,
 
5) a) 
 6632  ,,
 b) 
 4342  ,,
 c) 
 2432  ,,
 d) 
 32134 ,,
 
6) a) 
 254235  ,,
 b) 
 1670  ,,
 c) 
 300 ,,
 d) 
 064 ,,
 
7) a) 
922  yx
 b) 
22 yxz 
 c) 
0422  yyx
 d) 
1222  zyx
 
8) a) 
9222  zyx
 b) 
04222  zzyx
 
9) a) (I) 
3z
 (II) 
 sec3
 b) (I) 
23rz 
 (II) 
  gcotseccos31
 
 c) (I) 
2r
 (II) 
 seccos2
 d) (I) 
922  zr
 (II) 
3
 
 e) (I) 
1432  zsenrcosr
 (II) 
1432  cossensencossen
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
59 
 
2.6. Vetores 
 Em ciências, na matemática e na engenharia, distinguimos duas quantidades importantes: 
escalares e vetores. 
Um escalaré simplesmente uma quantidade ou um número real que tem magnitude. Por exemplo, 
comprimento, temperatura, área, massa. 
Um vetor, por outro lado, é usualmente descrito como uma quantidade que tem direção e sentido. Por 
exemplo, velocidade, força, deslocamento. 
No espaço bi e tridimensional, os vetores são representados geometricamente por setas: a direção e 
sentido da seta especificam a direção e o sentido do vetor e o comprimento da seta descreve a magnitude 
do vetor. 
Um vetor cujo ponto inicial for A e cujo ponto final for B é escrito como AB . Dois vetores com a 
mesma magnitude e a mesma direção e sentido são ditos equivalentes ou iguais. Na figura abaixo, v e u 
são equivalentes. 
 
 
ABv
 
CDu
 
 
 
Se os pontos inicial e final de um vetor coincidirem, o vetor terá comprimento zero; esse vetor é 
denominado vetor nulo ou vetor zero. 
 
2.6.1. Vetores em sistemas de coordenadas 
Se um vetor v está posicionado com seu ponto inicial na origem do sistema de coordenadas 
retangulares, então seu ponto final terá as coordenadas da forma 
 21 v,v
 ou 
 321 v,v,v
, dependendo se 
estiver no espaço bidimensional ou no espaço tridimensional. Essas coordenadas são denominadas 
componentes de v e escreve-se: 
 
21 v,vv
 ou 
321 v,v,vv
 
 
Exemplo 1: Esboce os vetores: 
 a) 
31,u
 b) 
232 ,,v
 
 
 
 
 
B 
A 
C 
D 
 
 
60 
 
Em particular, o vetor zero é: 
00,0
 ou 
000 ,,0
 
 
Dois vetores são equivalentes (iguais) se, e somente se, seus componentes correspondentes são iguais. 
Os vetores 
321 ,,
 e 
132 ,,
 não são equivalentes, porque os componentes correspondentes não são 
iguais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2: Supondo 
3241 ,,z,yx,yx 
, determine x, y e z. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
61 
 
2.6.2. Operações aritméticas com vetores 
Se 
21 v,vv
 e 
21 w,ww
 forem vetores no espaço bidimensional e k é qualquer escalar, então: 
2211 wv,wv  wv
 
2211 wv,wv wv
 
21 kv,kvk v
 
 Do mesmo modo para vetores no espaço tridimensional: 
332211 wv,wv,wv  wv
 
332211 wv,wv,wv wv
 
321 kv,kv,kvk v
 
 
Exemplo 3: Se 
231 ,,v
 e 
153  ,,w
, calcule: 
 a) v + w 
 b) 5v 
 c) 2v  3w 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
62 
 
2.6.3. Vetores com ponto inicial não na origem 
Muitas vezes um vetor é representado por um segmento orientado que não parte da origem do 
sistema. 
Se 
21PP
 for um vetor no espaço bidimensional com ponto inicial 
 111 y,xP
 e ponto final 
 222 y,xP
, 
então o vetor equivalente com seu ponto inicial na origem é 
121221 yy,xxPP 
. 
Do mesmo modo para vetores no espaço tridimensional: 
12121221 zz,yy,xxPP 
 
 
Exemplo 4: a) Represente o vetor com origem em 
 311 ,P
 e extremidade em
 242 ,P
; 
 b) Determine os componentes do vetor 
21PP
; 
 c) Represente o vetor 
21PP
 com seu ponto inicial na origem no mesmo sistema de 
coordenadas da letra (a). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
63 
 
 
Exemplo 5: a) Represente o vetor com origem em 
 2641 ,,P
 e extremidade em
 3812 ,,P
; 
 b) Determine os componentes do vetor 
21PP
; 
 c) Represente o vetor 
21PP
 com seu ponto inicial na origem no mesmo sistema de 
coordenadas da letra (a). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
64 
 
2.6.4. Propriedades de operações com vetores 
 Sejam u, v e w vetores e a e b escalares. 
u + v = v + u 
(u + v) + w = u + (v + w) 
u + 0 = 0 + u = u 
u + (u) = 0 
a(bu) = (ab)u 
a(u + v) = au + av 
(a + b)u = au + bu 
1u = u 
 
2.6.5. Norma de um vetor 
 A distância entre o ponto inicial e final de um vetor v é chamada de magnitude, comprimento ou 
norma de v e é denotada por ||v||. 
A norma de um vetor 
21 v,vv
 no espaço bidimensional é dada por 
2
2
2
1 vv v
 e a norma 
de um vetor 
321 v,v,vv
 no espaço tridimensional é dada por 
2
3
2
2
2
1 vvv v
. 
 
Exemplo 6: a) Se 
32,v
 então ||v|| = 
 b) Se 
632 ,,w
 então ||w|| = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
65 
 
Exemplo 7: Encontre o comprimento do vetor com ponto inicial 
 143 ,,P 
 e ponto final 
 225 ,,Q 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.6.6. Vetores unitários 
 Um vetor v de comprimento 1 é chamado vetor unitário. No sistema de coordenadas xy, os 
vetores unitários ao longo dos eixos x e y são denominados i e j, respectivamente e, num sistema xyz, os 
vetores unitários ao longo dos eixos x, y e z são denominados i, j e k, respectivamente. 
 
 
 
 
 
 
Qualquer vetor v em duas dimensões pode ser escrito como uma combinação linear de i e j: 
21 v,vv
 = 
Da mesma forma, qualquer vetor v em três dimensões pode ser escrito como uma combinação 
linear de i, j e k: 
 
321 v,v,vv
 = 
 
 
 
66 
 
 
Exemplo 8) Escreva os vetores abaixo, como combinação linear 
a) 
32,
 = b) 
621 ,,
 = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 9: Se a = i + 2j  3k e b = 4i + 7k escreva o vetor 2a + 3b em função de i, j e k. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
67 
 
 
2.6.7. Versor de um vetor 
O versor de um vetor v, não-nulo, denotado por vers(v), é um vetor unitário com mesma direção e 
sentido do vetor v, definido por 
 
||||
vers
v
v
v 
. 
 
Exemplo 10: Determine o vetor unitário com a mesma direção e sentido que v = 2i + 2j  k. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 11: Dado u = 3i + j e v = 2i + 4j, ache o vetor unitário tendo a mesma direção e sentido que 
u  v. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
68 
 
Exemplo 12: Encontre um vetor unitário na direção de 
 1011 ,,P
 a 
 0232 ,,P 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.6.8. Vetores determinados por comprimento e ângulo 
 Se v for um vetor não-nulo com o seu ponto inicial na origem de 
um sistema de coordenadas xy, e se  for o ângulo entre o eixo positivo e 
v, então v pode ser expresso na forma trigonométrica como 
 sen||||,cos|||| vvv
 
ou 
 
jvivv  sen||||cos||||
 
 
Exemplo 13: Determine o vetor de comprimento 2 que faz um ângulo de 
4
 com o eixo x positivo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
69 
 
Exemplo 14: Determine o ângulo que o vetor 
jiv  3
 forma com o eixo x positivo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.6.9. Vetores determinados por comprimento e um vetor na mesma direção e sentido 
Pode-se expressar qualquer vetor v que não seja nulo, com um comprimento especificado, na direção 
e sentido determinados por algum versor: 
 uvv vers||||
. 
 
Exemplo 15: Ache um vetor que possui a mesma direção e sentido que 
452  ,,u
, mas temcomprimento 
5
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
70 
 
 
 
Exercícios 
1) Esboce os vetores com seus pontos iniciais na origem: 
 a) 
52,
 b) 
45  ,
 c) 
02,
 d) –5i + 3j e) 3i – 2j f) – 6j 
 g) 
221 ,,
 h) 
122 ,,
 i) –i + 2j + 3k j) 2i + 3j – k 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Determine os componentes do vetor e esboce um vetor equivalente com seu ponto inicial na origem: 
 a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
71 
 
3) Determine os componentes do vetor 
21PP
: 
 a) 
 531 ,P
, 
 822 ,P
 b) 
 271 ,P
, 
 002 ,P
 c) 
 1251 ,,P 
, 
 2422 ,,P
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) a) Determine o ponto final de v = 3i – 2j se o ponto inicial for 
 21 ,
. 
 b) Determine o ponto inicial de 
213 ,,v
 se o ponto final for 
 105 ,,
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
72 
 
 
5) Efetue as operações indicadas com os vetores u = 3i – k, v = i – j + 2k e w = 3j: 
 a) w – v d) 4(3u + v) 
b) 6u + 4w e) –8(v + w) +2u 
c) –v – 2w f) 3w – (v – w) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) Determine a norma de v: 
 a) 
11  ,v
 c) 
421 ,,v
 
 b) v = –i + 7j d) v = –3i + 2j + k 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
73 
 
7) Sejam u = i – 3j + 2k, v = i + j e w = 2i + 2j – 4k. Determine: 
 a) 
vu 
 d) 
wvu  53
 
 b) 
vu 
 e) 
w
w
1
 
c) 
vu 22 
 f) 
w
w
1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8) Determine os vetores unitários que satisfaçam as condições dadas: 
 a) Mesma direção e sentido que –i + 4j. 
 b) Sentido oposto a 6i – 4j + 2k. 
 c) Mesma direção e sentido que o vetor do ponto 
 201 ,,A 
 até o ponto 
 113 ,,B
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
74 
 
9) Determine os vetores que satisfaçam as condições dadas: 
 a) Sentido oposto a 
43  ,v
 e a metade do tamanho de v. 
 b) Comprimento 
17
 e o mesmo sentido e direção que 
607  ,,v
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10) Em cada parte, determine a forma em componentes do vetor v no espaço bidimensional que tenha o 
comprimento dado e faça o ângulo 

 dado com o eixo x positivo: 
 a) 
43  ;v
 c) 
º1205  ;v
 
 b) 
º902  ;v
 d) 
 ;1v
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
75 
 
11) Sejam 
31,u
, 
12,v
 e 
14  ,w
. Determine o vetor x que satisfaça 2u – v + x = 7x + w. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12) Determine u e v se 
ki2vu  3
 e 
kjiv3u 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
76 
 
 
Respostas 
1) a, b, c) d, e, f) 
 
 
 
 
 
 
1) g,h) i, j) 
 
 
 
 
 
 
 
2) a) b) 
 
 
 
 
 
3) a) 
31,
 b) 
27,
 c) 
163 ,,
 4) a) 
 44 ,
 b) 
 318  ,,
 
5) a) – i + 4j – 2k b) 18 i + 12j – 6k c) –i – 5j – 2k d) 40i – 4j – 4k e) –2i – 16j – 18k f) –i + 13j – 2k 
6) a) 
2
 b) 
25
 c) 
21
 d) 
14
 
7) a) 
32
 b) 
214 
 c) 
22142 
 d) 
372
 e) 
     kji 626161 
 f) 1 
8) a) 
    ji 174171 
 b) 
     kji 141142143 
 c) 
     kji 231231234 
 
9) a) 
2
2
3
,
 b) 
5
6
0
5
7
,,
 
10) a) 
2
23
2
23
,
 b) 
20,
 c) 
2
35
2
5
,
 d) 
01,
 
11) 
1
3
2
,
 12) 
kjiu
7
1
7
2
7
5

, 
kjiv
7
4
7
1
7
8

 
 
 
 
 
 
77 
 
2.7. Produto escalar (ou produto interno) 
Se 
21 u,uu
 e 
21 v,vv
, então o produto escalar é o “número” 
2211 vuvu  vu
. 
Da mesma forma para 
321 u,u,uu
 e 
321 v,v,vv
, 
332211 vuvuvu  vu
. 
 
Exemplo 1: 
2153 ,, 
= 
 
 
 
 
251431 ,,,, 
= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.7.1. Ângulo entre dois vetores 
Se u e v forem vetores não-nulos no espaço bi ou tridimensional e se  for o ângulo entre eles, então 
 
||||||||
cos
vu
vu 

 
 
Exemplo 2: Determine o ângulo entre o vetor u = i − 2j + 2k e v = −3i + 6j + 2k. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dois vetores u e v são ortogonais (perpendiculares) se e somente se u  v = 0. 
 
 
78 
 
 
Exemplo 3: Verifique se os vetores u = − 3i − j + 4k e v = 2i + 14j + 5k são ortogonais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dois vetores u e v são paralelos se e somente se um dos vetores for um múltiplo escalar do outro, 
isto é: 
vu .c
. 
Exemplo 4: Verifique se os vetores 
43  ,u
 e 
1
4
3
 ,v
são paralelos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
79 
 
Exemplo 5: Dados 
23,u
 e 
k,2v
, onde k é um escalar, ache k tal que: 
a) u e v sejam ortogonais b) u e v sejam paralelos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.7.2. Ângulos diretores 
A direção e o sentido de um vetor u, podem ser expressos pelos cossenos dos ângulos entre o vetor e 
a direção positiva dos eixos coordenados. Estes cossenos são chamados de cossenos diretores de u. 
 
No espaço bidimensional: 
 
||||
v
cos
v
1
 
||||
v
cos
v
2
 
 
 
 
No espaço tridimensional: 
 
 
||||
v
cos
v
1
 
||||
v
cos
v
2
 
||||
v
cos
v
3
 
 
 
 
 
80 
 
Exemplo 6: Determine os ângulos diretores do vetor v = 2i − 4j + 4k. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.7.3. Trabalho 
 O trabalho realizado por uma força constante F é o produto escalar FD onde D é o vetor 
deslocamento. 
 
DFW 
 
OBS: No caso em que a força F é constante e não está na direção do movimento, mas faz um ângulo 
 com o vetor deslocamento , definimos o W (Trabalho) realizado pela força F como sendo: 
 
D.cosFW  
 
Exemplo 7: Uma caixa é arrastada ao longo do chão por uma corda que aplica uma força de 50 N em 
um ângulo de 60º com o chão. Quanto trabalho é realizado para movimentar a caixa 15 m? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
81 
 
Exemplo 8: Uma força dada pelo vetor F = 3i + 4j + 5k move uma partícula do ponto 
 012 ,,P
 para o 
ponto 
 264 ,,Q
. Determine o trabalho realizado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
1) Sejamu = 2i – 3j + 4k, v = – i + 2j + 5k e w = 3i + 6j – k. Determine: 
 a) 
vu 
 b) 
wu 
 c) 
 4vu 
 d) 
 wvuu 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
82 
 
2) Sejam 
21,u
, 
24  ,v
 e 
06,w
. Determine: 
 a) 
 wvu  7
 b) 
 wwu 
 c) 
 wvu 
 d) 
  wvu 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Use a informação dada para encontrar 
vu 
: 
 a) ||u|| = 1, ||v|| = 2, o ângulo entre u e v é 
6
. 
 b) ||u|| = 2, ||v|| = 3, o ângulo entre u e v é 135º. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
83 
 
4) Determine o ângulo entre os vetores: 
a) u = 3i – k e v = 2i + 2k b) 
042 ,,u
 e 
411 ,,v
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Determine se u e v fazem um ângulo agudo, um ângulo obtuso ou se são ortogonais: 
a) u = 7i + 3j + 5k e v = –8i + 4j + 2k c) 
111 ,,u
 e 
001 ,,v
 
b) u = 6i + j + 3k e v = 4i – 6k d) 
614 ,,u
 e 
203 ,,v
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
84 
 
6) Determine se os vetores dados são ortogonais, paralelos ou nenhum dos dois: 
a) 
735 ,,u
 e 
286  ,,v
 c) u = –i + 2j + 5k e v = 3i + 4j – k 
b) 
64,u
 e 
23,v
 d) u = 2i + 6j – 4k e v = –3i – 9j + 6k 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7) Determine o vetor v, paralelo ao vetor 
312 ,,u
, tal que 
42uv
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
85 
 
8) Determine o valor de k para que os vetores 
32,u
 e 
4 ,kv
 sejam: 
 a) paralelos b) ortogonais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9) Determine os ângulos diretores de v: 
 a) v = i + 2j + 3k b) 
301  ,,v
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
86 
 
 
10) Determine o trabalho realizado pela força F = -3j (libras) aplicada a um ponto que se move sobre 
uma reta de 
 31,
 a 
 74,
. Suponha que a distância seja medida em pés. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11) Uma força F = 4i – 6j + k é aplicada a um ponto que se move uma distância de 15 metros na direção 
e sentido do vetor i + j + k. Quanto trabalho foi realizado? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
87 
 
 
 
Respostas 
1) a) 12 b) –16 c) 48 d) 25 
2) a) 6 b) 36 c) 
524
 d) 
524
 
3) a) 
3
 b) 
23
 4) a) 63,43º b) 108,43º 
5) a) obtuso b) agudo c) obtuso d) ortogonais 
6) a) nenhum b) ortogonais c) ortogonais d) paralelos 
7) 
936  ,,v
 8) a) 
3
8
 b) –6 
9) a) 
º574,
 
º6957,
 
º736,
 b) 
º60
 
º90
 
º150
 
10) -12 pés.libras 11) 
35
N.m 
 
 
 
 
 
2.8. Produto vetorial 
Se 
321 u,u,uu
 e 
321 v,v,vv
, então o produto vetorial u  v é o “vetor” definido por: 
321
321
vvv
uuu
kji
vu 
 
Obs: u  v =0 se e somente se os vetores u e v forem paralelos. 
 
Exemplo 1: Sejam 
221  ,,u
 e 
103 ,,v
. Determine: 
 (a) u  v (b) v  
u
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
88 
 
2.8.1. Características do vetor u  v 
a) Direção de u  v: O vetor u  v é simultaneamente ortogonal a u e v. 
b) Sentido de u  v: O sentido de u  v pode ser determinado pela “regra da mão direita” 
 
 
 
 
 
c) Comprimento de u  v: Se  é o ângulo entre os vetores u e v não nulos, então 
 
 senvuvu
 
 
Exemplo 2: Obtenha um vetor ortogonal ao plano determinado pelos pontos 
 641 ,,P
, 
 152  ,,Q
 e 
 111 ,,R 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
89 
 
2.8.2. Interpretação geométrica do módulo do produto vetorial 
A área do paralelogramo que tem u e v como lados adjacentes é 
vuA
. 
 
Exemplo 3: a) Desenhe o paralelogramo com vértices em 
 321 ,,A
, 
 631 ,,B
, 
 683 ,,C
 e 
 373 ,,D
. 
 b) Com o uso de vetores, determine a área do paralelogramo do item (a). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.8.3. Torque 
Quando uma força F é aplicada na extremidade de um vetor posição r, produz um torque  definido 
por  = r  F e mede a tendência de um corpo rodar em torno da 
origem. Por exemplo, se apertarmos um parafuso utilizando uma 
chave de boca como na figura ao lado, conseguiremos o efeito de girá-
lo. 
A magnitude (intensidade) do torque pode ser calculada por: 
 senFr
 onde  é o ângulo entre o vetor posição e o vetor força. 
 
 
 
 
 
90 
 
Exemplo 4: Calcule o torque sobre a barra AB onde 
jr 2AB
 (em metros), F = 10i (em Newtons) e 
o eixo de rotação é o eixo z. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 5: Determine o módulo da força que deve ser aplicada na extremidade de uma alavanca de 1 m 
conectada a um eixo no ponto P, para que o torque resultante no ponto P seja de 100 J. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
91 
 
Exercícios 
1) Determine u  v e verifique que é ortogonal a ambos u e v: 
a) 
321  ,,u
, 
214 ,,v
 b) u = j – 2k, v = 3i – 4k 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2) Sejam 
312 ,,u
, 
710 ,,v
 e 
541 ,,w
. Determine: 
 a) u  (v  w) b) (u  v)  w c) (u  v)  (v  w) d) (v  w)  (u  v) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
92 
 
3) Determine dois vetores unitários que sejam ortogonais a ambos u = –7i + 3j + k e v = 2i + 4k. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Determine dois vetores unitários que sejam perpendiculares ao plano determinado pelos pontos 
 120 ,,A 
, 
 211  ,,B
 e 
 011 ,,C 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
93 
 
5) Determine a área do paralelogramo que tem u = i – j + 2k e v = 3j + k como lados adjacentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) Determine a área do triângulo de vértices 
 251 ,,P
, 
 000 ,,Q
 e 
 153 ,,R
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
94 
 
7) Uma criança freia uma bicicleta, com freio de contrapedal, exercendo uma força de 90 N para baixo 
no pedal quando ele está fazendo um ângulo de 40º com a horizontal (veja a figura abaixo). Encontre o 
torque em P se a haste do pedal tem 15 cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas 
1) a) 
9107 ,,
 b) 
364  ,,
 
2) a) 
96720  ,,
 b) 
265278  ,,
 c) 
392560  ,,
 d) 
392560 ,,
 
3) 
30
1
30
5
30
2
,,
 e 
30
1
30
530
2
,,
 4) 
6
1
6
1
6
2
,,
 e 
6
1
6
1
6
2
 ,,
 
5) 
59
 6) 
2
374
 7) 10,34 J 
 
 
 
95 
 
2.9. Produto misto 
O produto u  (v  w) é chamado de produto misto de u, v e w e pode ser calculado como um 
determinante:  
321
321
32
www
vvv
uuu1
 wvu
 
Obs: 
  0 wvu
 se, e somente se os três vetores forem coplanares. 
 
Exemplo 1: Calcule o produto misto dos vetores u = 3i  2j  5k, v = i + 4j  4k e w = 3j + 2k. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2: Qual deve ser o valor de m para que 
02 ,m,u
, 
211 ,,v
 e 
131  ,,w
 sejam 
coplanares? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
96 
 
 
2.9.1. Interpretação geométrica do módulo do produto misto 
O volume do paralelepípedo que tem u, v e w como arestas adjacentes é 
 wvu V
. 
 
Exemplo 3: Encontre o volume da caixa (paralelepípedo) determinada por u = i + 2j  k, v =  2i + 3k e 
w = 7j  4k. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
1) Determine u  (v  w): 
 a) u = 2i  3j + k, v = 4i + j  3k, w = j + 5k 
 b) 
012 ,,u
, 
131 ,,v
, 
104 ,,w
 
 
 
 
 
 
 
 
97 
 
2) Qual é o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores 
262 ,,u
, 
240  ,,v
 e 
422  ,,w
? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Determine se os vetores situam-se no mesmo plano: 
 a) 
121 ,,u
, 
203  ,,v
, 
045 ,,w
 
b) u = 5i  2j + k, v = 4i  j + k, w = i  j 
 c) 
184 ,,u
, 
212  ,,v
, 
1243 ,,w
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
98 
 
4) Calcule o valor de m para que o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores 
210 ,,u
, 
124  ,,v
, 
23  ,m,w
 seja igual a 33. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Respostas 
1) a) -48 b) –3 2) 16 3) a) sim b) sim c) não 4) m = 4 ou m = –17/4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
99 
 
2.10. Equações paramétricas de retas 
 Seja uma reta L do espaço tridimensional que passa pelo 
ponto 
 0000 z,y,xP
 e paralela ao vetor não-nulo 
c,b,av
, 
chamado vetor direção da reta L. Um ponto 
 z,y,xP
 pertence à 
reta L se, e somente se, os vetores 
PP0
 e v forem paralelos, então: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 1: Encontre equações paramétricas da reta que passa 
 (a) por 
 24,
 e é paralela a 
51,v
; 
 (b) por 
 321 ,,
 e é paralela a u = 4i + 5j  7k; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
100 
 
Exemplo 2: (a) Encontre equações paramétricas da reta L que passa pelos pontos 
 1421 ,,P
 e 
 9812  ,,P
. 
 (b) Em que ponto a reta intersecta o plano xy? 
 (c) Em que ponto a reta intersecta o plano xz? 
 (d) Trace a reta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 3: Sejam L1 e L2 as retas 
 L1: 
tz,ty,tx 514541 
 
 L2: 
tz,ty,tx  53482
 
As retas são paralelas? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
101 
 
 
2.10.1. Segmentos de retas 
 Para parametrizar um segmento de reta, primeiro parametrizamos a reta e a seguir restringimos o 
parâmetro de modo a gerar somente o segmento. 
 
Exemplo 4: Determine as equações paramétricas para o segmento de reta que une os pontos 
 3231  ,,P
 e 
 4112 ,,P 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 5: Determine as equações paramétricas para os segmentos de reta que ligam os pontos 
 10,P
 
e 
 11,Q
 e, depois, 
 11,Q
 e 
 21,R
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
102 
 
2.11. Equações simétricas de retas 
Se 
0cba
, eliminando o parâmetro t das equações paramétricas de retas, obtemos as equações: 
c
zz
b
yy
a
xx 000 


 chamadas de equações simétricas da reta. 
 
Exemplo 6: Encontre equações simétricas da reta que passa por 
 014 ,,
 e é paralela a 
262  ,,v
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 7: Determine as equações simétricas da reta no espaço tridimensional que passa pelos pontos 
 1131 ,,P 
 e 
 2122 ,,P
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
103 
 
Exemplo 8: Verifique se o ponto 
 201 ,,P 
 pertence às retas: 








tz
ty
tx
37
3
27
:r
 s: 
2
4
32
1 

 zyx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
1) (a) Determine as equações paramétricas das retas que passam pelo canto do quadrado unitário 
mostradas na parte (a) da figura abaixo. 
 (b) Determine as equações paramétricas das retas que passam pelo canto do cubo unitário mostradas 
na parte (b) da figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
104 
 
2) (a) Determine as equações paramétricas dos segmentos de reta do quadrado unitário mostrados na 
parte (a) da figura abaixo. 
 (b) Determine as equações paramétricas dos segmentos de reta no cubo unitário mostrados na parte 
(b) da figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
105 
 
3) Obtenha equações paramétricas para a reta que passa pelos pontos 
1P
 e 
2P
 e também para o segmento 
de reta ligando esses pontos. 
a) 
 231 ,P
, 
 152 ,P
 b) 
 1251 ,,P 
, 
 2422 ,,P
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Determine as equações paramétricas para os segmentos de reta que ligam os pontos 
 000 ,,P
 a 
 100 ,,Q
 deste a 
 110 ,,R
 e deste a 
 111 ,,S
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
106 
 
5) Obtenha equações paramétricas da reta que satisfaz as condições dadas. 
 a) A reta que passa por 
 25,
 e é paralela a 2i – 3j. 
 b) A reta que passa por 
 421 ,,
 e é paralela a 3i – 4j + k. 
 c) A reta que passa por 
 502 ,,
 e é paralela à reta 
tz,ty,tx 26421 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) Em que ponto a reta 
ty,tx  231
 intersecta: a) o eixo x b) o eixo y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
107 
 
7) Encontre as interseções da reta 
tz,ty,x  3242
 com o plano xy, o plano xz e o plano yz. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8) Determine se as retas L1 e L2 são paralelas. 
 L1: 
tz,ty,tx  6423
 
 L2: 
tz,ty,tx 272245 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
108 
 
9) a) Obtenha as equações paramétricas da reta 
5
4
3
2
1




z
yx
; 
 b) Descreva a reta da parte (a).