2- Apostila Mecânica Técnica - ESTÁTICA

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�MECÂNICA TÉCNICA - ESTÁTICA
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Centro de Excelência em Tecnologia e Manufatura
Maria Madalena Nogueira
BETIM
2005
Presidente da FIEMG
Robson Braga de Andrade
Gestor do SENAI
Petrônio Machado Zica
Diretor Regional do SENAI e Superintendente de Conhecimento e Tecnologia
Alexandre Magno Leão dos Santos
Gerente de Educação e Tecnologia
Edmar Fernando de Alcântara
Elaboração
Osanam Giordane da Costa
Unidade Operacional
Centro de Excelência em Tecnologia e Manufatura Maria Madalena Nogueira
Sumário
Apresentação	04
FORÇA	05
COMPOSIÇÃO DE FORÇAS COINCIDENTES	05
COMPOSIÇÃO DE FORÇAS CONCORRENTES	10
DECOMPOSIÇÃO DE UMA FORÇA	17
COMPOSIÇÃO DE FORÇAS COPLANARES QUAISQUER	23
BINÁRIO	29
DETERMINAÇÃO GRÁFICA DO BARICENTRO DE PERÍMETROS	29
DETERMINAÇÃO GRÁFICA DO BARICENTRO DE SUPERFÍCIES PLANAS	33
MOMENTO ESTÁTICO	36
TEOREMA DE VARIGNON	37
DETERMINAÇÃO ANALÍTICA DO BARICENTRO DE PERÍMETROS	38
DETERMINAÇÃO ANALÍTICA DO BARICENTRO DE SUPERFÍCIES PLANAS	39
COMPARAÇÃO DOS MÉTODOS GRÁFICO E ANALÍTICO	42
VÍNCULOS	43
EQUILÍBRIO DOS CORPOS	46
CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO	46
ALAVANCAS	48
REAÇÕES DE APOIO	55
DIAGRAMA CREMONIANO	66
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 	73
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Apresentação
“Muda a forma de trabalhar, agir, sentir, pensar na chamada sociedade do conhecimento. “
Peter Drucker
O ingresso na sociedade da informação exige mudanças profundas em todos os perfis profissionais, especialmente naqueles diretamente envolvidos na produção, coleta, disseminação e uso da informação.
O SENAI, maior rede privada de educação profissional do país, sabe disso, e, consciente do seu papel formativo, educa o trabalhador sob a égide do conceito da competência:” formar o profissional com responsabilidade no processo produtivo, com iniciativa na resolução de problemas, com conhecimentos técnicos aprofundados, flexibilidade e criatividade, empreendedorismo e consciência da necessidade de educação continuada.”
Vivemos numa sociedade da informação. O conhecimento, na sua área tecnológica, amplia-se e se multiplica a cada dia. Uma constante atualização se faz necessária. Para o SENAI, cuidar do seu acervo bibliográfico, da sua infovia, da conexão de suas escolas à rede mundial de informações – internet - é tão importante quanto zelar pela produção de material didático.
Isto porque, nos embates diários, instrutores e alunos, nas diversas oficinas e laboratórios do SENAI, fazem com que as informações, contidas nos materiais didáticos, tomem sentido e se concretizem em múltiplos conhecimentos.
O SENAI deseja, por meio dos diversos materiais didáticos, aguçar a sua curiosidade, responder às suas demandas de informações e construir links entre os diversos conhecimentos, tão importantes para sua formação continuada!
Gerência de Educação e Tecnologia
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ESTÁTICA
É uma das partes da mecânica que estuda as forças e as condições necessárias para o seu equilíbrio.
FORÇA
É qualquer causa capaz de produzir ou modificar o estado de repouso ou de movimento de um corpo.
As características de uma força são:
Ponto de aplicação;
Direção ou reta de ação;
Sentido;
Intensidade.
A unidade de medida da força é o quilograma (Kg).
Graficamente é representada por um segmento de reta orientado, chamado vetor.
Duas ou mais forças constituem um sistema de forças, sendo que cada uma delas é chamada componente.
No caso em que as forças têm um mesmo ponto de aplicação, ou se encontram num mesmo ponto depois de prolongadas, recebem o nome de forças concorrentes. Se agem numa mesma reta de ação são chamadas forças coincidentes.
COMPOSIÇÃO DE FORÇAS COINCIDENTES
Todo sistema de forças coincidentes pode ser substituído por uma única força, chamada resultante, que produz o mesmo efeito das componentes.
A resultante terá a mesma reta de ação das componentes, com intensidade e sentido igual à soma algébrica das componentes.
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PROBLEMAS RESOLVIDOS
1- Calcular a resultante das forças F1 = 15 Kg e F2 = 10 Kg de mesmo sentido.
R = F1 + F2 = 15 + 10 = 25 Kg
2- Calcular a resultante das forças F1 = 15 Kg e F2 = 10 Kg de sentidos contrários.
R = F1 – F2 = 15 – 10 = 5 Kg
3- Calcular a resultante das forças F1 = 5 Kg, F2 = 8 Kg e F3 = 7 Kg aplicadas no bloco da figura.
Indicando com o sinal + as forças orientadas para a direita e com sinal – as forças de sentido contrário, resulta:
F1 = + 5 Kg		F2 = - 8 Kg		F3 = + 7 Kg
A resultante será a soma algébrica dessas forças:
R = + 5 – 8 + 7 = + 4 Kg (orientada para a direita)
4- Dizer para que lado a corda irá se deslocar ao ser aplicado os pesos P1 = 8 Kg, P2 = 4 Kg e P3 = 6 Kg no sistema abaixo.
 
R = - 8 + 4 + 6 = + 2 Kg
A corda irá se deslocar para a direita, porque a resultante é positiva.
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PROBLEMAS PROPOSTOS
1- As pessoas da figura dada exercem as seguintes forças F1 = 50 Kg, F2 = 40 Kg e F3 = 70 Kg. Calcular a força total aplicada no bloco.
Resposta: R = 160 Kg
2- Dizer qual o grupo que irá ganhar a disputa do cabo de guerra da figura, se as forças que cada pessoa exerce são as seguintes:
F1 = 50Kg	F2 = 60 Kg	F3 = 35 Kg	F4 = 30 Kg	F5 = 30 Kg
Qual será o valor da resultante?
Resposta: O grupo da esquerda; R = 15 Kg
3- Dizer para que lado o bloco da figura irá se deslocar e calcular a resultante.
Resposta: Para esquerda; R = 3 Kg.
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4- Calcular a resultante do sistema cujas forças têm todas a direção norte ou sul com as seguintes intensidades e sentidos:
P1 = 500 Kg (sentido norte)
P2 = 400 Kg (sentido sul)
P3 = 200 Kg (sentido sul)
P4 = 800 Kg (sentido norte)
Resposta: 700 Kg para o norte.
5- Num bloco agem as seguintes forças: F1 = + 6 Kg F2 = - 4 Kg F3 = - 5 Kg F4 = + 1 Kg. Calcular a resultante e dizer o sentido do movimento do bloco. Adotar o sinal positivo como sendo o sentido da direita para a esquerda.
Resposta: R = - 2 Kg para a direita.
6- Um balão a gás, que consegue exercer uma força para cima de 100 Kg, está suspendendo uma carga de 40 Kg. Se for acrescentada uma sobre-carga de 75 Kg, qual será o sentido do movimento do balão e com que força se fará este movimento?
Resposta: para baixo, com uma força de 15 Kg.
7- Calcular a força F para equilibrar as forças aplicadas no bloco da figura abaixo.
Resposta: F = 30 Kg.
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COMPOSIÇÃO DE FORÇAS CONCORRENTES
Todo sistema de forças concorrentes pode ser substituído por uma única resultante que produz o mesmo efeito, se esta substituir aquelas.
A resultante pode ser determinada gráfica ou analiticamente.
I – Resultante de Duas Forças Concorrentes
Graficamente: é determinada pela diagonal do paralelogramo construído sobre as retas que representam as forças componentes. Esta é a chamada regra do paralelogramo.
Analiticamente: a intensidade e a direção da resultante podem ser calculadas pelas seguintes fórmulas:
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II – Resultante de Várias Forças Concorrentes
A resultante de um sistema coplanar de várias forças concorrentes no ponto O pode ser determinada aplicando-se sucessivamente a regra do paralelogramo.
Exemplo: determinar a resultante das forças F1, F2, F3 e F4.
R12 	( Resultante de F1 e F2
R123 	( Resultante de F3 e R12
R1234 ( Resultante de F4 e R123
R1234 ( Resultante do sistema
Observando melhor a figura construída, nota-se que o polígono 01234, chamado polígono das forças, tem lados paralelos às forças dadas. Este fato permite simplificar a construção da figura. Bastatraçar o segmento 12 paralelo a F2, segmento 23 paralelo a F3 e segmento 34 paralelo a F4.
POLÍGONO DAS FORÇAS 
Obs: A resultante do sistema não depende da seqüência em que as forças são tomadas.
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PROBLEMAS RESOLVIDOS
1- Determinar gráfica e analiticamente a intensidade e a direção da resultante das forças concorrentes F1 = 40 Kg e F2 = 60 Kg que formam um ângulo ( igual a 45º.
2- Calcular gráfica e analiticamente a intensidade e a direção da resultante das forças F1 = 60 Kg e F2 = 80 Kg, perpendiculares.
Aplicando-se o teorema de Pitágoras nos triângulos retângulos obtidos, resulta:
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3- Calcular a resultante das forças F1 = 70 Kg e F2 = 40 Kg que formam um ângulo ( igual a 130º.
sen 130º = sen 50º = 0,7660
cos 130º = - cos 50º = -0,6428
4- Determinar graficamente a resultante das forças cujos valores são: F1 = 20 Kg, F2 = 30 Kg, F3 = 25 Kg e F4 = 35 Kg.
Resposta: R = 57 Kg.
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PROBLEMAS PROPOSTOS
1- Calcular, gráfica e analiticamente, a resultante das forças F1=20 Kg e F2=30 Kg nos seguintes casos:
2- Calcular graficamente a resultante das seguintes forças F1 = 15 Kg, F2 = 25 Kg, F3 = 30 Kg, conforme figuras abaixo:
3- Calcular gráfica e analiticamente, a resultante das forças F1=30 Kg e F2=40 Kg aplicadas no bloco da figura e determinar a direção da resultante.
Resposta: R = 67,6 Kg	(1 = 17º 12’
4- A estrutura abaixo exerce no ponto A as forças H = 500 Kg e V = 300 Kg. Calcular a resultante destas forças.
Resposta: R = 583 Kg	(1 = 59º
5- Na figura abaixo está representada uma estaca articulada na base e solicitada pelas forças F1 = 200 Kg e F2 = 300 Kg. Verificar se ela permanecerá em equilíbrio. Caso contrário, para que lado tombará?
Resposta: tombará para a direita.
6- No suporte da figura cada pé resiste no máximo 100 Kg. Calcular a máxima carga P quando os pés formam o ângulo ( = 70º.
Resposta: 164 Kg
7- Sabendo-se que cada cabo da figura abaixo resiste uma carga de até 400 Kg. Calcular o máximo peso P que o conjunto pode suportar.
Resposta: 458 Kg
8- Com o mesmo cabo do problema 7, calcular o máximo peso P no caso da figura abaixo.
Resposta: 434 Kg
9- Calcular a reação de apoio R no suporte da polia da figura abaixo.
Resposta: 2,82 t.
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DECOMPOSIÇÃO DE UMA FORÇA
Sendo dada uma força R, é possível decompô-la em duas outras F1 e F2, de direções dadas. Para isto basta aplicar a regra do paralelogramo.
Exemplo: decompor a força R nas direções das retas dadas na figura abaixo.
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PROBLEMAS RESOLVIDOS
1- Decompor o peso P = 20 Kg do bloco da figura abaixo, na direção da paralela e na direção da perpendicular ao plano inclinado.
FP = P . sen 30º = 20 . 0,5 = 10 Kg
FN = P . cos 30º = 20 . 0,866 = 17,32 Kg
2- Calcular gráfica e analiticamente as forças normais às faces laterais da guia representada na figura abaixo.
Dados: carga P = 400 Kg		ângulo do canal = 100º
3- Calcular as componentes H, horizontal, e V, vertical, da força F = 3 Kg aplicada na viga conforme figura abaixo.
V = F . sen 60º = 3 . 0,866 = 2,6 Kg
H = F cos 60º = 3 . 0,5 = 1,5 Kg
4- Calcular a carga nos pés do suporte da figura abaixo, sabendo-se que P = 4 Kg e ( = 60º.
5- Calcular a tensão nos cabos que sustentam o bloco de peso P = 36 Kg conforme figura abaixo.
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PROBLEMAS PROPOSTOS
1- Decompor a força R = 45 Kg nas direções das retas dadas. Calcular graficamente os valores das forças decompostas.
2- Calcular a força H que empurra o bloco e a força V que pressiona o bloco contra a superfície, quando é aplicada a força F = 30 Kg, conforme figura.
Resposta: V = 15 Kg		H = 25,98 Kg
3- Na cunha abaixo, calcular a força V.
Resposta: V = 280 Kg
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4- Calcular o esforço nos cabos que sustentam o bloco de peso P = 50 Kg. Conforme figura abaixo.
Resposta: F1 = 43,3 Kg	F2 = 25 Kg
5- No suporte da figura abaixo, calcular a carga no tirante.
Resposta: F = 400 Kg.
6- No suporte na figura abaixo, calcular a carga na escora.
Resposta: F = 400 Kg.
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7- No sistema biela-manivela da figura abaixo, calcular a força radial e a força tangencial, sabendo-se que a biela exerce no pino uma força F = 400 Kg.
Resposta: Fr = 200 Kg		Ft = 346,4 Kg
8- No guindaste da figura abaixo, calcular graficamente o esforço nas barras.
Resposta: F1 = 3,4 t		F2 = 4,8 t.
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COMPOSIÇÃO DE FORÇAS COPLANARES QUAISQUER
No caso de forças coplanares quaisquer, a intensidade, a direção e o sentido da resultante são determinados pela construção do polígono das forças; o ponto de aplicação, chamado centro das forças, baricentro ou centro de gravidade é determinado pela construção do polígono funicular.
Exemplo: traçar o polígono funicular das forças F1, F2, F3 e F4.
Procedimento
1- Prolongar as retas de ação de todas as forças;
2- Construir o polígono das forças;
3- Por um ponto O qualquer, projetar as extremidades de todas as forças;
4- Pelo ponto A qualquer, traçar a paralela à 1ª projetante até encontrar a reta de ação de F1 no ponto B. Pelo ponto B traçar a reta paralela à 2ª projetante até encontrar F2 no ponto C. Analogamente, determinar os pontos D e E. A linha quebrada obtida chama-se polígono funicular e tem a aparência de uma corda (fune em italiano) que está sob a ação do sistema de forças dado;
5- Prolongar o primeiro e o último lado do polígono funicular até determinar o ponto T;
6- Pelo ponto T traçar a paralela à força R. Esta paralela é a reta de ação da resultante.
Observações:
Mudando-se a posição do ponto O para um outro ponto O’ qualquer, o polígono funicular terá outra configuração e será obtido um novo ponto T’, mas sempre pertencente à reta r de ação da resultante.
Mudando-se a posição do ponto A para um outro ponto A’ qualquer, o polígono funicular será paralelo ao anterior e o cruzamento determinará o ponto T”, mas sempre pertencente também à reta r de ação da resultante.
Exemplo: Traçar o polígono funicular das forças F1, F2 e F3.
Se as forças do sistema dado girarem de um certo ângulo (, cada uma em torno do seu ponto de aplicação, a resultante girará também de um mesmo ângulo (, em torno do seu ponto de aplicação.
Este fato permite determinar o ponto de aplicação da resultante. Para isso, basta traçar o polígono das forças e o polígono funicular também para o novo sistema obtido (sistema de forças auxiliar) e determinar a reta de ação da nova resultante. 
O cruzamento das retas de ação das resultantes (verdadeira e auxiliar) é o ponto de aplicação da resultante do sistema dado.
Exemplo: Determinar a resultante das forças F1, F2 e F3 do sistema da figura a seguir.
Outra observação importante e que facilita a determinação do baricentro é a seguinte:
Entre os infinitos pontos do plano existe um ponto O* que fornecerá um feixe de projetantes exatamente igual ao anterior, projetado por O, diferenciando apenas no fato de estar girado de um mesmo ângulo (. O polígono auxiliar terá, então, todos os lados girados de (O em relação aos correspondentes lados do polígono funicular primitivo.
Logo, é desnecessário desenhar o novo sistema de forças auxiliar, bastando apenas traçar todas as retas de ação do novo sistema de forças e o respectivo polígono funicular.
Exemplo: Determinar a resultante das forças F1, F2 e F3.
Observação: O ângulo ( pode ser qualquer, no entanto, comumente usa-se 30º, 60º e 90º.
Exemplos:
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Binário
Chama-se binário um sistema de duas forças paralelas de sentidos contrários, possuindo ambas intensidades iguais. Por meio do polígono funicular nota-se que este sistema não admite resultante como nos casos anteriores.Um binário aplicado a um sólido qualquer faz girá-lo em torno de um eixo perpendicular ao plano das forças.
DETERMINAÇÃO GRÁFICA DO BARICENTRO DE PERÍMETROS
O baricentro de perímetros pode ser determinado com auxílio do polígono funicular. Para isso, basta decompor a figura em várias outras, mais simples, cujos baricentros são conhecidos. Em cada um desses baricentros são aplicadas forças de intensidade proporcional ao perímetro dessas figuras simples. Obtém-se assim, um sistema de forças paralelas cuja resultante é facilmente determinada, como já foi visto anteriormente.
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PROBLEMAS RESOLVIDOS
1- Achar o baricentro do perímetro da figura abaixo.
	N.º
	Forças
	1
	2 x 100 + 2 x 60 = 320
	2
	4 x 30 = 120
As forças podem ser representadas em escala diferente da escala do desenho.
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2- Achar o baricentro do perímetro da figura abaixo.
	N.º
	Forças
	1
	4 x 50 = 200
	2
	2 x 30 = 60*
	3
	
* O segmento AB não faz parte do perímetro e foi considerado 2 vezes. Por isso aplicou-se a força F2 voltada para cima e duplicada.
3- Achar o baricentro do perímetro da figura abaixo.
	N.º
	Forças
	Baricentro das figs. elementares
	1
	
	meio do segmento
	2
	70
	meio do segmento
	3
	
	OG = 0,636 x 25 = 15,9
PROBLEMAS PROPOSTOS
Achar o baricentro do perímetro das seguintes figuras.
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DETERMINAÇÃO GRÁFICA DO BARICENTRO DE SUPERFÍCIES PLANAS
A determinação do baricentro de superfícies é análoga ao caso de perímetros, diferindo apenas no fato das forças serem proporcionais às áreas e não aos perímetros.
PROBLEMAS RESOLVIDOS
1- Achar o baricentro da superfície da figura abaixo.
	N.º
	Forças
	1
	80 x 50 = 400
	2
	60 x 45 = 2700
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2- Achar o baricentro da superfície da figura abaixo.
	N.º
	Forças
	1
	3,14 x 302 / 2= 1413
	2
	80 x 90 = 7200
	3
	60 x 30 = 1800*
* F3 está voltada para cima.
OG = 0,4244 . 30 = 12,7
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PROBLEMAS PROPOSTOS
Achar o baricentro da superfície das seguintes figuras:
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MOMENTO ESTÁTICO
Denomina-se momento estático MO da força F em relação ao ponto O, ao produto da força F pela mínima distância d entre a força e o ponto O. É medido em Kg . cm.
Exemplo:
MO = F. d
No caso da manivela, o momento é o produto da força F pelo raio r. Será positivo se a manivela girar no sentido anti-horário e negativo no sentido horário.
Exemplo:
Calcular o momento da força F em relação ao ponto O, nos seguintes casos:
 MO = 8 . 5 = 40 Kg . cm				MO = 10 . 7 = 70 Kg . cm
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TEOREMA DE VARIGNON
O momento da resultante de um sistema de forças em relação a um ponto O, é igual à soma algébrica dos momentos das componentes, em relação ao mesmo ponto.
Conseqüência:
Esta última fórmula sugere um novo método para a determinação do baricentro de um sistema de forças paralelas coplanares.
Exemplo:
Achar o baricentro do sistema de forças F1, F2 e F3.
Girando o sistema de forças até ficar paralelo ao eixo X, resulta:
Fazendo o mesmo em relação a Y, resulta:
Os eixos X e Y são arbitrários.
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DETERMINAÇÃO ANALÍTICA DO BARICENTRO DE PERÍMETROS
	N.º
	Fi
	Xi
	XiFi
	Yi
	YiFi
	1
	2 (6 + 4) + 2 (4 + 2) = 32
	6
	192
	8
	256
	2
	-2 (5 – 2) = -6
	8
	-48
	6,5
	-39
	3
	( . 3 = 9,4
	10
	94
	5,5
	51,7
	4
	2 (8 + 5) = 26
	12
	312
	5,5
	143
	5
	-3
	14,5
	-43,5
	8
	-24
	6
	
	14,5
	72,5
	11
	55
	7
	4
	16
	64
	11
	44
	( Fi = 67,4
	( Xi Fi = 643
	( Yi Fi = 486,7
	
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DETERMINAÇÃO ANALÍTICA DO BARICENTRO DE SUPERFÍCIES PLANAS
	N.º
	Fi
	Xi
	XiFi
	Yi
	YiFi
	1
	6 X 4 - 4 X 2 = 16
	-2
	-32
	5
	80
	2
	( X 32 / 4 = -7
	2
	-14
	2,5
	-17,5
	3
	8 X 5 = 40
	4
	160
	2,5
	100
	4
	4 X 3 / 2 = 6
	7
	42
	6,3
	37,8
	( Fi = 5,5
	( Xi Fi = 156
	( Yi Fi = 200,3
	
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PROBLEMAS PROPOSTOS
Determinar analiticamente o baricentro das figuras a seguir.
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COMPARAÇÃO DOS MÉTODOS GRÁFICO E ANALÍTICO
	N.º
	Fi
	Xi
	XiFi
	Yi
	YiFi
	1
	
	5,0
	42,0
	4,5
	37,8
	2
	4 X 4 / 2 = 8
	6,2
	49,5
	3,3
	26,4
	6
	4,5 X 2 = 9,0
	9,8
	88,2
	3,0
	27,0
	( Fi = 25,4
	( XiFi =179,7
	( Yi Fi = 91,2
	
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VÍNCULOS
Um corpo qualquer, situado numa superfície plana, possui três liberdades de movimento:
Deslocamento vertical;
Deslocamento horizontal;
Rotação.
Vincular este corpo significa impedir uma ou todas as possibilidades de movimento.
Logo, existem três tipos de vínculos:
1- Vínculo simples (apoio simples, tirante): impede o deslocamento numa determinada direção.
2- Vínculo duplo (apoio fixo, articulação): impede qualquer deslocamento, mas permite a rotação.
3- Vínculo triplo (engastamento): impede qualquer possibilidade de movimento.
Os vínculos, impedindo determinados movimentos, se opõem às forças externas aplicadas no corpo e, pelo 3º princípio da Dinâmica, originam reações iguais e contrárias às forças que sobre eles atuam.
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O apoio simples reage com uma força R perpendicular ao vínculo.
A articulação reage com uma força R que passa pelo centro e cuja direção depende das forças externas.
O engastamento reage com uma força R e um momento M.
Para que um corpo fique em equilíbrio sob a ação de um sistema de forças é necessário que sejam eliminadas as possibilidades de movimento, o que poderá ser obtido por meio de vínculos.
Os corpos que apresentam os vínculos necessários e suficientes para o seu equilíbrio, são chamados isostáticos.
Se possuem um número insuficiente de vínculos, são ditos hipostáticos.
No caso em que o número de vínculos é superior ao necessário, são ditos hiperestáticos.
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EQUILÍBRIO DOS CORPOS
Quando o sistema de forças aplicadas num corpo se reduzir a uma única força resultante, o corpo deslocar-se-á em movimento retilíneo, segundo a direção dessa resultante.
Quando o sistema se reduzir a um binário, o corpo sofrerá uma rotação.
Para o corpo permanecer em equilíbrio é necessário que ele não tenha nenhum desses movimentos, determinando assim duas condições de equilíbrio: a resultante e o movimento em relação a qualquer ponto devem se anular.
CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO
No caso em que o sistema é coplanar, o problema pode ser resolvido decompondo-se as forças em duas direções X e Y perpendiculares obtendo-se dessa maneira 3 condições de equilíbrio.
Convenções
Momento		Mi
Forças verticais	Vi	
Forças horizontais	Hi	
1ª condição: impede a rotação
Para que um corpo não entre em rotação é necessário que a soma algébrica dos momentos de todas as forças, em relação a um ponto qualquer, seja nula (em relação ao ponto O, por exemplo).
 ( Mi = 0		(
H1 Y1 + V1 X1 – H2 Y2 + V2 X2 + H3 Y3 – V3 X3 = 0
2ª condição: impede deslocamento vertical
Para que um corpo não seja deslocado verticalmente é necessário que a soma algébrica de todas as forças verticais seja nula.
		 ( Vi = 0 	(	V1 + V2 – V3 = 0
3ª condição: impede deslocamento horizontal
Para que um corpo não seja deslocado horizontalmente é necessário que a soma algébrica de todas as forças horizontais seja nula.
 ( Hi = 0	( -H1 + H2 – H3 = 0
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ALAVANCAS
Alavanca é uma barra rígida, reta ou curva, móvel em torno de um eixo denominado de ponto apoio.
Para resolver problemas sobre alavanca, aplica-se as condições de equilíbrio.
Onde:
F = força
Q = carga
R = reação de apoio
a, b = braços da alavanca
Tipos de alavancas:
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PROBLEMAS RESOLVIDOS
1- Calcular a reação de apoio R e a força F paralevantar a carga Q com auxílio da alavanca da figura abaixo.
Aplicando condições de equilíbrio, resulta:
1ª condição:	 ( Mi = 0 em relação ao ponto de apoio
 EMBED Equation.3 ��
2ª condição:		( Vi = 0	
-125 + R – 500 = 0 ( R = 500 + 125 = 625 Kg
2- Determinar a posição do cursor para que a balança romana da figura equilibre um peso de 2 Kg, sabendo-se que o contra-peso tem 0,5 Kg.
( Mi = 0	
0,5X – 2 . 5 = 0	(	0,5X = 2 . 5	(	X = 10 / 0,5	(	X = 20 cm
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3- Calcular a força F necessária para equilibrar a alavanca da figura abaixo.
( Mi = 0	
100 . 21 – F . 35 = 0 ( 100 . 21 = F . 35 ( F = 2100 / 35 ( F = 60 Kg
4- Na alavanca da figura abaixo, calcular a força F capaz de suspender o peso Q.
( Mi = 0	
F . 54 – 270 . 20 = 0 ( F . 54 = 270 . 20 ( F = 5400 / 54 ( F = 100 Kg
5- Calcular a reação de apoio e a força F para equilibrar a alavanca da figura abaixo.
1ª condição: ( Mi = 0 em relação ao ponto O.
600 . 40 + 500 . 20 – F . 50 – 100 . 30 = 0
24000 + 10000 – 50F – 3000 = 0
34000 – 50F – 3000 = 0
31000 – 50F = 0
50F = 31000
F = 31000 / 50
F = 620 Kg
2ª condição:	 ( Vi = 0	
-600 + V – 620 = 0
V = 600 + 620
V = 1220 Kg
3ª condição:	 ( Hi = 0	
-500 + H – 100 = 0
H = 500 + 100
H = 600 Kg
Reação de apoio R:
�
PROBLEMAS PROPOSTOS
1- Na tesoura mecânica da figura abaixo, foi necessário uma força F = 50 Kg para cortar o ferro redondo. Calcular a resistência oferecida pelo ferro.
Dados:
		a = 20 cm		b = 130cm
Resposta: 375 Kg
2- Calcular a força F necessária para suspender o carrinho de mão da figura abaixo.
Resposta: 18,75 Kg
3- Para freiar o eixo da figura abaixo foi necessário uma força FN = 40 Kg. Calcular a força F.
Resposta: 12 Kg
4- Se disponho de uma força F = 10 Kg, calcular o novo comprimento L que deverá ter o braço do freio de sapata do problema 3.
Resposta: L = 120 cm
5- O motor da figura abaixo pesa 30 Kg. Calcular a força exercida pelo esticador quando a correia tende a levantar o motor com uma força de 10 Kg.
Resposta: 9 Kg
6- Para comprimir o bloco com auxílio da prensa hidráulica da figura abaixo foi calculado que seria necessário uma força F = 54 Kg no pistão menor. Um operador consegue em trabalho normal, exercer uma força F = 18 Kg. Calcular o comprimento L da alavanca sabendo-se que a = 10 cm.
Resposta: L = 30 cm
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7- Tendo com base os dados referente a um operador que consegue exercer uma força F = 10 Kg, calcular a força F máxima conseguida pelo operador, na alavanca de comando da figura.
Resposta: 100 Kg.
8- Calcular o máximo peso P que pode ser levantado por um operador, com auxílio das roldanas da figura a seguir, sabendo que um operador consegue exercer uma força F = 12 Kg.
9- Considerando que um operador consegue uma força F = 10 Kg, calcular o máximo peso P que pode ser levantado pelo operador, com auxílio do sarilho da figura a seguir.
10- Com relação ao problema anterior, calcular o diâmetro do sarilho para uma carga máxima P = 50 Kg.
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REAÇÕES DE APOIO
A determinação das reações de apoio de um corpo é feita aplicando-se as três condições de equilíbrio.
O problema pode ser resolvido analítica ou graficamente.
PROBLEMAS RESOLVIDOS
1- Calcular as reações de apoio R1 e R2 dos mancais do eixo da figura a seguir.
Procedimento analítico:
1ª condição:	 ( Mi = 0
Convém calcular os momentos em relação ao ponto onde houve maior número de forças incógnitas. Neste exemplo são os pontos 1 e 2. Escolhendo o ponto 1 e o sentido anti-horário como positivo, resulta:
-100 . 20 – 150 . 30 – 200 . 50 + R2 . 60 = 0
Esta equação fornece o valor de R2.
2ª condição: ( Vi = 0		
Convencionando como forças positivas as forças voltadas para cima, resulta:
R1 – 100 – 150 – 200 + 275 = 0
Esta equação fornece o valor de R1.
R1 = 100 + 150 + 200 – 275 = 175 Kg
3ª condição: ( Hi = 0		
Esta condição não se aplica neste problema devido a inexistência de forças horizontais.
Procedimento gráfico:
Neste processo as reações de apoio são determinadas com auxílio do polígono funicular.
2-Calcular analiticamente a força F e as reações de apoio quando Q = 30 Kg.
Este problema deve ser resolvido aplicando-se as condições de equilíbrio em duas etapas: uma em perfil e outra em elevação.
I- Sarilho em perfil:	( Mi = 0	
30 . 10 – F . 20 = 0
F = 300 / 20 = 15 Kg
II- Sarilho em elevação:	
( Mi = 0
R2 . 60 – 15 . 50 – 30 . 25 = 0
R2 . 60 – 750 – 750 = 0
R2 . 60 – 1500 = 0
R2 = 1500 / 60
R2 = 25 Kg
( Vi = 0	
R1 – 30 – 15 + 25 = 0
R1 = 30 + 15 - 25 = 20 Kg
3- Calcular as reações de apoio da viga da figura a seguir.
V1 = 200 sen 60º = 173,2 Kg		V2 = 300 sen 45º = 212,1 Kg
H1 = 200 cos 60º = 100 Kg			H2 = 300 cos 45º = 212,1 Kg
( Mi = 0 -173,2 . 1,5 – 212,1 . 4,5 + R2 . 6 = 0
				-259,8 – 954,45 + 6R2 = 0
				-1214,25 + 6R2 = 0
				6R2 = 1214,25 ( R2 = 1214,25 / 6 ( R2 = 202,3 Kg
( Vi = 0		R1V – 173,2 – 212,1 + 202,375 = 0
				R1V = 173,2 + 212,1 – 202,375 = 183 Kg
( Hi = 0		R1H – 100 – 212,1 = 0
				R1H = 212,1 + 100 = 312,1 Kg
R2 é perpendicular ao apoio por isso é conhecida a sua reta de ação.
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4- Calcular graficamente as reações de apoio da viga inclinada da figura a seguir.
R2 é perpendicular ao apoio.
5- Calcular graficamente as reações de apoio da viga inclinada da figura a seguir.
R2 é perpendicular ao apoio.
6- Calcular gráfica e analiticamente as reações de apoio do guindaste de parede da figura abaixo.
Procedimento analítico:
( Mi = 0
-4 . 3 + R1 . 2 = 0 ( R1 = 12 / 2 = 6t
( Vi = 0
R2V – 4 = 0 ( R2V = 4t
( Hi = 0
R2H – 6 = 0 ( R2H = 6t
Procedimento gráfico:
As retas de ação de todas as forças convergem para o ponto O.
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7- Calcular analítica e graficamente as reações de apoio de uma barra cujo carregamento é distribuído triangularmente, dados: carga em A = 0, carga em B = 300 Kg, vão L = 6 m.
Processo analítico:
Cálculo da resultante:
A resultante está no baricentro do triângulo.
Logo:
( Mi=0 ponto A a=2 m b=4 m
R2 . 6 – 900 . 4 = 0
R2 = 3600 / 6 = 600 Kg
( Vi = 0	
R1 – 900 + 600 = 0
R1 = 300 Kg
Processo gráfico:
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8- A tesoura da figura a seguir está sujeita à ação do vento da esquerda com intensidade VE = 500 Kg. Calcular graficamente as reações de apoio.
Dado: vão L = 7 m.
As forças convergem para o ponto O.
R1 perpendicular ao apoio.
9- Calcular graficamente as reações de apoio da marquise da figura abaixo, sujeita à ação do vento VE = 400 Kg, dado: lance L = 6 m.
As forças convergem para o ponto O.
R1 perpendicular ao apoio.
�
PROBLEMAS PROPOSTOS
1- Calcular as reações de apoio (gráfica e analiticamente), das figuras a seguir.
2- Calcular gráfica e analiticamente as reações de apoio do guindaste da figura a seguir.
P = 3t
3- Calcular graficamente as reações de apoio da tesoura da figura abaixo.
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DIAGRAMA CREMONIANO
O diagrama cremoniano permite determinar o esforço e o tipo de solicitação em cada barra de uma estrutura.
Para traçar o diagrama procede-se da seguinte maneira:
Desenhar a estrutura em escala;
Calcular as reações de apoio;
Numerar as regiões do sistema, limitadas por barras e forças (as barras e forças são denominadas pelos 2 números das regiões contíguas,exemplo: barra 0-6, força 0-1);
Estabelecer o sentido da leitura dos elementos em cada nó. Exemplo: sentido horário;
Escolher uma escala para as forças (ação e reação);
Traçar o diagrama de Cremona transportando paralelamente as forças agindo em cada nó e estudar um nó de cada vez com apenas 2 incógnitas (o comprimento dos segmentos obtidos é o esforço em cada barra);
Comparando o sentido de leitura das forças com o esquema da estrutura, considerar:
Forças entrando para o nó: compressão (traço grosso)
Forças saindo do nó: tração (traço fino)
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�
Observações:
Traçar o diagrama cremoniano consiste em equilibrar seguidamente cada nó da estrutura.
Para isto, basta fazer com que as forças que neles atuam formem um polígono fechado.
Fazem parte destas forças as cargas (P) sobre a estrutura, as reações (R) de apoio e os esforços em cada barra, os quais têm por reta de ação os próprios eixos das barras.
Assim, para equilibrar o nó A da estrutura da página anterior, procede-se da seguinte maneira:
O polígono das forças que atuam no nó A está de fato fechado, logo, A está em equilíbrio.
Repetindo este processo para cada nó, tem-se:
O diagrama cremoniano anterior é o agrupamento destas figuras numa só.
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PROBLEMAS RESOLVIDOS
1- Na tesoura metálica da figura a seguir, determinar as reações de apoio, o esforço e a solicitação em cada barra.
Reações de Apoio e Esforços nas Barras
	Regiões
	0
	1
	2
	3
	4
	5
	0
	
	
	
	262,5
	-170
	
	1
	
	
	
	
	-100
	
	2
	
	
	
	237,5
	
	-480
	3
	262,5
	
	237,5
	
	
	+410
	4
	-170
	-100
	
	
	
	-350
	5
	
	
	-480
	+410
	-350
	
- compressão		+ tração
�
2- Indicar as barras mais solicitadas do guindaste da figura a seguir. Dado: P = 3 t
As barras comprimidas mais solicitadas são (1-10), e (1-12) com 9,3 t.
As barras tracionadas mais solicitadas são (0-9), (0-11) e (0-12) com 7,4 t.
As barras (3-4), (4-5), (7-8), (9-10), (10-11) e (11-12) não sofrem solicitação, apenas servem para diminuir o comprimento livre das barras mais solicitadas.
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3- Na tesoura “Polenceau” da figura, indicar a barra mais solicitada, quando sujeita à ação do vento da direita com intensidade Vd =300 Kg. Dados: vão L=7 m, ângulo da empena ( = 30º.
(4-9) é a barra mais solicitada à tração com 910 Kg.
(2-9) e (1-8) são as barras mais solicitadas à compressão com 775 Kg cada.
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PROBLEMAS PROPOSTOS
1- Construir o diagrama cremoniano e determinar o esforço de cada barra da marquise da figura, sendo dados:
P = 500 Kg	Lance = 3 m
Fórmulas:
	 
	 
		 
			
2- Construir o diagrama cremoniano da tesoura da figura a seguir.
�
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Livros
SOUZA, Hiran Rodrigues de – Estática, 1982
MECÂNICA
TÉCNICA
ESTÁTICA
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 Curso Técnico
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