capitulo-02-vetores-2

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VETORES
As quantidades físicas são divididas em dois tipos:
ESCALARES: são grandezas completamente definidas por um único número com uma unidade:
Ex: massa, tempo, temperatura, energia;
VETORIAIS: são grandezas que têm magnitude ( módulo), direção e sentido. Ex.: força, deslocamento, velocidade, campo elétrico.
 
Operações : soma e diferença 
Escalar: é soma algébrica simples. 
Vetorial: fazer resultante, pois depende da direção.
 
Representação de um vetor: por uma seta orientada e seu tamanho será proporcional à intensidade.
Vetor deslocamento: Só interessa a posição inicial e final ( resultado liquido ).
 
OBS: A distância percorrida é diferente: do deslocamento.
Soma vetorial – Método gráfico: 
 	Um ponto material é usado para caracterizado corpos cujas dimensões não afetam a solução dos problemas físicos de forma que todas as forças podem ser consideradas aplicadas num único ponto.
As forças aplicadas em um ponto material são caracterizadas por uma intensidade (módulo), direção e sentido e são representados por setas orientadas. A direção é definida por sua linha de ação, sendo caracterizada pelo ângulo (θ) que forma com o eixo x positivo.
	
 
Regra do Paralelogramo – Pode-se mostrar experimentalmente que dois vetores podem ser substituídos por uma única força resultante. A força resultante pode ser obtida pela regra do paralelogramo, obtido pela construção de um paralelogramo usando as forças com lados. A diagonal representa a Força resultante.
Soma vetorial – Regar do triângulo. Se forem considerados vários vetores, os mesmos podem somados de forma que a ponta de um vetor seja conectada à extremidade inicial do próximo vetor e assim por diante. O vetor soma será um vetor cuja extremidade inicial corresponde à extremidade inicial do primeiro vetor a ponta coincide com ponta da ultimo vetor.
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Veja o exemplo ilustrativo abaixo de um exemplo prático.
Fonte: Estática- Mecânica para Engenharia. R. C. Hibeller. 10ª edição. Pearson Prentice Hall. Pág. 15.
Para a solução dos problemas normalmente é necessário o uso das propriedades trigonométricas de triângulos:
Exemplos:
Qual a intensidade e a direção da força resultante na figura abaixo?
A força F= 500N atua para baixo em A nos dois elementos da estrutura. Determine as intensidades das duas componentes da força ao longo de AB e AC. R: TAC = 366N, TAB = 448N
Na figura abaixo, a força que atua na estrutura tem intensidade de 500 N e deve ter componentes na direção AB e AC. Determine o ângulo θ, de forma que a componente FAC tenha o valor de 400N. Qual o valor de FAB?
Um anel mostrado na figura abaixo este sujeito a duas forças F1 e F2. Supondo que a força resultante tenha intensidade de 1000 N e esteja direcionada verticalmente para baixo, (a) determine os valores de F1 e F2 para θ = 30º. (b) Qual o valor de θ para que a intensidade de F2 seja mínima, e neste caso, determine os valores de F1 e F2. R: (a) 653N e 371N (b) 940N e 342N
Componentes cartesianas de uma força: 
As forças podem ser decompostas em termos de suas componentes cartesianas Fx e Fy, que se localizam ao longo do eixo x e y, perpendiculares entre si. Os eixos podem ter qualquer inclinação desde que permaneçam perpendiculares entre si.
Componentes de um vetor:
 As componentes retangulares da força F mostradas na figura anterior podem ser determinadas através do triângulo retângulo e são dadas por:
e 
Por outro lado, se forem conhecidas as componentes Fx e Fy de uma força (vetor) podemos determinar a intensidade (módulo) e o ângulo θ, que especifica a direção e o sentido, novamente através das propriedades dotriânguloretângulo:
e
 ou 
Vetores Unitários:
As forças podem ser representadas em termos de vetores unitários. Vetor adimensional cujo módulo é a unidade. Servem para descrever uma direção no espaço. Na direção positiva do eixo x introduz-se o vetor unitário î . Na direção positiva do eixo j introduz-se o vetor unitário 
.
F=Fx î+ Fy 
A soma de várias forças pode ser feita através da soma das componentes vetoriais de cada força. De forma que se as forças são dadas por:
F1=F1x î+ F1y 
F2=F2x î+ F2y 
F3=F3x î+ F3y 
A força resultante será dada por:
FR=F1+ F2+F3
F2=(F1x +F2x +F3x )î+ (F1y +F2y+ F3y )
Exemplos:
Exemplos:
Um vetor tem 
comprimento igual a 15m e sua direção é mostrada na figura abaixo. Determine as componentes x e y deste vetor.
A componente x de um certo vetor vale –25 unidades e a componente y vale +40 unidades. A) qual o módulo deste vetor? Qual ao ângulo entre esse vetor e o eixo x? Represente este vetor num gráfico
 Exemplo: seja o vetor A = -3î + 2
representar graficamente 
calcular o módulo e ângulo
Sejam as três forças abaixo, com:
F1 = 10,0 N	
F2 = 7,67 N
F3= 5,50N
Calcule as componentes de cada em dos vetores;
Encontrar o vetor soma (representar o vetor algébrica e graficamente);
Encontrar o módulo e ângulo do vetor soma.
Determine a intensidade e direção da força resultante das três forças que atuam na extremidade de uma ponta:
 
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2a Lista de Exercícios
MÉTODO GRÁFICO
 Determine graficamente a intensidade e direção da força resultante nas figuras abaixo. R: a) 5,84N e 28,4º e b) 707 N e 50,8º
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Na figura abaixo, Determine graficamente a intensidade e direção da força resultante nos seguintes casos:
R = F1+F2 
R = F1+F3
R = F3+F2 
R: a. R= 867N, 108º
308N, 91,9º
1162N, 166º
Duas peças são rebitadas em um suporte conforme figura abaixo. Ambas sofrem compressão de 800N, em B, e 1200N em C. Determine graficamente a força que age em A. R: 1700N, 275º
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Determine o módulo da força resultante e sua direção medida no sentido anti-horário a partir do eixo x positivo, para cada uma das figuras abaixo. Utilize o método gráfico
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 R:72,1N e 73,9º R:12,5 kN , 316,1º
Um carro é puxado por duas cordas conforme figura abaixo:
a) Se a tração na corda AB é de 400N e α = 20º , qual valor da tração na corda AC e a intensidade da resultante, sabendo que resultante tem a direção do eixo do carro. R: Tac = 584,7 N e R = 895,8N
b) Em outra situação a tração na corda AB é igual a 500N. Determine a tração na corda AC e o valor de α para que a resultante tenha a direção do eixo do carro e intensidade de 800N. R: Tac = 444N e R = 34,26º
Uma estaca é arrancada do solo com o auxílio de duas cordas, como na figura abaixo. Considerando α = 40°. (a) determine o módulo da força P necessária para que a força resultante seja vertical. (b) qual o valor da força vertical . R: P=78,9 N e R: 169N
�
Uma Força de 500 N atua sobre a estrutura. Determine as componentes desta força que atuam ao longo da direção BA e CA. Considere 
. 
A força F= 500N atua para baixo em A nos dois elementos da estrutura. Determine as intensidades das duas componentes da força ao longo de AB e AC. R: TAC = 366N, TAB = 448N
Uma força de 500 lb atua na estrutura tem componentes ao longo do eixo das escoras AB e AC. Se a componente da força ao logo de AC for de 300lb(orientada de A para C), determine a intensidade da força que atua ao longo de AB e o ângulo θ. R : 486N , 24,6º
Para puxar um tora por dois tratores, a resultante FR das duas forças deve ser de 10 kN e estar orientada ao longo do eixo x positivo. Determine o ângulo θ para que a força FB seja mínima. Qual a intensidade da força em cada cabo? R: 60º, FA=8,66N, FB=5,0N
Uma viga deve ser levantada conforme figura abaixo, por uma força resultante de 600N, orientada ao longo do eixo Y positivo. Determine a intensidade das forças FA e FB e o ângulo θ de forma que a intensidade de FB seja mínima. R: 60º, FA=520N, FB=300N
COMPONENTES VETORIAIS
A componente x de um certo vetor vale –25, unidade e a componente y vale +40 unidades. (a) Qual é o módulo do vetor? (b) Qual é o ângulo entre o vetor e osentido positivo dos x? c) represente graficamente esse vetor. R:a) 47,2 b) 122º
 Encontre as componentes dos vetores abaixo indicados:
Determinar as componentes dos vetores abaixo e os represente algebricamente:
R: Ax= -97,8N , Ay=145N; Bx= 205N , By=143; Cx= 63,4N , Cy=-136N Dx= -52,9N, Dy=-229N
Encontre o módulo(intensidade) e o ângulo dos vetores abaixo indicados. Represente-os graficamente
a) 
 R: 5,83 e 301º
b) 
 R: 7,21 e 146,3º 
c) 
 R: 5,38 e 202º
d) Um vetor cujas componentes são Dx= 3,5 e Dy=-4,5 R: 5,7 e 308°
Obter a intensidade e a direção da resultante das três forças abaixo indicadas.
 R: 285N, 104º
 Dados dois vetores , 
 e
 
 a)Achar o módulo de cada vetor: R: A=5,83 e B=7,28
 b) Achar a soma vetorial
Determine a força resultante na figura abaixo:. Utilize o método da decomposição R: 72,1 lb e 73,9º
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Quatro forças concorrentes atuam sobre uma placa. Determine o módulo e a direção da força resultante. R: 84,3 lb e 37,2º
Determine o módulo e a direção da resultante das três forças da figura abaixo: R: 546 N, 253º
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Um poste e sustentado por um cabo, conforme figura abaixo. Sabendo que a tração no cabo AC é de 370N, determine as componentes horizontal e vertical da força exercida em C. R a) Tacx = -120N e Tacy = 350N 
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Na figura anterior (à direita), A haste de compressão exerce no pino C uma força dirigida ao longo de BC de uma intensidade 365N. Determine as componentes horizontal e vertical dessa força. R: Tbcx = -240N e Tbcy = -275N 
Determine o módulo e a direção da força resultante nas figuras abaixo:
 
R:17,2 kN, 11,7º R:99,78 lb, 172,6º
 
 R:11,4 N, 38,4º R:97,8 lb, 313,5º
Determine o módulo e a direção da resultante das três forças aplicadas que atuam no anel supondo que F1 = 500N e θ=20º.. R: 1030N, 87,9º
Determine a intensidade e a orientação de FB de modo que a força resultante seja orientada ao longo do eixo y positivo e tenha intensidade de 1500N. R: 960N, 68,6º
EXERCÍCIOS ADICIONAIS:
Determine o módulo da força F de modo que a resultante das três forças seja tão pequena quanto possível. Qual o módulo da força resultante neste caso?
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b) As três forças mostradas na figura são aplicadas a um suporte. Determine a faixa de valores para o módulo ba força P de modo que a resultante das três forças não exceda a 2400N. R: 1,22kN ≤ P ≤3,17 kN
F
x
135N
37º
50º
40º
300N
200N
y
C=150N
D=235N
A=175N
B=250N
� EMBED Equation.3 ���
B
B
B
B
B
B
B
� EMBED Equation.3 ���
B
B
B
B
B
B
B
25º
� EMBED Equation.3 ���
B
B
B
B
B
B
B
13º
10º
10º
10º
10º
10º
10º
10º
10º
30º
30º
30º
30º
30º
30º
30º
30º
45º
45º
45º
45º
45º
45º
45º
45º
� EMBED Equation.3 ���
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x
x
x
x
x
x
x
x
40º
40º
40º
40º
40º
40º
40º
40º
y
y
y
y
y
y
y
y
θ
A(S0)
B(Sf )
B(Sf)
A(S0)
θ
Linha de ação 
30 N
F1
F2
F1
F2
R = F1+ F2
R
�
10 kN
56º
35º
C=150N
A=250
48º
B=175N
38º
35º
D=235N
14º
�PAGE �
�PAGE �16�
_1395559824.unknown
_1423035351.unknown
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