HM-03-Estatica-02

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106-Mecânica Aplicada curso de Pilotagem ENIDH 
Elementos de Estática Texto de apoio 
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6 Momento de uma força 
 
 
Em Estática consideram-se forças e momentos. No que 
se segue define-se momento de uma força em relação a 
um ponto, momento de uma força em relação a um eixo 
e momento de um binário. 
 
a) Momento em relação a um ponto 
 
O momento de uma força em relação a um ponto é uma 
grandeza vectorial que "mede" o efeito giratório da força 
em torno do ponto. 
 
A figura 6.1 mostra um plano  no qual existem uma 
força 
F
 , a sua linha de acção e um ponto P. Ao vector 

OP
 chama-se vector ligação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O momento da força F em relação ao ponto P define-se 
com o produto externo de F pelo vector de ligação OP . 
 
 




OPF)F(
P
m
 (6.1) 
 
O vector momento está representado na figura 6.1 com 
duas sectas. Sendo um produto externo apresenta as 
seguintes características: 
 
direcção: perpendicular ao plano  
sentido: definido com a regra do saca-rolhas 
intensidade: 
)(sen||OP||||F||||m|| 
 (6.2) 
 
Na fórmula (6.2) o produto 
)(sen||OP|| 
 representa 
a distância do ponto P à linha de acção da força F e 
está representado na figura pelo comprimento b. O 
segmento de comprimento b chama-se braço da força 
relativamente ao ponto O. 
 
A expressão (6.2) é usual escrever-se 
 
 M = Fb (6.3) 
 
ou seja “momento = força  braço” e tratar o momento 
como uma grandeza escalar. 
 
A fórmula (6.3) também define a equação dimensional de 
um momento 
 
 [M] = [F][L] = [FL] . 
 
É habitual definir os sentidos da rotação dos momentos 
com a seguinte convenção  figura 6.2 
 
 sentido positivo  sentido dos ponteiros do relógio 
 sentido negativo  sentido contrário 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Demonstra-se que (teorema de Varignon) que o 
momento da resultante de um sistema de forças com-
planares, em relação a um ponto, é igual à soma dos 
momentos das forças componentes em relação a esse 
ponto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O
P
j
F
mP(F)
j j
90ºb

Figura 6.1

Figura 6.2
+ -
rotação
positiva
rotação
negativa
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Exemplo 6.1 
 
A sequência mostrada na figura E-6.1 mostra como 
calcular o momento da força 12 N relativamente ao ponto 
P (alínea a)). 
 
Considerar a linha de acção da força (alínea b)). Traçar o 
braço na perpendicular de P para a linha de acção da 
força (alínea c)). Se o comprimento do braço for, por 
exemplo, 0,8 m o momento calculado com (6.3) vale 
 
 M = 12 N  0,8 m = 9,6 N.m . 
 
Para determinar o sentido da rotação (alínea d)), 
desloca-se a força, ao longo da sua linha de acção, para 
a extremidade do braço e define-se a rotação do par 
força-braço. Neste exemplo o sentido da rotação do 
momento é o sentido da rotação dos ponteiros do 
relógio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 6.2 
 
A sequência mostrada na figura E-6.2 mostra como 
calcular o momento da força 15 N relativamente ao ponto 
P (alínea a)). 
 
Considerar a linha de acção da força (alínea b)). Traçar o 
braço na perpendicular de P para a linha de acção da 
força (alínea c)). Se o comprimento do braço for, por 
exemplo, 1,25 m o momento calculado com (6.3) vale 
 
 M = 15 N  1,25 m = 18,75 N.m . 
 
Para determinar o sentido da rotação (alínea d)), 
desloca-se a força, ao longo da sua linha de acção, para 
a extremidade do braço e define-se a rotação do par 
força-braço. Neste exemplo o sentido é contrário ao 
sentido da rotação dos ponteiros do relógio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 6.3 
 
A sequência mostrada na figura E-6.3 mostra como 
calcular o momento da força 160 N relativamente ao 
ponto P (alínea a)). 
 
Considerar a linha de acção da força (alínea b)). Traçar o 
braço na perpendicular de P para a linha de acção da 
força (alínea c)). Se o comprimento do braço for, por 
exemplo, 30 cm o momento calculado com (6.3) vale 
 
 M = 160 N  30 cm = 4800 N.cm . 
 
Para determinar o sentido da rotação (alínea d)), 
desloca-se a força, ao longo da sua linha de acção, para 
a extremidade do braço e define-se a rotação do par 
força-braço. Neste exemplo o sentido é o sentido da 
rotação dos ponteiros do relógio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 6.4 
 
A sequência mostrada na figura E-6.4 mostra como 
calcular o momento da força 0,18 kN relativamente ao 
ponto P (alínea a)). 
 
Considerar a linha de acção da força (alínea b)). Traçar o 
braço na perpendicular de P para a linha de acção da 
força (alínea c)). Se o comprimento do braço for, por 
exemplo, 5 m o momento calculado com (6.3) vale 
 
 M = 0,18 kN  5 m = 9 kN.m . 
 
Para determinar o sentido da rotação (alínea d)), 
desloca-se a força, ao longo da sua linha de acção, para 
a extremidade do braço e define-se a rotação do par 
força-braço. Neste exemplo o sentido é contrário ao 
sentido da rotação dos ponteiros do relógio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) b) c) d)
15 N
P P
90º
b = 1,25 m
15 N
P
Figura E-6.2
P
12 
N
P
P 90
º b =
 0,8
 m
12 
N P
a) b) c) d)
Figura E-6.1
P
a) b) c) d)
160 N
P
90ºb = 30 cm
160 N
PP
Figura E-6.3
P
0,18 kN
P P
90º
b = 5 m
0,18 kN
P
a) b) c) d)
Figura E-6.4
P
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Exemplo 6.5 
 
A sequência mostrada na figura E-6.5 mostra como 
calcular o momento da força 160 N relativamente ao 
ponto P (alínea a)). 
 
Considerar a linha de acção da força (alínea b)). Traçar o 
braço na perpendicular de P para a linha de acção da 
força (alínea c)). Se o comprimento do braço for, por 
exemplo, 10 mm o momento calculado com (6.3) vale 
 
 M = 4 N  10 mm = 40 N.mm . 
 
Para determinar o sentido da rotação (alínea d)), 
desloca-se a força, ao longo da sua linha de acção, para 
a extremidade do braço e define-se a rotação do par 
força-braço. Neste exemplo o sentido é contrário ao 
sentido da rotação dos ponteiros do relógio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 6.6 
 
Pretende-se calcular o momento da força 12 N rela-
tivamente ao ponto P (alínea a)). 
Considerar a linha de acção da força. Neste caso o braço 
tem comprimento zero porque o ponto P pertence à linha 
de acção da força. O momento vale zero. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Momento em relação a um eixo 
 
A figura 6.3 mostra uma força 
F
e um eixo z. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para definir o momento da força 
F
em relação ao eixo z 
considera-se um plano  qualquer, perpendicular ao eixo 
e com intersecção no ponto P. A força 
F
decompõe-se 
na componente 
z
F
paralela ao eixo z e na componente 


F
paralela ao plano . A componente 
z
F
não "roda" em 
torno do eixo pelo que não produz momento. A compo-
nente 

F
produz momento com braço b. 
Assim, calcular o momento em relação a um eixo equi-
vale aocálculo em relação a um ponto com intensidade 
 
 
b||F||||)F(zm|| 

 (6.4) 
 
O momento de uma força em relação a um eixo é zero 
se a força for paralela ao eixo ou se a sua linha de acção 
for concorrente com o eixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P
90ºb
Figura 6.3

j
F
Fz
j
F
j
F
j
z
mz(F)
j j
12
 N
P P
a) b)
Figura E-6.6
4 N
P P
90º
b =
 10
 mm 4 N
P
a) b) c) d)
Figura E-6.5
P
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c) Momento de um binário 
 
Um binário é um sistema de duas forças estritamente 
paralelas com igual intensidade e sentidos contrários. 
As duas forças 
F
na figura 6.4, com distância d entre 
elas, constituem um binário. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para determinar o momento M produzido por um binário 
considere-se um ponto qualquer P nas condições da 
figura e calcule-se os momentos produzidos pelas duas 
forças relativamenta a P ou seja 
 
M = F(d + d1)  Fd1 = Fd . 
 
O momento produzido por um binário é independente do 
ponto P e é dado pelo produto de uma das forças pela 
distância entre elas, ou seja 
 
 Mbinário = Fd (6.5) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 6.7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Calcular o momento da força 100 N relativamente ao 
ponto A (figura E-6.7.a). A figura geométrica é um 
rectângulo. 
 
Resolução 
 
As distâncias conhecidas referem-se a segmentos que 
podem ser considerados horizontais e verticais sendo a 
direcção da força inclinada. Nestas condições pode ser 
vantajoso decompor a força numa componente hori-
zontal, 100cos(30º) = 87 N e numa componente vertical 
100sen(30º) = 50 N, como é mostrado na figura E-6.7.b. 
Também estão representados os braços relativamente 
ao ponto A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O momento calcula-se com 
 
M = + 50 N  4 m  87 N  1 m = + 113 N.m 
 
respeitando os sinais convencionados. 
 
Resposta: A força de 100 N produz um momento, em 
relação ao ponto A, de 113 N.m no sentido dos ponteiros 
do relógio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
F
j
F
j
90º
90º
d
P
d
1
Figura 6.4
30º
4 m
100 N1
 m
1 
m
A
Figura E-6.7.a
4 m A
Figura E-6.7.b
87 N
50 N 1 
mbraço para 50 N
braço para 87 N
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Exemplo 6.8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A placa rectângular da figura E-6.8.a é suposta homo-
génea e pesa 20 N por cada metro quadrado. Tem 
aplicadas as forças 100 N, 150 N e 200 N e o momento 
300 N.m . 
 
a) Calcular o momento resultante, em relação ao ponto 
A. 
b) Calcular a força resultante e situá-la relativamente ao 
ponto A. 
 
 
Resolução da alínea a) 
 
O peso total da placa obtém-se multiplicando a área por 
20 N/m
2
, ou seja, 2 m  4 m  20 N/m
2
 = 160 N. Esta 
força aplica-se no centro de gravidade do rectângulo e 
tem um braço de 2 m em relação ao ponto A. Produz um 
momento negativo 160 N  2 m  figura E6.8.b. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A força de 100 N já foi decomposta no exemplo 6.7. 
 
A força 200 N tem um braço de 2,2 m relativamente ao 
ponto A e produz um momento 200 N  2,2 m rodando 
no sentido positivo. 
 
A força 150 N tem um braço de 1,5 m resultando o 
momento 150 N  1,5 m no sentido positivo. 
 
O momento 300 N.m tem rotação negativa. 
 
Representando por MA o momento total em relação ao 
ponto A, calcula-se 
 
MA =  871 + 504 + 2002,2  1602 + 1501,5  
  300 = + 158 N.m 
 
mostrando-se uma representação na figura E-6.8.c . 
 
Resposta à alínea a) O momento resultante, em rela-
ção ao ponto A, tem intensidade 158 N.m e roda no 
sentido dos ponteiros do relógio. 
 
 
Resolução da alínea b) 
 
Representando a intensidade da resultante por R, as 
componentes em x e y são 
 
Rx = + 87 N  150 N =  63 N 
Ry = + 50 N + 200 N  160 = + 90 N 
N011N)90(N)36(R 22 
 
º125
N110
N63
)cos( 


 
º35
N110
N90
)cos( 


 
 
A resultante está representada na figura E-6.8.c . 
 
Para situar R, relativamente ao ponto A, calcula-se o 
braço necessário para que a resultante 110 N produza o 
momento 158 N.m ou seja 
 
110 N  b = 158 N.m  b = 1,44 m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta à alínea b) A força resultante tem intensidade 
110 N. A linha da acção faz com os eixos x e y ângulos 
de 125º e 35º respectivamente. Dista 1,44 m do ponto A . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
30º
2,2 m
100 N
1 
m
1 
m
A
Figura E-6.8.a
20
0 
N
150 N
1,8 m
1,
5 
m
300 N.m
160 N
2,2 m
1 m
1 m
A
Figura E-6.8.b
20
0 N
150 N
1,8 m
1,5
 m
300 N.m x
y
160 N
50 N
87 N
35
º110 N A
Figura E-6.8.c
158 N.m
125º
b = 1,44 m
90º
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7 Condições de equilíbrio 
 
Um corpo sólido está em equilíbrio, se o conjunto de 
forças e de momentos aplicados tiverem resultante nula, 
ou seja, representando por 
R
e 
M
 as respectivas resul-
tantes 
 
 corpo sólido em equílibrio  
 0M0R
. 
 
Estas duas equações vectoriais desdobram-se, no caso 
geral, em seis equações escalares. A soma das forças 
em x, em y e em z deverá ser nula. O mesmo para os 
momentos em torno de x, de y e de z. 
 
 
7.1 Caso geral 
x
y
z
Figura 7.1 









 
 
 
 
 
 
0zM
0yM
0xM
0Fz
0Fy
0xF
 
 
As seis equações de equilíbrio gerais reduzem-se de 
acordo com cada caso particular. 
 
 
7.2 Forças com a mesma linha de acção 
 
x
Figura 7.2 
 
  0xF
 
 
 
7.3 
Forças complanares e concorrentes num mes-
mo ponto 
x
y
Figura 7.3 




 

0
y
F
0
x
F 
 
 
 
 
7.4 
Forças não complanares e linhas de acção con-
correntes num mesmo ponto 
x
y
z
Figura 7.4 





 
 

0
z
F
0
y
F
0
x
F
 
 
 
7.5 
Forças complanares e linhas de acção não con-
correntes 
x
y
Figura 7.5 





 
 

0M
0
y
F
0
x
F
 
 
 
7.6 Forças complanares e estritamente paralelas 
 
x
Figura 7.6 
 



 

0M
0
x
F
 
 
 
7.7 Forças não complanares e paralelas 
x
y
z
Figura 7.7 





 
 

0
z
M
0
x
M
0
y
F
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo 7.1 
 
A placa rectângular homogénea, representada na figura 
E-7.1.a, tem dimensões 80 cm 10 cm, pesa30,0 N e 
tem aplicadas as forças 20,0 N, F1, F2 e F3 e o momento 
60,0 N.cm. Calcular as forças F1, F2 e F3 para que a 
placa esteja em equilíbrio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução 
 
A força 20,0 N é decomposta nas direcções x, 20cos(40º) 
e y 20sen(40º)  figura E-7.1.b . O peso 30,0 N é aplica-
do no centro da placa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Trata-se de forças complanares e linhas de acção não 
concorrentes  condição de equilíbrio 7.5. É necessário 
escrever três equações de equilíbrio 
 
 
   0Me0F,0F yx
. 
 
Para escrever a equação de momentos da maneira mais 
simples possível, há que escolher convenientemente 
qual o ponto em relação ao qual são calculados. Convém 
ser um ponto no qual passem o maior número possível 
de linhas de acção pois as respectivas forças produzem 
momentos nulos. Pode ser escolhido o ponto A. 
Relativamente a este ponto as forças F1, 20,0cos(40º) e 
20,0sen(40º) têm momento nulo. A força F2 tem braço 10 
cm e rotação negativa, a força F3 tem braço 80 cm e 
rotação positiva e o peso 30,0 N tem braço 40 cm e rota-
ção negativa. Da escrita das três equações resulta 
 





 
 

00,6010
2
F400,3080
3
F
A
M
0)º40(sen0,20
1
F30
3
F
y
F
0)º40cos(0,20
2
F
x
F
. 
 
Resolvendo o sistema obtém-se F1 = 4,8 N, F2 = 15,3 
N e F3 = 12,3 N. O sinal negativo de F2 significa que o 
seu sentido tem que ser contrário ao mostrado na figura 
E-7.1.b . 
 
Resposta: A placa está em equilíbrio se F1 = 4,8 N, 
F2 = 15,3 N e F3 = 12,3 N . A figura E-7.1.c mostra a 
placa em equilíbrio e a força F2 com sentido correcto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20,0 N
40º
F1
F2 F3
5 c
m
80 cm
60,0 N.cm
30 N
Figura E-7.1.a
10
 cm
20sen(40º)
F1
F2
F3
5 c
m
60 N.cm
30 N
Figura E-7.1.b
20cos(40º) x
y
+A
20sen(40º)
4,8 N12,3 N
5 c
m
60 N.cm
30 N
Figura E-7.1.c
20cos(40º)15,3 N
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8 
Diagramas de corpo livre e ligações ao 
exterior 
 
Relativamente a um dado corpo, chama-se diagrama de 
corpo livre (d.c.l.) a um esquema que represente todas 
as forças e momentos que actuam nesse corpo. 
A figura E-7.1.b representa um diagrama de corpo livre 
referente à placa rectângular do exemplo 7.1. 
 
Um diagrama de corpo livre inclui as forças e momentos 
que actuam directamente no corpo (peso incluído) e as 
forças e momentos que resultam do rompimento das 
ligações do corpo ao exterior. 
 
Seguem-se alguns exemplos de ligações de um corpo ao 
exterior, com a indicação das forças que surgem se 
essas ligações são rompidas. 
 
 
 
Caso 8.1 Acção da Terra sobre um corpo  peso 
corpo
terra
Figura 8.1.a 
corpo
terra
Figura 8.1.b
1
2
 
As forças verticais 1 e 2 apenas diferem no sentido. 
A força 1, o peso do corpo, representa a acção da 
terra sobre o corpo. A força 2 representa a acção do 
corpo sobre a terra. 
Num d.c.l. referente ao corpo entra a força 1. 
O par de forças 1 e 2 satisfaz o princípio da acção 
reacção. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Caso 8.2 Acção de um cabo ideal sobre um corpo 
Figura 8.2.a
B
cabo
ideal
A
 
Figura 8.2.b
B
A
1
2
3
4
 
A força 1 representa a acção que o cabo exerce so-
bre o corpo A. A força 2 representa a acção que o 
corpo A exerce sobre o cabo. A força 4 representa a 
acção que o cabo exerce sobre o corpo B. A força 3 
representa a acção que o corpo B exerce sobre o 
cabo. 
Num d.c.l. referente ao corpo A entra a força 1. Num 
d.c.l. referente ao corpo B entra a força 4. Num d.c.l. 
referente ao cabo entram as forças 2 e 3. 
O par de forças 1 e 2 satisfaz o princípio da acção 
reacção. O par 3 e 4 também. O par 2 e 3 não. 
 
 
Caso 8.3 
Contacto entre superfícies lisas (sem 
atrito) 
Figura 8.3.a
A
B
90º
90º
p1
p2
 Figura 8.3.b
A
B
p1
p1
p2
p2
1
2
3
4
 
A força 1 representa a acção do corpo A sobre o 
corpo B no ponto de contacto p1. 
A força 2 representa a acção do corpo B sobre o 
corpo A no ponto de contacto p1. 
A força 3 representa a acção do corpo A sobre o 
corpo B no ponto de contacto p2. 
A força 4 representa a acção do corpo B sobre o 
corpo A no ponto de contacto p2. 
Num d.c.l. referente ao corpo A entram as forças 2 e 
4. Num referente ao corpo B entram as forças 1 e 3. 
O par de forças 1 e 2 satisfaz o princípio da acção 
reacção. O par 3 e 4 também. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Elementos de Estática Texto de apoio 
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Caso 8.4 Acção de um rolete (sem atrito) 
Figura 8.4.a
A
B
90
º
rolete
 
Figura 8.4.b
A
B
1
2
3
4
 
A força 1 representa a acção do rolete em A. 
A força 2 representa a acção de A sobre o rolete. 
A força 3 representa a acção de B sobre o rolete. 
A força 4 representa a acção do rolete em B. 
Num d.c.l. referente ao corpo A entra a força 1. 
Num d.c.l. referente ao corpo B entra a força 4. 
Num d.c.l. para o rolete entram as forças 2 e 3. 
Os pares de forças 1, 2 e 3, 4 satisfazem o princípio 
da acção reacção. O par 2, 3 não. 
 
 
Caso 8.5 Acção de um pino  articulação 
Figura 8.5.a
pino
A
 Figura 8.5.b
90º
A
1
2
 
A acção do pino sobre o corpo A traduz-se em duas 
forças 1 e 2, perpendiculares entre si e independen-
tes. 
 
 
Caso 8.6 Articulação esférica (rótula) 
Figura 8.6.a
A
 
Figura 8.6.b
A
90º
90º90º
1
2
3
 
A acção da parede sobre a articulação esférica, 
ligada ao corpo A traduz-se em três forças 1, 2 e 3, 
perpendiculares entre si e independentes. 
 
 
 
 
Caso 8.7 Barra  apoio fixo 
Figura 8.7.a 
Figura 8.7.b
1
2
90º
 
A acção de um apoio fixo sobre uma barra traduz-se 
em duas forças 1 e 2, perpendiculares entre si e 
independentes. 
 
 
Caso 8.8 Barra  apoio móvel 
Figura 8.8.a 
Figura 8.8.b
1
90º
 
A acção de um apoio móvel sobre uma barra traduz-
se numa força 1, perpendicular à barra. 
 
Caso 8.9 Barra  encastramento bidimensional 
Figura 8.9.a Figura 8.9.b
2
90º 1
M
 
A acção de um encastramento bidimensional sobre 
uma barra traduz-se em duas forças 1 e 2, 
perpendiculares entre si e independentes e num 
momento de encastramento M. 
 
 
Caso 8.10 Barra  encastramento tridimensional 
Figura 8.10.a 
Figura 8.10.b
x
y
z
 
A acção de um encastramento tridimensional sobre 
uma barra traduz-se, no caso geral, em três forças 
(em x, em y e em z) e em três momentos (em torno 
de x, de y e de z). 
 
 
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Elementos de Estática Texto de apoio 
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Exemplo 8.1 
 
A barra A, de peso P, encosta sem atrito nos pontos 1, 2 
e 3  figura E-8.1.a. Desenhar o diagrama de corpo livre 
para a barra A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução 
 
A figura E-8.1.b mostra o diagrama decorpo livre pedido. 
 
No centro de gravidade da barra aplica-se o peso repre-
sentado pela força P. 
 
A barra contacta com o exterior nos pontos 1,2 e 3. Nos 
pontos 1 e 2, a acção das superfícies de encosto sobre a 
barra traduz-se nas forças F1 e F2, respectivamente. São 
forças com linhas de acção perpendiculares às 
superfícies (caso 8.3). No ponto 3 a acção do encosto na 
barra tem também a direcção perpendicular, neste caso 
à barra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 8.2 
 
A figura E-8.2.a mostra uma placa suportada por um pino 
1 e ligada a uma barra por um pino 2. Esta barra 
encosta, sem atrito, a uma superfície. Um cabo liga a 
barra à placa. Desenhar os diagramas de corpo livre 
para placa e para a barra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução 
 
A figura E-8.2.b mostra os diagramas de corpo livre 
pedidos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No centro de gravidade da placa aplica-se o peso repre-
sentado pela força P. 
 
A placa liga-se ao exterior pelos pinos 1 e 2 e pelo cabo. 
Estas ligações são rompidas e substituídas por forças. 
As ligações por pinos são substituídas por duas forças 
perpendiculares (caso 8.5). No pino 1 as forças F1 e F2 e 
no pino 2 as forças F3 e F4. A força F5 representa a 
acção do cabo sobre a placa (caso 8.2). 
 
A barra tem contactos com o exterior no pino 2, no cabo 
e na superfície inclinada. No pino 2 o par F3 e F4 constitui 
a reacção ao par aplicado na placa. O mesmo para F5. A 
força F6 representa a acção da superfície sobre a barra 
(caso 8.3). Não foi considerado o peso da barra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura E-8.1.b
F3
F2
F1
P
90º
90º
90º
Figura E-8.1.a
1
2
3
A
Figura E-8.2.a
barra
cabopino 1
pino 2
placa
Figura E-8.2.b
F3
F3
F4
F4
F2
F1
P
F5
F5
F6
90º
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Exemplo 8.3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A figura mostra duas esferas A e B com pesos PA e PB, 
respectivamente. As esferas são suportadas por uma 
barra articulada ao chão e presa à parede por um cabo 
ideal. 
Desenhar os diagramas de corpo livre para cada uma 
das esferas e para a barra ( ignorar o seu peso). Admitir 
contactos sem atrito. 
 
Resolução 
 
A figura E-8.3.b mostra os três d.c.l. pedidos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No centro de cada esfera aplica-se a força relativa ao 
peso. 
 
A esfera A contacta com o exterior nos pontos 1, 2 e 3. 
Estes contactos traduzem-se em forças perpendiculares 
à superfície de contacto (caso 8.3). 
 
A esfera B contacta com o exterior nos pontos 3 e 4. 
Estes contactos traduzem-se em forças perpendiculares 
à superfície (caso 8.3). As duas forças F3 diferem 
apenas no sentido e satisfazem o princípio da acção-
reacção. 
 
A barra contacta a esfera B, o chão, com a articulação, 
e o cabo. O contacto com a esfera B traduz-se na força 
F4, reacção à força aplicada na esfera. A acção da 
articulação traduz-se nas forças F5 e F6, perpendiculares 
entre si (caso 8.5). A força F7 representa a acção do 
cabo sobre a barra (caso 8.1). 
 
 
 
 
Exemplo 8.4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A figura mostra duas barras A e B. A barra A está 
encastrada no chão e encosta à barra B. A barra B tem 
aplicada a força F e assenta no chão. As duas barras 
estão ligadas por um cabo ideal. 
Desenhar os diagramas de corpo livre para cada uma 
das barras ( ignorar o seu peso). Admitir contactos sem 
atrito. 
 
Resolução 
 
A figura E-8.4.b mostra os dois diagramas pedidos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O encastramento da barra A é substituído por duas 
forças perpendiculares F1 e F2 e por um momento de 
encastramento M (caso 8.9). O contacto na outra extre-
midade é substituído pelas forças F4, uma na barra A e 
outra na barra B (caso 8.3). A acção do cabo traduz-se 
pelas forças F3 (caso 8.2). O par de forças F4 respeita o 
princípio da acção-reacção. O par F3 não traduz o refe-
rido princípio porque neste caso as barras não contactam 
directamente. O contacto da barra B com o chão é 
substituído pela força F5 (caso 8.3). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura E-8.3.a
A
B
1
2
3 4
cabo
barra
Figura E-8.3.b
F1
PA
F2
F3
F3
PB
F4 F4
A
B
F5
F6
F7
90º
Figura E-8.4.a
F
cabo
A
B
Figura E-8.4.b
F
F1
F2
M
F3
F4
F4
F3
F5
B
A
90º
90º
90º
90º
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9 Problemas resolvidos 
 
 
Problema 9.1 
 
Numa operação de descarga de navio, um automovel de 
peso 17,5 kN, é suportado por três cabos ligados na 
argola A  figura P9.1a. 
Calcular a intensidade das forças de tracção nos cabo 
AB e AC. Considerar os cabos ideais. 
 
 
 Figura P9.1.a 
 
Resolução 
 
 
Dos diferentes corpos mostrados na figura há que 
escolher um para desenhar um diagrama de corpo livre, 
escrevendo-se de seguida as equações de equilibrio 
convenientes. Como os cabos AB e AC concorrem na 
argola A, escolhe-se a argolafigura PP.9.1.b, alínea a). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O diagrama de corpo livre para a argola está destacado 
na alínea b) da figura PP.9.1.b. O peso do automóvel é 
uma força vertical. Das forças nos cabos (caso 8.2) só 
interessam aquelas que actuam na argola. Estão 
representadas por TB e TC na alínea c) da figura. 
 
 
 
 
Trata-se de três forças complanares e linhas de acção 
concorrentes  condição de equilíbrio 7.3. É necessário 
escrever duas equações de equilíbrio 
 
 
  0Fe0F yx
. 
 
Da escrita das duas equações resulta o sistema 
 




 

05,17)º30(sen
C
T)º88(sen
B
T
y
F
0)º30cos(
C
T)º88cos(
B
T
x
F . 
 
que depois de resolvido origina 





7,0
C
T
9,17
B
T . 
 
Resposta: As forças de tracção nos cabos AB e AC têm 
intensidade 17,9 kN e 0,7 kN, respectivamente. 
 
Este problema envolve três forças em equilíbrio. Neste 
caso, construir um triângulo de forças é uma alternativa à 
resolução geral atrás apresentada. 
 
A figura P9.1.c mostra, em esquema, o triângulo das 
três forças em equilíbrio e as amplitudes dos ângulos. A 
lei dos senos permite calcular as intensidades pedidas. 
 
 
kN9,17T
)º120(sen
T
)º58(sen
kN5,17
B
B 
 
 
 
kN7,0T
)º2(sen
T
)º58(sen
kN5,17
C
C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura P-9.1.b
x
y
TC
30º
TB
A A
17,5 kN 17,5 kN
88º
17,5 kN
90º
A
a) b) c)
Figura P-9.1.c
17,5 kNTB
TC
2º
120º58º