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ESTATICA-DOS-PONTOS-MATERIAIS- 02

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MECÂNICA GERAL 
PARA 
ENGENHEIROS 
Profª: Acilayne Freitas de Aquino 
Capítulo 2 
Forças no Plano sobre uma partícula 
C
A
P
Í
T
U
L
O
 
2
 
Vetores– são entes matemáticos que possuem 
intensidade, direção e sentido. 
 
 
 
Vetores Iguais 
 São vetores de mesma intensidade, direção e 
sentido, quer tenham ou não o mesmo ponto de 
aplicação. Podem ser identificados pela mesma letra 
Profª: Acilayne Freitas 
 Noções de Vetores 
P 
P 
Forças no Plano sobre uma partícula 
C
A
P
Í
T
U
L
O
 
2
 
Vetor Oposto 
 É definido como sendo um vetor que tem a 
mesma intensidade, direção e sentido 
oposto ao de P 
 P= -P 
Profª: Acilayne Freitas 
 Noções de Vetores 
P 
-P 
Forças no Plano sobre uma partícula 
C
A
P
Í
T
U
L
O
 
2
 
Adição de Vetores 
 
Profª: Acilayne Freitas 
 Noções de Vetores 
Forças no Plano sobre uma partícula 
C
A
P
Í
T
U
L
O
 
2
 
Subtração de Vetores 
 
Profª: Acilayne Freitas 
 Noções de Vetores 
Forças no Plano sobre uma partícula 
C
A
P
Í
T
U
L
O
 
2
 
Adição de três ou mais vetores 
 Regra do triângulo 
 
Profª: Acilayne Freitas 
 Noções de Vetores 
Forças no Plano sobre uma partícula 
C
A
P
Í
T
U
L
O
 
2
 
Produto de um escalar por um Vetor 
 
 
Profª: Acilayne Freitas 
 Noções de Vetores 
– Produto de um escalar k (positivo ou negativo) por 
um vetor P =kP 
– Tem a mesma direção; 
– Tem o mesmo sentido, se k for positivo; 
– Tem sentido oposto se k for negativo; 
– A intensidade é igual ao produto da intensidade de P 
pelo valor k 
-2P 
P 
1,5P 
Forças no Plano sobre uma partícula 
C
A
P
Í
T
U
L
O
 
2
 
Resultante de duas forças sobre uma partícula 
 
 
Geometricamente a resultante de duas forças sobre 
uma partícula, assim como visto desde o ensino 
médio, poderá ser determinada a partir dos métodos 
do paralelogramo e do polígono. 
Profª: Acilayne Freitas 
Forças no Plano sobre uma partícula 
C
A
P
Í
T
U
L
O
 
2
 
Determinação do módulo da Resultante de duas 
forças sobre uma partícula 
A partir dos métodos anteriormente 
apresentados, podemos determinar o 
módulo da força resultante através das 
Leis do Senos e dos Cossenos. 
Profª: Acilayne Freitas 
Forças no Plano sobre uma partícula 
C
A
P
Í
T
U
L
O
 
2
 
Determinação do módulo da Resultante de duas 
forças sobre uma partícula 
Lei dos Senos 
senA
a
senB
b
senBasenAbh
senC
c
senB
b
senBcsenCbh
2
1
De I e II concluímos: 
senC
c
senA
a
senB
b
Forças no Plano sobre uma partícula 
C
A
P
Í
T
U
L
O
 
2
 
Lei dos Cossenos 
AcbbAAsenca
AcAcbbAsenca
AcbsenAcaHAbha
cos2)cos(
coscos2
)cos()()(
22222
222222
222222
Concluímos: 
Acbbca cos2222
Forças no Plano sobre uma partícula 
C
A
P
Í
T
U
L
O
 
2
 
Exercício resolvido 01 
Determine o módulo da força resultante e sua direção 
medida no sentido horário a partir do eixo x positivo. 
 
OBS: Nos casos de triângulos de força o módulo da 
força resultante pode ser determinado pela Lei dos 
cossenos e a direção pela Lei dos senos. 
y 
x 
30º 
10KN 
4KN 
Profª: Acilayne Freitas 
Forças no Plano sobre uma partícula 
C
A
P
Í
T
U
L
O
 
2
 
Solução: 
 
Profª: Acilayne Freitas 
Forças no Plano sobre uma partícula 
C
A
P
Í
T
U
L
O
 
2
 
Profª: Acilayne Freitas 
Exercício resolvido 02 
 
Determine os módulos das componentes da força de 
600N nas direções das barras AC e AB da treliça abaixo 
 
Forças no Plano sobre uma partícula 
C
A
P
Í
T
U
L
O
 
2
 
Profª: Acilayne Freitas 
Exercício resolvido 03 
 
A viga da figura é suspensa por meio de dois cabos. Se a força 
resultante é de 600N, direcionada ao longo do eixo y positivo, 
determine FA e FB e a direção θ de modo que FB seja 
mínimo. A força de módulo FA atua a um ângulo de 30º com o 
eixo y, conforme ilustração. 
 
Forças no Plano sobre uma partícula 
C
A
P
Í
T
U
L
O
 
2
 
Profª: Acilayne Freitas 
Solução 
 
Para que FB seja mínima a componente deverá ser 
perpendicular a força FA (conforme a ilustração). Logo, θ=60º. 
Assim, os valores de FA e FB são facilmente encontrados pela 
lei dos senos 
 
Resposta: FA=520N; FB= 300N 
Forças no Plano sobre uma partícula 
C
A
P
Í
T
U
L
O
 
2
 
Profª: Acilayne Freitas 
Exercício resolvido 04 
 
Uma barcaça é puxada por 2 rebocadores. Se a resultante das 
forças exercidas pelos rebocadores é de 5kN e tem a direção do 
eixo da barcaça, determine: 
a) a tração em cada corda, sabendo-se que α=45º 
b) o valor de α para que a tração na corda 2 seja mínima 
Forças no Plano sobre uma partícula 
C
A
P
Í
T
U
L
O
 
2
 
Profª: Acilayne Freitas 
Solução: 
Alternativa a: 
 
5kN 
5kN 
KNT
KNT
sen
KN
sen
T
sen
T
59,2
66,3
105
5
3045
2
1
00
2
0
1
Forças no Plano sobre uma partícula 
C
A
P
Í
T
U
L
O
 
2
 
Profª: Acilayne Freitas 
Solução: 
Alternativa b: 
 
5kN 
Para que T2 seja mínimo, T1 e T2 devem ser ortogonais, 
isto é, devem formar um ângulo de 90º. 
 
Sen30º = T2 / 5  T2 = 5 sen30º T2 = 2,5 kN 
Cos30º = T1 / 5 T1 = 5 cos30º T1 = 4,33 kN 
α = 90º – 30º = 60º 
2 
1 
1 
2 2 
2 
2 
2 
2 
2 
2 
5kN 
Forças no Plano sobre uma partícula 
C
A
P
Í
T
U
L
O
 
2
 
Profª: Acilayne Freitas 
Exercício proposto 01 
 
Determine trigonometricamente a intensidade e direção da 
força P de tal modo que a resultante de P e da força de 900N 
seja vertical de 2700N dirigida para baixo. 
 
Resposta: P=2990N; ângulo=17,24º 
Forças no Plano sobre uma partícula 
C
A
P
Í
T
U
L
O
 
2
 
Profª: Acilayne Freitas 
Resposta: R=92,7N 
 
Exercício proposto 02 
 
As forças P e Q agem sobre um parafuso A. Determinar a sua 
resultante. 
Forças no Plano sobre uma partícula 
C
A
P
Í
T
U
L
O
 
2
 
Profª: Acilayne Freitas 
Exercício proposto 03 
 
Duas peças estruturais B e C são rebitadas ao suporte A. 
Sabendo-se que a tração na peça B é de 6KN e que a tração na 
peça C é de 10KN, determine graficamente a intensidade, a 
direção e o sentido da força resultante exercida sobre o 
suporte. 
 
Resposta: FR=14,3KN; ângulo=20,10º 
Forças no Plano sobre uma partícula 
C
A
P
Í
T
U
L
O
 
2
 
Profª: Acilayne Freitas 
Exercício proposto 04 
 
Uma estaca é arrancada do solo com o auxílio de duas cordas, 
como na figura abaixo. 
a) Com α=30º e utilizando a trigonometria, determine o módulo 
da força P necessária para que a resultante na estaca seja 
vertical. 
b) Qual o módulo da resultante? 
Resposta: P=101,43N; Fr=196,6N 
Forças no Plano sobre uma partícula 
C
A
P
Í
T
U
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2
 
Profª: Acilayne Freitas 
 
Na seção anterior, estudamos a determinação do módulo 
da força resultante pelo método do paralelogramo e o 
método do polígono. Estes métodos são pouco eficientes 
em casos que envolvem maisde duas forças. 
Nestes casos, determinaremos a força resultante a partir 
da soma das componentes ortogonais. Para entendermos 
como funciona esta soma vetorial, devemos rever o 
processo de decomposição 
 
 
 
Resultante de forças pela soma das 
componentes ortogonais 
 
 
Forças no Plano sobre uma partícula 
C
A
P
Í
T
U
L
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2
 
Profª: Acilayne Freitas 
Abaixo está ilustrado um vetor de módulo F com um ângulo θ 
em relação ao eixo horizontal x e suas componentes ortogonais 
obtidas por relações trigonométricas. 
 
 
 
Resultante de forças pela soma das 
componentes ortogonais 
 
 
Forças no Plano sobre uma partícula 
C
A
P
Í
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2
 
Profª: Acilayne Freitas 
 
 
 
Resultante de duas forças pela soma das 
componentes ortogonais 
 
 
Na figura abaixo demonstra a soma de três vetores e a sua 
resultante obtida a partir da soma das componentes 
ortogonais. 
 
Forças no Plano sobre uma partícula 
C
A
P
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2
 
Profª: Acilayne Freitas 
 
 
 
Resultante de forças pela soma das 
componentes ortogonais 
 
 
Fy j 
Fx i 
Forças no Plano sobre uma partícula 
C
A
P
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2
 
Profª: Acilayne Freitas 
 
 
 
Resultante de forças pela soma das 
componentes ortogonais 
 
 
Exercício resolvido 01: 
Uma força de 800 N é exercida sobre um parafuso A. Determine 
as componentes horizontal e vertical da força F. 
Forças no Plano sobre uma partícula 
C
A
P
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2
 
Profª: Acilayne Freitas 
 
 
 
Resultante de forças pela soma das 
componentes ortogonais 
 
 
Solução: 
Fx = - F cosα = - 800.cos35º 
Fx = - 655 N 
Fy = + F senα = - 800.sen35º 
Fy = + 459 N 
 
Componentes vetoriais de F: 
Fx = - (655 N)i 
Fx = + (459 N)j 
F = - (655 N)i + (459 N)j 
Forças no Plano sobre uma partícula 
C
A
P
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T
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2
 
Profª: Acilayne Freitas 
 
 
 
Resultante de forças pela soma das 
componentes ortogonais 
 
 
Exercício resolvido 02: 
Determine o módulo da força resultante e sua direção medida 
no sentido horário a partir do eixo x positivo. 
Forças no Plano sobre uma partícula 
C
A
P
Í
T
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2
 
Profª: Acilayne Freitas 
 
 
 
Resultante de forças pela soma das 
componentes ortogonais 
 
 
Solução: 
Forças no Plano sobre uma partícula 
C
A
P
Í
T
U
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2
 
Profª: Acilayne Freitas 
 
 
 
Resultante de forças pela soma das 
componentes ortogonais 
 
 
Exercício resolvido 03: 
Quatro forças atuam no parafuso A. Determine a resultante das 
forças que agem no parafuso. 
Forças no Plano sobre uma partícula 
C
A
P
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T
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2
 
Profª: Acilayne Freitas 
 
 
 
Resultante de forças pela soma das 
componentes ortogonais 
 
 
Solução: 
Forças no Plano sobre uma partícula 
C
A
P
Í
T
U
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O
 
2
 
Profª: Acilayne Freitas 
 
 
 
Resultante de forças pela soma das 
componentes ortogonais 
 
 
Exercício proposto 01 
Um homem puxa, com uma força de 300 N, uma corda fixada 
a uma construção. Quais as componentes horizontal e vertical 
da força exercida pela corda no ponto A? 
Resposta: a=36,87º Fx = (240N)i ; Fy =(-180N)j 
Forças no Plano sobre uma partícula 
C
A
P
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2
 
Profª: Acilayne Freitas 
 
 
 
Resultante de forças pela soma das 
componentes ortogonais 
 
 
Exercício proposto 02 
A força F=(3,5kN)i + (7,5kN)j é aplicada a um parafuso A. 
Determine a intensidade da força e o ângulo que ela forma 
com a horizontal. 
F
y
 =
 7
,5
 k
N
 
Fy = 3,5 kN 
Resposta: =35º F = 8,28kN 
Forças no Plano sobre uma partícula 
C
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2
 
Profª: Acilayne Freitas 
 
 
 
Resultante de forças pela soma das 
componentes ortogonais 
 
 
Exercício proposto 03 
Uma força de 2,5 kN está aplicada a um cabo ligado a um 
suporte. Quais as componentes horizontal e vertical desta 
força? 
Resposta: Fx = (-2,35KN)i ; Fy =(0,855KN)j 
Forças no Plano sobre uma partícula 
C
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P
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2
 
Profª: Acilayne Freitas 
 
 
 
Resultante de duas forças pela soma das 
componentes ortogonais 
 
 
Exercício proposto 04 
Resposta: Fx = (250N)i ; Fy =(-600N)j 
A tração no cabo de sustentação AB é 650N. Determine as 
componentes horizontal e vertical da força atuante no pino A. 
Resposta: +250N, - 600N 
Forças no Plano sobre uma partícula 
C
A
P
Í
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2
 
 
 
 
Equilíbrio de uma partícula no plano 
 
 
Profª: Acilayne Freitas 
Forças no Plano sobre uma partícula 
C
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P
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2
 
 
 
 
Diagrama de corpo Livre 
 
Profª: Acilayne Freitas 
Forças no Plano sobre uma partícula 
C
A
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U
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2
 
 
 
 
Profª: Acilayne Freitas 
Tem-se um caixote de 75kg que estava em 2 prédios e está agora 
sendo colocado sobre um caminhão. O caixote é suportado por um 
cabo vertical, unido no ponto A a duas cordas que passam por 
roldanas fixadas nos prédios em B e C. Deseja-se determinar a 
tração nas 2 cordas AB e AC 
Exercício resolvido 01 
Diagrama de corpo livre 
Forças no Plano sobre uma partícula 
C
A
P
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2
 
 
 
 
Exercício resolvido 01 
Condição de equilíbrio do ponto A 
 
Σ F = 0 
0
0
y
x
F
F
CACAAC
BABAAB
CACAAC
BABAAB
TsenTTy
TsenTTy
TTTx
TTTx
50,0º30.
766,0º50.
866,0º30cos.
643,0º50cos.
NT
NT
TTTTF
TTTTF
AB
AC
ACACACABy
ACBAACABx
53,648
39,480
073650,0)35,1(766,0073650,0766,00
35,10866,0643,00
Forças no Plano sobre uma partícula 
C
A
P
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2
 
 
 
 
Exercício resolvido 02 
Determine os módulos F1 e F2 de modo que a partícula da 
figura fique em equilíbrio. 
0
0
y
x
F
F
Condição de equilíbrio do ponto 
 Σ F = 0 
Forças no Plano sobre uma partícula 
C
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2
 
 
 
 
Exercício proposto 01 
Forças no Plano sobre uma partícula 
C
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P
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2
 
 
 
 
Exercício proposto 02 
Forças no espaço sobre uma partícula 
C
A
P
Í
T
U
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O
 
2
 
Forças no espaço sobre uma partícula 
C
A
P
Í
T
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2
 
Exercício proposto 01 
Uma força de 500N forma ângulos de 60º, 45º e 120º, 
respectivamente com os eixos x, y e z. Determinar as componentes 
Fx, Fy e Fz da força.

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